最新全国数学竞赛试题及答案详解

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教育部数学竞赛试题及答案

教育部数学竞赛试题及答案试题一：代数部分1. 计算下列表达式的值：$ (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) $，当$ x = 2 $。

2. 解方程：$ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $。

3. 证明：对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，$ (a + b)^2 \leq2(a^2 + b^2) $。

试题二：几何部分1. 已知三角形ABC中，角A为30度，角B为45度，求角C的度数。

2. 圆O的半径为5，点P在圆上，OP=3，求点P到圆心O的切线长度。

3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

试题三：概率统计部分1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

2. 从1到10的整数中随机选择一个数，求这个数是奇数的概率。

3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选择5名学生，求至少有3名男生的概率。

试题四：数论部分1. 证明：对于任意正整数 $ n $，$ n^5 - n $ 总是能被30整除。

2. 求所有小于100的正整数，它们既是完全平方数，又是完全立方数。

3. 证明：不存在两个连续的完全平方数，它们的和是一个完全立方数。

答案：试题一：1. 将 $ x = 2 $ 代入表达式，得到 $ (2^2 - 3*2 + 2) / (2 -1) = 0 $。

2. 解方程 $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $，使用公式 $ x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，得到 $ x = \frac{-5 \pm\sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} $，即 $ x = -2 $或 $ x = \frac{1}{2} $。

3. 证明：$ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $，而 $ 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 $，显然 $ 2ab \leq 2a^2 + 2b^2 $，所以 $ (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) $。

数学竞赛试题及答案

数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数加1后除以3的余数是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 100答案：A4. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？A. 200B. 300D. 500答案：B5. 一个班级有21个男生和一些女生，班级总人数是42人，那么这个班级有多少女生？A. 21B. 20C. 19D. 18答案：B6. 下列哪个分数是最接近1的？A. 1/2B. 3/4C. 4/5D. 9/10答案：D7. 一个数的1/3与它的1/4的和等于这个数的1/2，那么这个数是多少？A. 12B. 24C. 36D. 48答案：B8. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64答案：B9. 一个数的3倍加上12等于这个数的7倍，求这个数是多少？A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C10. 下列哪个数是质数？A. 15B. 29C. 35D. 50答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个长方形的长是15cm，宽是长的1/3，那么这个长方形的宽是_______cm。

答案：5cm12. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么现价是______元。

答案：28元13. 一个数的1/2与它的1/4的差等于3，那么这个数是______。

答案：1214. 一个数的倒数是1/7，那么这个数是______。

答案：715. 一个数的1/5加上它的1/3，和是这个数的______。

答案：8/15三、解答题（每题10分，共40分）16. 一块地的面积是300平方米，如果长是30米，那么这块地的宽是多少米？答案：这块地的宽是300平方米除以30米，即10米。

全国初中数学竞赛试题及解答

ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。

请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。

4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。

数学竞赛试题(带答案)

数学竞赛试题一、选择题(本题共8小题．每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的．请将正确选项的代号填在题后的括号内．1．如果a ，b ，c 是非零实数，且a+b+c=O ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或-1C ．2或-2D ．0或-22．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )．A ．a+lB ．a 2+lC ．a 2+2 a+1 D ．a+22+l 3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛．比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局．如果丙负3局，那么丙胜( )．A ．O 局B ．1局C ．2局D ．3局4．关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235332只有5个整数解．则a 的取值范围是( )．A ．-6<a<-211B ．-6≤a<-211 c ．-6<a≤-211 D ．-6≤a ≤-211 5．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=l ，则这个正方形的面积为( )．A ．2537+B ．253+C ．215+ D ．(1+2 )2 6．某种产品按质量分为l 0个档次．生产最低档次产品，每件获利润8元．每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，那么k 等于( )．A ．5B ．7C ．9D ．107．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )．A ．50° B．45° C．40° D．35°8．已知四边形ABCD ，从下列条件中：(1)AB∥CD； (2)BC∥AD； (3)AB=CD ； (4)BC=AD ；(5)∠A =∠C； (6)∠B =∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( )．A ．4种B ．9种C ．1 3种D ．1 5种二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案直接填写在对应题目的横线上．9．已知-l<a<0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得． 10．如图，已知AD=DB=BC ．如果∠C=α，那么∠ABC=11．甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43．然而实际情况并不理想．甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31 的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31 ．则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为12．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元．则租用该公司客车最少需要租金．三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)：13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°CD 是角平分线，DE∥BC 交A C 于点E ，DF∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=2AE·BF．14．设方程20022x 2-2003·2001 x -l=0的较大根是r ，方程2001 x 2-2002 x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值．15．在1 8×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于1 0．初中数学竞赛一、选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B二、填空题9．一a 2 10．180°一23a 11．2：l 12．3520(1)当a 和b 所在的方格既不同行又不同列时，从 a 所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a 和b 既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a 所在的方格到达b 所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b -a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a 和b 所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．。

