高等数学-无穷级数小结
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。
第4章 无穷级数内容小结
(x
x0
)n
为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1
为级数 un 的部分和. n1
若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，
此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1
收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.
④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.
高等数学无穷级数知识点总结
高等数学无穷级数知识点总结
无穷级数是高等数学中的一个重要内容，它涉及到很多重要的概念和定理。
以下是一些高等数学无穷级数的知识点总结:
1. 无穷级数的基本概念：无穷级数是指一个数列的项按一定规律相加而成的数列。
其中，无穷级数的定义域可以是实数集或复数集。
2. 无穷级数的分类：无穷级数可以分为数项级数和函数项级数两大类。
数项级数是指以常数项级数的形式表示的无穷级数，而函数项级数则是以函数项的形式表示的无穷级数。
3. 无穷级数的敛散性：无穷级数的敛散性是指级数是否收敛或发散。
如果一个无穷级数收敛，则称其为收敛级数，反之则称为发散级数。
4. 无穷级数的判别法：无穷级数的判别法是指判断一个无穷级数是否收敛的方法。
常用的判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和莱布尼兹判别法等。
5. 无穷级数的和应用：无穷级数在数学中有着广泛的应用，例如求和、积分、微积分等。
在实际应用中，无穷级数往往被用来求解各种问题。
6. 无穷级数的和函数：无穷级数的和函数是指级数的每一项相加得到的总和。
无穷级数的和函数具有很多重要的性质，例如连续性、可导性等。
7. 无穷级数的广义性质：无穷级数的广义性质是指关于无穷级数的一些扩展概念和定理。
例如，无穷级数的前 n 项和的广义性质、
无穷级数的广义收敛性等。
以上是高等数学无穷级数的一些重要知识点总结。
希望能对读者有所帮助。
无穷级数的知识点总结
；
时，收敛区间为
。
例 27。求
的收敛半径及区间。
注意：当所给的级数有缺项时，一般不能用定理的方法来求其收敛半径及区间， 而应该用达朗贝尔比值审敛法来求。
解：
（1）如果
时，即
时，则
收敛；
（2）如果 （3）又在端点
时，即
时，则
发散；所以，R=1.
收敛。所以，收敛区间为
。
例 28．求幂级数
的收敛区间
解：令
；（2）
；（3）
也发散）。 的敛、散性。
解：（1）
，而
收敛，所以，
绝对收敛。
（ 2） 因 为 也发散（？）
（3）原级数为交错级数，经判断收敛。但
，所以，
发散，从
发散，故：
为条件收敛。
例 15。研究 解：（一）当
（二）当
的 敛、散性。 时，级数显然收敛，且为绝对收敛； 时，
（1）当 （2）当 （3）当
（1）
（？），如果
，则原级数发散，问题得到解决。
（2）若
，则考察
，若
收敛，则
必也收敛。（此时称
绝对收敛），问题得到解决。
（3）若
，且考察
后，知
发散，这时还要考察
是否收敛。（如果经考察
收敛，则称之为条件收敛），问题得到解决。 （但
若是用达朗贝尔判别出
发散，就可直接得出
例 14。判别下述级数的敛、散性
（1）
（二）将
代入（20）式，得：
之和。 。---（20）
例 41.求级数 解：设幂级数
的和
，其收敛域为
则
又
；
设
则
所以， 从而
小结无穷级数
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
小结无穷级数
性质5.(级数收敛必要条件)
若级数 收敛,则
注意:(1). 若 ,则级数 发散
(2). 时,级数 不一定收敛
判断级数发散 的第一步骤
证
单调
有界
则
同理
交错级数
例如
收敛且S<1
如果
则
2. 绝对收敛与条件收敛
对于一般的任意项级数
考虑
正项级数
收敛,则
绝对收敛
收敛,而 发散,则
条件收敛
例如
绝对收敛
条件收敛
定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛
证
设
则
由
收敛知
收敛
为幂级数的系数 .
即是此种情形.
的情形, 即
称
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发 散
发 散
收 敛
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
四、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
求下列级数的敛散区间:
例13:
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解:
当
因此级数在端点发散 ,
时,
时原级数收敛 .
