天津大学化工原理伯努利方程的应用概要
化工原理伯努利方程
化工原理伯努利方程伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，描述了流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系。
它是根据能量守恒定律得到的，并且适用于连续、稳定、摩擦小的流体流动。
伯努利方程的表达式为：P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的速度，g代表重力加速度，h代表流体在其中一点的高度。
在伯努利方程中，P + 1/2ρv^2项代表了流体的动能或者压力能，ρgh项代表了流体的势能。
考虑一个水流通过管道的情况。
假设水流在管道的其中一点1的速度为v1，压力为P1，高度为h1；在另一点2的速度为v2，压力为P2，高度为h2、根据伯努利方程，我们可以得到以下等式：P1 + 1/2ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 1/2ρv2^2 + ρgh2可以看出，这个方程说明了当流体流动时，速度越大，压力越小；而当速度较小时，压力较大。
这是因为伯努利方程通过流体的动能和流体的势能之间的转换关系，描述了流体在流动过程中的能量变化。
伯努利方程在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在气象学中，它用于解释风的形成和气候变化等现象。
在流体力学中，它用于计算液体的流速和压力分布等问题，如管道流动、喷嘴流动等。
伯努利方程也有一些限制和假设。
首先，它假设流体是理想流体，即没有黏性和湍流的影响。
其次，它假设流体是连续、稳定的，没有明显的扰动和压力波动。
此外，在应用伯努利方程时，需要注意选择起始点和终止点，并确保考虑到所有影响因素，如摩擦损失、管道的形状等。
总之，伯努利方程是流体力学中的一条重要定律，描述了流体在不同位置的速度、压力和高度之间的关系。
它在实际应用中具有广泛的用途和重要性，但也需要考虑到一些假设和限制。
伯努利方程及其应用
(e)
令(d)式与(e)式相等，可得： 8air Q 2 8air Q 2 d 4 [1 ( ) ] oil gh 2 4 2 4 D d D 最终得：
1 1 V 2 p2 p1 p2 V 2 2 2 pa 105 Pa , 1kg / m3 , V 100m / s p1
设：
1 p 104 5 103 Pa 2
p
a
此时压力的相对变化量： p 0.05，故密度的相对变化量：
0.05 5%
三、汽油机化油器的流动
1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B 截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的 压力pB。
设A点远离进口，则VA=0，pA=pa
B点的流速为： 写出A、B两点间的柏努力方程：
所以：
2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面 到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空 air , oil 气流量。设空气与汽油的密度分别为： 欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有 一定的真空度，其最小真空度所对应的 油柱高度应为h。即： (a)
pa V 2 pa gz1 gz 2
可得自由表面上z处的流速关系:
V 2 g ( z1 z ) 2 gh
上式在形式上与小孔出流公式一 样。由上式可见，随着z的减小或落差 h的增大，速度V增大，由连续方程知 其流管宽度应减小。同时，由于在溢 口B处流速VB已不能忽略，故此时的 液面已低于远处的z1，也就是说，水 库水面的高度在靠近溢口处时就已开 始降低了。
注意压力函数的微分关系
，代入上式有：
这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线 上任意点的切线方向与向量 V 垂直，因而有： （沿流线或涡线假设4） 于是： 积分： 这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明： 在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动 能、压力能和势能之和是一个常数。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程是流体力学中的重要原理之一，描述了沿着流体流动方向的速度、压力和高度之间的关系。
该方程是瑞士科学家丹尼尔·伯努利在18世纪中叶所提出的，并以他的名字命名。
伯努利方程原理基于流体的连续性和能量守恒定律，可以用来解决许多与流动相关的问题。
其基本形式可以表示为：P + 1/2ρv^2 + ρgh =常数其中，P表示压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，h表示流体的高度，g表示重力加速度。
此方程表明，在沿着流体流动方向的区域中，压力、速度和高度之间存在一种平衡关系，当一方发生变化时，其他两方也会随之发生相应的变化。
伯努利方程的应用非常广泛，下面我们将介绍其在多个领域中的具体应用。
1.液体流动伯努利方程可以应用于液体在管道和河流中的流动问题。
例如，在水力工程中，可以根据伯努利方程来计算水的压力和速度，从而确定水流是否顺畅。
此外，伯努利方程还可以应用于液体泵抽水的计算和涡轮机工作原理的分析，以及血液在动脉和静脉中的流动研究等。
2.汽车空气动力学伯努利方程在汽车设计中有重要的应用。
例如，在高速行驶时，汽车前进方向上的气流速度会增加，根据伯努利方程，气流速度增加就意味着压力降低。
这就解释了为什么汽车行驶时，车顶、车窗等地方的压力较低，从而产生了吸力，有利于汽车行驶稳定。
