易错汇总湖南省长沙市长郡中学高二第一学期数学期末试卷(文科)及解析
湖南省长沙市天心区长郡中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(原卷版)
长郡中学2019-2020学年度高二第一学期期末考试数学一､选择题(每小题3分,共45分)1.命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是( ) A. 若α≠4π，则tanα≠1 B. 若α=4π，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠4π D. 若tanα≠1，则α=4π 2.某单位有职工100人,30岁以下的有20人,30岁到40岁之间的有60人,40岁以上的有20人,今用分层抽样的方法从中抽取20人,则各年龄段分别抽取的人数为( )A. 2,8,10B. 4,12,4C. 8,8,4D. 6,7,73.设P 是椭圆22149x y +=上的点,若1F ,2F 是椭圆的两个焦点,则12||||PF PF +=( ) A. 4 B. 8C. 6D. 18 4.已知抛物线的标准方程2y ax =,则其焦点坐标为( )A. (,0)4aB. (0,)4a C. (,0)4a - D. (0,)4a - 5.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a =+ ，其中11b =，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元A. 60B. 63C. 65D. 69 6.二项式1022)x 展开式中的常数项是( ) A. 180 B. 90 C. 45 D. 3607.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种8.已知条件p ：4 6x -≤；条件q ：22(1)0 (0)x m m --≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A. [)21,+∞B. [)19,+∞C. [)9,+∞D. ()0,+∞ 9.若直线220x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A. 2215x y += B. 22145x y += C. 2215x y +=或22145x y += D. 以上答案都不对 10.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（ ）A. 42B. 83C. 24D. 4811.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( )A. 3B. 4C. 6D. 512.函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）A. ()1,1-B. ()1,-+∞C. (),1-∞-D. (),-∞+∞13.下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a∈R )的导函数y ＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )A. 13B. －23 C. 73 D. －13或5314.在区间()0,6中任取一个实数a ，使函数()()3,137,1x a x f x a x a x +⎧≤-⎪=⎨--+>-⎪⎩，在R 上是增函数的概率为（ ） A. 16 B. 13 C. 12 D. 2315.已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为33,则a 的值为( ) A. 31- B. 34 C. 43 D. 31+二､填空题(每小题3分,共15分)16.在复平面内,O 是原点,向量OA 对应的复数是2i +,若点A 关于实轴的对称点为B ,则向量OB 对应的复数是__________.17.若()2,1,3a x =，()1,2,9b y =-且//a b ，则xy =_________.18.椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}1,2,3,4,5m ∈，{}1,2,3,4,5,6,7n ∈，则满足题意的椭圆的个数为______.19.已知抛物线24y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)B ，则||||PB PF +的最小值为_____．20.已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-,其中m 为参数,且满足5m ≤.若对任意1x ∈[4,+∞),存在2x ∈(-∞,4],使得12()()g x f x =成立,则实数m 的取值范围为________.三､解答题 (每小题8分,共40分)21.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.22.如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====． (1)证明：DE ⊥平面PCD ；(2)求二面角A PD C --的余弦值．23.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．24.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率5e =，直线l 交椭圆于M 、N 两点． （1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果BMN∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 25.已知函数2()3,()91x f x e x g x x =+=-.（1）讨论函数()ln ()(,0)x a x bg x a R b φ=-∈>在(1,)+∞上的单调性；（2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.。
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)
长郡中学2022年下学期高二期末考试第I 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{}n a 中，若411a =，615a =，则{}n a 的公差为（）A.2-B.2C.3- D.3【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，则11311,515a d a d +=+=，解得2d =．故选：B ．2.如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，且αβ∥，则a 与b （）A.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.【详解】αβ∥，说明a 与b 无公共点，a ∴与b 可能平行也可能是异面直线．故选：D ．3.4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）A.43种B.34种C.34A 种D.2343C A 种【答案】A 【解析】【分析】由分步计数原理可得答案.【详解】4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则每位同学都有3种选择，所以共有43种不同的安排方法，故选：A4.10(1)x -的展开式的第6项的系数是A.610C - B.610C C.510C - D.510C 【答案】C 【解析】【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.【详解】由题得10110(1)(0,1,2,10)rrr r T C xr -+=-= ，令r=5,所以5555561010T C xC x ==-（-1)，所以10(1)x -的展开式的第6项的系数是510C -.故选C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ；等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11441,28a b b a ====，则55S T +=（）A.22B.34C.46D.50【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，解出d 和q ，再求出5S 和5T ，即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为11441,28a b b a ====，4113413134,8n a d d a b q b q -+=+===== 解得：d =1，q =2.则5234151234515S a a a a a =++++=++++=，52341512481631b b b b b T =++++=++++=，所以55S T +=15+31=46.故选：C【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．6.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A.12B.736C.1148D.16【答案】C 【解析】【分析】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，再利用全概率公式求解即可.【详解】记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，则有()112P A =，()()2314P A P A ==，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，记第二次抽到3号球的事件为B ，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A ==⎡⎤==⋅=⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∑．故选:C ．7.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，F 是椭圆E 的焦点.若椭圆E 上存在点P ，使OFP △是等边三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.4-C.1D.32【答案】C 【解析】【分析】设点P 为椭圆E 上位于第一象限内的点，设1F 为椭圆E 的左焦点，计算出PF 、1PF ，利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆E 的离心率.【详解】设点P 为椭圆E 上位于第一象限内的点，设1F 为椭圆E 的左焦点，因为OFP △是等边三角形，则PF OF OP c ===，60POF ∠= ，1OP OF c == ，所以，1130OPF OF P ∠=∠= ，1190FPF OPF OPF ∴∠=∠+∠= ，所以，1PF ==，由椭圆的定义可得)121a PF PF c =+=，因此，椭圆E 的离心率为1c e a ===.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8.设ln 3a =，2b =，3c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a b c >>B.b c a >>C.c a b >>D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】利用函数()2ln xf x x=在()0,e 上的单调性可得到b 、c 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()2ln x f x x =，其中0x >，则()()221ln x f x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，因为0e <<<，则ff <<23<，所以，b c <，因为5832432562=<=，故5ln 38ln 2<，即8ln 3ln 225<<，即a b <，因此，c b a >>.故选：D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知曲线C ：22142x y m m+=-+，则（）A.2m =时，则C 的焦点是(1F ，(20,FB.当6m =时，则C 的渐近线方程为2y x =±C.当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D.存在m ，使C 表示圆【答案】ABD 【解析】【分析】AB 选项，代入m 的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C 选项，要想使曲线C 表示双曲线要满足()()420m m -+<；D 选项，求出曲线C 表示圆时m 的值.【详解】当2m =时，曲线C ：22124x y +=，是焦点在y 轴上的椭圆，且2422c =-=，所以交点坐标为(1F ，(20,F ，A 正确；当6m =时，曲线C ：22182-=y x ，是焦点在在y 轴上的双曲线，则C的渐近线为2y x =±，B 正确；当C 表示双曲线时，要满足：()()420m m -+<，解得：4m >或2m <-，C 错误；当42m m -=+，即1m =时，223x y +=，表示圆，D 正确故选：ABD10.设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A.l 与C 可能相离B.l 不可能将C 的周长平分C.当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D.l 被C 截得的最短弦长为4【答案】BD 【解析】【分析】求出直线l 所过定点的坐标，可判断A 选项的正误；假设假设法可判断B 选项的正误；利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为=C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为1d =≤，所以，直线l 被C 截得的弦长为4≥，D 选项正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12AB x =-.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是（）A.DP ∥面AB 1D 1B.三棱锥A ﹣D 1PC 的体积为112C.平面PB 1D 与平面ACD 1所成二面角为90°D.异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是[,32ππ【答案】ACD 【解析】【分析】A 利用面面平行的性质证//DP 面11AB D ；B 应用等体积法，根据特殊点：P 与B 重合时求1A D PC -的体积；C 先证明1DB ⊥面1ACD ，再利用面面垂直的判定定理证面1PB D ⊥面1ACD 即可；D 由11//AD BC ，根据P 在线段1BC 的位置，即可确定异面直线1A P 与1AD 所成角的范围.【详解】A ：连接DB ，1DC ，1AB ，11D B ，由于1111//,//BC AD DB D B ，由面面平行的判定定理，可证明面11//AB D 面1BDC ，又DP ⊂面1BDC ，所以//DP 面11AB D，正确；B ：11A D PC C AD P V V --=，因为C 到面1AD P 的距离不变，且△1AD P 的面积不变，所以三棱锥1C AD P -的体积不变，当P 与B 重合时得11111111326C AD B D ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=，错误；C ：由三垂线定理，可证明111,DB AC DB AD ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得1DB ⊥面1ACD ，又1DB ⊂面1PB D ，则面1PB D ⊥面1ACD ，正确；D ：由11//AD BC ，异面直线1A P 与1AD 所成角即为1A P 与1BC 所成角，又11A BC V 为等边三角形，当P 与线段1BC 的两端点重合时，1A P 与1AD 所成角取最小值3π，当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值2π，故1A P 与1AD 所成角的范围,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，正确.故选：ACD ．12.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（）A.若O 为线段PQ 中点，则2PF =B.若4PF =，则5OP =C.存在直线l ，使得PF QF ⊥D.PFQ △面积的最小值为2【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，求出P 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF ，即可判断；对于B ，根据抛物线的定义求出P 点的横坐标，再求出OP ，即可判断，对于C ，()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，判断0FP QF ⋅= 是否有解，即可判断；对于D ，根据12P Q PFQ S OF y y =⋅⋅- ，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线24y x =的准线为=1x -，焦点()1,0F ，若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF =，则413P x =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =- ，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a ay =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥ ，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号，所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确.故选：AD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.圆221:210240C x y x y +-+-=与圆222:2280C x y x y +++-=的公共弦所在直线的方程为________．【答案】240x y -+=【解析】【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果.【详解】联立两圆的方程得22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，两式相减并化简，得240x y -+=，所以两圆公共弦所在直线的方程为240x y -+=．故答案为：240x y -+=.14.函数()1e xf x x=+在其图象上的点()1,e 1+处的切线方程为________．【答案】()e 12y x =-+【解析】【分析】对()1e xf x x =+求导，求出()1e 1f '=-，再由点斜式方程即可得出答案.【详解】()21e xf x x='-，()1e 1f ∴'=-，又 切点为()1,e 1+，切线斜率()1e 1k f '==-，即切线方程为()()()e 1e 11y x -+=--，即()e 12y x =-+．故答案为：()e 12y x =-+.15.已知()5543254321021x a x a x a x a x a x a -=+++++，则015a a a +++= ________．【答案】243【解析】【分析】利用赋值法，根据方程思想，可得答案.【详解】令1x =，得5432101a a a a a a +++++=，①令=1x -，得543210243a a a a a a -+-+-+=-，②②+①，得()4202242a a a ++=-，即420121a a a +=-+．①-②，得()5312244a a a ++=，即531122a a a ++=．所以015122121243a a a +++=+= ．故答案为：243.16.已知甲、乙两人的投篮命中率都为()01p p <<，丙的投篮命中率为1p -，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为______．【答案】2327【解析】【分析】利用对立事件概率公式可求得()()211P A p p =--，利用导数可求得()P A 的最小值.【详解】设事件A 为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则()()21P A p p =-，()()211P A p p ∴=--，设()()211f p p p =--，01p <<，则()()()()()2121311f p p p p p p '=--+-=---，∴当103p <<时，()0f p '<；当113p <<时，()0f p '>；()f p ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 11423133927f p f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为2327.故答案为：2327.【点睛】思路点睛：利用相互独立事件求复杂事件概率的求解思路为：（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；（2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件；（3）代入概率的积、和公式求解．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）17.已知22nx ⎛+ ⎝的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.（1）求展开式中第三项系数；（2）求出展开式中所有有理项(即x 的指数为整数的项).【答案】（1）240；（2）1264x ，5160x ，2x -.【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质可知n ＝6，求出展开式通项1r T +，令r ＝2可求第三项系数；（2）根据展开式通项，当r ＝0，3，6时为有理项，代入计算即可.【小问1详解】由题可知，6n =，则二项展开式通项为()171262633166C 2C 2rr r r r r r T x x x ----+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，展开式中第三项系数为：2626C 2240-⋅=；【小问2详解】展开式中有理项为0,3,6r =时，即060121216C 264T x x -=⋅⋅=，3635546C 2160T x x -=⋅⋅=，6662762C 2x x T ---=⋅=.18.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+（2）()12122n n S n +=-⋅+【解析】【分析】（1）根据递推关系计算，并结合等差数列猜想求解即可；（2）结合（1）得()2212n n n a n ⋅=+⋅，进而根据错位相减法求解即可.【小问1详解】解：因为数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-，所以，2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，所以，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．【小问2详解】解：由（1）知21n a n =+，代入134n n a a n +=-检验知其满足，所以，21n a n =+，()2212n nn a n ⋅=+⋅，所以，()()231325272212212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①()()23412325272212212n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得，()()23162222212n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()()2112126221212n n n -+⨯-=+⨯-+⋅-()11222n n +=-⋅-，所以，()12122n n S n +=-⋅+．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 菱形，11B C A B ⊥．（1）证明：111AC B C ⊥；（2）设D 为BC 的中点，CA CB =，记二面角1D AB C --为θ，求cos θ的值．