故收敛区间为
例如:调和级数
但级数发散
(2)
不存在
级数发散
例3. 判断级数敛散性:
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
无穷级数期末总结
无穷级数期末总结在本学期的无穷级数课程学习中，我对这一领域的概念和理论有了更加深入的了解。
无穷级数是数学中一个重要的分支，其应用广泛，涉及到许多其他领域的理论和定理。
通过学习无穷级数相关的概念和定理，我不仅获得了数学上的知识和技能，而且提高了自己的逻辑思维能力和问题解决能力。
在课程的开始阶段，我们首先学习了无穷数列和无穷级数的概念。
数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，无穷数列则是无限个数的有序排列。
而无穷级数是无穷数列的和，即将数列中的每一项相加所得到的和。
通过学习这些概念，我了解到了数列的特点和性质对无穷级数的求和有着重要的影响。
在进一步学习中，我们学习了收敛和发散的概念。
数列或者级数被称为收敛，意味着它们的和可以无限接近一个确定的数，而发散则表示它们的和趋于无穷大。
从这个角度来看，我们可以判断一个无穷级数是否收敛。
通过学习收敛和发散的判别法，我学会了如何分析一个无穷级数的收敛性质。
接着，我们学习了收敛级数的性质和定理。
比如，一个收敛级数的任意子级数也是收敛的，收敛级数的和的绝对值小于每一项的绝对值之和等等。
这些性质和定理对于进一步研究和运用收敛级数非常有帮助。
我也通过做大量的例题巩固了对这些定理的理解和应用。
在接下来的学习中，我们研究了几个重要的收敛级数。
其中，几何级数是无穷级数中最为基础也是最简单的一种。
通过对几何级数的分析，我了解到了一些特定条件下的收敛性质。
调和级数也是我们学习的另一个重点。
通过对调和级数进行分析，我对无穷级数的收敛性产生了更深的认识。
除了学习收敛级数的性质和定理，我们还研究了一些收敛级数的求和方法。
比如，我们学习了部分和的求和法和函数级数的求和法。
这些方法对于分析一个收敛级数的和进行估算和计算非常有帮助。
在学习过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
尤其是在分析一个复杂的级数的收敛性时，我常常会遇到各种繁琐的计算和推导。
但是通过不断的实践和思考，我逐渐克服了这些困难，提高了自己的计算能力和推理能力。
大一下高数知识点无穷级数
大一下高数知识点无穷级数大一下高数知识点：无穷级数在大一下的高等数学课程中，无穷级数是一个重要的知识点。
无穷级数是由无穷多个数相加（或相减）所得的结果，它在数学和其它科学领域中都有广泛的应用。
本文将着重介绍无穷级数的定义、性质和一些重要的收敛准则。
一、无穷级数的定义无穷级数可以写作以下形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁、a₂、a₃等为级数的各项。
二、常见的无穷级数1. 等差级数等差级数是最常见的一类无穷级数。
它的通项公式一般为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁为首项，d为公差。
例如，等差级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + (a₁ + 3d) + (a₁ + 4d)2. 等比级数等比级数的通项公式一般为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比。
例如，等比级数的前5项可以表示为：S₅ = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + a₁r⁴三、无穷级数的性质1. 部分和在无穷级数中，我们通常用部分和来近似计算级数的和。
部分和Sn定义为：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ其中，n为正整数。
2. 收敛和发散对于无穷级数，如果其部分和Sn在n趋向于无穷大时有极限S，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
如果收敛，其收敛值S即为无穷级数的和。
3. 收敛性质无穷级数有以下重要的收敛性质：（1）若级数Sn收敛，则其任意子级数也收敛。
（2）若级数Sn发散，则其任意超级数也发散。
（3）若级数Sn和级数Tn都是收敛的，则它们的和级数Sn + Tn也是收敛的。
4. 绝对收敛和条件收敛若级数的所有项的绝对值构成的级数收敛，则称原级数绝对收敛。
否则，若级数本身收敛但其对应的绝对值级数发散，则称原级数条件收敛。
四、无穷级数的收敛准则在判断无穷级数的收敛性时，有一些常用的收敛准则：1. 正项级数判别法如果级数的所有项都是非负数，并且后一项总是比前一项大或相等，则该级数收敛。
第十章无穷级数小结
∑ |u
n=1
∞
n
| 收 敛 u n 敛 ∑ 收
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
补充定理 如果任意项级数
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + un +
un +1 lim =l n →∞ un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛,当l > 1时级数发散
命题3 命题3:不一致收敛的极限形式: 一致收敛的极限形式:
设函数序列{ Sn ( x )}在区间I 上收敛到极限函数S ( x ).若存在 点列xn ∈ X ( n = 1, 2,), 使得 lim[ Sn ( xn ) S ( xn )] = k ≠ 0,
n →∞
则{ Sn ( x )}在X 上不一致收敛.