2024全国高中数学奥林匹克竞赛试题

1、设a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，则1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为多少？A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2解析：本题主要考察不等式的应用及求解最值问题。

通过运用柯西不等式，我们可以推导出1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值。

经过计算，当且仅当a=b=c=1/3时，取得最小值1。

（答案）A2、在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，b=3，且三角形ABC的面积为(3√3)/4，则c的值为多少？A. 1B. 2C. √7D. √13解析：本题主要考察三角形的面积公式及余弦定理。

根据三角形面积公式S=(1/2)absinC，我们可以求出sinC的值，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合sin²C+cos²C=1，可以求出c的值。

经过计算，c=√7。

（答案）C3、设正整数n满足：对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k，则n的最大值为多少？A. 60B. 120C. 240D. 360解析：本题主要考察整除的性质及数论知识。

我们需要找到一个正整数n，使得对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k。

通过分解k⁵-k，我们可以发现其包含因子2, 3, 4,5等，结合这些因子的性质，我们可以求出n的最大值。

经过推导，n的最大值为120。

（答案）B4、已知数列{an}满足a₁=1，且对于任意的n∈N*，都有aₙ₊₁=aₙ+n+1，则a₁₀的值为多少？A. 46B. 50C. 55D. 66解析：本题主要考察数列的递推关系及求和公式。

根据题目给出的递推关系aₙ₊₁=aₙ+n+1，我们可以逐步求出数列的项，或者通过求和的方式直接求出a₁₀。

经过计算，a₁₀=55。

（答案）C5、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则三角形ABC外接圆的圆心到原点O的距离为多少？A. √2/2B. √5/2C. √10/2D. √13/2解析：本题主要考察三角形外接圆的性质及距离公式。

全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为（） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则（）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试（A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试（B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解：由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。

全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分,共30分。

）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D)a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（）．（A)2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2）,那么另一个交点的坐标为（ )．（A ）（2，3）（B ）（3，－2） (C ）（－2,3）（D ）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y )的个数为（）．（A ）10 （B ）9 (C ）7 （D ）53（甲)．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )． (A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D)143（乙）．如图,四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为( ）． (A)23 （B)4 （C ）52 （D)4。

54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说:“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是( ）．OAB CED(A ）1 （B ）2 （C ）3 (D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D) 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是（）． (A ）0p （B ）1p (C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有111123100，　，，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后,黑板上剩下的数是（）．(A ）2012 (B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x "到“结果是否>487？"为一次操作。

全国2022年初中数学联合竞赛试题【含答案】

全国2022年初中数学联合竞赛试题（含答案解析）一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+.6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为（）A ．1. B ．23. C ．2. D ．25.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．8．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．9．能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为．10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF的中点，则BAAB ＝．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =．C A B三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．三．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同.一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组.5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+.6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为（） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25.【答案】C.【解析】已知等式得2=+++z y x zx xy ，3=+++z y x xy yz ，4=+++zy x yz zx ，所以29=++++z y x zx yz xy ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．8．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．c b c b 42422-=-，10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DCAD =．三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．若11MM NN =，则1111)1(NN MM MM NN PD λλ-+===．若11MM NN >，同理可证11)1(NN MM PD λλ-+=． ………15分三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.。