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】(1)连接1BC ,利用菱形的性质可得11BC B C ⊥,利用线面垂直的判定定理可得1B C ⊥平面11A BC ,即可证明结论;(2)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面1AB D 和平面1AB C 的法向量,由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】证明：如图，连接BC 1，因为侧面BCC 1B 1是菱形，则BC 1⊥B 1C ，因为111111,,,B C A B A B BC B A B BC ⊥⋂=⊂平面11A BC ,则1B C ⊥平面11A BC ,因为11AC ⊂平面11ABC ,所以111B C AC ⊥;【小问2详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中,1AC CC ⊥,而11//AC A C ，由(1)可得,1B C AC ⊥,又11B C CC C ⋂=,11,B C CC ⊂平面11BCC B ，则AC ⊥平面11BCC B ,故以点C 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设2AC =,则1(1,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,0)D A B C ,所以11(1,2,0),(1,0,2),(0,2,0),(2,0,2)DA DB CA CB =-=== ,设平面1AB D 的法向量为(,,)n x y z =,则12020n DA x y n DB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2x =,则1,1y z ==-,故(2,1,1)n =- ,设平面1AB C 的法向量为(,,)m a b c =,则120220m CA b m CB a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1a =,则1c =-,故(1,0,1)m =- ,所以||3|cos ,|||2m n m n m n ⋅<>== ‖,因为二面角1D AB C --为θ，故cos θ的值为32.20.选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为12．（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？【答案】（1）甲、乙比赛甲获胜的概率81125，甲、丙比赛甲获胜的概率12；（2）甲、乙比赛，甲获胜的概率0.68256，甲、丙比赛，甲获胜的概率0.5；答案见解析．【解析】【分析】（1）分甲获胜的可能分2:0、2:1两种情况分计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得解；（2）分甲获胜的可能有3:0、3:1或3:2三种情况，分别计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得出结论.【详解】（1）采用3局2胜制，甲获胜的可能分2:0，2:1，因为每局的比赛结果相互独立，所以甲、乙比赛甲获胜的概率21123332815555125P C ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，甲、丙比赛甲获胜的概率21221111122222P C ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭；（2）采用5局3胜制，甲获胜的情况有3:0、3:1或3:2，甲、乙比赛，甲获胜的概率333222334332320.6825655555P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，甲、丙比赛，甲获胜的概率333222434111110.522222P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为130.648P P =<，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利，24P P =，所以甲、丙比赛，采用5局3胜制还是3局2胜制，甲获胜的概率都一样，这说明比赛局数越多对实力较强者有利．【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.21.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线方程是255y x =±，点()0,A b ，且12AF F △的面积为6．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）直线():0,0l y kx m k m =+≠≠与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若AP AQ =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22154x y -=（2）92m <-或809m <<．【解析】【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线,,a b c 的关系，列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由AP AQ =知，AD PQ⊥列出不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意得255b a =，①121262A F F S b c =⨯⨯=△，②222+=a b c ，③由①②③可得25a =，24b =，∴双曲线C 的标准方程是22154x y -=．【小问2详解】由题意知直线l 不过点A ．设()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点为()00,D x y ，连接AD将y kx m =+与22154x y -=联立，消去y ，整理得()22245105200k x kmx m ----=，由2450k -≠且0∆>，得()22245080540k m k ⎧-≠⎪⎨-+>⎪⎩，④1221045km x x k ∴+=-，212252045m x x k +=--，12025245x x k k x m +==-∴，002445m y kx m k=+=-．由AP AQ =知，AD PQ ⊥，又()0,2A ，2002422145545AD m y k k x k k k m ----∴===-，化简得21089k m =-，⑤由④⑤，得92m <-或0m >．由210890k m =->，得89m <．综上，实数m 的取值范围是92m <-或809m <<．22.已知函数()()ln 10ax f x x xx -+=>．（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下证明:对任意*n ∈N ，都有()1111ln 123n n ++++>+ ；（3）设()()21e x g x x =-，讨论函数()()()F x f x g x =-的零点个数．【答案】（1）[)1,+∞（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由题知1ln x a x +≥在()0,∞+上恒成立，进而构造函数()1ln x h x x +=并求最大值即可得答案；（2）结合（1）得当1a =时，ln 1x x <-在1x >时恒成立，令1n x n +=得11ln n n n +<，再根据对数运算即可得答案.（3）由题知()211e ln x a x x x +=--，进而构造函数()()2n 11e l x t x x x x +=--，研究其性质，进而求解即可.【小问1详解】解：由()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，可得1ln x a x+≥在()0,∞+上恒成立，令()1ln x h x x +=，则()2ln x h x x '=-，当()0,1x ∈，()0h x '>，函数单调递增；当()1,x ∈+∞，()0h x '<，函数单调递减，故()h x 在1x =处取得极大值，也即最大值()11h =，要使得1ln x a x+≥，则1a ≥，所以，a 的取值范围为[)1,+∞．【小问2详解】解：由（1）当1a =时，1ln 1x x +≤，即ln 1x x <-在1x >时恒成立，令1n x n +=，*n ∈N ，则111ln 1n n n n n ++<-=，所以23111ln ln ln 1122n n n ++++<+++ ，所以，()1111ln 123n n ++++>+ ．【小问3详解】解：由()()f x g x =可得，()21e ln 1x x a x x+-=-，即()211e ln x a x x x +=--，令()()2n 11e l x t x x x x +=--，则()()22l 1e n x t x x xx '=---，当()0,1x ∈时，()0t x '>，函数单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0t x '<函数单调递减，所以，当1x =时，()t x 取得最大值()11t =，因为12e 111e 0e e t ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()e 2e 201e e 1e e ln e e 1e 2e t =-+=--<-，且当x 趋近于0时，()t x 趋近于-∞，当x 趋近于+∞时，()t x 趋近于-∞，所以，当1a =时，()()f x g x =只有一个根，即()F x 只有一个零点，当1a <时，方程()()f x g x =有且仅有2个根，即()F x 有且仅有2个零点，当1a >时，()()f x g x =没有根，即()F x 没有零点【点睛】方法点睛：本题第二问解题的常用方法是结合导数证明不等式，进而根据不等式，构造数列不等式，进而结合对数运算求和即可证明；第三问解题的方法为将已知问题转化为函数()()2n 11e l x t x x x x +=--与直线y a =的交点个数问题，进而研究()t x 性质即可.。
2021-2022学年湖南省高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年湖南省高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.若，则的最小值为( )A. B. C. D. 53.已知向量，，则( )A. B. 10 C. 5 D. 254.已知直线：与：垂直，则m与n的等比中项为( )A. B. C. D.5.已知双曲线的渐近线与圆相切，则( )A. B. 5 C. D.6.若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为( )A. B. C. D.7.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数假设每人的得票数各不相同排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放( )A. 4000元B. 4500元C. 4800元D. 5000元8.在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是( )A. 椭圆与双曲线有相同的焦点B. 设A，B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线C. 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D. 动圆P过定点且与定直线l：相切，则圆心P的轨迹方程是10.如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点，，，则( )A.B. 平面ABCDC.D. 三棱锥外接球的表面积是11.已知为曲线上一动点，则( )A. 的最小值为B. 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C. P 到直线距离的最小值小于D. 的最小值为612.设和分别为数列和的前n项和．已知，，则( )A. 是等比数列B. 是递减数列C.D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若复数z满足，则z的虚部为__________.14.过圆柱的轴作截面，得到一个边长为2的正方形，则该圆柱的表面积是__________.15.已知函数的图象关于直线对称，则m的最大值为__________.16.数列满足，前12项的和为298，则__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学上学期期末考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是A.若a b ≤，则22a b ≤B.若a b >，则22a b ≤C. 若22a b ≤，则 a b ≤D. 若22a b ≤，则 a b >2.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实数根”时，要做的假设时A. 方程30x ax b ++=没有一个实数根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实数根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实数根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实数根 3.双曲线2213x y -=的焦点坐标为 A.()3,0 B. ()2,0± C. (0,3 D. ()0,2±4.已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率为 A.23 B. 12 C. 13 D.165.设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x =A. 2eB. eC. ln 22D.ln 2 6.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为A. 85,84B. 84,85C. 86,84D. 84,867.如图，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 2R 的概率为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 128.已知a 是函数()312f x x x =-的极小值点，则a =A. 4-B. 2-C. 2D. 49.对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据()(),1,2,3,,8i i x y i =，其回归直线方程是1ˆˆ3y x a =+，且()12812826x x x y y y +++=+++=，则实数ˆa 的值是 A. 12 B. 14 C. 18 D.11610.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 A.(7,14± B. (14,14± C.(7,214± D.(7,214-±11.若函数()321f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是 A. 2a = B. 3a ≥ C. 3a ≤ D.03a <<12.已知有相同焦点12,F F 的椭圆2215x y +=和双曲线2213x y -=，P 是它们的一个交点，则12PF F ∆的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形13.若命题“2,20x R ax ax ∀∈--≤”是真命题，则实数a 的取值范围是A. []8,0-B. (]8,0-C. [)8,0-D.()8,0-14.设()(),f x g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x '⋅-⋅<，则当a x b <<时，有A. ()()()()f x g x f b g b ⋅>⋅B. ()()()()f x g a f a g x ⋅>⋅C. ()()()()f x g b f b g x ⋅>⋅D. ()()()()f x g x f a g a ⋅>⋅15.已知抛物线2:4C y x =的焦为F,直线1y x =-与C 交于A,B 两点，与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的渐近线相交于M,N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 的离心率为 A.632 C. 1533 第Ⅱ卷（非选择题 共55分）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16.已知i 是虚数单位，则31i i+=-为 . 17.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如下边程序框图所示，则32⊗= .18.将全体正整数排成一个三角形数表：根据以上排列规律，数阵中第10行从左到右的第3个数为 .19.曲线C 的方程为22221x y m n+=，其中,m n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A 为“方程22221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么事件A 发生的概率()P A = .20.在平面直角坐标系xoy 中，已知点P 是函数()()0x f x e x =>图象上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.（本题满分8分）已知曲线C 的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2.ρθ=（1）将C 测参数方程化为普通方程；（2）直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求AB 的长度.22.（本题满分8分）设:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，:q 实数x 满足30.2x x -≤- （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.23.（本题满分8分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为了调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300为学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少为女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[](](](](][]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成下列每周体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.”24.（本题满分8分）在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((0,3,3-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C,直线1y kx =+与C 交于A,B 两点.（1）写出C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求k 的值.25.（本题满分8分）已知函数()1xx e f x xe =+ （1）求()f x 的最大值；（2）当0x >时，()211f x ax >+，求正实数a 的取值范围.。
【全国百强名校】长郡中学高二期末考试试卷-数学(附答案)
产线中随机抽取%个产品"再从这%个产品中随机抽取#个产品记录 有关数据"求这#个产品中恰有一个一等品的概率!
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湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024—2025第一次阶段性检测数学时量：120分钟 满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（ ）C.3D.52.无论为何值，直线过定点（ ）A. B. C. D.3.在平行四边形中，，，，则点的坐标为（ ）A. B. C. D.4.已知，则（ ）A. B.C. D.5.直线关于对称的直线方程为（）A. B. C. D.6.已知椭圆：，则（ ）A. B.C.8或2D.87.已知实数满足，则的范围是（ ）A. B. C. D.8.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为点的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ ）A. B. C. D.3i1iz +=+z =λ()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-()2,2--()1,1--()1,1-ABCD ()1,2,3A -()4,5,6B -()0,1,2C D ()5,6,1--()5,8,5-()5,6,1-()5,8,5--π1sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭79-7929-292410x y --=0x y +=4210x y ++=4210x y +-=4210x y --=4210x y -+=C ()22104x y m m +=>m =,x y ()22203y x x x =-+ (4)1y x ++[]2,6(][),26,-∞+∞ 92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭()5,0M l P 4PM =()5,0M ()5,0M 3y x =-2y =430x y -=210x y -+=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，圆：，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）A.若圆关于直线对称，则B.点到直线C.存在两个不同的实数，使得直线与圆相切D.存在两个不同的实数，使得圆上恰有三个点到直线的距离为10.已知圆：与圆：的一个交点为，动点的轨迹是曲线，则下列说法正确的是（ ）A.曲线的方程为B.曲线的方程为C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为D.曲线上的点到直线11.在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）A.与B.过，，三点的正方体的截面面积为3C.当在线段上运动时，的最小值为3D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.通过科学研究发现：地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放的能量分别为，，则______.13.直线的倾斜角的取值范围是______l 20x y λλ+--=C 221x y +=O C l 2λ=-O l λl C λC l 121F ()()222328x y m m ++=……2F ()()222310x y m -+=-M M C C 22110064x y +=C 2212516x y +=1F x C 325C 4510x ++=ABCD A B C D '-'''M BC AM D B ''A M D 'ABCD A B C D '-'''P A C 'PB PM '+Q B C C B ''EF A C 'QE QF +lg 4.8 1.5E M =+1E 2E 12E E =()243410ax ay +-+=14.如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知两圆和.求：（1）m 取何值时两圆外切？（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.16.（15分）在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.17.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，，，点为的中点，点为棱上的动点.（1）求证：平面；（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.18.（17分）某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.1F 2F ()222210x y a b a b+=>>12F F 2PF Q 222PF F Q =1PF 222610x y x y +---=2210120x y x y m +--+=45m =A B C △()()cos 2cos 2cos A C b c a B -=-sin sin CA1cos 4B =2b =A BC △P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCDAB AD ⊥B C A D ∥4BC =M PC E BC DM ∥PAB E PDE ADE 23BE（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：19.（17分）已知动直线与椭圆：交于，两点，且的面积为坐标原点.（1）证明：和均为定值；（2）设线段的中点为，求的最大值；（3）椭圆上是否存在三点D ，E ，G，，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.