第五章 动态电磁场与电磁波(4)

••=∂∂-z xE j y H ωε •••-=+∂∂x y z zH j E jk y E ωμ ••-=-y x z H j E jk ωμ••-=∂∂-z xH j yE ωμ 可得y H k k j E zz x ∂∂--=••22ωμ y H k k jk H zz z y ∂∂--=••22y E k k jk E zzz y ∂∂--=••22yE k k j H zz x ∂∂-=••22ωε 式中μεω=k 。

显然，平板波导是一种均匀传输线。

然而，上式表明，该导波系统还可以导引其它形式的电磁波。

也就是说，沿电磁波传输方向的纵向磁场可以产生横向电场和横向磁场，或沿电磁波传输方向的纵向电场可以产生横向磁场和横向电场。

在传输方向仅存在纵向磁场的电磁波被称为横电波(简称TE 波)或磁波(简称H 波)，在传输方向上仅存在纵向电场的电磁波被称为横磁波(简称TM 波)或电波(简称E 波)。

因此，对于一个导波系统，可能存在三种波型，即TEM 波、TE 波和TM 波。

TE 波：由波动方程，得0d d 2222=+-•••z z z z H k H k y H 引入y 方向波数k y ，使其满足μεω2222==+k k k z y则纵向磁场分量为y k B y k A H y y z cos sin +=•进一步，得)sin cos (y k B y k A k jE y y yx --=•ωμ由图示边界条件知，当y ＝0和y ＝b 时，0=•x E ，代入上式，得0=A ， •=0H B ，bn k y π=， n = 1,2,3,… k y 称为平板波导的特征值。

所以，TE 波的电磁场为zk z z y bn H z y H j 0ecos),(-••π= zk x z y bn H n b j z y E j e-••ππ=sin ),(0ωμ zk z y z y b n H n bk j z y H j e-••ππ=sin ),(0 22221⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=b n b n k z λμεωμεω需要注意的是，上式中，n ≠0。

当n =0时，不存在电磁波。

下图分别画出了n =1和n =2时的场图。

(a) TE 1 (n ＝1)波型 (b) TE 2 (n ＝2)波型图 TE n 波型场图从图示场图不难看出，在横向y 方向上电磁场呈驻波分布，n 为横向y 方向的半波长数。

对应不同n 值的TE 波型，称为TE n 波。

由波的传播规律可知，当z k 为零或虚数时，电磁波不能传播。

因此，TE n 波型的截止条件为nb n 2c =λ n c λ称为TE n 波的截止波长，对应的截止频率为μεb n f n 2c =可见，只有n c λλ<或n f f c >的电磁波才能在平板波导中以TE n 波型进行传播。

显然，在平板波导中，TE 波型中的最低阶波型为TE 1波，其截止波长最长，截止频率最低。

除通过求解波动方程的方法外，也可以通过均匀平面电磁波在理想导体平板内的全反射来分析平板波导问题。

TM 波：图示为均匀平面电磁波以平行极化方式入射理想导体平板。

波矢量为θθsin cos k k z y e e k +-= θθsin cos k k z y e e k +='入射波电场强度和磁场强度为r j rj e e E •-•+•-•+•++=k k e E eE z y θθcos sin 00r j e H •-•+•+=k e E xη反射波电场强度和磁场强度为r j rj e e E •'-•-•'-•-•--=k k e E eE z y θθcos sin 00r j e H •'-•-•-=k e E xη在y ＝0的理想导体边界上有0=⨯•E e n ，即•+•-=00E E ，合成电场强度和磁场强度分别为图 平行极化情况θθθθθθθθθθθθθθθsin 00)sin cos ()sin cos (0)sin cos ()sin cos (0)]cos sin(cos 2)cos cos(sin 2[][cos ][sin kz z y kz ky kz ky z kz ky kz ky y e ky E j ky E e e E e e E j j j j j e e e e E E E -•+•++-+--•++-+--•+•-•+•+=-++=+=θθθθθθηηsin 0)sin cos ()sin cos (0)cos cos(2][kz xkz ky kz ky xe ky E e e E j j j e e H H H -•++-+--•+•-•+•=+=+=从上式可以看出，合成电场和磁场沿z 轴方向传播，在y 轴方向呈驻波分布。

电场切向分量(z 分量)在y 轴方向的波节位置为θcos k n y π=， n = 0,1,2… 显然，在这些波节位置插入一个与原理想导体板平行的新的理想导体平板，并不会改变场的分布。

设两板间距为b ，则有bkn π=θcos ， n = 0,1,2… 导体平板内的电磁场分布为zk z z yebn E E j -••π=sin0 z k z y z ye bn E n bk j E j -••ππ-=cos 0z k x z ye bn E n b j H j -••ππ-=cos 0ωε式中θcos 200•+•=E j E221sin ⎪⎭⎫⎝⎛-==b n k k z λμεωθ上式描述的波型被称为TM n 波型。

