第八章 曲线积分与曲面积分

第八章曲线积分与曲面积分本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。

§1对弧长的曲线积分问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。

∑=→=ni i i i S M 10),(lim ∆ηξρλ定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段ii i M M L 1-=∆的长度为i S ∆，又),(i i ηξ是i L ∆上的任一点，作乘积ii i S f ∆ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=ni i i i S f 1),(∆ηξ，记}max {i S ∆λ=，若∑=→ni i i i S f 1),(lim ∆ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ∆的取法无关，则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：⎰Ls y x f d ),(，即⎰Ls y x f d ),(∑=→=ni iiiS f 1),(lim ∆ηξλ。

其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。

对弧长曲线积分的存在性：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则⎰Ls y x f d ),(一定存在。

对弧长曲线积分的性质：1、⎰⎰⎰±=±LLLs y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([2、⎰⎰=LLs y x f k s k y x kf d ),(d ),(3、设21L L L +=，则⎰⎰⎰+=21d ),(d ),(d ),(L L Ls y x f s y x f s y x f这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Ls y x f d ),(有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为⎰=Ls y x f M d ),(对弧长的曲线积分的计算法：在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。

定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程)()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，其中)(t ϕ、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则⎰Ls y x f d ),(存在，且：⎰⎰'+'=βαψϕψϕt t t t t f s y x f Ld )()()](),([d ),(22。

若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则⎰⎰'+=ba Lx x x x f s y x f d )(1)](,[d ),(2ψψ。

若L 方程为：)(y x ϕ=，d y c ≤≤，则⎰⎰'+=dcLy y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2ϕϕ例1、计算⎰Ls y d ，其中L ：)20()cos 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x例2、计算⎰Ls x y d sin ，其中L ：x y cos =从)1,0(到)0,2(π的弧。

例3、计算⎰+Ls y x d )(22，其中L ：222a y x =+例4、计算⎰+Ls y x d )(22，其中L 是以)0,0(O ，)0,2(A ，)1,0(B 为顶点的三角形的边界。

对空间曲线有着类似的定义和计算公式⎰Γs z y x f d ),,(∑=→=ni iiiiS f 10),,(lim ∆ζηξλ。

若Γ的方程由参数方程给出：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(βα≤≤t则⎰⎰'+'+'=βαΓt t z t y t x t z t y t x f s z y x f d )()()()](),(),([d ),,(222例5、计算⎰Γs z d ，其中Γ：)10(sin cos ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t tz t t y tt x例6、设Γ：29222=++z y x 与1=+z x 的交线。

求⎰++Γs z y x d )(222。

例7、螺旋线方程为)20(,sin ,cos π≤≤===t kt z t a y t a x ，在其上分布有密度为222z y x ++=ρ的质量，求其对z 轴的转动惯量。

§2对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质问题：设有一构件占空间曲面∑，其质量分布密度函数为),,(z y x ρ，求构件的质量。

处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题。

∑=→=ni i i i i S M 10),,(lim ∆ζηξρλ定义：设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 在∑上有界，把∑任意地分成n 个小曲面i S ∆),,2,1(n i =，在每个小曲面i S ∆上任取一点),,(i i i ζηξ作乘积i i i i S f ∆ζηξ),,(，并求和∑=ni i i i i S f 1),,(∆ζηξ，记i ni S ∆λ{max 1≤≤=的直径}，若∑=→ni i i i i S f 1),,(lim ∆ζηξλ存在，且极限值与∑的分法及),,(i i i ζηξ在i S ∆上的取法无关，则称极限值为),,(z y x f 在∑上对面积的曲面积分，记为：⎰⎰∑S z y x f d ),,(，即⎰⎰∑S z y x f d ),,(∑=→=ni iiiiS f 10),,(lim ∆ζηξλ。