[)70,90[)70,80[)80,90m x 21s n y 22s w 2s ()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+l C 22132x y +=()11,P x y ()22,Q x y OPQ △OPQ S △O 2212x x +2212y y +P Q M OM PQ ⋅C ODE ODG OEG S S S ===△△△D E G △长沙市第一中学2024—2025学年度高二第一学期第一次阶段性检测数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案BAAACCADABDBCDAC1.B 【解析】∵，∴. .故选B.2.A 【解析】由得：，由得∴直线恒过定点.故选A.3.A【解析】设，则，，得.故选A.4.A 【解析】，又，所以.故选A.5.C 【解析】取直线关于对称的直线上任意一点，易知点关于直线对称的点的坐标为，由点在直线上可知，即.故选C.6.C 【解析】椭圆：的离心率为，，解得或.故选C.7.A 【解析】表示函数图象上的点与的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别在与（相切时）处取最大值和最小值，()()()()23i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 2z +-+-+-====-++-z ==()()()234210x y λλλ++++-=()()223420x y x y λ++++-=220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩2,2,x y =-⎧⎨=⎩()()()234210x y λλλ++++-=()2,2-(),,D x y z ()5,7,3AB =- (),1,2DC x y z =---()5,6,1D --22πππ17cos 2cos 212sin 1233399ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2π22π33αα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭π2π2π7cos 2cos 2πcos 23339ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2410x y --=0x y +=()00,P x y P 0x y +=()00,Q y x --Q 2410x y --=002410y x -+-=004210x y --=C ()22104x y m m +=>==8m =2m =41y x ++()22203y x x x =-+……()1,4--()0,2()2,2所以的范围是.故选A.8.D 【解析】根据题意，当点到直线的距离时，该直线上存在点使得，此时直线为点的“相关直线”，对于A ，，即，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于B ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于C ，，点到直线的距离，该直线是点的“相关直线”；对于D，，点到直线的距离，该直线不是点的“相关直线”.故选D.9.ABD 【解析】直线：过定点，圆：，圆心，半径，对选项A ：直线过圆心，则，解得，故选项A 正确；对选项B ：点O 到直线l的距离的最大值为B 正确；对选项C ：直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故选项C 错误；对选项D ：当圆上恰有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离，解得，故选项D 正确.故选ABD.10.BCD 【解析】对A 选项与B 选项，由题意知圆与圆交于点，则，，所以，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，，所以，所以曲线的方程为，故A 选项错误，B 选项正确；41y x ++[]2,6M l 4d …P 4PM =l()5,0M 30y x =-=30x y --=M l 4d <()5,0M 2y =M l 0224d =-=<()5,0M 430x y -=M l 4d ==()5,0M 210x y -+=M l 4d ()5,0M l 20x y λλ+--=()2,1P C 221x y +=()0,0C 1r =20λ--=2λ=-PC =l C 1d 34λ=-C l 12C l 12d λ=1F 2F M 1MF m =210MF m =-1212106MF MF F F +=>=M x 210a =26c =5a =3c =4b =C 2212516x y +=对C 选项，通径的长度为，故C 选项正确；对D 选项，设与直线平行的直线为，，将与联立得，令，解得，此时直线与椭圆相切，当时，切点到直线的距离最大，直线的方程为，故曲线上的点到直线D 选项正确.故选BCD.11.AC 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴与A 正确；取的中点，连接，，，则，故梯形为过点，，的该正方体的截面，∵，，∴梯形，1632255⨯=4510x ++=l 40x t ++=51t ≠40x t ++=2212516x y +=221004000y t ++-=()22Δ3004004000tt =--=40t =±l 40t =-4510x ++=l 4400x +-=C 4510x ++=A 'A D ''A B ''A A '()0,0,2A ()1,2,2M ()2,0,0D '()0,2,0B '()2,2,0C '()1,2,0AM = ()2,2,0DB''=-cos ,AM D B AM D B AM D B '⋅'''''⋅==AM D B ''C C 'N M N D N 'AD 'M N BC AD ''∥∥M N D A 'A M D 'MN AD '=AM D N ='=M N D A '=∴梯形的面积为，故B 错误；由对称性可知，，故，又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C 正确，设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，最小，过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，D 错误.故选AC.三、填空题12.1000 【解析】由题知，.13. 【解析】设直线的倾斜角为，当时，直线为，；当时，，当且仅当时取等号， ∴；当时，，当且仅当时取等号， ∴，综上可得.14.【解析】连接，，由点在以为直径的圆上，故.M N D A '1922⨯+=PB PD '='PB PM PD PM '++'=A 'B C D '3PB PM PD PM D M +=+'''=…P A C 'D M 'F B C C B ''F 'EF 'EF 'B C C B ''Q QE QF QE QF +=+'E AD 'F AB G 13EG AD =='2G F '=EF =='11112222lg 4.8 1.59,lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()243410a x ay +-+=α0α=310x +=π2α=0α>2433tan 44a k a a a α+===+= (3)4a a =ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭0α<24333tan 444a k a a a a a α+⎛⎫===+=--+-= ⎪-⎝⎭ (3)4a a -=-π2π,23α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦π2π,33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦121PF 1QF P 12F F 12PF PF ⊥又，在椭圆上，故有，.设，则，，，.在中，由勾股定理得，解得，于是，，故.四、解答题15.【解析】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，，则圆心分别为，，，解得.（2）当，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，圆心到直线的距离，所以公共弦长.16.【解析】（1）由正弦定理得，所以，所以，化简得，又，所以，因此.（2）由，得，由余弦定理及，又，得，解得，从而.又因为，且，所以.P Q 122PF PF a +=122QF QF a +=2QF m =22PF m =122PF a m =-12QF a m =-3PQ m =1Rt PQF △()()()2223222m a m a m +-=-3a m =223a PF =143a PF =1121tan 2PF k PF F ∠==()()221311x y -+-=()()()22566161x y m m -+-=-<()1,3M ()5,6N =+25m =+45m =4=44<<+()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=43230x y +-=()1,3M 43230x y +-=2d l ==()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-cos sin sin cos 2cos sin 2sin cos A B A B C B C B +=+()()sin 2sin A B B C +=+πA B C ++=sin 2sin C A =sin 2sin CA=sin 2sin C A =2c a =2222cos b a c ac B =+-1cos 4B =2b =22214444a a a =+-⨯1a =2c =1cos 4B =0πB <<sin B =因此.17.【解析】（1）因为平面，，平面，所以，，又，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，，，，因为点为中点，所以，，又，，所以，所以，，为共面向量，则在平面内存在直线与平面外的直线平行，所以平面.（2）设，，，，依题意可知，平面的法向量为，设平面的法向量为，则令，则.因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得或，所以存在点使得平面与平面所成角的余弦值为，或.18.【解析】（1）由题意得：，解得，11sin 1222ABC S ac B ==⨯⨯=△PA ⊥ABCD A D AB ⊂ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB A D A AB x A D y AP z ()0,0,2P ()2,0,0B ()0,2,0D ()2,4,0C M PC ()1,2,1M ()1,0,1DM =()0,0,2AP = ()2,0,0AB =1122DM AP AB =+ DM ,AP A BPAB l PAB DM DM ∥PAB ()2,,0E a 04a ……()0,2,2DP =- ()2,2,0DE a =-ADE ()0,0,2AP =PDE (),,n x y z =()220,220,DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ PDE ADE 232cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=1a =3a =E PDE ADE 231BE =3BE =()100.010.0150.020.0251t ⨯++++=0.03t =设第60百分位数为，则，解得，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，，在的有人，设为a ，b ，c .则样本空间为，.设事件“两人分别来自和”，则，，因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题得：①；②略19.【解析】（1）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，，因为在椭圆上，所以，①又因为，所以由①②得，，此时，.（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意知，将其代入得，其中，即，（*）又，，所以，x ()0.01100.015100.02100.03800.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=85x =[)70,8085220⨯=A B [)80,90125320⨯=()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c =()Ω10n =M =[)70,80[)80,90()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b A c B a B b B c =()6n M=()()()63Ω105n M P M n ===[)70,80[)80,9035mx ny m n w x y m n m n m n+==++++l P Q x 21x x =21y y =-()11,P x y 2211132x y +=OPQ S =△11x y ⋅=1x =11y =22123x x +=22122y y +=l l y kx m =+0m ≠22132x y +=()()222236320k x kmx m +++-=()()2222Δ36122320k m k m =-+->2232k m +>122623km x x k +=-+()21223223m x x k -=+PQ ==因为点到直线的距离为，所以又，整理得，且符合（*）式，此时，，综上所述，，，结论成立。
湖南省长沙市长郡中学2020至2021学年高二上学期期末数学试卷文科
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）A．B．C．D．4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（y i﹣）2如下表：a b c d散点图残差平方和115 106 124 103哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）A．a B．b C．c D．d5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若2a=16，则△ABF2的周长是（）A．32 B．36 C．42 D．527．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，539．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．95% B．99% C．97.5% D．90%11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．y=2x﹣2 B．y=（）x C．y=log2x D．y=（x2﹣1）12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．13．（3分）设函数f n（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f n（x）在[0，1]上的最大值为（）A．0B．1C．（1﹣）n D．4（）n+214．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）15．（3分）定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）﹣log4x]=5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为．18．（3分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．20．（3分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（）+f（）=．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．（1）求出最大频率；（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）试用含有p的式子表示q；（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z==，∴复平面内表示复数z=的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（3分）命题p：•＜0，命题q：∠BAC是钝角．p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量数量积的应用进行判断即可．解答：解：若•＜0，即||•||cos∠BAC＜0，即﹣1≤cos∠BAC＜0，则＜∠BAC≤π，则∠BAC是钝角不一定成立，反之若∠BAC是钝角，则cos∠BAC＜0，即•=||•||cos∠BAC＜0，则•＜0成立，即p是q的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的定义是解决本题的关键．3．（3分）在如图所示的四个图示中，是结构图的是（）A．B．C．D．考点：结构图．专题：算法和程序框图．分析：根据结构图的定义，对四个框图进行判断即可得到结论．解答：解：A中，，是流程图；B中，，是知识结构图；C中，，是直方图，D中，，是韦恩图，故选：B点评：本题考查了结构图的分析与判断问题，是基础题目．4．（3分）a，b，c，d四位同学各自对甲、乙两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和（y i﹣）2如下表：a b c d散点图残差平方和115 106 124 103哪位同学的实验结果体现拟合甲、乙两变量关系的模型拟合精度高？（）A．a B．b C．c D．d考点：散点图．专题：概率与统计．分析：根据散点图以及残差平方和的大小进行判断即可．解答：解：由散点图可知D的残差平方和最小，此时图象和回归方程拟合精度高，故选：D点评：本题主要考查散点图和残差平方和的应用，比较基础．[5．（3分）已知过曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A．（，）B．C．（，）D．考点：直线的倾斜角；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：先将曲线的极坐标方程化为普通方程并求出直线的方程，再将二者联立即可解出．解答：解：将曲线（θ为参数，0≤θ≤π）消去参数θ，化为普通方程为（y≥0）．∵直线PO的倾斜角为，∴=1，∴直线po的方程为：y=x，联立（y≥0），解得，即P．故选D．点评：本题考查了将曲线的极坐标方程化为普通方程及直线与曲线相交的问题，熟练的计算是解决问题的关键》6．（3分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为10，若2a=16，则△ABF2的周长是（）A．32 B．36 C．42 D．52考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线的定义可得AF2+BF2 =42，△ABF2的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB，计算可得答案．解答：解：由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=32，即AF2+BF2 ﹣10=32，AF2+BF2 =42．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=42+10=52．故选：D．点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出AF2+BF2 =42是解题的关键．7．（3分）有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：进行简单的演绎推理．专题：阅读型．分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．解答：解：∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C．点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．解答：解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．点评：本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9．（3分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．10．（3分）某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”．附：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A．95% B．99% C．97.5% D．90%考点：独立性检验的应用．专题：概率与统计．分析：把观测值同临界值进行比较．得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系解答：解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：P（K2≥k0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．故选B．点评：本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题11．（3分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（）A．y=2x﹣2 B．y=（）x C．y=log2x D．y=（x2﹣1）考点：回归分析．专题：常规题型．分析：根据所给的五组数据，在平面直角坐标系中画出五个点，观察这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，得到结果．解答：解：在直角坐标系中画出这几对数据的散点图，观察图形的变化趋势，这几个点在变化趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除B，C两个选项，当x=4时，不符合A选项，故选D．点评：本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，考查作图法解题，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目．12．（3分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．点评：本题考查离散型随机变量的概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（3分）设函数f n（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f n（x）在[0，1]上的最大值为（）A．0B．1C．（1﹣）n D．4（）n+2考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；导数的综合应用．分析：对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．解答：解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]=0得x=0，或x=1，或x=f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴f（x）在[0，1]上的最大值为4（）n+2．故选：D．点评：此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．14．（3分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）考点：椭圆的应用．专题：计算题．分析：由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．解答：解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．点评：本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．15．（3分）定义在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，对任意的x∈（0，+∞）恒有f[f（x）﹣log4x]=5．x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个根，则x0所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）考点：根的存在性及根的个数判断；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法设f（x）﹣log4x=t，求出函数f（x）的表达式，利用导数化简方程，利用根的存在性定理进行判断即可．解答：解：设f（x）﹣log4x=t，则f（t）=5，即f（x）=log4x+t，当x=t时，f（t）=log4t+t=5，解得t=4，∵在（0，+∞）的函数f（x）为单调函数，∴f（x）=log4x+4，则f′（x）=，则方程f（x）﹣f′（x）=4等价为log4x+4﹣=4，即log4x﹣=0，即lnx4•log4x﹣=0，则lgx﹣=0，设h（x）=lgx﹣，则函数h（x）在（0，+∞）上为增函数，则h（1）=lg1﹣1=﹣1＜0，h（2）=lg2﹣=lg＜0，h（3）=lg3﹣=lg＞0，即在（2，3）内函数h（x）存在一个零点，即x0所在区间为（2，3），故选：B点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及函数零点的判断，利用函数零点的判断条件，将函数与方程进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧的长度小于1”对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图所示，∵劣弧=1，∴劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=故答案为：．