3.飞行器气动力学伯努利方程在飞行器气动力学中的应用非常重要。
在飞行过程中，飞机可以通过改变机翼形状和改变进气口的面积来调节气流速度和压力的分布，从而实现升力和稳定性的控制。
伯努利方程提供了一种描述飞行器气动表现的重要工具。
4.涡旋产生与气旋的形成伯努利方程也可以解释涡旋的产生和气旋的形成。
当流体经过结构物表面或物体尖部时，流体速度会增加，从而使压力降低。
这种速度增加和压力降低导致了涡旋产生。
类似地，大气中气流速度和气压的变化也会导致气旋的形成。
伯努利方程的应用还远不止于上述几个领域，例如喷射器的工作原理、风力发电工程中的风能转换等。
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程发展和原理应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z1++=z2+++h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头；hw----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
新一代差压式流量测量仪表，其基本测量原理是以能量守恒定律——伯努力方程和流动连续性方程为基础的流量测量方法。
伯努利(Bernoulli)方程的应用
工程上常用的流量计还有转子流量计、靶式流量计、电 磁流量计、超声流量计等。
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3.6 伯努利（Bernoulli）方程的应用
三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题
(1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流动 问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。
(2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中 所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容 器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容器， 有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面， 因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面， 速度可以视为零来处理。
代入到上式
V2
2g
H
0.6 pa g
29.8062.8 0.698060 20.78（m/s）
9806
所以管内流量
qV
4
d
2V2
0.785 0.122 20.78 0.235（m3/s）
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22
图 3-22
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23
【例3-8】 水流通过如图3-23所示管路流入大气，已
V2
19.6 7 16 12.（1 m/s） 15
qV
4
d 22V2
0.052 12.1 0.02（4 m3/s）
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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图 3-23
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20世纪90年代以后出现的新流动测量技术： 1、热线热膜风速仪（简称HWFA) 2、激光风速仪（LDV或LDA） 3、相位多普勒技术(PDPA)——两相流测量仪器 4、粒子成像速度仪(PIV)——流场显示技术
天津大学化工原理第4讲流体在管内的流动
4Vs 得到管径： d u
↓，流动阻力↑，动力消耗↑，操作费↑。因而适宜流速需通 过操作费和基建费之间的经济权衡来确定。某些流体在管 道中的常用流速范围可参考教材表1-1。
例1-10 某厂精馏塔进料量为50000kg/h，料液的密度为960 kg/m3，其他性质与水相近。试选择适宜的进料管管径。 解： Vs ws 50000 0.0145m3 / s 3600 960 料液的性质与水相近，管内实际流速可选为： u 1.8m / s
⑤功 ⑥热
p2v2
we
Qe
根据能量守恒定律：输入=输出，得: 2 u12 u2 U1 gz1 p1v1 we Qe U 2 gz2 p2v2 2 2 u 2 g z pv Qe we ……（Ⅰ） 整理，得：U 2
说明：静压能（压强能）
Ne C、效率η： N
Ne
Байду номын сангаас
——实际消耗的功率
——反映了泵对外加能量的利用程度。
4) 对于可压缩流体，若所取系统两截面间的绝对压强变化小
于原来绝对压强的20%（即
仍然适用，此时式中的流体密度ρ取两截面间的平均密度ρm。 5) 对于非定态流动系统的任一瞬间，伯努利方程仍成立。 6) 若系统里的流体是静止的，则u=o, 则：
2 u12 p1 u2 p2 E gz1 gz2 2 2
常数
2) 若流动体系的 We 0 ，则：
2 u12 p1 u2 p2 ( gz1 ) ( gz2 ) h f 2 2
※结论：流体从截面1-1流入，至截面2-2流出，要消耗一部分机械
we 0
时，由：
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用67陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。
