第五章 动态电磁场与电磁波(4)
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••
=∂∂-z x
E j y H ωε •••
-=+∂∂x y z z
H j E jk y E ωμ •
•-=-y x z H j E jk ωμ
••
-=∂∂-z x
H j y
E ωμ 可得
y H k k j E z
z x ∂∂--
=•
•
22
ωμ y H k k jk H z
z z y ∂∂--
=•
•
22
y E k k jk E z
z
z y ∂∂--
=••
22
y
E k k j H z
z x ∂∂-=
••
22
ωε 式中μεω=k 。
显然，平板波导是一种均匀传输线。然而，上式表明，该导波系统还可以导引其它形式的电磁波。也就是说，沿电磁波传输方向的纵向磁场可以产生横向电场和横向磁场，或沿电磁波传输方向的纵向电场可以产生横向磁场和横向电场。在传输方向仅存在纵向磁场的电磁波被称为横电波(简称TE 波)或磁波(简称H 波)，在传输方向上仅存在纵向电场的电磁波被称为横磁波(简称TM 波)或电波(简称E 波)。因此，对于一个导波系统，可能存在三种波型，即TEM 波、TE 波和TM 波。
TE 波：由波动方程，得
0d d 2
222=+-•
••
z z z z H k H k y H 引入y 方向波数k y ，使其满足
μεω2222==+k k k z y
则纵向磁场分量为
y k B y k A H y y z cos sin +=•
进一步，得
)sin cos (y k B y k A k j
E y y y
x --=•
ωμ
由图示边界条件知，当y ＝0和y ＝b 时，0=•
x E ，代入上式，得
0=A ， •
=0H B ，b
n k y π
=
， n = 1,2,3,… k y 称为平板波导的特征值。所以，TE 波的电磁场为
z
k z z y b
n H z y H j 0e
cos
),(-•
•
π= z
k x z y b
n H n b j z y E j e
-••ππ=sin ),(0ωμ z
k z y z y b n H n bk j z y H j e
-••ππ=sin ),(0 2
2221⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=b n b n k z λμεωμεω
需要注意的是，上式中，n ≠0。当n =0时，不存在电磁波。下图分别画出了n =1和n =2时的场图。
(a) TE 1 (n ＝1)波型 (b) TE 2 (n ＝2)波型
图 TE n 波型场图
从图示场图不难看出，在横向y 方向上电磁场呈驻波分布，n 为横向y 方向
的半波长数。对应不同n 值的TE 波型，称为TE n 波。由波的传播规律可知，当
z k 为零或虚数时，电磁波不能传播。因此，TE n 波型的截止条件为
n
b n 2
c =
λ n c λ称为TE n 波的截止波长，对应的截止频率为
με
b n f n 2
c =
可见，只有n c λλ<或n f f c >的电磁波才能在平板波导中以TE n 波型进行传播。显然，在平板波导中，TE 波型中的最低阶波型为TE 1波，其截止波长最长，截止频率最低。
除通过求解波动方程的方法外，也可以通过均匀平面电磁波在理想导体平板内的全反射来分析平板波导问题。
TM 波：图示为均匀平面电磁波以平行极化方式入射理想导体平板。波矢量为
θθsin cos k k z y e e k +-= θθsin cos k k z y e e k +='
入射波电场强度和磁场强度为
r j r
j e e E •-•
+•-•+
•+
+=k k e E e
E z y θθcos sin 00
r j e H •-•
+
•
+
=k e E x
η
反射波电场强度和磁场强度为
r j r
j e e E •'-•
-•'-•-•-
-=k k e E e
E z y θθcos sin 00
r j e H •'-•
-
•
-
=k e E x
η
在y ＝0的理想导体边界上有0=⨯•
E e n ，即•
+•-=00
E E ，合成电场强度和磁场强度分别为
图 平行极化情况
θ
θθθθθθθθθθθθθθsin 00)sin cos ()sin cos (0)sin cos ()sin cos (0)]cos sin(cos 2)cos cos(sin 2[]
[cos ]
[sin kz z y kz ky kz ky z kz ky kz ky y e ky E j ky E e e E e e E j j j j j e e e e E E E -•
+•
+
+-+--•
++-+--•
+•-
•+
•+=-++=+=
θ
θθθθθη
η
sin 0)sin cos ()sin cos (0)cos cos(2]
[kz x
kz ky kz ky x
e ky E e e E j j j e e H H H -•
+
+-+--•
+
•
-
•
+
•=+=+=
从上式可以看出，合成电场和磁场沿z 轴方向传播，在y 轴方向呈驻波分布。电场切向分量(z 分量)在y 轴方向的波节位置为
θ
cos k n y π
=
， n = 0,1,2… 显然，在这些波节位置插入一个与原理想导体板平行的新的理想导体平板，并不会改变场的分布。设两板间距为b ，则有
bk
n π
=
θcos ， n = 0,1,2… 导体平板内的电磁场分布为
z
k z z ye
b
n E E j -•
•
π=sin
0 z k z y z ye b
n E n bk j E j -••ππ-=cos 0
z k x z ye b
n E n b j H j -••ππ-=cos 0ωε
式中
θcos 200•
+•=E j E
2
21sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛-==b n k k z λμεωθ
上式描述的波型被称为TM n 波型。下图画出了TM 1波和TM 2波的波型场图。