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．17．（3分）已知A是曲线ρ=4cosθ上任一点，则点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为5．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r．解答：解：曲线ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4，直线ρcosθ=﹣1化为x=﹣1．∴圆心（2，0）到直线x=﹣1的距离d=3，∴点A到直线ρcosθ=﹣1距离的最大值为d+r=3+2=5．故答案为：5．点评：本题把极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．18．（3分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；解答：解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+1点评：本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．19．（3分）已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的左、右两焦点，若△PF1F2的内切圆的半径为，则=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．解答：解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．所以y p=．则=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）=x p2﹣1+y p2=4（1﹣）﹣1+y p2=3﹣=故答案为：．点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义、向量的数量积基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．20．（3分）已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，g（x），h（x）是定义在R上的可导函数，且g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），并且f（x）满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则f（）+f（）=1．考点：导数的运算；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），可得，f′（x）≥0，于是f（x）在R上单调递增．由f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），可得f（1）=1，因此f （）=，=．必然有当时，f（x）=．可得，即可得出．解答：解：∵g（x）≠0，f（x）g（x）=h（x），h′（x）g（x）≥h（x）g′（x），∴，≥0，∴f（x）在R上单调递增．∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），∴f（1﹣0）=1﹣f（0），∴f（1）=1，∴f（）=f（1）=，，∴=．∴当时，f（x）=．∵，∴，∴+=1．故答案为：1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）某医院眼科某天测量300名求医者的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列．（1）求出最大频率；（2）求出视力在4.6﹣5.0的人数．考点：频率分布直方图．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，得出4.6～4.7间的频率最大，利用频数、等比数列的知识求出最大频率值；（2）根据后6组的频数成等差数列，且和为261，求出公差d，即可计算所求的结果．解答：解：（1）根据频率分布直方图，得组距为0.1，则4.3～4.4间的频数为300×0.1×0.1=3；4.4～4.5间的频数为300×0.1×0.3=9，所以4.6～4.7间的频率最大，为3×33=81，所以最大频率为0.27；（2）根据后6组的频数成等差数列，且共有300﹣39=261人，设公差为d，则6×81+•d=261，解得d=﹣15；所以视力在4.6～5.0的人数为：4×81+×（﹣15）=234．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了等差与等比数列的应用问题，是综合性题目．22．（8分）小王、小李两位同学玩掷骰子（骰子质地均匀）游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．（1）在直角坐标系xOy中，以（x，y）为坐标的点共有几个？求点（x，y）落在直线x+y=7上的概率；（2）规定：若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个规定公平吗？请说明理由．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）所有的结果共有6×6种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线x+y=7上，列举当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，由此得到所求的概率．（2）用列举法分别求得小王和小李赢的基本事件的个数，求得小王和小李赢的概率相等，从而得到这个规定公平．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x+y=8上，当x=1，y=6；x=2，y=5；x=3，y=4，x=4，y=3；x=5，y=2；x=6，y=1，共有6种结果，∴根据古典概型的概率公式得到P==．（2）∵若x+y≥10，则小王赢，若x+y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．而满足x+y≥10的（x，y）共有（4，6）、（6，4）、（5，6）、（6，5）、（6，6）、（5，5）6种情况．满足x+y≤4的（x，y）共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）6种情况．故小王和小李赢的概率相等，都等于=，故这个规定公平．点评：本题考查古典概型的概率公式，考查满足直线方程的点，考查利用列举法得到事件数，本题是一个基础题，适合文科学生做，列举时注意要以x为主来讨论，属于基础题．23．（8分）命题p：已知f（x）=x2+（m2﹣1）x+（m﹣2）的一个零点比1大，一个零点比1小．命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．若￢p为假命题，p∧q为真命题，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若￢p为假命题，p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可解答：解：∵￢p为假命题，p∧q为真命题，∴p为真，q为真，命题p，设方程的两根分别为x1，x2，且x1＜x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1，•x2﹣（x1+x2）+1＜0，由根与系数的关系得：（m﹣2）+（m2﹣1）+1＜0，即﹣2＜m＜1，命题q：﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，当x=时，函数y=≤﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，解得m≤﹣，或m≥，综上所述﹣2＜m≤﹣，或≤m＜1．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，以及函数恒成立的问题，和一元二次方程根的关系，属于中档题．24．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆相交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆必经过原点．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过=、抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，计算即得结论；（2）分直线l的斜率不存在、直线l的斜率为0、直线l的斜率存在且不为0三种情况讨论，利用韦达定理计算即得结论．解答：（1）解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴e==，即a=c，∵抛物线y2=4x的焦点F恰好是椭圆C的一个顶点，∴a=，∴c=b=1，∴椭圆C的方程为：；（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，∵直线l与圆O相切，∴直线方程为：x=或x=﹣，Ⅰ．联立与x=，可得：A（，），B（，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：（x﹣）2+y2=；Ⅱ．联立与x=﹣，可得：A（﹣，），B（﹣，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：（x+）2+y2=；综合Ⅰ、Ⅱ可知两圆过定点（0，0）；②当直线l的斜率为0时，∵直线l与圆O相切，∴切线方程为：y=或y=﹣，Ⅰ．联立与y=﹣，可得：A（，﹣），B（﹣，﹣），∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y+）2=；Ⅱ．联立与y=，可得：A（，），B（﹣，），∴以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣）2=；综合Ⅰ、Ⅱ，显然过定点（0，0）；③当直线l的斜率存在且不为0时，联立与y=kx+m，消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=，=x1x2+y1y2=，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d==，即m2=（1+k2），从而=0，显然以AB为直径的圆经过原点；综合①②③可知：以AB为直径的圆必经过原点．点评：本题考查求椭圆方程，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（8分）已知函数f（x）=lnx，g（x）+f（x）=px2﹣qx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）试用含有p的式子表示q；（2）若p≤0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）当x≠1，h（x）f（x）=x2﹣4tx+4t2，（其中t为常数），若t∈（0，），函数h（x）有三个极值点为a，b，c，且a＜b＜c．证明0＜2a＜b＜1＜c．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）由题意化简g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，求导g′（x）=﹣+px﹣q；从而可得g′（1）=﹣1+p﹣q=0，从而解得；（2）先确定函数g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域，再求导g′（x）=﹣+px﹣q=，讨论以确定其正负，从而确定函数的单调性；（3）由题意化简h（x）=，求导h′（x）=，再令m （x）=2lnx﹣，求导m′（x）=；从而可判断0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；从而证明．解答：解：（1）由已知得g（x）=﹣lnx+px2﹣qx，g′（x）=﹣+px﹣q，又∵函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，∴g′（1）=﹣1+p﹣q=0，故q=p﹣1；（2）由（1）知，g（x）=﹣lnx+px2﹣qx的定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣+px﹣q=，①当p=0时，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；②当p=﹣1时，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数；③当p＜﹣1时，g′（x）=；0＜﹣＜1；故g（x）在（0，﹣），（1，+∞）上是减函数，在（﹣，1）上是增函数；④当﹣1＜p＜0时，g′（x）=；﹣＞1；故g（x）在（0，1），（﹣，+∞）上是减函数，在（1，﹣）上是增函数；（3）证明：由题意得，h（x）=，h′（x）=令m（x）=2lnx﹣，m′（x）=；故m（x）=2lnx﹣在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增；而函数h（x）有三个极值点为a，b，c，则m（x）=2lnx﹣=0在（0，+∞）上有两个不相等相都不等于2t的根，且h（x）的一个极值点为2t；∵t∈（0，），m min（x）=m（t）=2lnt+1＜2ln+1＜0；m（1）=2ln1+2t﹣1=2t﹣1＜0；又∵a＜b＜c，∴0＜a＜t，b=2t＜1，c＞1；∴0＜2a＜b＜1＜c．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，难题在于构造函数以使问题简化，属于难题．。
湖南省长沙市长郡中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
湖南省长沙市长郡中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为()A. 若x≠1，则x≠1或x≠−1B. 若x=1，则x=1或x=−1C. 若x≠1，则x≠1且x≠−1D. 若x=1，则x=1且x=−12.某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，该单位为了解职工每天的业余生活情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40−50岁的职工中抽取的人数为()A. 8B. 12C. 20D. 303.设P是椭圆x216+y210=1上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于()A. 4B. √10C. 8D. 2√104.抛物线的标准方程是y2=−12x，则其焦点坐标是()A. (3,0)B. (−3,0)C. (0,3)D. (0,−3)5.已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为()x12345y1015304550A. 60万元B. 63万元C. 65万元D. 69万元6.二项式(x√x−1x)5展开式中的常数项为()A. 10B. −10C. 5D. −57.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种8.已知条件p：x<1，条件，q：1x<1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是( )A. x 225+y 29=1B. y 225+x 29=1或x 225+y29=1C. y 225+x 29=1D. y 225+x 216=1或x 216+y29=110. 设F 1，F 2是离心率为5的双曲线x 2a2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A. 4√2B. 8√3C. 24D. 4811. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A. 3B. 4C. 6D. 512. 已知f(x)的定义域为R ，f(−2)=0，且∀x ∈R ，都有f′(x)>12，则f(x)<12x +1的解集为( )A. (−2,2)B. (−2,+∞)C. (−∞,−2)D. (−∞,2)13. 下面四个图象中，有一个是函数f(x)=13x 3+ax 2+(a 2−1)x +1(a ∈R)的导函数y =f′(x )的图象，则f(−1)=( )A. 53或−13B. 53或13C. −13或−53D. 13或−5314. 在区间[−1,5]上随机地取一个实数a ，则方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根的概率为( )A. 38B. 12C. 23D. 1315. 已知函数f(x)=ax 3+(3−a)x 在[−1,1]上的最大值为3，则实数a 的取值范围是( )A. [−32,3]B. [−32,12]C. [−3,3]D. [−3,12]二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 在复平面内，O 为坐标原点，向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3−4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为________．17. 已知向量a ⃗ =(2,4，x)，b ⃗ =(2,y ，2)，若|a ⃗ |=6，则x = ______ ；若a ⃗ //b ⃗ ，则x +y = ______ ．18.设椭圆x2m2+y2n2=1的焦点在y轴上，m∈{1,2，3，4，5}，n∈{1,2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆个数．19.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，若B(3,2)，则PB+PF的最小值为________．20.若指数函数y=f(x)的图像经过点(−2,4)则f(−3)=________三、解答题（本大题共5小题，共25.0分）21.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；(2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．22.如图，在三棱锥P−ABC中，平面ABC，PC=3，，D,E分别为线段AB,BC上的点，且CD=DE=√2，CE=2EB=2．(Ⅰ)证明：平面PCD；(Ⅱ)求二面角A−PD−C的平面角余弦值．23.已知函数f(x)=1x3−2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C．3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．24.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点是B(0,2)，离心率e=√55，(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)已知直线l与椭圆交于M，N两点，且△BMN的重心恰好是椭圆的右焦点F，求△BMN的面积．25.设函数f(x)=lnx−x2+ax，a∈R．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)已知a≤1，证明f(x)≤0．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题，是基础题．根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”，即“若x≠1，则x≠1且x≠−1”．故选C．2.答案：B解析：解：某单位350名职工，其中50岁以上有70人，40岁以下175人，则40−50岁的职工有350−70−175=105人，年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查，则应从40−50岁的职工中抽取的人数为105350×40=12人，故选：B．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：椭圆x216+y210=1中，a=4，∵P是椭圆x216+y210=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8．故选：C．由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a．本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．解析：解：抛物线的标准方程是y 2=−12x ，可知焦点坐标在x 轴上，P =6， 焦点坐标(−3,0)． 故选：B ．利用抛物线的标准方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5.答案：B解析：本题考查了线性回归方程及回归分析的初步应用，是基础题．由表中数据计算x −、y −，求出回归方程，利用方程计算x =6时，y ̂的值即可． 解：由表中数据，计算x −=15×(1+2+3+4+5)=3， y −=15×(10+15+30+45+50)=30， 回归方程为y ̂=11x +a ̂，a ̂=30−11×3=−3， ∴ŷ=11x −3， x =6，ŷ=11×6−3=63， 据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 故选B ．6.答案：B解析：本题考查的是二项式定理的应用，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．解：二项式 (x √x −1x )5 展开式的通项公式为 T r+1=C 5r ⋅(x √x)5−r ⋅(−1)r ⋅(1x )r =(−1)r ⋅C 5r⋅x15−5r2，令15−5r 2=0，求得r =3，可得展开式中的常数项为−C 53=−10 ，故选B ．解析：本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．把工作分成3组，然后安排工作方式即可．解：4项工作分成3组，可得：C42=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×A33=36种．故选：D．8.答案：D解析：解：∵q：1x<1，∴q：x<0或x>1而p：x<1根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则可知p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的既不充分也不必要条件；故选D先化简条件q，然后根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则得到p与q的关系，最后依据判断充要条件的方法进行判定即可．本题主要考查了充要条件，以及判定充要条件的方法和不等式的求解，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查了椭圆的标准方程及椭圆的性质，掌握椭圆的性质是解题的关键.由题意求得c=4，a= 5，b2=a2−c2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程．解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2−c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x225+y29=1，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y225+x29=1，故椭圆的标准方程为：x225+y29=1或y225+x29=1．故选B．10.答案：C解析：解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线x2a2−y224=1的两个焦点，∴e=ca =√1+24a2=5，解得a2=1，∴c=5，∴|F1F2|=2c=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则|PF1|=43|PF2|=43x，由双曲线的性质知43x−x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=12×6×8=24．故选：C．先由双曲线的离心率求出a，与c，可得|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．11.答案：A解析：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得，πr2ℎ=27π，即ℎ=27r，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrℎ=πr2+27πr +27πr，利用基本不等式可求用料最小时的r．解：设圆柱的高为h，半径为r，则由圆柱的体积公式可得，πr2ℎ=27π，∴ℎ=27r2，∴S全面积=πr2+2πrℎ=πr2+2πr⋅27r2=πr2+54πr=πr2+27πr+27πr≥3√πr2⋅27πr⋅27πr3=27π，当且仅当πr2=27πr即r=3时取等号，当半径为3时，S最小即用料最省，故选：A．