其中),,(z y x f 叫做被积函数，∑叫做积分曲面，S d 称为面积元素。

对面积的曲面积分的存在性：若∑为光滑曲面，),,(z y x f 在∑上连续，则⎰⎰∑S z y x f d ),,(一定存在。

有了这个定义，分布在∑上的质量M 为：⎰⎰=∑S z y x f M d ),,(当1),,(=z y x f 时，∑∑=⎰⎰S d 的面积。

当∑为xOy 平面上的区域D 时，⎰⎰∑S z y x f d ),,(即是D 上的二重积分，⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=Dy x y x f d d )0,,( 性质：对面积的曲面积分是二重积分的推广，所以二重积分的性质都可推广到对面积的曲面积分上去。

特别是21∑∑∑+=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21d ),,(d ),,(d ),,(∑∑∑S z y x f S z y x f S z y x f二、对面积的曲面积分的计算法： 在讨论⎰⎰∑S z y x f d ),,(的计算法之前，注意到：1、∑是光滑或分片光滑，),,(z y x f 在∑上连续。

2、),,(z y x f 是定义在∑上，即点),,(z y x 应在∑上变动，z y x ,,应满足∑的方程。

3、S d 是曲面上的面积元素。

设∑的方程为),(y x z z =，∑在xOy 平面上的投影区域xOy D 是有界闭区域，),(y x z z =在xOyD 上具有连续的偏导数，于是y x z z S y x d d 1d 22++=，∑上的点为)),(,,(y x z y x 则⎰⎰∑S z y x f d ),,(存在，且：⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰++=xyD y xy x z z y x z y x f d d 1)),(,,(22。

即若∑的方程为),(y x z z =，计算⎰⎰∑S z y x f d ),,(时，只要把S d 换为y x z z y x d d 122++，z 用∑的方程为),(y x z z =代入，在∑的投影区域xOy D 上计算二重积分。

例1、计算⎰⎰++=∑S z y x I d )342(，∑为平面1432=++zy x 位于第一卦限部分。

例2、计算⎰⎰+=∑S y x I d )(22，∑为立体122≤≤+z y x 的边界曲面。

若光滑曲面∑的方程为),(z y x x =(或),(x z y y =)，∑在yOz (或zOx )平面上的投影区域为yOz D (或zOx D )这时对面积的曲面积分可化为：⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰++=yOzD z y z y x x z y z y x f d d 1),),,((22或⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰++=zOxD z x z x y y z x z y x f d d 1)),,(,(22。

例3、计算⎰⎰++∑Sz y x d 1222，其中∑为222R y x =+界于0=z 与R z =之间。

例4、设一质量沿曲面∑分布，其密度函数为),,(z y x ρ，试用对面积的曲面积分表示：1)总质量，2)静力矩，3)重心坐标，4)关于坐标轴、坐标面的转动惯量。

§3对坐标的曲线积分 一、概念与性质 变力沿曲线作功问题：设一质点在xOy 平面内受到变力j y x Q i y x P F ),(),(+=作用从A 点沿光滑曲线L 移动到B 点，求变力所作的功。

∑=⋅≈ni ii i W 1),(∆ηξ]),(),([lim 1∑=→+=ni i i i i i i y Q x P W ∆ηξ∆ηξλ定义：设AB L =是xOy 平面上的一条光滑有向曲线弧，),(y x P 、),(y x Q 在L 上有界，用L 上的点),(000y x M ，),(111y x M ，…，),(n n n y x M 把L 分成n 个小有向弧段i i i M M L 1-=∆，设1--=i i i x x x ∆，1--=i i i y y y ∆，又),(i i ηξ是iL ∆上的任一点，作乘积i i i x P ∆ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=ni i i i x P 1),(∆ηξ，记|}{|max 1i ni L ∆λ≤≤=，若∑=→ni i i i x P 1),(lim ∆ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ∆的取法无关，则称极限值为),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分，记为：⎰Lx y x P d ),(，即⎰Lx y x P d ),(∑=→=ni i i i x P 1),(lim ∆ηξλ。

同理定义⎰Lyy x Q d ),(∑=→=ni ii i y Q 1),(lim ∆ηξλ为),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分。