二次函数与等腰三角形

以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题

【学习目标】

这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.

【教学过程】

解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．②代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.

一、考点突破

例1、如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC 、BC ，求线段BC 所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．

214

x

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例3、如图，已知抛物线（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；

（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

2

y ax bx c =++

【变式题组】

1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点M （﹣2， ），顶点坐标为N （﹣1，

），且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；

（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系中，点， 分别是轴正半轴， 轴正半轴上两动点， ， ，以， 为邻边构造矩形，抛物线

交轴于点， 为顶点， 轴于点． （）求， 的长（结果均用含的代数式表示）；

（）当时，求该抛物线的表达式；

（）在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值．

A

B y x 2OA k =23OB k =+AO BO AOB

C 2334

y x x k =-++y D P PM x ⊥M 1OD PM k 2PM BM =3A ADP k

作业巩固

1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA＝OB.

（1）求b＋c的值；

（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；

（3）在（2）条件下，点P（不与A，C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标..

3、如图，抛物线y＝ax2＋bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC的面积；

（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．