12.答案：C解析：本题主要考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性，导数中的不等式问题，考查了分析和转化能力，属于中档题．先设g(x)=f(x)−12x−1，进而求出其导数g′(x)=f′(x)−12，然后根据∀x∈R，都有f′(x)>12，得到g′(x)=f′(x)−12>0在x∈R上恒成立，即函数g(x)为R上的增函数，再结合f(−2)=0即可求出f(x)<12x+1的解集．解：∵f(x)的定义域为R，设g(x)=f(x)−12x−1，则g′(x)=f′(x)−12，又∵∀x∈R，都有f′(x)>12，得到g′(x)=f′(x)−12>0在x∈R上恒成立，∴函数g(x)为R上的增函数，又f(−2)=0，∴g(−2)=f(−2)−12×(−2)−1=0，∴当x<−2时，g(x)=f(x)−12x−1<0，即f(x)<12x+1，∴f(x)<12x+1的解集为(−∞,−2)．故选C．13.答案：A解析：此题考查了导数的运算与二次函数的图象与性质，涉及分类讨论思想，属中档题．求得f′(x)，分析得到导函数图象可能与题中哪些图象相同，根据图象的某个特征分别求出a的值，并检验是否符合图象的其它特征，确定a 的值，得出f(x)解析式，即可求出f(−1)的值． 解析：解：由f(x)=13x 3+ax 2+(a 2−1)x +1，得到f ′(x)=x 2+2ax +a 2−1，y =f′(x)的图象是开口向上的抛物线，其图象只可能是①或③．若y =f′(x)的图象为①，即对称轴为y 轴，∴−a =0，即：a =0，此时f′(x)=x 2−1，图象与①相符，符合题意．此时f(x)=13x 3−x +1，∴f(−1)=−13+1+1=53；若y =f′(x)的图象为③，则f′(0)=0，∴a 2−1=0，即a =1或−1，当a =1时，f′(x)=x 2+2x ，其图象的对称轴为x =−1，与图象③不符；当a =−1时，f′(x)=x 2−2x ，其图象的对称轴为x =1，与图象③相符合．故a =−1，于是f(x)=13x 3−x 2+1∴f(−1)=−13−1+1=−13．综上，f(−1)=53或−13，故选：A ． 14.答案：A解析：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．解：若方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根，则满足{Δ=4a 2−4(4a −3)≥04a −3>02a >0, 即{a ≥3或a ≤1a >34a >0，得34<a ≤1或a ≥3， ∵−1≤a ≤5则对应的概率P =1−345−−1+5−35−−1=124+13=38． 故选A ．15.答案：B解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．分析四个选项，可发现C ，D 选项中a 可以取−3，故代入a =−3，可排除选项；再注意A 、B 选项，故将a =12代入验证即可；从而得到答案．解：当a =−3时，f(x)=−3x 3+6x ，x ∈[−1,1]，f ′(x)=−9x 2+6=0，得x =±√63， 当f ′(x)>0时，x ∈(−√63,√63)， 故f(x)在(−√63,√63)上单调递增； 当f ′(x)<0时，x ∈[−1,−√63)∪(√63,1]， 故f(x)在[−1,−√63)和(√63,1]上单调递减； 即f(x)极大值为：f(√63)=4√63>3，a =−3，不满足条件，故排除C ，D ．当a =12时，f(x)=12x 3−9x ，x ∈[−1,1]，f ′(x)=36x 2−9=0，可得x =±12，当f ′(x)>0时，x ∈[−1,−12)∪(12,1]故f(x)在[−1,−12)，(12,1]上单调递增；当f ′(x)<0时，x ∈(−12,12)，故f(x)在(−12,12)上单调递减；当x =−12时，极大值为：−128+92=3， 当x =1时，f(1)=3， 即f(x)最大值为3满足题意，排除A ．故选：B ．16.答案：3+4i解析：该题考查复数的代数表示及其几何意义，属基础题．根据向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3−4i ，可得B(3,−4)，再求出关于原点的对称点为A(−3,4)，点A 关于虚轴的对称点为C(3,4)，则可求出向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．解：因为点B 的坐标为(3,−4)，所以点A 的坐标为(−3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+4i ．17.答案：±4；6解析：本题考查空间向量的模及平行的条件，属于基础题．由已知结合|a ⃗ |=6，则√22+42+x 2=6，由此能求出x ；由已知结合a ⃗ //b ⃗ ，得22=y 4=2x ，由此能求出x +y ．解：∵向量a ⃗ =(2,4，x)，b ⃗ =(2,y ，2)，∵|a ⃗ |=6，故√22+42+x 2=6，解得x =±4；∵a ⃗ //b ⃗ ，∴22=y 4=2x， 解得y =4，x =2，∴x +y =6．故答案为：±4，6． 18.答案：20解析：本题主要考查了椭圆的标准方程，排列组合知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．解：要使椭圆的焦点在y轴上，需n>m，故n=2时，m可取1个数，n=3时，m可取2个数，n=4时，m可取3个数，n=5时，m可取4个数，n=6时，m可取5个数，n=7时，m可取5个数，故椭圆的个数1+2+3+4+5+5=20故答案为20．19.答案：4解析：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，当P1，B，Q三点共线时，距离之和最小，故可解得答案．解：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|=|P1F|．则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即|PB|+|PF|的最小值为4．故答案为420.答案：8解析：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题.设函数f(x)=a x(a=0且a≠1)，把点(−2,4)代入，求得a的值，可得函数的解析式，代值计算即可．解：设函数f (x )=a x (a =0且a ≠1)，∵函数的图象经过点(−2,4)，∴4=a −2，解得a =12，∴f (x )=(12)x ，∴f (−3)=(12)−3=8．故答案为8．21.答案：解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为P =0.02×5=0.1，∴年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1=20；(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2，∴用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，∴应从第3，4组中分别抽取3人，2人，记第3组的3名分别为A 1，A 2，A 3，第4组的2名分别为B 1，B 2，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为：(A 1,A 2)，(A 1,A 3)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 2,A 3)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 3,B 1)，(A 3,B 2)，(B 1,B 2)，共有10种，其中第4组的2名B 1，B 2至少有一名被选中的有：(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 3,B 1)，(A 3,B 2)，(B 1,B 2)，共有7种，至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为710．解析：本题考查古典概率模型与频率分布直方图，两者的综合题是此类题考查的重要形式．(1)求出选取的市民年龄在[40,45)内的频率，即可求出人数；(2)利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A 1，A 2，A 3，从第4组选2人，记为B 1，B 2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出．22.答案：(1)证明：∵PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，∴PC ⊥DE ，∵CE =2，CD =DE =√2，CE 2=CD 2+DE 2 ∴△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ⊥DE ，∵PC ∩CD =C ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴DE ⊥平面PCD ；(2)解：由(1)知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE =π4，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF =FC =FE =1，又由已知EB =1，故FB =2，由∠ACB =π2得DF//AC ，DF AC =FB BC =23，故AC =32DF =32，以C 为原点，分别以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则C(0,0，0)，P(0,0，3)，A(32,0，0)，E(0,2，0)，D(1,1，0)，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,3)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,0)， 设平面PAD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +3z =0n 1⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −y =0, 故可取n 1⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，由(1)知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ 可取ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 易知二面角A −PD −C 的平面角为锐角，∴两法向量夹角的余弦值cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√36，∴二面角A −PD −C 的平面角的余弦值为√36．解析：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属中档题．(1)由已知条件易得PC ⊥DE ，CD ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得；(2)以C 为原点，分别以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，可求平面PAD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，平面PCD 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ 可取ED ⃗⃗⃗⃗⃗，由向量的夹角公式可得． 23.答案：解：(1)函数f(x)=13x 3−2x 2+3x 的导数为f′(x)=x 2−4x +3=(x −2)2−1≥−1， 即过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围是[−1,+∞)；(2)设其中一条切线的斜率为k ，另一条为−1k ，由(1)可知，{k ≥−1−1k ≥−1，解得−1≤k <0或k ≥1，由−1≤x 2−4x +3<0或x 2−4x +3≥1，即有1<x <3或x ≥2+√2或x ≤2−√2，得：x ∈(−∞,2−√2]∪(1，3)∪[2+√2,+∞)．解析：本题考查切点处的导数值为曲线切线斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为−1，以及化简整理的运算能力，属于中档题．(1)据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的秋雨求法，求导函数的范围也就是切线斜率范围；(2)互相垂直的切线斜率互为负倒数，由(1)求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围．24.答案：解：(Ⅰ)由题意可得{b =2c a =√55a 2=b 2+c 2，解得a =√5，b =2，c =1， ∴椭圆的标准方程x 25+y 24=1．(Ⅱ)椭圆右焦点F 的坐标为(1,0)，设线段MN 的中点为Q(x 0,y 0)，由三角形重心的性质知BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又B(0,2)，∴(1,−2)=2(x 0−1,y 0)，故得x 0=32，y 0=−1，求得Q 的坐标为(32,−1)；设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3，y 1+y 2=−2，∵x 125+14y 12=1，x 225+14y 22=1以上两式相减得15(x 1+x 2)(x 1−x 2)+14(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，∴35(x 1−x 2)−12(y 1−y 2)=0，∴k MN =y 1−y 2x 1−x 2=65， ∴直线MN 的方程为y +1=65(x −32)，即6x −5y −14=0．由{6x −5y −14=0x 25+y 24=1，消y 可得7x 2−21x +12=0， ∴x 1x 2=127，∴|MN|=√1+3625⋅√32−487=√18335，点B 到直线MN 的距离d =√72+212=7√10， ∴△BMN 的面积S =12|MN|⋅d =12×√183357√10=6√2562245．解析：(Ⅰ)由题意可得{b =2c a =√55a 2=b 2+c 2，解得a =√5，b =2，c =1，(Ⅱ)设线段MN 的中点为Q(x 0,y 0)，结合(1)中结论，及△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，由重心坐标公式，可得Q 点坐标，由中点公式及M ，N 也在椭圆上，求出MN 的斜率，可得直线l 方程，再求出弦长MN ，根据点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出．本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥曲线，熟练掌握椭圆的简单性质是重心坐标，中点公式等基本公式，弦长公式，三角形的面积公式，属于中档题．25.答案：解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)．当a =1时，f′(x)=1x −2x +1=(1−x)(2x+1)x (x >0)．由f′(x)>0，得0<x <1；f′(x)<0得x >1，∴函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增；(2)f′(x)=1x −2x +a =−2x 2−ax−1x (x >0)．∵△=a 2+8>0(x >0)，2x 2−ax −1=0的根为x =a±√a2+84．∴当0<x <a+√a2+84时，f′(x)>0；当x >a+√a 2+84时，f′(x)<0，；． ∴f(x)在(0,a+√a2+84)上单调递增，在(a+√a 2+84,+∞)上单调递减．∴f(x)max=f(a +√a 2+84)=ln a +√a 2+84−a +√a 2+84(√a 2+8−3a 4) =ln a+√a 2+84−(a+√a 2+8)(√a 2+8−3a)16，∵a ≤1，∴0<a+√a2+84≤1；√a 2+8≥3a∴f(x)max =lna+√a 2+84−(a+√a 2+8)(√a 2+8−3a)16≤0．∴f(x)≤0．解析：(1)先由a =1，求出函数f(x)=lnx −x 2+ax 的导函数，通过解导函数对应的不等式，即可得出结果；(2)先对函数求导，用导数的方法判断出函数的单调性，求出最大值，即可得出结论成立．本题考查了导数的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属中档题．。
高二数学上学期期末试卷（文科含解析）
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高二数学上学期期末试卷(文科含解析)数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥A B.20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定.【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).故选A.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可.【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴ ，解得 .∴其渐近线的斜率为 .故选：B.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.【解答】解：∵∴y'==y'|x= = |x= =故选B.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.【解答】解：∵椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，其焦点坐标为：(0， ).故选D.8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误.B，C，D满足复数的运算法则，故选：A.9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.【解答】解：∵f(x)=e x﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确故选D.10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′(x0)=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+∴x0∈[ ，].∴d=x0+ ∈.故选：B.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .∵x1∴ ， .而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取00.①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于 1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数，那么z• = = =1.故答案为：1.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)当﹣10;当0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为215.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .【考点】导数的运算.【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.故答案为：﹣1.16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .【考点】抛物线的简单性质.【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，∴y1= p，y2= p，从而， = = .故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.【考点】复数求模;复数的基本概念.【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;(Ⅱ)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，又∵ 为实数，∴a=4，则z=4﹣2i;(Ⅱ) ，∴ 的模为 .18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.【解答】解：(1)a>0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(3)a<0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×( )=﹣1，即得结论.【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，解得x= a，y= b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a>0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可.【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)由于函数f(x)在x=1时取得极值，所以f′(1)=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立于是对任意a∈(0，+∞)都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.【解答】解：(1)由题意可得e= = ，由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，解方程可得a= ，c=1，则b= =1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，f′(x)=﹣，①a<﹣时，0<﹣ <1，令f′(x)<0，解得：x>1或00，解得：﹣∴f(x)在递减，在递增;②﹣﹣或00，解得：1∴f(x)在递减，在递增;③ ，f′(x)=﹣≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：01，∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣时，符合题意，a<﹣时，f(x)在(0，﹣ )递减，在递增，不合题意，故a≥﹣ .。