在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。
伯努利方程p+ρgh+(1/2)*ρv²=c式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。
它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。
伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。
相关应用（1）等高流管中的流速与压强的关系根据伯努利方程在水平流管中有p+(1/2)*ρv²=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。
在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。
下面就是一些实例伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
三、伯努利方程的应用：1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。
由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。
汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
化工原理伯努利实验
化工原理伯努利实验化工原理伯努利实验是一个非常经典的实验，它主要涉及伯努利方程的应用和实践。
伯努利方程是流体动力学中的一个基本方程，它描述了流体在管道中流动时的速度、压力和能量之间的关系。
通过这个实验，我们可以深入了解流体流动的基本规律和伯努利方程的应用。
一、实验原理伯努利方程是建立在牛顿第二定律和能量守恒定律基础上的一个基本方程。
它认为，在不可压缩流体的流动过程中，流体的速度、压力和高度之间存在一定的关系。
具体来说，伯努利方程可以表示为：Z1+p1/ρg+v1²/2g=Z2+p2/ρg+v2²/2g其中，Z表示流体的位置高度（单位为米），p表示流体的压力（单位为牛顿），ρ表示流体的密度（单位为千克/立方米），g表示重力加速度（单位为米/秒²）。
v表示流体的速度（单位为米/秒）。
二、实验设备实验所需的设备包括：一根管道、一个水泵、一个流量计、一个压力计、一个水位计和一个秒表。
三、实验步骤1.首先，将管道放置在一个水位计上，并将管道的一端连接到水泵上。
将流量计和压力计连接到管道上。
2.开启水泵，让水流通过管道流动。
使用秒表测量水流的时间。
3.在管道的不同位置（如A、B、C三处）分别测量水的速度、压力和水位高度。
使用流量计可以计算出不同位置的流量。
4.根据测量结果，将数据记录在表格中，包括位置高度、速度、压力、流量和时间等参数。
5.根据伯努利方程，计算出不同位置处的伯努利数（伯努利数=速度的平方/重力加速度乘以位置高度）。
将结果记录在表格中。
6.分析实验数据，了解伯努利方程在不同流动条件下的适用性。
同时，观察不同位置处的水流状态和能量变化情况。
7.重复实验，改变水泵的转速和水泵到管道的距离等参数，观察这些变化对伯努利数和能量分布的影响。
8.整理实验数据，进行误差分析，并撰写实验报告。
四、实验结果与分析通过实验，我们可以得到不同位置处的水流速度、压力、流量和伯努利数等数据。
化工原理 伯努利方程的应用
2 u1
u2 Hf 2g
2
32 0.752 0.26 2 9.8
0.17m水柱
因倒U型管中为空气，若不 计空气质量，P3=P4=P
P P 水 gh 1
P2 P 水 g (h R)
P2 P gR 1
P2 P 1 R g
P2 P 1 0.17m水柱 170mm水柱 R g
都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。
3）基准水平面的选取
所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平 行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个 截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水 平面通过管道中心线，Δ Z=0。 4）单位必须一致 在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致 的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外， 还要求表示方法一致。
分析： 求流量Vh 已知d 求u 直管
Vh 3600u
判断能否应用？
4
d
2
任取一截面
气体
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’
截面1-1’处压强 ：
P Hg gR 13600 9.81 0.025 3335Pa(表压） 1
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 1000 9.81 0.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P P2 (101330 3335) (10330 4905) 1 P (101330 3335) 1
0.079 7.9% 20%
在截面1-1’ 和2-2’ 之间列柏努利方程式。以管道中心线 作基准水平面。 由于两截面无外功加入，We=0。 能量损失可忽略不计Σhf=0。 柏努利方程式可写为：
伯努利方程的原理及其应用
伯努利方程的原理及其应用摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
关键词：伯努利方程 发展和原理 应用1.伯努利方程的发展及其原理：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。