下图画出了TM 1波和TM 2波的波型场图。

可见，TM n 波型的截止波长和截止频率也与TE n 波型对应相同。

与TE n 波型不同的是，在TM n 波型中的n 是可以取零的。

当0=n 时，相当于入射角等于90︒，E z 始终等于零，即TM 波型退化为TEM 波型。

此时，TM 0(TEM )波型不存在截止波长。

以上分析表明，平板波导不仅可以导引TEM 波，也可以导引TE 波和TM 波。

下图显示了平板波导中各种波型截止波长和截止频率的对应关系。

(a) 截止波长 (b)截止频率图 平板波导中截止波长和截止频率的对应关系至此可见，在平板波导的波型分析中，既可以采用求解波动方程的方法，也可以采用均匀平面电磁波的入射和反射分析方法。

当平板波导的板间距b 和电磁波的波数k 确定后，入射角θ便决定了波型阶数n ，即bkn n π=-1cos θ 下图画出了波型与入射角θ的关系。

借助于下图可以更好地理解平板波导的导波机理。

(a) TM 1 (n ＝1)波型 (b) TM 2 (n ＝2)波型图 TM n 波型场图(a) 垂直极化（TE 波型） (b) 平行极化（TM 波型） (c) TEM 波型（θ=0︒）图 波型与入射角θ的关系例1：间距为1.25cm 的微带线内充满空气。

试求：(1)TM0、TE 1、TM 1和TM 2波的截止频率；(2)这些波型在f =15GHz 时对应的相速度；(3)当f =25GHz 时，该微带线不能传输的最低阶波型。

[解]：(1)截止频率Hz 10121025.121032928c ⨯=⨯⨯⨯==-n n b nf nμε Hz 00c =f ，G Hz 121c =f ，G Hz 24 2c =f(2)相速度2c 211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-==f f b n k nzn μελμεωυTM 0(TEM )波： Hz 00c =f ，m/s 10380⨯=υ TE 1和TM 1波：G Hz 121c =f ，m /s 10581⨯=υTM 2波： G Hz 15 G Hz 242c =>=f f 。

此时，微带线中不存在这个波型。

(3)可以求出TE 3和TM 3波的截止频率为G Hz 363c =f ，由于G Hz 36G Hz 25G Hz 243c 2c =<=<=f f f所以，当GHz 25=f 时，不能传输的最低阶波型为TE 3和TM 3波。

3．矩形波导和谐振腔如果在平板波导两侧再放上两片完纯导体板就形成了一个矩形截面的完纯导体通道，如图所示。

从平板波导中的TM 波的波型分布图可以看出，在加入的两片完纯导体板后，并未改变导体的边界条件。

所以也不会改变其内电磁场分布，表明这种矩形截面的完纯导体管道可以导引电磁波。

们称这种矩形截面的金属管道为矩形波导。

图 矩形波导由于在矩形波导内无法建立静态电磁场，因此，矩形波导不能导引TEM 波，只能导引TE 波和TM 波。

为记述波型方便，我们使用TE mn 和TM mn 符号，m 和n 分别代表TE 波和TM 波在x 方向和y 方向的半波长数。

通过平板波导分析，可以直接获得矩形波导中TE m0波型和TE 0n 波型的解。

在平板波导两侧引入两片完纯导体板后将会破坏TM n 波型的电磁场分布。

因此，在矩形波导中不存在TM m0波型和TM 0n 波型。

当然，也不存在TE 00波型和TM 00波型。

可以应用分离变量法和边界条件求解波动方程，获得矩形波导内的波型和对应的电磁场分布。

限于篇幅，本教材仅对矩形波导内的电磁波的传播特性进行讨论。

通过平板波导的分析之，无论是TE 波还是TM 波，都是均匀平面电磁波在两平行板之间入射和反射叠加后形成的，在板间横向形成驻波，即x 方向和y 方向的波数为：,...2,1,0,===n m bn k a m k y x , , ππ 电磁场仅在z 方向上呈现行波，波数为z k 。

将上述场型规律代入波动方程，得02222=+---k k k k z y x解得222)()(bn a m k z ππμεω+-= z k 对应的波长被称为波导波长，记为g λ，即222)()(2bn a m g ππμεωπλ--=在矩形波导内，电磁波的截止条件为0=z k ，因此，TE mn 波和TM mn 波的截止波长cmn λ和截止频率cmn f 分别为22)2()2(1bn a m cmn +=λ22)2()2(1bna m f cmn +=με一般矩形波导的宽边a 大于窄边b 。

由于在TE mn 波型中的最低阶波型为TE 10波，而TM mn 波型中的最低阶波型为TM 11。

因此，在矩形波导内的所有波型中，最低阶波型为TE 10波，称为矩形波导的主模。

其它波型称为矩形波导的高阶模。

下图画出了当a =2b 时不同波型的截止波长和截止频率分布图。

可见在矩形波导内，只要选择适当的频率或选择合适的尺寸，便可实现主模传输，又称为单模传输。

（a ）截止波长 （b ）截止频率 图 矩形波导截止波长和截止频率的对应关系在工程中广泛采用单模传输。