2017-2018年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.1．（3分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（）A．2B．﹣2C．1D．﹣12．（3分）“p∨q是真命题”是“p为真命题”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）曲线f（x）=x3﹣x+1在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0或x+4y﹣5=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+y﹣2=0或x+4y﹣5=0D．x+y﹣2=04．（3分）执行下列程序框图，若输入a，b分别为77，63，则输出的a=（）A．12B．14C．7D．95．（3分）设复数z1=i，z2=1+i，则复数z=z1•z2在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．1B．C．2D．6．（3分）如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（）A．y=x+6B．y=﹣x+42C．y=﹣2x+60D．y=﹣3x+78 7．（3分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜8．（3分）极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线9．（3分）P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对10．（3分）某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由并参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”11．（3分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞5的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）C．（﹣6，4）D．[﹣4，6]13．（3分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A．B．C．D．14．（3分）已知函数f（x）=﹣x+log2，若方程m﹣e﹣x=f（x）在[﹣，]内有实数解，则实数m的最小值是（）A．e+B．e+C．e﹣D．e﹣15．（3分）已知椭圆O：+=1的离心率为e1，动△ABC是其内接三角形，且=+．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为e2，则（）A．e1=e2B．e1＜e2C．e1＞e2D．e1e2=1二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共20分.16．（3分）命题“∀x∈（0，+∞），lnx+2≤e x“的否定是．17．（3分）抛物线2y2+x=0的焦点坐标是．18．（3分）已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是．19．（3分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是．20．（3分）已知，用数学归纳法证明时，f（2k+1）﹣f（2k）等于．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．22．（8分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），若l与C交于A、B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P（1，2），求|PA|•|PB|的值．23．（8分）证明：（Ⅰ）已知a、b、m是正实数，且a＜b．求证：；（Ⅱ）已知a、b、c、d∈R，且a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．求证：a、b、c、d 中至少有一个是负数．24．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2，离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点A为椭圆上的一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，若△ABC面积为，求直线AB的方程．25．（8分）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞2．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.1．（3分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：∵（1+i）（1+ai）=（1﹣a）+（1+a）是纯虚数，∴，解得：a=1．故选：C．2．（3分）“p∨q是真命题”是“p为真命题”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“p∨q是真命题”时，“p为真命题”不一定成立，“p为真命题”时，“p∨q是真命题”一定成立，故“p∨q是真命题”是“p为真命题”的必要不充分条件，故选：A．3．（3分）曲线f（x）=x3﹣x+1在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0或x+4y﹣5=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+y﹣2=0或x+4y﹣5=0D．x+y﹣2=0【解答】解：f′（x）=3x2﹣1，故f′（1）=2，f（1）=1，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选：B．4．（3分）执行下列程序框图，若输入a，b分别为77，63，则输出的a=（）A．12B．14C．7D．9【解答】解：由程序框图可知：a=77＞63=b，∴a=77﹣63=14，a=14＜63=b，b=63﹣14=49，a=14＜49=b，b=49﹣14=35，a=14＜35=b，b=35﹣14=21，a=14＜21=b，b=21﹣14=7，a=14＞7=b，a=14﹣7=7，a=7=7=b，因此输出的a为7．故选：C．5．（3分）设复数z1=i，z2=1+i，则复数z=z1•z2在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．1B．C．2D．【解答】解：∵z1=i，z2=1+i，∴z=z1•z2=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=z1•z2在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1），到原点的距离是．故选：B．6．（3分）如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（）A．y=x+6B．y=﹣x+42C．y=﹣2x+60D．y=﹣3x+78【解答】解：五日的气温的平均值为9，杯数的平均值为42，根据线性回归方程的定义可知，当x=9时，y=42，代入验证可知C正确，故选：C．7．（3分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．8．（3分）极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线【解答】解：极坐标方程ρ=cosθ 即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选：A．9．（3分）P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对【解答】解：双曲线的a=4，b=2，c=6，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，|PF1|=9，可得|PF2|=1或17，若|PF2|=1，则P在右支上，应有|PF2|≥c﹣a=2，不成立；若|PF2|=17，则P在左支上，应有|PF2|≥c+a=10，成立．故选：B．10．（3分）某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由并参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”【解答】解：根据题意，由题目所给的表格：有K2==7.822＞6.635；则可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”；故选：A．11．（3分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．12．（3分）若关于x的不等式|x﹣1|+|x+m|＞5的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）C．（﹣6，4）D．[﹣4，6]【解答】解：由于|x﹣1|+|x+m|表示数轴上的x对应点到1和﹣m的距离之和，它的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|＞5，解得m＞4，或m＜﹣6，故选：A．13．（3分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选：D．14．（3分）已知函数f（x）=﹣x+log2，若方程m﹣e﹣x=f（x）在[﹣，]内有实数解，则实数m的最小值是（）A．e+B．e+C．e﹣D．e﹣【解答】解：∵f（x）=﹣x+log2=﹣x+log2（﹣1），而y=﹣x是[﹣，]上的减函数，y=﹣1是[﹣，]上的减函数，y=log2x 是（0，+∞）上的增函数，∴函数f（x）是[﹣，]上的减函数；∵方程m﹣e﹣x=f（x）在[﹣，]内有实数解，∴方程m=e﹣x+f（x）在[﹣，]内有实数解，又∵y=e﹣x在[﹣，]上是减函数，∴函数y=e﹣x+f（x）=e﹣x﹣x+log2在[﹣，]上是减函数，∴﹣+log2≤e﹣x﹣x+log2≤++log22，∴﹣+log2≤m≤++log22，∴实数m的最小值是﹣+log2=﹣；故选：D．15．（3分）已知椭圆O：+=1的离心率为e1，动△ABC是其内接三角形，且=+．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为e2，则（）A．e1=e2B．e1＜e2C．e1＞e2D．e1e2=1【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，得．∵C是椭圆上一点，∴，，得（定值）．设，∴，∴e1=e2．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共20分.16．（3分）命题“∀x∈（0，+∞），lnx+2≤e x“的否定是“∃x0∈（0，+∞），lnx0+2＞e x0”．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈（0，+∞），lnx+2≤e x“的否定是“∃x0∈（0，+∞），lnx0+2＞e x0”．故答案为：“∃x0∈（0，+∞），lnx0+2＞e x0”．17．（3分）抛物线2y2+x=0的焦点坐标是（﹣，0）．【解答】解：抛物线2y2+x=0即为：y2=﹣x，即有焦点坐标为（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．18．（3分）已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是3．【解答】解：∵a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a．由题意可得当x≥1时，f′（x）=3x2﹣a≥0，即a≤3x2．而3x2在[1，+∞）上的最小值等于3，故有a≤3．故答案为：3．19．（3分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是甲．【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故答案为：甲．20．（3分）已知，用数学归纳法证明时，f（2k+1）﹣f（2k）等于．【解答】解：因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，当n=k+1时，f（2k+1）=1+++…+++…+，∴f（2k+1）﹣f（2k）=，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．【解答】解：（1）年龄在[20，25）中共有6人，其中持“提倡”态度的人数为5，其中抽两人，基本事件总数n==15，被抽到的2人都持“提倡”态度包含的基本事件个数m==10，∴年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率p==．（2）年龄在[40，45）中共有5人，其中持“提倡”态度的人数为3，其中抽两人，基本事件总数n′==10，年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度包含的基本事件个数m′==9，∴年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率p′==．22．（8分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数），若l与C交于A、B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P（1，2），求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ根据x2+y2=ρ2，ρsinθ=y可得x2+y2=2y即圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为，点P（1，2）在直线l上．把x=1﹣t，y=2﹣3t代入上式得（1﹣t）2+（2﹣3t）2=2（2﹣3t），∴10t2﹣8t+1=0，则，，|PA|•|PB|==．23．（8分）证明：（Ⅰ）已知a、b、m是正实数，且a＜b．求证：；（Ⅱ）已知a、b、c、d∈R，且a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．求证：a、b、c、d 中至少有一个是负数．【解答】证明：（Ⅰ）因为a、b、m均为正数，欲证，只要证明a（b+m）＜b（a+m），也即证am＜bm，也即证明a＜b，这与已知条件相符，且以上每个步骤都可逆，故不等式成立；（Ⅱ）假设a，b，c，d都是非负数，因a+b=c+d=1，故（a+b）（c+d）=1，又（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc≥ac+bd，故ac+bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立．24．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2，离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点A为椭圆上的一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，若△ABC面积为，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意得2b=2，∴b=1，∵，a2=b2+c2，∴a=，c=1，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）①当直线l斜率不存在时，不妨取A（1，），B（1，﹣），C（﹣1，﹣）∴△ABC面积为S==，不符合题意．②当直线l斜率存在时，设直线AB：y=k（x﹣1），由化简得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴|AB|==∵点O到直线kx﹣y﹣k=0的距离d=，又O是线段AC的中点，∴点C到直线AB的距离2d=2×∴△ABC面积为s=|AB|×2d=2×=．∴4k4+4k2﹣3=0，解得，k=±∴直线AB的方程为y=（x﹣1）或y=﹣．25．（8分）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＞2．【解答】解：（Ⅰ）由f'（x）=（1﹣x）e﹣x，易得f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），单调减区间为（1，+∞），函数f（x）在x=1处取得极大值f（1），且，无极小值；（Ⅱ）证明：由f（x1）=f（x2），x1≠x2，不妨设x1＜x2，则必有0＜x1＜1＜x2，构造函数F（x）=f（1+x）﹣f（1﹣x），x∈（0，1]，则F'（x）=f'（1+x）+f'（1﹣x）=，所以F（x）在x∈（0，1]上单调递增，F（x）＞F（0）=0，也即f（1+x）＞f（1﹣x）对x∈（0，1]恒成立．由0＜x1＜1＜x2，则1﹣x1∈（0，1]，所以f（1+（1﹣x1））=f（2﹣x1）＞f（1﹣（1﹣x1））=f（x1）=f（x2），即f（2﹣x1）＞f（x2），又因为2﹣x1，x2∈（1，+∞），且f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以2﹣x1＜x2，即证x1+x2＞2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
湖南省长沙市高二数学上学期期末试题文(含解析)
2016-2017学年湖南省长沙市高二（上）期末数学试卷（文科）、选择题：本大题共 15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求1 .命题“若a> b,则2a >2b ”的逆否命题是（ ）A.若 a < b,则 2a < 2b B.若 a> b,则 2a < 2bC.若 2a < 2b ,贝U a < bD.若 2a < 2b ,贝U a >b 2.用反证法证明命题“设a, b 为实数，则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程x 3+ax+b=0没有实根B. 方程x 3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根5. 设 f (x) =xlnx ，若 f ' ( x(0 =2,贝U x 0=( )A. e 2B. eC.D. ln26.如图是2016年某大学自主招生面试环节中， 七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）D. 3. A.4. A. 方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根双曲线占_一v'l 的焦点坐标是（）3（士厄，町 B. （0, ±死）C .（土 2, 0）甲、乙两人下棋，和棋概率为 —,乙获胜概率为D. （0, ±2）甲获胜概率是（B.C.D.A. 84, 84B. 84, 85C. 86, 84D. 84, 867.如图，M是半径R的圆周上一个定N,连接MN则弦MN 点，在圆周上等可能的任取一点的长度超过寸2 R的概率是（）9.对具有线性相关关系的变量 x, y 有一组观测数据(xi , yi) (i=1 , 2, - ^),其回归直线±何)C. (7, ±2屈)D. (- 7, ±^4)11.已知函数f (x) =x 3- ax 2+1在区间(0, 2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. a > 3 B . a=3 C.F I 、Fa 的椭圆^^ + 丫*=1和双曲线兰广一y*=1 , P 是它们的一个交点,5：3则^ F 1PF 2的形状是(13.若命题" ? x C R, ax 2 - ax - 2< 0”是真命题，则实数 a 的取值范围是( A. [ - 8, 0] B . (- 8, 0] C . [ - 8, 0) 14.设f (x), g (x)是定义域为R 的恒大于零的可导函数， 且f (x) ?g (x) -f (x) ?g'(x) v 0,则当 avxv b 时，有( )A. f (x) ?g (x) > f (b) ?g (b)B. f (x)?g (a) >f (a) ?g (x) C . f (x) ?g (b) >f (b) ?g (x) D.f (x) ?g (x) >f (a) ?g (a)15. 已知抛物线 C: y 2=4x 的交点为F,直线y=x - 1与C 相交于A, B 两点，与双曲线E:冬厂a2*y=2 (a>0, b>0)的渐近线相交于 M N 两点，若线段 AB 与MN 的中点相同，贝U 双曲线E 离心率为(f (x) =x 3 - 12x 的极小值点，贝U a=()A. - 4B. - 2C. 4D. 2方程是A.1 16x+a ，且 X I +X 2+X 3+…+x 8=2 (y 1+y 2+y 3+•••+y 8)=6,则实数 a 的值是()C.10.若抛物线y 2=8x 上一点P 到其焦点的距离为 9,则点P 的坐标为(A. (7, ± V14)B. (14, 12.已知有相同两焦点 A.锐角三角形B. B 直角三角形C.钝有三角形D.等腰三角形D. (- 8, 0)C.8.已知 a 为函数二、填空题：本大题共 5小题，每小题3分，共15分.16.已知i 是虚数单位，贝U 里【=.1*117. 对任意非零实数 a 、b,若a?b 的运算原理如图程序框图所示，则 3?2=18.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 10行从左向右的第3个数为.12 3i 5 6 7 3 3 1011 12 13 14 152 2v v19.曲线C 的方程为 —^=1,其中m n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事 ni n22件A 为"方程%+今■二1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么事件A 发生的概率PA)=iri n20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知P 是函数f (x) =e x (x>0)的图象上的动点，该图象 在点P 处的切线l 交y 轴于点M 过点P 作l 的垂线交y 轴于点N,设线段MN 的中点的纵坐 标为t ,则t 的最大值是.A ,三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴5sint为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 p sin 0 =2.(1) 将C 测参数方程化为普通方程;(2) 直线l 与曲线C 交于A, B 两点，求AB 的长度.22.设p ：实数x 满足(x - a) (x - 3a) v 0,其中a> 0, q ：实数x 满足• (1)若a=1，且p A q 为真，求实数x 的取值范围; (2) p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.23.某高校共有学生 15 000人，其中男生10 500人，女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况， 采用分层抽样的方法， 收集300位学生每周平均体育运动时间的 样本数据(单位：小时)(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为： [0 , 2] , (2, 4] , (4, 6] , (6, 8] , (8, 10] , (10, 12] .估 计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过 4小时，请完成每周平均体并判断是否有95%勺把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” .21.已知曲线C 的参数方程为 育运动时间与性别列联表, P (Ck0)0.10 0.05 0.010 0.005 k 02.7063.8416.635n )27.879附：K 2=. J+b)J+d)缶+c)(b+d)(2)若，求 k 的值.x25.已知函数 f (x) n 己 . xe fl (1) 求f (x)的最大值；(2) 当x>0时，f (x) >―|—，求正实数a 的取值范围.ax +1(0, -/耳)，(0,珀)的距离之和等于 4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C 交于A, B 两点.(1)写出C 的方程;2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 .命题“若a> b,则2a>2b”的逆否命题是（）A.若a < b,则2a< 2bB.若a> b,则2a< 2bC.若2a< 2b,贝U a < bD.若2a < 2b,贝U a >b【考点】21：四种命题.【分析】根据命题“若p,则q”的逆否命题是“若「q,则「p”，写出即可.【解答】解：命题“若a>b,则2a>2b”的逆否命题是“若2a< 2b，则 a < b”，故选：C.2.用反证法证明命题“设a, b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9:反证法与放缩法.【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a, b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根.故选：A.3 双曲线g-择二1的焦点坐标是（）A .〔土扼，Q) B. (0, 士扼)C .(土 2, 0)【考点】KC 双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在 x 轴上，由平方关系算出 c */ + b2=2,即可得到双曲线的焦点坐标.2【解答】解：...双曲线方程为 史一一v 2=[3 y 1•,•双曲线的焦点在 x 轴上，且a 2=3, b 2=1 由此可得c=J/ + h 2=2,..•该双曲线的焦点坐标为(土 2, 0) 故选：C【考点】C7:等可能事件的概率.5. 设 f (x) =xlnx ，若 f ' ( Xo) =2,贝U Xo =( )A. e 2B. eC.D. ln2du【考点】65:导数的乘法与除法法则.【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出 f (x°) =2解方程即可. 【解答】 解：f (x) =xlnxf ' ( x°) =2■- lnx 0+1=2 . . x0=e,D. (0, ±2)4.甲、乙两人下棋’和棋概率为£，乙获胜概率为1甲获胜概率是(A.B. C. D.【分析】由于甲获胜与两个人和棋或乙获胜成立;获胜概率即可. …一 »口 |L 11【解答】解：甲获胜概率是i -斗号=4甲获胜概率等于1减去和棋概率再减去乙故选B.6.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为(A. 84, 84B. 84, 85C. 86, 84D. 84, 86【考点】BA茎叶图.【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84, 84, 86, 84, 87的中位数为84;众数为：84;故选A.7.如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N,连接MN则弦MN的长度超过J^R的概率是( )A.B.【考点】CF:几何概型.【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦MN勺长度超过扼R的图形测度，再代入几何概型计算公式求解.【解答】解：本题利用几何概型求解.测度是弧长.根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过L：R'对应的弧，其构成的区域是半圆则弦MN的长度超过J顶R的概率是P= 故选：D.8.已知a为函数f (x) =x3 - 12x的极小值点，贝U a=( )A. - 4B. - 2C. 4D. 2【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】可求导数得到f' (x) =3x2-12,可通过判断导数符号从而得出 f (x)的极小值点，从而得出a的值.