2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及参考答案

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题（含参考答案）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为．答案：2．解：22910181nnnnz z．因21812023z ，而当3n 时，181132023nn n z，故n 的最大值为2．2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为．答案：20．解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777C C C x y z”发生的概率为．答案：127．解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777C C C x y z”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}x y z ”成立，相应的概率为321627． 4. 若平面上非零向量,, 满足，2|| ，3|| ，则||的最小值为．答案：23．解：由，不妨设(,0),(0,)a b ，其中,0a b ，并设(,)x y，则由2||得2by a ，由3|| 得3ax b ．所以2232||2223b ax y xy a b．取3,2a b ，此时6x y ，||取到最小值23．5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为．答案：130 ．解：将2cos212sin x x 代入方程，整理得(2sin 1)(sin 1)0x x ，解得532,2,2()662Z x k k k k．上述解亦可写成2()36Z k x k，其中0,1,,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为192219202013036326k k． 6. 设,,a b c 为正数，a b ．若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是．答案：7,518．解：由条件知2222()()()ax bx c a x a x b ax a ab x a b ，比较系数得22,b a ab c a b ，故24,11a a b c a a，从而 24231a a a b c a a a a a ．由于201a a b a，故112a ．此时显然0b c ．因此，,,a b c 是一个三角形的三边长当且仅当a c b ，即4211a a a a a，即2(1)0a a a ，结合112a ，解得15122a ．令23()f x x x x ，则()a b c f a ．显然当0x 时()f x 连续且严格递增，故a b c 的取值范围是151,22f f，即7,518 ． 7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)x y a b a b内，且与有唯一的公共点(8,9)．则的焦距为．答案：10．解：根据条件，可设圆心为(,)P r r ，则有222(8)(9)r r r ，解得5r 或29r ．因为P 在内，故5r ．椭圆在点(8,9)A 处的切线为2289:1x y l a b ，其法向量可取为2289,n a b．由条件，l 也是圆的切线，故n 与PA 平行，而(3,4)PA ，所以223227a b．又2264811a b ，解得22160,135a b ．从而的焦距为22210a b ．8. 八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为．AB C D EFGH答案：392．解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2m n 阶图(,)G m n 在3,3m n 时的特殊情况．231-3-20P-1 G (m , n )Pn...210-1-2-m ...取卡片（顶点）的规则可解释为：(i) 若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii) 若顶点P 未取走，则必为某个(,)(,0)G m n m n 的情形，此时若0m ，则将P 视为1 号顶点，归结为(i)的情形；若0,0m n ，则将P 视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,1m n ，则当前可取P 或m 号顶点或n 号顶点，分别归结为(i)或(1,)G m n 或(,1)G m n 的情形．设(,)G m n 的符合要求的顶点选取次序数为(,)f m n ，本题所求即为(3,3)f ．由(i)、(ii)知1(,0)2(0)m f m m ，1(0,)2(0)n f n n ，且(,)2(1,)(,1)(,1)m n f m n f m n f m n m n ．由此可依次计算得(1,1)12f ，(1,2)(2,1)28f f ，(1,3)(3,1)60f f ，(2,2)72f ，(2,3)(3,2)164f f ，(3,3)392f ，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x ，F 为的焦点，,A B 为上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点．求点Q 的轨迹方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ．不妨设AP PQ QB ，则121222,33x x y y P．易知(1,0)F ．由于点P 位于线段OF 上，故122[0,1]3x x ，12203y y ． ……………4分可设12,2y t y t ，则2212,4t x x t ．此时有2122[0,1]32x x t ，且由,A B 不重合知0t ，所以2(0,2]t ． ……………8分设(,)Q Q Q x y ，则21212232,343Q Q x x y y x t y t，有243Q Q y x ．注意到2330,42Q x t ，故点Q 的轨迹方程为243(0)32y x x ．……………16分10.（本题满分20分）已知三棱柱111:ABC A B C 的9条棱长均相等．记底面ABC 所在平面为．若的另外四个面（即面111111111,,,A B C ABB A ACC A BCC B ）在上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求的体积．解：设点111,,A B C 在平面上的投影分别为,,D E F ，则面11111,,A B C ABB A 1111,ACC A BCC B 在上的投影面积分别为,,,DEF ABED ACFD BCFE S S S S ．由已知及三棱柱的性质，DEF 为正三角形，且,,ABED ACFD BCFE 均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D 位于BAC 内的情形（如图所示）．显然此时有ABED ACFD BCFE S S S ． ……………5分XFEB DCA由于,,,23,33,43,53DEF ABED ACFD BCFE S S S S ，故,ABED ACFD S S 必为23,33的排列，53BCFE S ，进而43DEF S ，得DEF 的边长为4，即正三棱柱的各棱长均为4． ……………10分不妨设23,33ABED ACFD S S ，则333,2ABD ACD S S ．取射线AD 与线段BC 的交点X ，则23ABD ACD BX S CX S ，故85BX ．因此2242cos60195AX AB BX AB BX ，而58ABD ACD ABC AD S S AX S ，故192AD． ……………15分于是的高221352h AA AD．又43ABC S ，故的体积615ABC V S h ． ……………20分11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t ：对任意,[1,]a b t ，总存在,[1,]c d t ，使得()()1a c b d ．解：记[1,]t I t ，()()S a c b d ．假如2t ，则当a b t 时，对任意,t c d I ，均有2(1)1S t ，不满足要求．假如312t，则当1,2a b t 时，对任意,t c d I ，均有 21a c t ，12t b d ．若,a c b d 同正或同负，则2(1)1S t ，其余情况下总有01S ，不满足要求． ……………5分以下考虑322t 的情形．为便于讨论，先指出如下引理．引理：若1,2u v ，且52u v ，则1uv ．事实上，当32u v 时，22225312244u v u v uv ．当32u v 时，1131222uv ．引理得证．下证对任意,t a b I ，可取11,t c d I ，使得111()()1S a c b d ．① 若12a b ，则取111c d ，此时1(1)(1)(1)(1)S a b a b ，其中31311,12222a b b a ，且5(1)(1)2()2a b a b ，故由引理知11S ．若12a b ，则取1132t c d I ，此时13322S a b，其中331,222a b ，且3353222a b a b ，故由引理知11S ． ……………15分注意到，当,t a b I 时，可取2t c I ，使得21a c （例如，当[1,1]a 时取20c ，当(1,]a t 时取21c ），同理，可取2t d I ，使得21b d ．此时22222()()1S a c b d a c b d ．②根据①、②，存在一个介于12,c c 之间的实数c ，及一个介于12,d d 之间的实数d ，使得()()1a c b d ，满足要求．综上，实数t 满足要求当且仅当322t ． ……………20分。

