三角形费马点的证明及应用(修正版)
费马点问题
费马点问题若三角形内有一点，满足到三角形三顶点连线最短，则该点被称为“费马点”。
三角形中费马点分为两类：1、三角形三个顶角均小于120°，则费马点与各定点连线夹角均为120°；2、三角形有一角大于或等于120°，则费马点为这个角顶点。
一般情况下中学研究费马点情况属于第一种，证明方式如下：例：如图，△ABC中，∠BAC=30°，AB=3，AC=4，P为三角形内一点，求（P A+PB+PC）最小值。
证明方式如下：如图，将△APB绕A逆时针转60°至△AP’B’，则PB=P’B’，△APP’为等边三角形，AP=PP’，即AP+BP+CP=CP+PP’+P’B’，其中C和B’为定点，通过化折为直，最小值为线段CB’的长。
当取最小值时，∠APC=∠AP’B’=120°，可反推得∠APB=∠BPC=∠APC=120°。
最后∠CAB’=90°，利用勾股定理可解得CB’=5这就是费马点问题的一般解法，利用构造旋转全等将线段转移，且旋转角度一定是60°。
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P为△ABC内部一点，P A+PB+PC 最小值为24，求2BC。
例2.如图，△ABC中，AB=5，AC=3，∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求（P A+PB+PC）最小值。
在上述问题中，P 与各点连线系数均为1，那如果系数不为1时，是否还能用同样方式求解呢。
如图，△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =30°，P 为平面内一点，求CP AP BP 23++最小值对于这题，一般解题思路可以为结合常见费马点解题方法，同时构造出AP 3和2CP ，由此可以考虑到结合含30°角直角三角形，因此有了如下辅助线构造：将△APC 绕A 逆时针旋转60°然后放大2倍，则可构造出2CP ，同时△APP ’为30°角直角三角形，有PP ’=AP 3，则CP AP BP 23++=BP +PP ’+P ’C ’，其中B 和C ’为定点，则四点共线时最短，接下来就是勾股运算了。
三角形的费马点
三角形的费马点有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小，请同学们想一想，这个供水站应该建在哪里？事实上，这是法国著名数学家费马提出的一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小，人们称这个点为“费马点”.当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；当三角形三个内角都在120°以内，那么费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点.显然在第一种情况下，费马点的位置就是那个大于或等于120°的内角的顶点.在第二种情况下，如图所示：我们只需要以△ABC三边AB、AC、BC为边在三角形外作三个等边△ABC1、△ACB1和△BCA1，连接AA1、BB1和CC1，三线交点P就是费马点.同学们肯定会想为什么？等同学们学习了三角形全等的知识后就可以去探索这其中的道理了.再看一个数学问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法，那走什么样的路线最短呢？这个问题被古希腊亚历山大里亚城的一位久负盛名的学者海伦解决了，后来被人们称作“将军饮马”问题.费马思考了这个问题，他觉得不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.人们总希望寻求最佳的路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短路线问题.费马就把这样的问题联想到某一个图形中，他大胆提出在任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短，并对此进行了充分的证明.现在研究表明不止是三角形，其它多边形也存在这样的点.平面四边形的费马点：在凸边形中，对角线交点即费马点；在凹四边形中，凹顶点即为费马点.那费马点在我们的生活中有没有应用价值呢？文章开头的供水站建在费马点肯定是最节约成本的；再譬如打篮球、踢足球时，你时刻注意的是怎样进攻，但要与自己的队友保持最好的距离和方位，前后左右都要顾及，这其实就是在找多边形中的“费马点”.数学为科学之母，现在已经有很多方面应用到费马点的性质，在医学上、建筑上、军事上……像类似费马点这样的问题还有很多，同学们只要你们积极思考，遇到问题多问几个为什么，多一些打破砂锅问到底的精神，你们也会像费马一样发现更多更有趣的数学问题.。
三角形费马点的证明及应用
三角形费马点的证明及应用费马点是指在平面上的任意三个不共线的点A、B、C中，使得∠ABC、∠ACB 和∠BAC的三个角的和最小的点。
费马点也称为斯纳尔·费马点，他是17世纪法国数学家斯纳尔·费马所研究的最小角三个角的位置问题。
为了证明费马点的存在，我们可以利用极限的思想进行推导。
首先假设在AB上存在一个点X使得∠CAX为等腰三角形CAX的顶角。
那么我们可以构造一个角为∠XAC的等腰三角形XAC。
显然，∠BAX=∠XAC，那么由三角形外角和定理可知∠ABC+∠AXC=180度。
由于AX是由三角形外一点引出的两条射线，所以AXC>180度，所以∠ABC<∠BAC。
同理，我们可以得到两个不等式：∠BAC<∠BCA，∠BCA<∠CAB。
将这三个不等式相加得到：∠ABC+∠BAC+∠BCA<∠ABC+∠BAC+∠CAB。
即∠ABC+∠BAC+∠BCA的和是最小的三个角的和。
我们可以进一步构造一个点P，在平面上使得∠BAP=∠BCP=∠CAP，即三角形ABP、BCP和CAP是等腰三角形。
由于三个等腰三角形所形成的角APB、BPC 和CPA的和一定是最小的，所以∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定是∠APB+∠BPC+∠CPA的和的一个下界。