无黏性流体的运动微分方程：无黏性元流的伯努利方程：实际恒定总流的伯努利方程：z 1+g p ρ1+g v 2121α=z 2+gp ρ2+g v 2222α+h w总流伯努利方程的物理意义和几何意义：Z ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；gpρ----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高度或压强水头；g2v 2α----总流过流断面上单位重量流体的平均动能，平均流速高度或速度水头； hw ----总流两端面间单位重量流体平均的机械能损失。
总流伯努利方程的应用条件：（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
（7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
2.伯努利方程的应用:伯努利方程在工程中的应用极其广泛，下面介绍几个典型的例子：※文丘里管：文丘里管一般用来测量流体通过管道时的流量。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用
伯努利方程原理以及在实际生活中的运用2011444367 陈高威在我们传输原理学习当中有很多我们实际生活中运用到的原理，其中伯努利方程是一个比较重要的方程。
在我们实际生活中有着非常重要广泛的作用，下面就伯努利方程的原理以及其运用进行讨论下。
伯努利方程p+ρgh+(1/2)*ρv ²=c 式中p、ρ、v分别为流体的压强，密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度；c为常量。
它实际上流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差说做的功。
伯努利方程的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。
相关应用（1）等高流管中的流速与压强的关系根据伯努利方程在水平流管中有p+(1/2)*ρv ²=常量故流速v大的地方压强p就小，反之流速小的地方压强大。
在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，所以管细处压强小，管粗处压强大，从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。
下面就是一些实例伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。
由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。
三、伯努利方程的应用：1.飞机为什么能够飞上天?因为机翼受到向上的升力。
飞机飞行时机翼周围空气的流线分布是指机翼横截面的形状上下不对称,机翼上方的流线密,流速大,下方的流线疏,流速小。
由伯努利方程可知,机翼上方的压强小,下方的压强大。
这样就产生了作用在机翼上的方向的升力。
2.喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。
让空气从小孔迅速流出,小孔附近的压强小,容器里液面上的空气压强大,液体就沿小孔下边的细管升上来,从细管的上口流出后,空气流的冲击,被喷成雾状。
3.汽油发动机的汽化器,与喷雾器的原理相同。
汽化器是向汽缸里供给燃料与空气的混合物的装置,构造原理是指当汽缸里的活塞做吸气冲程时,空气被吸入管内,在流经管的狭窄部分时流速大，压强小，汽油就从安装在狭窄部分的喷嘴流出，被喷成雾状，形成油气混合物进入汽缸。
伯努利方程原理及其应用
伯努利方程原理及其应用伯努利方程原理是流体力学中的一个重要定理，描述了流体在不同位置的压力、速度和高度之间的关系。
它是基于质量守恒和动量守恒定律得出的。
伯努利方程的应用非常广泛，涉及许多领域，如水力工程、航空航天工程、血液循环等。
P + 1/2ρv² + ρgh = 可以称之为 Bernoulli's Principle 分成三个代表量就是 (pressure), (velocity) and (height)其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的流速，g代表重力加速度，h代表流体的高度。
这个方程的意义是，当流体在稳定非粘性的情况下沿着流线流动时，流体在不同位置上的压力、速度和高度之间是相互关联的。
1.水力工程：伯努利方程可以用来研究液体在管道流动中的压力和速度变化。
在水力工程中，通过伯努利方程可以计算水管中的液体流速、压力等参数，从而确定水力机械设备的设计和运行参数。
2.航空航天工程：伯努利方程可以用来研究气体在飞行器周围的流动。
当气体流动速度增加时，伯努利方程能够说明气体的压力减小。
这一原理被应用在飞机的翼型设计中，通过加速飞行器周围的气流，可以产生升力，从而使飞机升起。
3.血液循环：伯努利方程可以用来研究血液在血管中的流动。
血液在动脉和静脉中的流速和压力变化可以通过伯努利方程来描述。
在生理学中，伯努利方程被用来分析血管疾病的发生机制，如动脉瘤、血栓形成等。
4.分离气体传输：伯努利方程在管道气体输送过程中也有重要应用。
通过伯努利方程可以计算气体在管道中的流速和压力变化，从而确定管道的设计和运行参数。
此外，伯努利方程还可以应用于喷射器、超声波仪器、气象学中的风场分析等领域。
总的来说，伯努利方程通过描述流体在不同位置的压力、速度和高度之间的关系，为流体力学的研究和应用提供了基础。
通过对伯努利方程进行分析和应用，可以更好地理解和预测流体力学现象的发生和发展。
天津大学化工原理第5讲伯努利方程的应用概要
p2=1.4×105Pa（均为表压），Σhf=10.6J/kg；取
水的密度为1000kg/m3，得：
2 u12 1.69 105 u2 1.4 105 9.811.5 10.6 2 1000 2 1000