第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)参考答案及评分标准

F= (b) 0 . 对 F (x) 在[a,b] 上利
a
∫ 用洛尔定理，存在 x0 ∈ (a,b) ，使得 F′(x0 ) = 0 ，即 f (x0 ) =
x0 f (t)dt .
a
---------------- 3 分
3
2021 年 05 月决赛试题
x
∫ 再令 G= (x)
f (x) − f (t)dt ，则 G= (a) a
−
2 x32
= 0 . 由此解得 u
113
在定义域内的唯一驻点 P0 (24 , 22 , 24 ) ，且 u 在该点取得最小值 u(P0 ) = 4 4 2 ，这是
113
函数唯一的极值. 因此 u 的唯一极值点为 (24 , 22 , 24 ) .
【注】也可用通常的充分性条件(海赛矩阵正定)判断驻点 P0 为极小值点.
1，2， ,s)
.
因为 p(D) = D 2021 ，所以
1
= p( A) p= (QDQT ) Q= p(D)QT Q= D 2021QT B .
--------------- 3 分
(3) 设另存在 n 阶实对称矩阵 C 使得 C2021=A ，则=B p= ( A) p(C2021) ，所以
1 2
(xn
+
yn
)
，
---------------- 4 分
这只需证明：对任意 n
≥
0
，都有
x+ 2
y
n
≤
An (x, x) n +1
≤
1 2
(xn
+
yn ) ，其中 0
<
x,