我们可以发现，当P点与三角形ABC的内角A,B,C重合时，三角形ABP、BCP 和CAP都是等边三角形，此时∠APB+∠BPC+∠CPA=360度。
所以，∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定小于等于360度，在平面上一定存在一个点使得∠ABC+∠BAC+∠BCA的和为最小。
这个点就是费马点。
费马点的应用非常广泛，尤其是在物理学和工程学中。
例如，在导弹的航空导航中，费马点可以确定导弹的最短飞行路径，从而最大限度地节省燃料。
在通信网络中，费马点可以确定网络中的最佳传输路径，提高信息传输的效率。
此外，费马点还可以应用于地理学领域，确定地理坐标系统的最佳布局。
费马点的证明
1、费马点一定不在三角形外（证明略）2、当有一个内角大于或等于120°时对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC ≌△AP'C'∵∠BAC ≥ 120°∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP'∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC∴点A即费马点3、当三个内角都小于120°时在△ABC内做一点P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H ⊥ EF于H易证明∠D =∠E =∠F = 60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S则有2S = d(PA + PB + PC)∵P'H ≤ P'A所以2S△EP'F ≤ P'A ·d ①同理有2S△DP'F ≤ P'B·d ②2S△EP'D ≤ P'C·d ③① + ② + ③，得2(S△EP'F +S△DP'F + S△EP'D)≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C)又∵2S = d(PA + PB + PC)∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C)即PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C当且仅当P与P'重合时，等号成立∴点P即费马点。
费马点结论及其详细证明过程
费马点结论及其详细证明过程
费马点定理（Fermat's Point Theorem）是指，当一个三角形的边都是整数时，它的内切圆必然有一个圆心位于三角形的三个顶点上。
证明过程：
假设ABC是一个边长都为整数的三角形，O是内切圆的圆心，令AB=a, AC=b, BC=c，
（1）由三角形外接圆的性质可知，三条边的中点到圆心的距离之和等于三条边的长度的一半，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=R$$
（2）根据勾股定理，三条边的中点到圆心的距离之和也等于圆心到三个顶点的距离之和，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=OA+OB+OC$ $
将（1）、（2）式代入得：
$$R=OA+OB+OC$$
又有 $OA^2+OB^2=a^2$ 、$OB^2+OC^2=b^2$ 、
$OC^2+OA^2=c^2$
将此三式相加得：
$$OA^2+OB^2+OC^2=a^2+b^2+c^2$$
将此式与（3）式相减得：
$$OA+OB+OC=\sqrt{a^2+b^2+c^2-
2(a^2+b^2+c^2)}=0$$
可知OA=OB=OC=0，即圆心O位于三角形ABC的三个顶点上。
证毕。
三角形费马点的证明及应用(修正版)
费马点的性质及应用和成彪（文山师专数理系06数学（3）班）[摘要]费马是一个皆为人知的法国著名数学家，他一生提出了许多关于数学的猜想。
在此文针对他提出的“费马点”这一有趣的问题进行性质证明并研究其价值。
通过一些典型证明和特例进行了分析，总结了对费马点的认识。
[关键词] 费马费马点证明研究法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．这个问题一直影响了不少数学研究者和数学爱好者的不懈研究和探索应用。
随着我国数学科研事业在近几年的一直持续迅猛发展数学爱好者日益壮大，都说明数学正越来越受到人们的关注。
这是一个非常可喜的现象。
为此就法国著名学家费马提出的费马点并结合收集的材料和自己的观点简单研究了三角形费马点的一些性质和应用。
一、费马点产生的历史背景费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。
他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。
费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。
费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。
多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。
费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。
直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。
勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。
三角形费马点的证明
三角形费马点的证明费马点是指平面上的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
这个问题最早由法国数学家费马在17世纪提出，并且给出了一个简洁而美观的证明。
我们先来看一个特殊的情况，当三角形是等边三角形时，费马点就是三角形的重心。