若 u n > 0, 则称
∑1 u n 是 正 项 n=
∞
∞
级数
1.
n =1
收 ∑ un(un > 0)收敛 部分和数列有界
∞
2. 比较判别法: ∑ un ( un > 0),
则
∑vn 收敛 n=1
∞
n =1
∑1 u n 收敛 n=
∞
∞
n =1
∑ v n (ν n > 0),
∞
un ≤ v n ,
部分和数列: Sn = ∑ui = u1 + u2 + + un
i =1
n
敛散性: 敛散性: 若
记为
n→ ∞
lim S n = S ,
(完整版)无穷级数总结
n1、概念与性质1. 定义：对数列5,氏丄,U n L ,U n 称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和n1数列｛S n ｝有极限S ，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散• n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 U n 与 cU n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 U n 与v n，若 U n s ，v n，则(U n v n )s ；n1n1n1n1n1若 U n 收敛，v n 发散，则(U n v n ) 发散；n1n1n1若 U n ， v n 均发散，则(U n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 U n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 U n 收敛的必要条件： lim U n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 U n 发散，则 lim U n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 U n 0 ，则 U n 称为正项级数 .n1② 审敛法：U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界无穷级数总结②若 lim U n n0 ，则 U n 未必收敛；n1充要条件：正项级数(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄),n 1 n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有U n kvjk 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有U n kv n(k 0)成立，则①发散；B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n2(n 1,2,L )，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与V n②都是正项级数，若limb |(0 | )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性.n 1 n 1注：常用的比较级数：a 1 1 .①几何级数：ar n 1 1 r r 1•n 1发散r 1②p级数：［收敛P1时.n p发冃攵P1时，n r③调和级数：1111发散.n 1 n2n(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim r 1，则a n收敛；②lim r 1，则发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 1，或lim a n1，推不出级数的敛散.例丄与厶，虽然n a n n n 1 n n 1 n lim 1，|im n a n1，但 -发散，而 & 收敛•n a n n■n 1 n n 1 n(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，lim、, a n，若1，n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设U n 0，且lim n P U n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则(1)n 1U n称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1U n，若U n U n 1且lim U n0，‘n贝u ( 1)n u收敛•n 1注：比较U n与U n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也1是否小于1；U n②差值法，即考察U n U n 1是否大于0；③由U n找出一个连续可导函数f(x)，使U n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若U n绝对收敛，则U n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|U n |发散，则U n必发散.n 1 n 1三、幕级数1.定义：a n x n称为幕级数.n 02.收敛性①阿贝尔定理：设幕级数a n X n在X0 0处收敛，则其在满足X I X0的所n 0xx 0有x 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n x n 在X 1处发散，则其在满足x X i n 0 的所有X 处发散. ②收敛半径（i ）定义：若幕级数在X X o 点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X o R 时，幕级数收敛；②当x X o R 时，幕级数发散；R称为幕级数的收敛半径•（ii ）求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件limn 0n或n lim 器丙I ，则当0 1 时，R 1 ;当10时，R ， 当I 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、 偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出 现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.（iii ）收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R，此时收敛域为（C.R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算（略） 4. 幕级数的性质a n 1a n①若幕级数的收敛半径R则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内连续.②若幕级数的收敛半径R 则和函数 S(x)a n X n 在收敛区间（R, R ）内可导,且可逐项求导，即S （x ）n \a n X )(a n Xna n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径R0，则和函数 S(x)na n X在收敛区间（R, R ）内可积,x且可逐项积分，即S （t ）dta n t n dt(x ( R, R))，收敛半径不nx / ，x ( n!出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数； 注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代 数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数 的和函数. ②数项级数求和nU n U k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.变.5.函数展开成幕级数①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数, f (X0) 、2(X X o )2!f (n 1)()- --(X X 0)(n 1}(n 1)!(n 1)!I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为为 f (x) f (X 0)f (X 0)(X X o )f(n 1)(-)(X X 0)(n 1)，记 R n (x)f (x)在X 。
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
高等数学（无穷级数判定方法总结）
⾼等数学（⽆穷级数判定⽅法总结）对于⽆穷级数判断收敛与发散的⽅法。
定义：对于⼀个级数他的前n项和如果n→+OO的极限存在就是收敛的，否则发散。
例⼦：1等⽐级数：公⽐|q| < 1收敛，否则发散。
性质：1满⾜相加相减性，其收敛性仍然满⾜相减相加。
2括号匹配后不该变收敛性质3如果级数收敛，那么n→+oo时，⼀般项An必须趋近于0.但这仅仅是充分条件，调和级数可以说明。
4柯西审敛原理（正项级数）⽐较⽅法：1求出部分和并判断其有界性（⽐较蠢⼀般不能⽤）2⽐较审敛法，说⽩了就是放缩法，证明收敛的时候找⼀个⽐他⼤的还收敛的，证明发散的时候就找⼀个⽐他⼩的还发散的。
（⽐较有技术含量的⽅法，注意放缩的⽅法和⽬的，已经形式，⾼中数学曾多次在放缩⽅法中⼤做⽂章，考察⼀些⽐较难的放缩思想）。
3关于P级数，所谓p级数就是这样的形式，1/(n^p)，如果p>1收敛，反之发散。
（p级数同样可以应⽤于分⼦分母的差，设分母－分⼦为p，判断⽅法与上述⼀致）4关于⽐较审敛法，还有⼀种极限形式，就是两个⽐值的极限，⽐如An/Bn的极限如果是⼀个>=0且不为正⽆穷⼤的常数，Bn收敛，An也收敛。
Bn发散，An也发散。
若为⽆穷⼤则只能判断发散。
（这⾥有⼀个⾮常重要的应⽤就是等价⽆穷⼩的应⽤，为1的常数让我可以⾃由的判断收敛还是发散。