【解答】解：f' ( x) =3x2-12;x< - 2 时，f' ( x) >0, - 2 < xv 2 时，f' ( x) V 0, x > 2 时，f' ( x) >0;•■-x=2是f (x)的极小值点；又a为f (x)的极小值点；..a=2.故选D.9.对具有线性相关关系的变量x, y有一组观测数据(xi , yi) (i=1 , 2, - ^),其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2 (y1+y2+y3+•••+y8)=6,则实数 a 的值是( )A.【考点】BK线性回归方程.【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可.［解答】解：：X I+X2+X3+•••+x8=2 ( y1+y2+y3+•••+y8)=6,代入回归直线方程得, +a,样本中心点的坐标为( ，故选：B10.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9,则点P的坐标为( )A. ( 7,B. (14，土VH)C. (7, ± ^4)D. (—7, ± ^4)【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】设P的坐标为(m n),根据抛物线的定义得m+2=9解出m=7,再将点P (7, n) 代入抛物线方程，解之可得n=± Vfi，由此得到点P的坐标.【解答】解：设P (m, n),则•.•点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9,..•点P到抛物线y2=8x准线x= - 2的距离也为9,可得m+2=9 m=7.••点P (7, n)在抛物线y2=8x上•■- n2=8X 7=56,可得n=± 2^f^,因此，可得点P的坐标为(7, ± ^^4),故选C.11.已知函数f (x) =x3- ax2+1在区间(0, 2)内单调递减，则实数a的取值范围是( ) A. a > 3 B. a=3 C. a < 3 D . 0v av 3【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.求出导函数，令导函数小于等于 0在(0, 2)内恒成立，分离出参数 a,求出函数【分析】 的范围, 得到a 的范围.解：••,函数 f （x ） =x 3 - ax 2+1 在（0, 2） 内单调递减,•■-f z （x ） =3x 2- 2ax<0 在（0, 2）内恒成立,内恒成立,故选A12.已知有相同两焦点2F I 、F2的椭圆匹一 5+ 丫2二］和双曲线 一-y*二1 , P 是它们的一个交点,3则^ F1PF2的形状是(:•在（0, 2） 即2A.锐角三角形B. B直角三角形C.钝有三角形D.等腰三角形【考点】KF:圆锥曲线的共同特征.【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长熊，双曲线的实轴长为2沔，不妨令P在双曲线的右支上，根据椭圆和双曲线的性质以及勾股定理即可得到结论. 【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长福，双曲线的实轴长为2厄,不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF i| - |PF2|=2如①由椭圆的定义|PF i|+|PF 2|=2扼②①用2得|PF i| 2+|PF2|2=4又|F i F2|=4 ,.•.|PF i| 2+|PF』2=|F i F2| ,则^ F i PF2的形状是直角三角形故选B.i3.若命题" ? x C R, ax2 - ax - 2< 0”是真命题，则实数a的取值范围是( )A. [ - 8, 0] B .(- 8, 0] C . [ - 8, 0) D. (- 8, 0)【考点】2H:全称命题.【分析】对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解：命题"? x e R, ax? - ax - 2v 0”是真命题，令 f (x) =ax2- ax - 2,a=0 时，f (x) = - 2v 0 成立.f a<COa乒0时，？x € R, f (x) =ax2- ax- 2< 0恒成立，则< 令》,解得-lA=(-a)Mx(-2)a<08< a v 0.综上可得：-8v a v 0.故选：A.i4.设f (x), g (x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f (x) ?g (x) -f (x) ?g'(x) v 0,则当avxv b 时，有(A. f (x) ?g (x) > f (b) ?g (b)B. f(x) ?g (a) >f (a) ?g (x) C . f (x) ?g (b) >f (b) ?g (x)D. f (x) ?g (x) >f (a) ?g (a)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.判断出结论.故选：A.215. 已知抛物线 C: y 2=4x 的交点为F,直线y=x - 1与C 相交于A, B 两点，与双曲线E:三了 2 7=2 (a>0, b>0)的渐近线相交于 M N 两点，若线段 AB 与MN 的中点相同，贝U 双曲线E 离心率为( )A. 一B. 2 C 二 D..'；【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得2线方程代入渐近线方程， 求得M 和N 点坐标，则・字 虻=3,即可求得 【解答】 解：由题意，设 A (XI , yD, B (x2, y2), AB 的中点D,「° '，整理得：x 2- 6x+1=0,L y=x-1由韦达定理可知：X I +X 2=6,X D --------- =3,贝U yo=xD — 1=3,【分析】令F (x)¥ 思⑴,可得 F ( x)V0, x € R 即可【解答】解：令F f (x) r (x)玄「则 F ，(x)f (x)g(x)-f (x)= ----------------------- = ------ Ax)•••函数F (x)在( a, b)上单调递减.•.•F (a) >F (b),即HQ原(X)f (x)g (b) > f (b) g (x).AB 的中点D,将直,化为:>V b .ca= -- b, e=—线段AB 的中点坐标为D （3, 2）.直线y=x-1与双曲线的渐近线 y 上x 联立，可得 M （巨二，〜-）,a a-ba-b与双曲线的渐近线 y=-旦x 联立，可得N （W-,- 上），aa+b a+ba 2 I b叮线段 MN 勺中点坐标为（ - --- , ----- -- ）,a -b 2 a -b 2二、填空题：本大题共 5小题，每小题3分，共15分.□ I ■■16. 已知i 是虚数单位，贝U —-^= 1+2i .1-1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】 解:故答案为：1+2i .17. 对任意非零实数 a 、b,若a?b 的运算原理如图程序框图所示，则 3?2=•.•线段AB 与MN 的中点相故选：C.【分析】根据a?b 的运算原理知a=3, b=2,通过程序框图知须执行 牛，故把值代入求解. b 【解答】 解：由题意知，a=3, b=2;再由程序框图得，3V 2不成立, 故执行尊L,b治+1得到 3?2= 二二=2.b故答案为：2.18. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 数为 48i 5 6 7 3 9 10 11 12 13 14 15■ ■ ■ ■ ■ I H ■ ■ n ■ ■ ■ ■■【考点】84:等差数列的通项公式； 8B:数列的应用.【分析】先找到数的分布规律，求出第 n- 1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第 n行从左向右的第3个数，代入n=10可得. n-1行结束的时候共排了 1+2+3+…+ (n - 1)个数,10行从左向右的第3个【解答】解：由排列的规律可得，第【考点】EF:程序框图....第n行从左向右的第3个数为命;+3见二竺i把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48故答案为：482 219.曲线C的方程为土+%二1，其中m n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事in n件A为“方程W+W二1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率PA) =_车【考点】CC列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】易得总的基本事件共36个，表示椭圆的共15个，由概率公式可得.【解答】解：m n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共6X 6=36,..•事件A表示焦点在x轴上的椭圆”「•mAn,列举可得事件A包含(2, 1), (3, 1), (3, 2),(4, 1),(4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2),(5, 3),(5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4),(6, 5)共15 个. •P (A)-36=12 '国12故答g：20.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f (x) =e x (x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐-、，… 1 1标为t,则t的取大值是了(e+e ) .£—■【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先设切点坐标为(m e^ ,然后根据导数的几何意义求出函数 f (x)在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可.【解答】解：设切点坐标为(m eT该图象在点P处的切线l的方程为y- e m=e m (x - m. 令x=0,解得y= (1 - g e m过点P作l的垂线的切线方程为y - e m= - e m (x- m).令 x=0,解得 y=e%me m ..，•线段MM 勺中点的纵坐标为t=^ [ (2 - m) e m +me m ].2t'= § [ - e% (2 - m e m+^ m - me 17]，令 t'=0 解得：m=1.当 (0, 1)时，t' > 0,当 m£ ( 1, +8)时，t' v 0. .••当m=1时t 取最大值](e+e 1).……，1i故答案为：二(e+e 1).2三、解答题：本大题共 5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .x —^-l-Scos t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴y=5t5sint为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 p sin 0 =2.（1）将C 测参数方程化为普通方程；（2）直线l 与曲线C 交于A, B 两点，求AB 的长度.【考点】QH 参数方程化成普通方程.【分析】（1）消去参数t,求出C 的普通方程即可；（2）求出直线l 的普通方程，联立直线 和圆，求出弦长即可.Z:，故(X- 4) 2+ (y - 5) 2=25;(2) 直线l 的极坐标方程为 p sin 0 =2,直线l 的普通方程为y=2,y=22+(y-5)2=25故 |AB|=8 .22. 设p ：实数x 满足（x - a ） （x - 3a ） v 0,其中a> 0, q ：实数x 满足， （1）若a=1，且p A q 为真，求实数x 的取值范围; （2）p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.f【解答】 解：（1）曲线C 的参数方程为（t 为参数），解得或,【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断；2E:复合命题的真假.【分析】(1)利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题p, q,命题p与q都为真命题，即可得出.(2) p是q的必要不充分条件，可得二，即可解出.【解答】解：(1)当a=1, (x-1) (x - 3) v 0,解得 1 vxv 3,由-<0.解得2vx< 3,• p, q均正确，2 v x v 3,故实数x的取值范围为(2, 3),(2) p是q的必要不充分条件，-■ p 为av xv 3a,J*解得1 v av 2,故实数a的取值范围(1,2].23.某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0 , 2] , (2, 4] , (4, 6] , (6, 8] , (8, 10] , (10, 12] .估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%勺把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” .P (阵k0) 0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附：K2=—— --------------------------- .(吕+c)(b+d)网:推L!0.125 ----------- (klOO 一 — 0.075 ___________。
湖南省长沙市天心区长郡中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
长郡中学2019-2020学年度高二第一学期期末考试数学一､选择题(每小题3分,共45分)1.命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是( ) A. 若α≠4π，则tanα≠1 B. 若α=4π，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠4π D. 若tanα≠1，则α=4π 【答案】C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 2.某单位有职工100人,30岁以下的有20人,30岁到40岁之间的有60人,40岁以上的有20人,今用分层抽样的方法从中抽取20人,则各年龄段分别抽取的人数为( ) A. 2,8,10 B. 4,12,4C. 8,8,4D. 6,7,7【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样中每个样本被抽中的概率相等,即可求得各年龄段分别抽取的人数. 【详解】单位共有职工100人,用分层抽样的方法从中抽取20人 则每个人被抽中的概率为2011005= 30岁以下的有20人,所以应该抽取人数为12045⨯=人 30岁到40岁之间的有60人,所以应该抽取的人数为160125⨯=人 40岁以上的有20人, 所以应该抽取人数为12045⨯=人 综上可知,各年龄段分别抽取的人数分别为4,12,4人故选:B【点睛】本题考查了分层抽样的抽样比及各组的样本量,属于基础题.3.设P 是椭圆22149x y +=上的点,若1F ,2F 是椭圆的两个焦点,则12||||PF PF +=( )A. 4B. 8C. 6D. 18【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义,12||||2PF PF a +=即可求解.【详解】根据椭圆方程22149x y +=可知,为焦点在y 轴上的椭圆且29a = (0a >) 所以3a =根据椭圆定义可知12||||26PF PF a +== 故选:C【点睛】本题考查了根据椭圆方程判断焦点的位置,椭圆定义的理解与简单应用,属于基础题. 4.已知抛物线的标准方程2y ax =,则其焦点坐标为( ) A. (,0)4a B. (0,)4aC. (,0)4a -D. (0,)4a -【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程,求得对应的p ,即可求得焦点坐标. 【详解】因为抛物线的标准方程为2y ax = 所以焦点在x 轴上 则2a p =由焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入可得焦点坐标为,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了抛物线标准方程求焦点坐标,属于基础题.5.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程y bx a =+ ，其中11b =，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ ）万元A. 60B. 63C. 65D. 69【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据求出,x y ，然后根据线性回归方程中系数的求法得到a ，进而得到回归方程，然后求出当6x =时的函数值即为所求． 【详解】由表中数据可得1(12345)35x =⨯++++=，1(1015304550)305y =⨯++++=， 又回归方程y bx a =+中11b =，∴ˆ301133a y bx=-=-⨯=-， ∴回归方程为113y x =-． 当6x =时116363y =⨯-=，所以可估计当投入6万元广告费时，销售额约为63万元． 故选B ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法和其应用，考查计算能力和应用意识，解题的关键是求出系数a ，属于基础题． 6.二项式1022)x展开式中的常数项是( ) A .180B. 90C. 45D. 360【答案】A【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【详解】解：二项式1022)x展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=⋅⋅，令5502r -=，求得 2r =，可得展开式中的常数项是22102180C ⋅=， 故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．7.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D 【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种． 故选D.8.已知条件p ：4 6x -≤；条件q ：22(1)0 (0)x m m --≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A. [)21,+∞ B. [)19,+∞ C. [)9,+∞ D. ()0,+∞【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意，得条件p ：210x -≤≤，条件q ：11m x m -≤≤+，则由p 是q 的充分不必要条件，得12{110m m -≤-+≥，其中等号不可能同时取得，所以9m ≥，故选C ．考点：1、不等式解法；2、充分与必要条件． 9.若直线220x y 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A. 2215x y +=B. 22145x y += C. 2215x y +=或22145x y +=D. 以上答案都不对【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在x 轴还是在y 轴上，所以分情况讨论．【详解】解：设焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为22221(0)x ya b a b+=>>∴焦点坐标为(,0)c -，(,0)c ，顶点坐标为(0,)b ，(0,)b -；椭圆的a ，b ，c 关系：；222a c b -= 直线220x y 恒过定点()0,1和()2,0-∴直线220x y 必经过椭圆的焦点(,0)c -，和顶点(0,)b带入直线方程：222200220c b a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得：2c =，1b =，a =∴焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为2215x y +=； 当设焦点在y 轴，椭圆的标准方程为22221(0)y xa b a b+=>>∴焦点坐标为(0,)c -，(0,)c ，顶点坐标为(,0)b -，(,0)b ；椭圆的a ，b ，c 关系：222a c b -= 直线220x y 恒过定点()0,1和()2,0-∴直线220x y 必经过椭圆的焦点(0,)c ，和顶点(,0)b -带入直线方程222022020c b a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得：1c =，2b =，a =∴焦点在y 轴上，椭圆的标准方程为22145x y +=．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在x 轴还是在y 轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．10.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（ ）A.B. C. 24 D. 48【答案】C 【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为1210F F =.根据题意和双曲线的定义知1222241233PF PF PF PF PF =-=-=,所以26PF =,18PF =, 所以2221212PF PF F F +=,所以12PF PF ⊥.所以121211682422PF F S PF PF =⋅=⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.11.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( ) A. 3 B. 4C. 6D. 5【答案】A 【解析】 【分析】设出圆柱的底面半径R ,母线长l ,由体积为27π可用R 表示出l .根据用料最省,使侧面积和底面积的和最小即可.根据题意可得面积和的表达式,集合导数即可求得用料最省时底面的半径.【详解】设圆柱的底面半径为R ,母线长为l ,则227V R l ππ==, 所以227l R=, 要使用料最省,只需使圆柱的侧面与下底面积之和S 最小, 由题意可得222722S R Rl R Rππππ=+=+⋅. 对面积和求导可得2542S R R ππ'=-, 令0S '=,得3R =当03R <<时,0S '<,即254S R Rππ=+在03R <<内单调递减 当3R <时,0S '>,即254S R Rππ=+在3R <时单调递增 所以当3R =时,S 取得最小值, 故选：A.【点睛】本题考查了圆柱体积与表面积的综合应用,根据导函数求函数的最值,属于基础题.12.函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A. ()1,1- B. ()1,-+∞C. (),1-∞-D. (),-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解.【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 13.下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a∈R )的导函数y ＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )A. 13B. －23 C. 73D. －13或53【答案】D 【解析】∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53； 若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0， ∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13. 故选D14.在区间()0,6中任取一个实数a ，使函数()()3,137,1x a x f x a x a x +⎧≤-⎪=⎨--+>-⎪⎩，在R 上是增函数的概率为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】由函数f （x ）()31371x a x a x a x +⎧≤-⎪=⎨--+-⎪⎩，，＞是增函数，解得1＜a ≤2，由此利用几何概型能求出所求的概率．【详解】∵函数f （x ）()31371x a x a x a x +⎧≤-⎪=⎨--+-⎪⎩，，＞是增函数，∴213037a a a a a >⎧⎪-⎨⎪≤--+⎩＞，解得1＜a ≤2， ∴由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值a ，则函数f （x ）()31371x a x a x a x +⎧≤-⎪=⎨--+-⎪⎩，，＞是增函数的概率为p 211606-==-． 故选A ．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型及分段函数单调性的应用，几何概型概率的值是常常通过长度、面积、或者体积的比值得到，本题属于中档题． 15.已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞则a 的值为( )1B.34C.431【答案】A 【解析】【分析】先求得导函数,再对a 分类讨论.