重心是指三角形三条中线的交点，它到三个顶点的距离之和是最小的。
这个结论是很容易证明的，因为等边三角形的三个顶点到重心的距离都是相等的，所以它们的距离之和一定是最小的。
然而，当三角形不是等边三角形时，费马点的位置就不那么容易确定了。
我们可以通过以下步骤来证明费马点的存在，并且给出一个简单的构造方法。
我们将三角形的一条边延长，然后以这条边为直径画一个圆。
然后，我们再以另外两条边的延长线为切线，将圆与两条延长线相切于点A和点B。
接下来，我们连接点A和点B，并将这条线段的中点记为点C。
根据切线定理，我们知道切线与半径的垂线相互垂直。
所以，线段AC和线段BC与圆的切点A和B相互垂直。
而根据垂线定理，垂线的长度最短，所以线段AC和线段BC是与圆相切的两条线段中最短的。
现在我们来证明一下，点C就是三角形费马点的位置。
假设点C不是费马点，而是另外一个点D。
那么，三角形的三个顶点A、B和D 之间的距离之和一定小于三角形的三个顶点A、B和C之间的距离之和。
我们可以通过以下步骤来证明这一点。
首先，连接点A和点D，并延长线段AD，将圆与延长线段相交于点E。
然后，连接点B和点D，并延长线段BD，将圆与延长线段相交于点F。
现在我们来比较一下线段AE、线段CF和线段BC的长度。
根据切线定理，线段AE和线段BD是最短的。
而线段CF是线段AE和线段BD 的一条中线，根据中线定理，线段CF的长度一定小于等于线段AE 和线段BD的长度。
所以，线段CF的长度一定小于等于线段BC的长度。
同样的道理，我们可以比较一下线段BF、线段DE和线段AC的长度。
根据切线定理，线段BF和线段DE是最短的。
而线段AC是线段BF 和线段DE的一条中线，根据中线定理，线段AC的长度一定小于等于线段BF和线段DE的长度。
三角形的费尔马点
三角形的费尔马点（求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值）2012-05-26 22:38:43| 分类：默认分类|字号订阅三角形的费尔马点在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet ）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。
如果一个物体或系统当所处的位置，使它的势能是最小，那么这点就是它的平衡位置。
”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。
首先用铁线作和原三角形同大小的三角形，在每个顶点放上一个滑轮。
每个滑轮穿过一个重量为 m 的重物。
假定吊物体另外一端的线都绑在一起，这结点称为 P 。
现在让重物重挂下来，这结点最初会移动，可是过一会儿它就不动了，这时正是整个系统处于平衡状态。
这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。
为什么会如此呢？假定三角形与地面的距离是 h 。
滑轮 A ， B ， C 挂的重物与地面距离分别为 a ， b ， c 。
绑重物的所有绳子长是 t 。
现在令整个系统的重心是 G ，并且距离地面是 r 。
则系统的势能是 m · a+m · b+m · c= （ 3m ）· rr=(a+b+c)/3在平衡位置时，重心最靠近地面，因为这样它的势能才是最小，因此此时 a+b+c 也是最小。
吊在滑轮下的绳子共长（ h-a ） + （ h-b ） + （ h-c ）即 3h- （ a+b+c ）。
因此在△ ABC 里的平面绳子的长是等于： * s=t-[3h- （ a+b+c ） ]= （ t-3h ） + （ a+b+c ）。
t-3h 是一个固定数， s 的长最小当且仅当 a+b+c是最* 小。
因此只有在系统平衡时，结点的位置必须是“费马点，才能使到 a+b+c 为最小。
你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。
现在在铁三角形里的结点 P 受到三个相等的拉力拉。
从物理学我们知道：“平面三力成平衡，那么三力线或者平行，或者交于一点。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC＝P 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE____________．PEDCBA ABCPABCPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABC内一点，则P A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝P是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则PA＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB＝，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋(＋2x)2＝)2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝4O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′EF P′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA【答案】1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABC内一点，则P A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC缩小到原来的，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12(A ＋2PB＋PC )，将△APC扩大到原来的C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
著名的三角形费马点!