附上⽐较不容易被发现的等价⽆穷⼩，Ln（x+1）~ x，1 - cosx = x*x/2，arctanx~x）；5⽐值审敛法。
这个也是极限形式的，容易与⽐较审敛法的第⼆种形式弄混，他的形式是这样的：An+1/An的极限ρ，如果<1收敛，=1不确定，>1发散。
（最常⽤于阶乘级数的判定）。
6根值审敛法。
这个要求强度不⼤，就是对⼀般项开n次⽅求极限得到的ρ，收敛判断⽅法与壁纸收敛法⼀样（当题⽬中有⽐较明显的n次⽅的时候可以尝试⼀下这种办法）7极限审敛法，感觉好冷门的判断⽅法，n*An的极限>0则原级数发散。
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无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和n 1数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .n2.性质①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；n 1n 1②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；n 1n 1n 1若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；n n 1③若u n发散，则n 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.n 1② 审敛法：（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1（ ii ）比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数， 且 u nv n (n1,2,L ) ，n 1n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u nkv n (k 0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u n kv n (k0) 成立，则①发散；B. 设u n 为正项级数，若有p 1 使得 u1 (n 1,2,L ) ，则u n收敛；若n 1nnpn1u n1u n 发散 .(n 1,2,L ) ，则nn 1C. 极限形式：设u n ①与v n ②都是正项级数，若 limu nl (0 l) ，则n 1n 1nv nu n 与v n 有相同的敛散性 .n 1n 1注：常用的比较级数：ar n 1ar 1 ；①几何级数：1 rn 1发散r11收敛p时② p 级数：1 ；n 1 n p发散 p1时③ 调和级数：1111 发散．1n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1①注：若lima n 1r1，则 a n 收敛；② lima n 1r 1，则a n 发散．na nn 1na nn 1an 1n11lim1，或 lim a n1 ，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1n n 1n 2nnliman 11， lim n an 1 ，但1 发散，而 1 收敛 .na nnn 1nn 1n 2（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设na n 是正项级数， lim an，若 1 ，n 1n级数收敛，若1则级数发散．（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级n n数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收n1n敛．（书上 P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n un 1且 lim u n0 ，n 1n则( 1)n 1 u n收敛.n 1注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察u n 1是否小于 1；u n②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛 .n 1n1②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.n1n1三、幂级数1.定义：a n x n称为幂级数.n 02.收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所n 0有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim an 1l ，n 0n a n或 lim n a n l，则当 0 l时， R1；当 l 0 时， R，n l当l时，R 0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为( , )；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续．( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．n 0n 0n 1③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0x xa n t n )dt x且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不00n 0n 00变．5.函数展开成幂级数①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )f (x 0 )2 f (n) ( x 0 )2! (x x 0 )( x x 0 )n!f (n1) ()( x x 0 )( n 1)，记 R n ( x) f (n1) ()x 0) ( n 1) ， 介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!(n 1)! ( xI 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n ( x) 0,x I .n②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)（ i ） e xx n , x (,) ；n 0 n!（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n 1 , x( ,) ；n 1(2n 1)!（ iii ） cos x( 1) nx 2n( ,) ；( 2n)! , xn 0（ iv ） ln(1 x)( 1) n x n 1( 1, 1] ；n 1, xn 0（ v ） (1 x)1(1) ( n 1) x n , x( 1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ）1xx n , x1 ；1 x( 1) n x n , x 1.1 n 01 n 06.级数求和①幂级数求和函数解题程序（ i ）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数， 求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数， 最后对和函数求代数和， 即得所求级数的和函数．②数项级数求和（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则u n s ，其中nn 1ns n u 1 u 2u nu k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k1推法．A. 直接法：适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a nlima n x n ，其中幂级数a n x n ，可通n 0x 1 n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a nlim s(x) ．n 0x 1四、傅里叶级数 1. 定义①定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则11a nf ( x) cos nxdx11b nf ( x) sin nxdx2 0, 1, 2 ) ，f (x) cosnxdx, (n 02 1, 2, ) ，f (x) sin nxdx,( n 0称为函数 f (x) 的傅立叶系数．②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x)～1a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [l , l ] 上可积，则以1l f (x) cosn xdx, (n 0, 1, 2 ) ，a nll l1lf (x) sinnxdx, (n 1, 2) 为系数的三角级数 b nll l1a 0( a n cosnx b n sinnx)称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为2n 1llf ( x)～ 1a 0(a n cosnx b n sin nx) ．2l ln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,] 上收敛，且有f x ), x 是 f x 的连续点 ；( ( )1[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],a 02 .( a n cos nx b n sin nx)2x 是 f x 的第一类间断点 ；n 1( )1[ f (0)f (0)], x23. 