在各区间内根据导函数讨论函数的单调性,根据函数的最值求得a ,再分析是否符合题意即可.【详解】由2()xf x x a =+得()222()a x f x x a '-=+, 当1a >时, 若1x <<则()0f x '>,()f x 单调递增,若x 则()0f x '<,()f x 单调递减,故当x =,函数()f x 3=, 解得314a =<,不符合题意,舍去; 当1a =时,函数()f x 在[1,)+∞上单调递减,最大值为1()2f x =,不符合题意; 当01a <<时,函数()f x 在[1,)+∞上单调递减, 此时最大值为1(1)1f a ==+, 解得31a,符合题意,综上可知,a 1, 故选:A.【点睛】本题考查了利用导数及最值求参数,分类讨论思想的综合应用,利用导数研究函数的单调性与最值,属于中档题.二､填空题(每小题3分,共15分)16.在复平面内,O 是原点,向量OA 对应的复数是2i +,若点A 关于实轴的对称点为B ,则向量OB 对应的复数是__________. 【答案】2i - 【解析】 【分析】根据向量OA 对应的复数求得A 的坐标.再根据题意求得点B ,即可得向量OB 对应的复数. 【详解】因为平面内,O 是原点,向量OA 对应的复数是2i + 则()2,1A因为点A 关于实轴的对称点为B 所以()2,1B -所以向量OB 对应的复数为 2i - 故答案为:2i -【点睛】本题考查了复数的几何意义,复平面内点的坐标表示方法,属于基础题. 17.若()2,1,3a x =，()1,2,9b y =-且//a b ，则xy =_________. 【答案】14【解析】 【分析】根据空间向量共线的条件,解方程组即可求得xy 的值. 【详解】因为()2,1,3a x =,()1,2,9b y =-且//a b 则存在实数λ,满足λab所以()()2,1,31,2,9x y λ=-,即()211239x y λλλ⎧=⨯⎪=⨯⎨⎪=⨯-⎩,解方程组可得163213x y λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩所以131624xy ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为:14【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标简单应用,属于基础题.18.椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}1,2,3,4,5m ∈，{}1,2,3,4,5,6,7n ∈，则满足题意的椭圆的个数为______. 【答案】20 【解析】因为m n < 所以6543220++++=点睛：(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．19.已知抛物线24y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)B ，则||||PB PF +的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】过B 作BA ⊥准线，交准线于点A ，则||||PB PF +的最小值为||AB ，由此能求出||||PB PF +的最小值． 【详解】抛物线24y x =的焦点是F ，∴焦点(1,0)F ，准线方程1x =-，如图，过B 作BA ⊥准线，交准线于点A ，||||PB PF ∴+的最小值为||AB ， (||||)||134min PB PF AB ∴+==+=．故答案为：4．【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20.已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-,其中m 为参数,且满足5m ≤.若对任意1x ∈[4,+∞),存在2x ∈(-∞,4],使得12()()g x f x =成立,则实数m 的取值范围为________.【答案】7,{5}2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据12()()g x f x =,可知()g x 的值域是()f x 的值域的子集.根据()f x 的解析式,分类讨论4m ≤和45m <≤两种情况.分别求得两个函数的值域,即可求得m 的取值范围. 【详解】2()()2()x m m xx m f x x m --⎧≥=⎨<⎩, 则()g x 的值域是()f x 的值域的子集.①当4m ≤时,()f x 在(,)m -∞上单调递减,在[,4)m 上单调递增,故()()1f x f m ≥=.()g x 在[4,)+∞上单调递增,故()(4)82g x g m ≥=-.所以821m -≥,即72m ≤. ②当45m <≤时,()f x 在(,4]-∞上单调递减,故4()(4)2m f x f -≥=.()g x 在[4,)m 上单调递减,[,)m +∞上单调递增,故()()28g x g m m ≥=-.所以4228m m -≤-, 解得56m ≤≤,又45m <≤,所以5m =. 综上,m 的取值范围是7(,]{5}2-∞⋃.【点睛】本题考查了函数的单调性与最值的综合应用,存在性成立与恒成立的综合应用,根据最值关系求得参数的取值范围,属于中档题.三､解答题 (每小题8分,共40分)21.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率. 【答案】（1）20；（2）710【解析】 【分析】（1）选取的市民年龄在[]40,45内的频率，即可求出人数；（2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A 1，A 2，A 3从第4组选2人，记为B 1，B 2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出.【详解】（1）由题意可知，年龄在[]40,45内的频率为0.0250.1P =⨯=， 故年龄在[]40,45内市民人数为2000.120⨯=.（2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为1A ，2A ，3A ，第4组的2名分别为1B ，2B ，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.其中第4组的2名1B ，2B 至少有一名被选中的有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有7种，所以至少有一人的年龄在[)35,40内的概率为710.【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.22.如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（23【解析】【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC ⊥平面ABC ，可知PC DE ⊥，再分析已知由2,2DC DE CE ===得CD DE ⊥，这样与DE 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于2ACB π∠=，PC ⊥平面ABC ，因此,,CA CB CP 两两垂直，可以他们为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD 和平面CPD 的法向量12,n n ，向量12,n n 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论．试题解析：（1）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ＡＢＣ，故PC ⊥DE 由CE ＝２，CD=DE ２∆ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD ⊥DE由PC CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD （2）解：由（１）知，∆CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝4,π，如（１９）图，过点Ｄ作DF 垂直CE 于Ｆ，易知DF＝FC ＝EF ＝１，又已知EB ＝１，故FB ＝２．由∠ACB ＝2,π得DF //AC ，23DF FB AC BC ==，故AC ＝32DF ＝32． 以Ｃ为坐标原点，分别以,CA CB CP ， 的方程为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（32,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），(1,1,0),ED =- (1,1,3)(,1,0)DP DA １，２=--=-设平面PAD 的法向量111,,)n x y z １＝（， 由0n DP ⋅=１，0n DA ⋅=１，得11111130{(2,1,10+)12x y z n x y 故可取--==-=. 由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ,即2(1,1,0)n =-.从而法向量1n ，2n 的夹角的余弦值为1212123,=6||||n n cosn n n n ⋅〈〉=⋅，故所求二面角A-PD-C 的余弦值为6. 考点：考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．23.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2]∪(1,3)∪[2，＋∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. 解析：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2]∪(1,3)∪[2∞)24.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率e =，直线l 交椭圆于M 、N 两点． （1）若直线l 的方程为4y x=-，求弦MN 的长；（2）如果BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．【答案】（1）9；（2）65280x y --=【解析】 【分析】（1）由已知中椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率5e =，根据c e a =，4b =，222a b c =+可求出椭圆的标准方程，进而求直线l 的方程及弦长公式，得到弦MN 的长；（2）设线段MN 的中点为0(Q x ，0)y ，结合（1）中结论，及BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，由重心坐标公式，可得Q 点坐标，由中点公式及M ，N 也在椭圆上，求出MN 的斜率，可得直线l 方程．【详解】解：（1）由已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,4)B ，4b ∴=，又离心率c e a ==， 即2215c a =， ∴22215a b a -=，解得220a =， ∴椭圆方程为2212016x y +=；由224580x y +=与4y x =-联立， 消去y 得29400x x -=， 10x ∴=，2409x =，∴所求弦长219MN x =-=；（2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为0(Q x ，0)y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， (2∴，04)2(2x -=-，0)y ，故得03x =，02y =-， 求得Q 的坐标为(3,2)-；设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则126x x +=，124y y +=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， 以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，∴1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-=-=-+-， 故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=．【点睛】本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥曲线，熟练掌握椭圆的简单性质是重心坐标，中点公式等基本公式，是解答的关键． 25.已知函数2()3,()91xf x e xg x x =+=-.（1）讨论函数()ln ()(,0)x a x bg x a R b φ=-∈>在(1,)+∞上的单调性；（2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明. 【答案】（1）见解析（2）()()f x g x > 【解析】试题分析：（1）由题意，可采用导数法进行探究讨论，由函数()x ϕ求出其导数()x ϕ'，根据导数解析式中参数及未知数的范围，进行分类讨论，从而对导数()x ϕ'符号进行判断，从而问题可得解；（2）根据题意，可构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数法，通过研究函数()h x 的单调性及单调区间，求出其最小值()min h x ，并证明()min 0h x >，从而问题可得解.试题解析：（1）()999'9(1)a b x a a bx b x b x x x xφ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-==>，当19ab≤，即9a b ≤时，()'0x φ<，∴()x φ在()1,+∞上单调递减；当19a b ≤，即9a b >时，令()'0x φ>，得1,9a x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 令()'0x φ<，得,9a x b ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭. 故()x φ在1,9a b ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,9a b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）()()f x g x >. 证明如下：设()()()2391xh x f x g x e x x =-=+-+，∵()'329xh x e x =+-为增函数∴可设()0'0h x =，∵()'060h =-<，()'1370h e =->， ∴()00,1x ∈当0x x >时，()'0h x >；当0x x <时，()'0h x <. ∴()()02000min 391xh x h x e x x ==+-+又003290xe x +-=，∴00329x ex =-+，∴()()()220000000min 29911110110h x x x x x x x x =-++-+=-+=--， ∵()00,1x ∈，∴()()001100x x -->， ∴()min 0h x >，∴()()f x g x >.点睛：此题主要考查导数在研究函数的单调性、最值、以及不等式的证明中的应用，属于中高档题型，也是常考题.利用导数研究函数单调性的一般步骤，第一确定函数的定义域；第二求函数的导数；第三若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式()0f x '>或()0f x '<；若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式()0f x '≥或()0f x '≤在单调区间内恒成立的问题求解，在求解过程中要注意分类讨论.。
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【精品文档，百度专属】2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，867．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．29．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3 12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为．19．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b【解答】解：命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是“若2a≤2b，则a≤b”，故选：C．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）【解答】解：∵双曲线方程为∴双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：C．4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲获胜概率是1﹣故选：C．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．6．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，86【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选：A．7．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．2【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．9．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，∴=，=，∴样本中心点的坐标为（，），代入回归直线方程得，=×+a，∴a=．故选：B．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）【解答】解：设P（m，n），则∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得点P的坐标为（7，±2），故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，∴f′（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，∵，∴a≥3，故选：A．12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）【解答】解：命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，令f（x）=ax2﹣ax﹣2，a=0时，f（x）=﹣2＜0成立．a≠0时，?x∈R，f（x）=ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，则，解得﹣8≤a＜0．综上可得：﹣8≤a≤0．故选：C．14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=＜0，x∈R．∴函数F（x）在（a，b）上单调递减．∴F（a）＞F（b），即＞，化为：f（x）g（b）＞f（b）g（x）．故选：A．15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，，整理得：x2﹣6x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，x D==3，则y D=x D﹣1=3，∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（，﹣），∴线段MN的中点坐标为（，），∵线段AB与MN的中点相同，∴=3，∴a=b，则e===故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=1+2i．【解答】解：=，故答案为：1+2i．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=2．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3?2==2．故答案为：2．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为48．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）==个数，∴第n行从左向右的第3个数为+3=，把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48故答案为：4819．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．【解答】解：m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共6×6=36，∵事件A表示焦点在x轴上的椭圆”∴m＞n，列举可得事件A包含（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15个∴P（A）==，故答案为：20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），即，故（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；，（2）∵直线l的极坐标方程为ρsinθ=2∴直线l的普通方程为y=2，由，解得或，故|AB|=8．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由．解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）p是q的必要不充分条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计453075每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间16560225超过4小时总计21090300结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．（6分），即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．（12分）25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）令分母xe x+1=g（x），可得：g′（x）=e x（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（0）=1．（2）当x＞0时，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．则h′（x）=ax（x﹣）e x．①a≥时，h′（x）=ax2e x＞0，函数h（x）在x＞0时单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，满足条件．②0＜a＜时，函数h（x）在x=处取得极小值即最小值，x∈时单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不满足条件，舍去．综上可得：正实数a的取值范围是．Baiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu Baiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuiBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuduBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu adiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu赠送—高中数学知识点【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及在集合B中都有唯一确定的数()A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b ，满足a x b 的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb 的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足ax b ，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b 的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b ．注意：对于集合{|}x a xb 与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan yx 中，()2xkk Z ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y xb y xc y ，则在()0a y 时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B．a Ab B．如果元素a和元素b对应，那么②给定一个集合A到集合B的映射，且,我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．。