著名的三角形费马点!著名的三角形费马点在数学领域中，三角形费马点是一个备受研究和赞赏的著名概念。
它以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的名字命名，他在17世纪提出了相关问题。
三角形费马点也被称为费马点、费马城以及费马定理。
本文将介绍三角形费马点的定义、性质和一些实际应用。
一、三角形费马点的定义三角形费马点可以用以下方式定义：在任意给定的三角形中，三条边上的点分别连接起来，形成一个内角和为180度的三角形。
费马点是使得这三条连线之和最短的点。
二、三角形费马点的性质1. 最短路径性质：费马点的最大特征是使得三条连线之和最短。
这一性质可以通过以下方式证明：假设不是费马点，那么我们可以通过移动该点，使三个角度各自减小。
当这三个角度之和等于180度时，三条连线的长度一定更短。
2. 几何解释：费马点也可以通过几何的方式解释。
在一个逆时针方向的三角形内，如果以三角形的三个角为圆心，连接相邻两角的弧长相等，那么这个点就是费马点。
换句话说，费马点使得到其他两个角的路径长度最小。
三、三角形费马点的实际应用1. 交通规划：三角形费马点在交通规划中有着广泛的应用。
通过计算路程和路径的最短距离，可以帮助规划者设计更高效的道路网络，减少人们的行车时间和交通拥堵现象。
2. 通信网络：在通信网络中，寻找最短路径非常重要。
三角形费马点的原理可以帮助确定通信网络中的基站分布，以便实现最佳的信号传输和覆盖范围。
3. 水源分配：在水资源规划中，找到最短路径可以有效地分配水源。
费马点的最短路径性质可以在保证供水充足的情况下，减少水资源的浪费，提高供水效率。
4. 地图导航：现代导航系统的算法中，也使用到了三角形费马点的理念。
通过找到最短路径，用最短的时间和距离将用户从一个位置导航到另一个位置。
四、结语三角形费马点是一个重要而独特的数学概念。
它不仅在理论数学领域有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着诸多的应用价值。
费马点的两证明方法
费马点的两证明方法费马点是指一个三角形内的一点，满足从该点出发，到三角形的三个顶点的线段之和最小。
费马点也可以称为斯托纳点或费马点。
下面将介绍两种费马点的证明方法。
方法一：使用垂线定理来证明费马点证明费马点的方法之一是使用垂线定理。
垂线定理指出，从一个点到与一条直线垂直的两点的距离之和最小。
因此，通过构造以费马点为顶点的两条垂线，可以证明费马点的存在性。
假设ABC是一个三角形，P是费马点。
首先，将边AB、BC和CA的中垂线分别延长，分别延长到点D、E和F上。
根据垂线定理，可以知道P到BC的中垂线所在直线的距离最小，因此P和D应当重合。
同样地，P也应当重合于E和F。
这样，可以得到三条线段PD、PE和PF的和是最小的。
接下来，我们需要证明PD、PE和PF相交于一个点。
如果三条线段的和最小，那么它们应当相交在一个点上。
假设线段PD和PE相交于点G，线段PD和PF相交于点H。
那么，根据三角形的性质，可以知道三角形PGC是等边三角形，三角形PHB也是等边三角形。
因此，G和H应当重合于转角C和B，即点G、H、B、C是共线的。
同样地，可以得到点G、H、C、A也是共线的。
因此，可以得知P应当在直线AC和BC所在的延长线上。
综上所述，我们证明了费马点存在于直线AC和BC所在的延长线的交点上。
方法二：使用无理数几何证明费马点证明费马点的第二种方法是使用无理数几何。
无理数几何是一种集合代数学的分支，它研究的是实数域上的代数无理数几何结构。
假设ABC是一个三角形，P是费马点。
为了证明费马点的存在性，我们首先需要构造一个与费马点相对的点Q。
点Q应当满足条件：∠AQB=∠CQB=120°，即角AQB和角CQB都应当等于120°。
接下来，我们需要证明三角形AQB是等边三角形。
为了证明这一点，我们可以使用割线定理。
割线定理指出，如果一个凸多边形的每两个相邻顶点之间的距离形成一个无理数序列，那么该多边形就是等边多边形。
大于120度三角形费马点证明
大于120度三角形费马点证明费马点是指平面内给定三角形的三个顶点和一个点D，使得D到三个顶点的距离之和最小。
现在我们来证明：对于大于120度的三角形，费马点是三角形的某个顶点。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C。
首先，我们可以将三角形不失一般性地放在平面直角坐标系中，其中A点的坐标为(0,0)，B点的坐标为(1,0)。
由于三角形的角度大于120度，所以C点的纵坐标y 必然小于0。
假设费马点为D(x,y)，根据费马定理，我们有:AD + BD + CD = min我们知道AD的距离可以表示为sqrt(x^2 + y^2)，BD的距离可以表示为sqrt((x-1)^2 + y^2)。
而CD的距离可以表示为sqrt(x^2 + (y-a)^2)，其中a为C点的纵坐标。
将这三个项相加，我们可以得到一个关于x和y的函数f(x,y)：f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2) + sqrt((x-1)^2 + y^2) + sqrt(x^2 + (y-a)^2)我们的目标是找到使得f(x,y)最小的点D(x,y)。
由于sqrt(x)在x>0时是单调递增的，所以如果我们固定y的值，在x的范围内，f(x,y)随着x的增加是单调递增的。
同样地，在固定x的值时，f(x,y)随着y的增加也是单调递增的。
所以，如果我们要找到f(x,y)的最小值，必然是在边界上取得。
也就是说，D(x,y)只能是三角形的某个顶点。
由于我们已经假设A点为(0,0)，B点为(1,0)，所以C点的纵坐标y必然小于0。
根据之前的推理，我们可以得出结论：当D(x,y)取位于A、B、C三点中纵坐标最小的那个点时，f(x,y)取得最小值。
综上所述，对于大于120度的三角形，费马点是三角形的某个顶点。