函数展开成傅氏级数①周期函数（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ aa n cos nxb n sin nx2n 11f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；a n注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n0, 1, 2, )n 1b n2f ( x)sin nxdx(n1, 2, ) ；②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～a 0a n cos nx (余弦级数 )，( )2n 1a n2f ( x)cos nxdx (n0,1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～aa nnn x)( )2 cosx + bn sinn 1l l1lnxdx(n0, 1, 2,1l n xdx(n 1, 2, ) ；a nf (x) cos) ， b nf (x) sinllllll注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sinn0 (n0,1, 2, )x (正弦级数 )， a nn 1l2 b nll 0f ( x)sin nxdx(n 1, 2, ) ；l②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～aa nn ( )cosx ， (余弦级数 )2n 1l2a nllf ( x)cos nxdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l②非周期函数（ i ）奇延拓：f ( x), 0 x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf ([, ] 上 为 奇 函 数 ， f ( x)～ b n sin nx ( 正 弦 级 数 ) ， b n2f (x)sin nxdxn 1(n1, 2, ) ；B.f (x), 0 x lf (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)f ( x), l，则 F (x) 除 x 0 外x 0在 [,] 上为奇函数，～n2f ( x)b n sin x (正弦级数)，b nn 1l l (n1, 2,) .lnf ( x)sin xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，f ( x),x0则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0a n cosnx (余2n 1弦级数 )，a n 20, 1, 2,) .f ( x)cos nxdx (nB. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则f ( x),l x0f ( x)～a0a n cosnx (余弦级数)，a n22n 1l llf ( x)cosnxdx (n 0,1, 2, ).l注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数知识点汇总
无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么 （i ）当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim >=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.常用度量： ①等比级数：∑∞=0n nq，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n nu，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断. （6）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛，在Rx x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n nn x x a在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x ∈(-∞, +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（1）在[-l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分： （1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin n nxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；； （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e ax ax +++=⎰)cos sin (1cos 22； （5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.。
无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n nu，称∑==ni kn us 1为前n 项部分和。
若存在常数 s,使n n s s ∞→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。
2.数项级数性质：1)∑∞=1n nCu=C∑∞=1n nu；2)若级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv收敛于σ,s ，则级数∑∞=±1n n nv u收敛于σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。
5）若级数∑∞=1n nu收敛，必有0lim =∞→n n u3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞=-11n n aq= +++++-12n aqaq aq a (0≠a )若,1<q 级数收敛，其和为qa-1，若,1≥q 级数发散。
2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++pp p n 131211（p>0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑∞=11n n发散。
4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞=1n nu为正项级数方法：1）比较审敛法：设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散。
2）比较审敛法的极限形式：若l v u nnn =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv 同时收敛或同时发散。
3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→nn n u u包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。
4根值审敛法：若ρ=∞→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。
（完整版）无穷级数总结
（完整版）⽆穷级数总结⽆穷级数总结⼀、概念与性质1. 定义：对数列12,,,n u u u L L ，1n n u ∞=∑称为⽆穷级数，n u 称为⼀般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响⼀个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①⼀个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②⼀个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常⽤判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成⽴．⼆、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法①定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.②审敛法：（i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）⽐较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=L ，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成⽴，则①收敛；若②发散，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成⽴，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=L ，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n ≥=L ，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常⽤的⽐较级数：①⼏何级数：∑∞=-??≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③调和级数：∑∞=++++=112111n nn ΛΛ发散．（iii ）⽐值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞n n a 发散．