全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为．A 2c a -B 22a b -C a -D a 1乙．如果22a =-+那么11123a+++的值为．A 2-2222甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =xbb ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,22乙．在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的个数为．A10 B9 C7 D53甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是． A1 B214a - C 12 D 143乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为． A 23 B4 C 52 D4甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是． A1 B2 C3 D44乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是．A 5B 6C 7D 85甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是．A 0pB 1pC 2pD 3p5乙．黑板上写有111123100，　，，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是．A2012 B101 C100 D99二、填空题共5小题,每小题6分,共30分6甲．按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 . 6乙.如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么OAB CE a b cb c c a a b+++++的值为． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 ;8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为．8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 .9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则ac的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD ,交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的长为 .xyO ECABD10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为．三、解答题共4题,每题15分,共60分11甲．已知二次函数232y x m x m =++++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上,48,,sin 5AO AB AC C ==∠AB =;点D 在线段AB 上,连结CD交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式; 12甲. 如图,⊙O 的直径为AB ,1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >．点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O 交于点F ,求证：△BOC ∽△1DO F ．12乙．如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： 1OI 是△IBD 的外接圆的切线； 2AB +AD = 2BD .13甲. 已知整数a ,b 满足：a －b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值. 13乙．给定一个正整数n ,凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒并说明理由．14甲. 求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ，，　，,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=. 14乙．将2,3,…,n n ≥2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，可以相同,使得b a c =,求n 的最小值．参考解答一、选择题1甲 .C解：由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．1乙．B解：1111111223a+=+=++111=+=+=．2甲．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.2乙．B解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y , 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数,所以有解得以上共计9对x y （，）.3甲．D解：由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为(1)(1)44224a ab a b ++++++=, 于是4423421444a b a b ++++-=. 3乙．B解：如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE . 由于AC = BC ,CD = CE ,∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE , 所以△BCD ≌△ACE , BD = AE . 又因为30ADC ∠=︒,所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中,53AE AD ==，，于是DE 224AE AD -=,所以CD = DE = 4. 4甲．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ，均为非负整数. 由题设可得消去x 得 2y －7n = y +4, 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y －7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11．从而n 的值分别为8,3,2,1；x 的值分别为14,7,6,7．4乙．C解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即39p q +<. 由于p q ，都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5；或 2p =,1≤q ≤2,此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意． 5甲．D解：掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====，，，,因此3p 最大． 5乙．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=++++, 解得 1101x +=,100x =．二、填空题6甲．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2,33x －2－2 = 9x －8,39x －8－2 = 27x －26,327x －26－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487, 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证,当7＜x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7＜x ≤19．6乙.7解：在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c 7甲．8解：连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==，,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos 5AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠, 2453MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =所以8MND S ∆=. 7乙.285解：如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则OM DE ⊥．因为16OB =,所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===, 366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8甲．32-解：根据题意,关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0,由此得 k －32≤0．又k －32≥0,所以k －32=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0,解得x 1=x 2=32-. 故2012220111x x =21x =23-． 8乙.1610解：()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此45|(9)n +,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n 所以共有2012-402=1610个数9甲．8解：设平局数为a ,胜负局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==，；当9m =时,2035b a ==，,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =．9乙.1253≤<-ca解：依题意得：(1)111(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩,所以a c b ->,代入2得 c a c c b a 11111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<1,即a c ac a c -<-,化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得 23()10a a c c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c,所以1≤ca综合得1253≤<-c a 另解：可令ak c=,由1得(1)b k c >-,代入2化简得2310k k -+<,解得3535k -+<<,另一方面：a ≤b ≤c,所以1k ≤, 综合得351k -<≤． 10甲．223 解：如图,连接AC ,BD ,OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA =22AD ,故AD CF BCBA =⋅=2=. 10乙.12 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数,即4n k =,当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，）,则：2k p k p ==或,其中p 是素数,因此,k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n 有12个;三、解答题11甲．解：因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>（）（）,即210m +>（）,所以1m ≠-．…………3分当1x =-时,y ≤0；当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-．…………8分设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-,所以121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-．因此12m <-．…………15分11乙.解：因为sin ∠ABC =45AO AB =,8AO =, 所以AB = 10．由勾股定理,得262BO AB AO -=．易知ABO ACO △≌△, 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，,(60)B ，,(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△．所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅,1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-．因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC 的重心,所以点E 的坐标为8(0)3-，．也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得. 设经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入,解得a =272．故经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为228273y x =-． 12甲．证明：连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形．…………5分设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………10分又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F ．…………15分12乙.证明：1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠, CI = CD ．同理,CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA = OC ,所以OI ⊥AC ,即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． 2如图,过点I 作IE ⊥AD 于点E ,设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =,知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ,BC = CI = AI ,所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ．又因为I 是△ABD 的内心,所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=．也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,再将22AC BC CD ==代入即得结论2AB AD BD +=;13甲．解：设a －b = mm 是素数,ab = n 2n 是自然数.因为 a +b 2－4ab = a －b 2,所以 2a －m 2－4n 2 = m 2,2a －m +2n 2a －m －2n = m 2.…………5分1当1n ≥时,因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数,且2a －m +2n ＞2a －m －2n m 为素数,所以 2a －m +2n =m 2,2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. …………10分又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.此时,a 的最小值为2025.2当0n =时,因为a ≥2012,所以0b =,从而得a 的最小值为2017素数; 综上所述,所求的a 的最小值为2017;……15分13乙.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°,则每个150°内角的外角都等于30°,而凸n 边形的n 个外角和为360°,所以3601230k ≤=,只有当12n =时, k 才有最大值12. …………5分下面我们讨论12n ≠时的情况：1当12n >时,显然,k 的值是11；2当3,4,5,6,7n =时,k 的值分别为1,2,3,4,5；3当8,9,10,11n =时,k 的值分别为7,8,9,10. …………10分综上所述,当37n ≤≤时,凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时,凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时,凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时,凸n 边形最多有11个内角等于150°;. ……15分14甲．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012．于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． …………5分当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，，　，,则1220121220121x x x +++=. …………10分当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===，，　，， 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=．综上,满足条件的所有正整数n 为122012，　，　，　．…………15分14乙.解：当1621n =-时,把23n ，　，　，分成如下两个数组：{}88162322121+-，　，　，　，　，　和{}84521-，　，　，　．在数组{}88162322121+-，　，　，　，　，　中,由于38821632221<>-（，）,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．在数组{}84521-，　，　，　中,由于48421>-,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．所以,162n ≥．下面证明当162n =时,满足题设条件．不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立．故不妨设224=在第二组．同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组,我们取8282a b c ===，，,此时b a c =；如果8在第二组,我们取16482a b c ===，，,此时b a c =．综上,162n =满足题设条件．所以,n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536．。