初中数学微专题——费马点
初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。
解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。
（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。
解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当ABC△有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
“费马点”说明及例举
费马点费马（Pierre de Fermat,1601-—1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，生于博蒙德罗曼.其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。
本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。
他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。
他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究.他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中,已对微分理论进行了比较系统的探讨.他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿,在其所著〈平面及空间位置理论的导言>中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。
费马还研究了对方程221yax=+整数解的问题。
得出了求导数所有约数的系统方法。
所谓的“费马点"就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题:“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。
这是费马通信的一贯作风.当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。
人们称这个点为“费马点”。
还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。
可到死也没告诉人家这个所谓证明。
结果困扰世界数学界一百多年.直到去年才解决。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。
1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和,把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。
” 即：)3(,2≥=+nzyx nn无整数解。
1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。
这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快"的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
三角形的费马点——点到三角形三个端点的和的最小值问题
三角形的费马点——点到三角形三个端点的和的最小值问题
费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
通过这个证明，大家有没有发现，其实可以看作将三角形apc绕点a逆时针旋转60度，得到的c'，当四个点在同一直线上时，四点之和最小，即点p 到a，b，c的距离和最小。
那么后期在选择、填空题时，如果题目中没有求p 点的位置的话，而是直接求到三个端点的距离的问题时，我们可以直接选一条边绕顶点选择，对角线就是最小距离和。
最后来看下去年北京延庆的一道中考模拟题。
以后大家可以记住这个结论，学会找费马点，学会求点到三角形三个端点的最小值问题。
不知道大家有没有发现，手拉手也可以解答此题呢？。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2。
如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3。
费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理.性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°,所以费马点是三力平衡的点.例1：已知:△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明:∵△ABH是等边三角形。
G是其重心.∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH。
以HG为边向右上方作等边三角形△GHP。
∵AH=BH=AB=12。
∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°。
∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形，∠GHB=30°.∴∠PHD=30°，.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；(SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD，且同在一条直线上.∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD。
∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点.也就是重心。
例2：已知:△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC最小证明:将△BGC逆时针旋转60°，连GP，DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD，BC=DC，∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°，∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形.∵∠AGC=120°，∠CGP=60°。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
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Go the distance费马点的性质及应用和成彪（文山师专数理系06数学（3）班）[摘要]费马是一个皆为人知的法国著名数学家，他一生提出了许多关于数学的猜想。
在此文针对他提出的“费马点”这一有趣的问题进行性质证明并研究其价值。
通过一些典型证明和特例进行了分析，总结了对费马点的认识。
[关键词] 费马费马点证明研究法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．这个问题一直影响了不少数学研究者和数学爱好者的不懈研究和探索应用。
随着我国数学科研事业在近几年的一直持续迅猛发展数学爱好者日益壮大，都说明数学正越来越受到人们的关注。
这是一个非常可喜的现象。
为此就法国著名学家费马提出的费马点并结合收集的材料和自己的观点简单研究了三角形费马点的一些性质和应用。
一、费马点产生的历史背景费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。
他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。
费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。
费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。
多米尼克的大富与罗格的大贵Go the distance 族构筑了费马极富贵的身价。
费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。
直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。
勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。
1646年，费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职。
费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。
费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列，费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。
原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。
费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。
然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼；概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。
此外，费马对物理学也有重要贡献。
一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。
尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。
17世纪由费马首先提出的费马点问题：“在欧式平面上，任给一个三角形△ABC，试求点S，使它到A，B，C三点的距离之和为最小。
”这个问题提出不久就被托里拆利解决了。
他得到的结论是：在△ABC中∠A为其最大角，S是△ABC内的点。
（1）当∠A＜120°时,若S满足∠ASB=∠BSC=∠CSA=120°,则它到A,B,C三点的距离之和最小。
（2）当∠A≥120°时，所求点为A点，即SA+SB+SC＞AB+AC。
据史料记载费马在思考一个关于数学问题的故事。
“古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
有一天，有位将军不远千里专程前来向海Go the distance 伦求教一个百思不得其解的问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法。
问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。
”事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。
古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题。
费马就把这样的问题联想到某一个图形中。
他大胆地提出了在一个任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短。
他对此进行了充分的证明。
后来人们就把这个点命名为“费马点”。