注：若1lim1=++∞→nn n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，⽽∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，⽽)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，⼀般不⽤⽐值法与根值法，⼀般会使⽤⽐较判别法．正项级数的⽐（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分⾮必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=L ，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：⽐较n u 与1+n u 的⼤⼩的⽅法有三种：①⽐值法，即考察nn u u 1+是否⼩于1；②差值法，即考察1+-n n u u 是否⼤于0；③由n u 找出⼀个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),(Λ==n n f u n 考察)(x f '是否⼩于0． 3.⼀般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若⽤⽐值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性①阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满⾜0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满⾜1x x >的所有x 处发散．②收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在⼀个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n n n x a 的收敛半径为R ，其系数满⾜条件l a a nn n =++∞→1lim，或l a nn n =+∞→lim，则当+∞<R 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的⽅法却有很⼤的差异．前⼀个可直接⽤公式，后⼀个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能⽤求半径的公式直接求，须⽤求函数项级数收敛性的⽅法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为⼀点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为⼀个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即??∑+∞===x xn dt t a dt t S 0)()(∑?+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n Λ)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈?=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ；（ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ；（iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ；（iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ；（v ）∑=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x αααααΛ；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从⽽得到新级数的和函数；注：系数为若⼲项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i ）利⽤级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121Λ．根据n s 的求法⼜可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适⽤于∑∞=1k ku为等差或等⽐数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除⾸尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅⾥叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅⽴叶系数．②定义2：以)(x f 的傅⽴叶系数为系数的三⾓级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ? -==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1Λπ， ?-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1Λπ为系数的三⾓级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x l n b x l n a a ππ称为)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为 ∑∞=++10)sin cos(21)(n n n x ln b x l n a a ～x f ππ． 2.收敛定理（狄⾥赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满⾜条件①除有限个第⼀类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(x f 的傅⽴叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第⼀类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅⽒级数①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos Λ=n nxdx ，1=),2,1(sin Λ=n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 2()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ll n x f la )(1),2,1,0(cos Λ=n xdx l n π，?-=l l n x f l b )(1),2,1(sin Λ=n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 02()sin l n n b f x xdx l l π=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n . ②⾮周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；B. )(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，则令?<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=?),2,1(Λ=n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，0()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n .B.)(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=?),2,1,0(Λ=n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄⽒条件．画图易于验证狄⽒条件，易看出奇偶性；②求出傅⽒系数；③写出傅⽒级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。
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特殊情况
n1
n1
(1)lim un 0, n vn
相当于 un vn
(2)lim n
un vn
, 相当于 un
vn
4 (D'Alembert)（比值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
un1 l un
则
(1) l 1（含0）时收敛
(2) l 1（含）时发散
注意:
1.比值 审敛法比较适合an及n!
n1 n1
n1
(2) 若 an 收敛 , bn发散， (an bn ) 肯定发散。
n1
n1
n1
性质 3 若级数 un 收敛(发散),则 un 也收
n1
n k 1
敛（发散）(k 1).且其逆命题也成立.
结论：在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 性质 4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
un(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) xI
n 1
❖收敛点与发散点
使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点; 使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点
收敛点的全体称为收敛域 发散点的全体称为发散域
提示: 对由于定每义一在个区确间定I上的的值函x0数I列 函{u数n(x项)}级所数构成成为的常表数达项式级数
注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1) 收敛
1111
发散
推论 如果加括号后所成的级数发散,则
原来级数也发散.
