三角形费马点的证明及应用(修正版)

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费马点的性质及应用

和成彪

（文山师专数理系06数学（3）班）

[摘要]费马是一个皆为人知的法国著名数学家，他一生提出了许多关于数学的猜想。在此文针对他提出的“费马点”这一有趣的问题进行性质证明并研究其价值。通过一些典型证明和特例进行了分析，总结了对费马点的认识。

[关键词] 费马费马点证明研究

法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．这个问题一直影响了不少数学研究者和数学爱好者的不懈研究和探索应用。随着我国数学科研事业在近几年的一直持续迅猛发展数学爱好者日益壮大，都说明数学正越来越受到人们的关注。这是一个非常可喜的现象。为此就法国著名学家费马提出的费马点并结合收集的材料和自己的观点简单研究了三角形费马点的一些性质和应用。

一、费马点产生的历史背景

费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。

费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵

Go the distance 族构筑了费马极富贵的身价。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年，费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。

费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列，费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼；概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。17世纪由费马首先提出的费马点问题：“在欧式平面上，任给一个三角形△ABC，试求点S，使它到A，B，C三点的距离之和为最小。”这个问题提出不久就被托里拆利解决了。他得到的结论是：在△ABC中∠A为其最大角，S是△ABC内的点。（1）当∠A＜120°时,若S满足∠ASB=∠BSC=∠CSA=120°,则它到A,B,C三点的距离之和最小。（2）当∠A≥120°时，所求点为A点，即SA+SB+SC＞AB+AC。

据史料记载费马在思考一个关于数学问题的故事。“古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海

Go the distance 伦求教一个百思不得其解的问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。”事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题。费马就把这样的问题联想到某一个图形中。他大胆地提出了在一个任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短。他对此进行了充分的证明。后来人们就把这个点命名为“费马点”。现在研究表明不止是三角形，其它多边行也存在这样的点。

二、费马点定义

在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。在平面三角形中:

1.数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点

2.如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

关于费马点的证明有好几种，浙江上虞春晖中学教师倪瑞祥在他的论文《费马点性质及其应用》中证明了费马点的存在性[1]。在中学数学辅导书《中学生数理化》中的费马点参照的是著名主编祁韵的证明方法[2]。洛阳师范学院教师赵振华通过对费马点的研究证明，提出了“有关费马点一个不等式”[3]。浙江省岱山县岱山中学教师张善立在证明的基础上又提出了“有关费马点一个和式的下界问题”[4]。北师大版教材编写组专家任景业老师也研究过费马点[5]。而在李毓佩的《费马的奇怪问题》中写了费马点的发现、证明以及一些性质[6]。在中学数学教学期刊中邵潇野的《于费马点的探究与思考》中也提到了费马点的

Go the distance 证明[7]。最让我们感叹的是一个实验中学初二（3）班学生 林贤昊用初等的几何知识也证明了费马点，只是证明有些烦琐，但证明的方法与过程是没有错的。他们的证明方法都大同小异，没有出现完全不同的两种方法，也还没有新的证明方法。大都与以下的证明方法相似。

证明：三角形内费马点到三个顶点的距离之和为最短。

△ABC 为任意一个三角形。

（作法：以三角形三边为边长在各边上作正三角形，并连接三角形三个顶点与其顶点所对的对边作的正三角形顶点所连接得到的交点。如图-1作三角形三边为边长的各边上的正三角形。

△1BC A ,△1CA B ,△1AB C .

②连接1AA ,1BB ,1CC ,

③取连接线的交点P 。P 则为三角形的费马点。

(1)费马点对边的张角为120°。

因为△1CC B 与△1AA B 中，BC =1BA ,

BA =1BA ,BA =1BC , ∠1CBC =∠B +

60°=∠1ABA ,

则有：∠C 1BC =∠1ABA

11

BA BC

BA BC == ⇒△1CC B ≅△1AA B ⇒∠PCB =∠

1PA B

同理可得∠CBP =∠1CA P