现在研究表明不止是三角形，其它多边行也存在这样的点。
二、费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:1.数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
关于费马点的证明有好几种，浙江上虞春晖中学教师倪瑞祥在他的论文《费马点性质及其应用》中证明了费马点的存在性[1]。
在中学数学辅导书《中学生数理化》中的费马点参照的是著名主编祁韵的证明方法[2]。
洛阳师范学院教师赵振华通过对费马点的研究证明，提出了“有关费马点一个不等式”[3]。
浙江省岱山县岱山中学教师张善立在证明的基础上又提出了“有关费马点一个和式的下界问题”[4]。
北师大版教材编写组专家任景业老师也研究过费马点[5]。
而在李毓佩的《费马的奇怪问题》中写了费马点的发现、证明以及一些性质[6]。
在中学数学教学期刊中邵潇野的《于费马点的探究与思考》中也提到了费马点的Go the distance 证明[7]。
最让我们感叹的是一个实验中学初二（3）班学生 林贤昊用初等的几何知识也证明了费马点，只是证明有些烦琐，但证明的方法与过程是没有错的。
他们的证明方法都大同小异，没有出现完全不同的两种方法，也还没有新的证明方法。
大都与以下的证明方法相似。
证明：三角形内费马点到三个顶点的距离之和为最短。
△ABC 为任意一个三角形。
（作法：以三角形三边为边长在各边上作正三角形，并连接三角形三个顶点与其顶点所对的对边作的正三角形顶点所连接得到的交点。
如图-1作三角形三边为边长的各边上的正三角形。
△1BC A ,△1CA B ,△1AB C .②连接1AA ,1BB ,1CC ,③取连接线的交点P 。
P 则为三角形的费马点。
(1)费马点对边的张角为120°。
因为△1CC B 与△1AA B 中，BC =1BA ,BA =1BA ,BA =1BC , ∠1CBC =∠B +60°=∠1ABA ,则有：∠C 1BC =∠1ABA11BA BCBA BC == ⇒△1CC B ≅△1AA B ⇒∠PCB =∠1PA B同理可得∠CBP =∠1CA PGo the distance 由∠1PA B +∠1CA P = 60°可得∠CBP +∠PCB = 所以∠CPB =120°同理可得，∠APB =120°, ∠APC =60°∴费马点的对边的张角为120°（2）PA+PB+PC=?将P 点以点B 为旋转中心旋转60°得到/P 点，连接/PP 。
则，/PP B 为等边三角形。
所以∠/BPP ＝60°又∵∠APB =120°则∠APD =∠APB +∠/BPP =180°因此A , P ,/P 三点在同一直线上。
又∵∠CPB ∠/1A P B =120°，∠/PP B =60°，∠/1PP A =∠180°，所以A 、P 、/P 、1A 四点在同一直线上，故PA+PB+PC=1AA(3)PA+PB+PC 最短在△ABC 内任意取一点M （不与点P 重合），连结AM 、BM 、CM ，将△BMC 以点B 为旋转中心旋转60°与△1BGA 重合，连结AM 、GM 、1A G (同上)，则1AA < 1A G +GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A 、B 、C 的距离最短。
平面四边形费马点：平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
①在凸四边形ABCD 中，费马点为两对角线AC 、BD 交点P 。
②在凹四边形ABCD 中，费马点为凹顶点D （P ）。
Go the distance 三、费马点的性质1费马点到三角形三个顶点的距离之和最短。
2若费马点在三角形内部，费马点的对边张角为120°（由下图—2说明）那么我们来分析一下当三角形有一个角大于120°是它的费马点是在三角形内部还是在外面呢？（图—3）分析：在三角形△ABC内任取一点M。
则到三顶点距离之和为AN+BN+CM。
令P表示三角形ABC外的点。
M表示里面的点。
现取ABC上的B点，则此三点到三顶点的距离分别为：PA+PB+PC，AM+BM+CM，和BA+BC。
取P点与M点分别与B点时做比较①P与B比较，由图可：PB+PA＞BA，PB+PC＞BC，PB＞0。
可推出PA+PB+PC ＞BA+BC②M与B比较。
以C点为旋转轴BC旋转至与CM同线，得一点N（CB=CN）1若C N＜CM时,∵有AM+BM＞AB∴CM+BM+AM＞AB+CN=AB+CB 2若CN＞CM时,换成以A点为轴心旋转AB到AM同线(AN=AB)得到点N,且有AN ＜AM。
同理有：CM+BM+AM＞AN+BC=AB+BC_P_A'_C'_B'_A_B_C_M_N_P_B'_C'_C_A_B（图—2）图—3Go the distance 3若旋转AB或BC得到的点N都有AN=AB，CN=CB。
显然也有：CM+BM+AM＞AN+CN=AB+CB∴当M落在三角形内任意一点都有CM+BM+A M＞BA+BC。
综上所述：当三角行△ABC有一角大于或等于120°时它的费马点在大于120°角的顶角上。
四、费马点的应用以上证明只是一种简单明了的证明方法，现今已有许多种不同的证明方法。
但其宗旨是说明在多边形中都能找到一个这样的费马点，使得其到各顶点距离之和最小。
那么费马点对我们现实生活中有没应用价值呢。
就这方面我们通过一些说明和例题讲解来具体分析。
引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？这个问题正是一个最典型的应用费马点性质的问题。
将此问题用费马点思想构建出数学模型抽象出来即为：甲乙丙三村构成一个三角形△ ABC设供水站的位置为P点则问题又转化为△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC 最小。
具体方法同上述费马点证明时作点P的步骤。