性质5 级数收敛的必要条件:
un收敛
lim
n
un
0.
n1
结论：当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零,
注意
1.（逆否命题）如果级数的一般项不趋于零,
n1
n1
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s an ,s bn ,
n1
n1
则级数 (an ±bn )收敛,其和为s ±s.
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
注意
(1) 若 an 及 bn 都发散 , (an bn ) 未必发散。
则级数发散;
lim
n
un
常用来证明级数发散
0
n1
un发散
例如
(1)n1
n
1 2 3 L (1)n1
n
L
n1
n1 2 3 4
n1
2.必要条件而非充分条件.
1 发散，但 lim 1 0
n1 n
n n
正项级数审敛法
若 un 0, 则称 un是正项 级数
n1
1. un(un 0)收敛 部分和数列有界
2.当l 1时，失效
5 Cauchy 判别法（根值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
n un ,
则
(1) 1（含0）时收敛 (2) 1（含）时发散
注意： 根值审敛法比较适合an
当 1时，失效
交错级数： 设un 0， (1)n1un 或 (1)nun
n1
n1
交错级数判别法（Leibniz 判别法) 若 (1)n1un 满足
i 1
敛散性：若
lim
n
Sn
S,
则称 un 收敛，且称S为其和
n1
记为 S un u1 u2 u3 un n1
若
lim
n
Sn极限不存在，则为发散
级数的基本性质(四则运算法则)
性质1 若级数 an 收敛 ,常数c 0 ,则级数 can 也收敛,
n1
n1
且 can c an 若 an 发散 , c 0 ,则 can 也发散。
❖函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 在收敛域上有sn(x)s(x)(n)
正项级数 ? 是
无法判断
否
否
绝对收敛 ?
否
比较法及极限形式
正项级数判别法
比值法,根值法 部分和数列有界
是
积分判别法
发散
是
lim an1 1 ?（补充定理）
a n n
(liman 0 )
否
交错级数?
是 Leibniz 法
否
否
是
lim Sn S ?
狄利克雷判别法，
收敛
阿贝尔判别法
❖函数项级数 函数项级数的概念
无穷由级其数构(成简的称和级的数表):达设式给定 u数n 列 u1u1
, u2 ,
u2 L
un
,
un
L
n1
常数项级数：若 un 常数
函数项级数：若 un为函数u（n x）
幂级数：若 un an xn ,或un an ( x x0 )n 形式
n
部分和数列： Sn ui u1 u2 un
定理（Dirichelet判别法） n
若
(1)
lim
n
an
0,且{an }单调；
(2)
{ bi }有界；
i 1
则 akbk收敛。
k 1
定理（Abel判别法）
若（1） an 为单调有界数列， (2)
则 akbk收敛。 k 1
bk收敛，
k 1
判断级数 an 的敛散性
n1
lim an 0 ? 是
n1
n1
结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛
注意:
| un | 收 敛 un 收 敛
n1
n1
| un | 发散 un发散
n1
n1
补充定理 如果任意项级数
un u1 u2 L un L
n1
满足条件
lim un1 l u n
n
当l 1时级数绝对收敛，当l 1时级数发散
uu11((xx0)u22(x)0)uu3(3x(x)0) unu(xn()x0)
称 这个为常定数义项在级区数间或I 上者的 收(敛函或数者项发)级散数 记为
un
(x)
n 1
❖函数项级数的和函数 在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x) 它称
为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成sn 0
(2) un un1
(3)
lim
n
un
0
则其收敛, 且和 s u1;
注意：此方法只能判别是否收敛，不能用于判断发散
绝对收敛： 若 un 收敛，则称 un绝对收敛
n1
n1
条件收敛：若
un 发散，
un收敛，则称 un条件收敛
n1
n1
n1
关系：
若 un 收敛, 则 un 收敛
n1
2.
比较判别法： un (un 0)、
vn ( n 0),
un vn ,
n1
n1
则
vn 收敛
un 收敛 un 发散 vn 发散
n1
n1
n1
n1
3.
比较法极限形式： un (un 0)、 vn ( n 0),
n1
n1
lim
n
un vn
l
则 0 l 时， un、 vn 具有相同的敛散性