高三解析几何习题答案解析

2013届高三数学章末综合测试题（16）解析几何

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．若直线l 与直线y ＝1、x ＝7分别交于点P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )

B ．－13

C ．－3

2

解析：设P 点坐标为(a,1)，Q 点坐标为(7，b )，则PQ 中点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ＋72，1＋

b 2，则

⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋7

2＝1，1＋b 2＝－1，

解得⎩⎨⎧

a ＝－5，

b ＝－3，

即可得P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜

率为k PQ ＝1＋3

－5－7

＝－13.

答案：B

2．若直线x ＋(a －2)y －a ＝0与直线ax ＋y －1＝0互相垂直，则a 的值为( ) A ．2 B ．1或2 C ．1

D ．0或1

解析：依题意，得(－a )×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1a －2＝－1，解得a ＝1.

答案：C

3．已知圆(x －1)2＋(y －33)2＝r 2(r ＞0)的一条切线y ＝kx ＋3与直线x ＝5的夹角为π

6，则半径r 的值

为( )

或332

或 3

解析：∵直线y ＝kx ＋3与x ＝5的夹角为π6，∴k ＝±3.由直线和圆相切的条件得r ＝32或33

2.

答案：C

4．顶点在原点、焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝x ＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－x ，或y 2＝5x B ．y 2＝－x C ．y 2＝x ，或y 2＝－5x

D ．y 2＝5x

解析：由题意，可知抛物线的焦点在x 轴上时应有两种形式，此时应设为y 2＝mx (m ≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m ＝－1，或m ＝5，从而选项A 正确．

答案：A

5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，若该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )

A ．10 6

B ．20 6

C ．30 6

D ．40 6

解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为

10，则四边形的面积为1

2

×46×10＝206，故应选B.

答案：B

6．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离

心率是( )

A ．3

B ．5

解析：焦点到准线的距离为c －a 2c ＝b 2

c ，焦点到渐近线的距离为

bc

a 2＋

b 2＝b ，b

c ＝2

3，e ＝ 3.

答案：C

7．若圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2

解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

答案：C

8．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点E (m,0)(m ≠0)的直线交抛物线于点M 、N ，交y 轴于点P ，若PM →＝λME →，PN →＝μNE →

，则λ＋μ＝( )

A ．1

B ．－12

C ．－1

D ．－2

解析：设过点E 的直线方程为y ＝k (x －m )．代入抛物线方程，整理可得k 2x 2＋(－2mk 2－2p )x ＋m 2k 2

＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2p ＋2mk 2

k 2

，x 1x 2＝m 2.

由⎩⎪⎨⎪⎧

PM →＝λME →，PN →＝μNE →，

可得

⎩⎨

⎧

x 1＝λ(m －x 1)，x 2

＝μ(m －x 2)，则λ＋μ＝x 1m －x 1＋x 2

m －x 2＝x 1(m －x 2)＋x 2(m －x 1)(m －x 1)(m －x 2)＝m (x 1＋x 2)－2x 1x 2m 2＋x 1x 2－m (x 1＋x 2)＝m (x 1＋x 2)－2m 22m 2－m (x 1＋x 2)

＝－1.

答案：C

9．直线MN 与双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、右支分别交于M 、N 点，与双曲线C 的右准线相交于P

点，F 为右焦点，若|FM |＝2|FN |，又NP →＝λPM →

(λ∈R )，则实数λ的值为( )

B ．1

C ．2

解析：如图所示，分别过点M 、N 作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A . 由双曲线的第二定义，可得==e ， 则==2.

∵△MPB ∽△NPA ，∴==，即=. 答案：A

10．在平面直角坐标系内，点P 到点A (1,0)，B (a,4)及到直线x ＝－1的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，那么a ＝( )

A ．1

B ．2

C ．2或－2

D ．1或－1

解析：依题意得，一方面，点P 应位于以点A (1,0)为焦点、直线x ＝－1为准线的抛物线y 2＝4x 上；另一方面，点P 应位于线段AB 的中垂线y －2＝－a －14⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －a ＋12上． 由于要使这样的点P 是唯一的，

因此要求方程组⎩⎨⎧

y 2＝4x ，

y －2＝－a －14⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －a ＋12有唯一的实数解．

结合选项进行检验即可．当a ＝1时，抛物线y 2＝4x 与线段AB 的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a ＝－1时，线段AB 的中垂线方程是y ＝1

2

x ＋2，易知方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝4x ，y ＝12x ＋2

有唯一实数解．

综上所述，a ＝1，或a ＝－1. 答案：D