2024年上海高三数学竞赛试题及答案

2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。

的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。

— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。

曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。

2024年全国初中数学知识竞赛试题及答案

（1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有
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(a d )(b c) ≤0 ？请说明理由. （2 ）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数1 ，
2 ，…，2 0 0 3 ，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数a ，b ，c ，d ，都有(a d )(b c) ≤0 ？请说明理由.
1 0 ．已知二次函数y ax2 bx c （其中 a 是正整数）的图象经过点 A （－ 1 ，4 ）与点 B （ 2 ，1 ），并且与x 轴有两个不同的交点，则 b+c 的最大值为 . 三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）
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1 1 ．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，B C 是⊙O 的切线，O C 平行于
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注：1 3 B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与前面的12 个题组成考试卷.后面两页13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。
1 3 A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2 2(k 2) x k 0
（k是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA
和割线 P B C ，其中 A 为切点，点 B ，C 是直线 PBC 与⊙O 的交点.若
PA ，P B ，P C 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA2 PB2 PC2 的值.
A O
解：
P
B
C
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(第 13A 题图)
1 4 A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满足不等式(a d )(b c) >0，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操作.

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 $，求$ f(x) $的极值点。

2. 求解方程$ x^2 - 4x + 3 = 0 $的所有实根。

3. 判断函数$ g(x) = \frac{1}{x} $在区间$ (0, +\infty) $上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中$ a > b > 0 $，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $的切线方程，已知切点坐标为$ (m, n) $。

3. 证明点$ P(x_1, y_1) $和点$ Q(x_2, y_2) $的连线$ PQ $的中点坐标为$ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) $。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项$ a_1 = 3 $，公差$ d = 2 $，求第10项$ a_{10} $。

2. 求等比数列$ b_1, b_2, b_3, \ldots $的前$ n $项和，其中$ b_1 = 1 $，公比$ r = 3 $。

3. 判断数列$ c_n = \frac{1}{n(n + 1)} $的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数$ n $，$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $。

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