由连续性方程：
u2 d1 2 0.3 2 ( ) ( ) 4 u2 4u1 u1 d2 0.15
（3） 基准水平面的选取 基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。z值是 指截面中心点至基准水平面的垂直距离，选取的目的是为了 确定位能的大小。为简化计，水平管道，可选管道中心轴线
为基准水平面，则 z 0 。基准水平面也可选择通过其中
任一截面，则该截面上z=0。 （4） 两截面上的压强 两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。
2）确定设备间相对位置 例1-13 有一输水系统，如本题附图所示，水箱内的水面维
持恒定，输水管直径φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经
全部管道（不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2计算，式 中u为管道内水的流速（m/s）。试求: (1)水箱内的液面必须高出 排出口的高度H； (2)若输水量增加5%，管道 的直径及其布置不变，管路 损失仍按上式计算，则水
代入，得：
u 1.69 10 9.811.5 1.4 105 10.6 1000
解得： u1 0.701m / s
Ws u1 A1
d12
4
u1
3.14 0.32 0.7011000 49.55kg / s 1.78 105 kg / h 4
（注：绝压或表压强，若为真空，表压强计为“-”值）。 （5）单位必须一致
伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
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z2
u22 2g
p2
g
hf g
或
z1
u12 2g
p1
g
He
z2
u22 2g
p2
g
H
f
位压头 动压头 静压头 有效压头 压头损失
注：式中各项单位为m。“m”的物理意义，表示单位重量 流体所具有的机械能，可以把它自身从基准水平面升举的高度。
3) 以单位体积流体（1m3流体）为衡算基准，则将（Ⅲ）式 各项乘以ρ。得：
gz1
u12
2
p1
We
gz2
u22
2
p2
hf
式中： hf pf ——单位体积流体的机械能损耗。
注：式中各项单位为N/m2（或Pa)，表示单位体积流 体所具有的能量。
1.3.5 伯努利方程式的应用 概述：对稳态流动体系作质量衡算（物料衡算）→一维稳定
流动的连续性方程，对稳态流动体系作能量衡算→伯努利方程。 这两个方程是解决流体输送问题最重要、最基本的方程。
第5讲 1.3.5 伯努利方程式的应用
教学内容：1、掌握管内稳态流动的连续性方程及其 应用； 2、掌握伯努利方程及其应用。
教学重点：1、伯努利方程的解题要点； 2、伯努利方程的实际应用过程计算。
教学难点：伯努利方程应用中衡Fra bibliotek截面的选取。伯努利方程的几种表达形式
1) 以单位质量流体（1kg流体）为衡算基准。
（2） 截面的选取 规定两截面均应与流体流动方向相垂直，并且在两截面
间的流体必须是连续的。所求的未知量应在截面上或在两截面 之间，且截面上的Z、u、p等有关物理量，除所需求取的未知 量外，都应该是已知的或能通过其它关系计算出来。
（3） 基准水平面的选取 基准水平面可以任意选取，但必须与地面平行。z值是
（5）单位必须一致 伯努利方程式中各项的单位必须统一。建议采用SI制。
2、伯努利方程的应用示例 1）确定管道中流体的流量
例1-12 水在如本图所示的管道内由 下而上自粗管内流入细管，粗管内径为 0.3m，细管内径为0.15m。已测得图中11’及2-2’ 面上的静压强分别为1.69×105Pa 及1.4×105Pa（均为表压），两测压口垂 直距离为1.5m，流体流过两测压点的阻 力损失为10.6J/kg，试求水在管道中的质 量流量为多少(kg/h)？
根据伯努利方程式并整理，则输水量增加后水箱内水面高 于排出口的高度H’为
9.81H '
u'2 2
h'f
2.332 2
15 2.332
84.14 H '
8.58m
即当输水量增加5%时，水箱内水面将要上升8.58-7.79=0.79m。
实际应用：从高位槽向设备输送一定量的料液时，确 定高位槽的安装位置（高度）。
解：首先选取衡算截面及基准水平面
取水流过的1-1’ 为上游截面， 2-2’为下游
截面， 取1-1’为基准水平面，在1-1’ 和2-2’间列
伯努利方程：
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
已知：We=0，Z1=0，Z2=1.5，p1=1.69×105 Pa, p2=1.4×105Pa（均为表压），Σhf=10.6J/kg；取 水的密度为1000kg/m3，得：
2 1000
解得： u1 0.701m / s
Ws
u1 A1
d12
4
u1
3.14 0.32 0.7011000 49.55kg / s 1.78 105 kg / h 4
2）确定设备间相对位置
例1-13 有一输水系统，如本题附图所示，水箱内的水面维 持恒定，输水管直径φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经 全部管道（不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2计算，式 中u为管道内水的流速（m/s）。试求: (1)水箱内的液面必须高出 排出口的高度H； (2)若输水量增加5%，管道 的直径及其布置不变，管路 损失仍按上式计算，则水 箱内的水面将升高多少米?
u12 1.69105 9.811.5 u22 1.4 105 10.6
2 1000
2 1000
由连续性方程：
u2 u1
( d1 )2 d2
( 0.3 )2 0.15
4 u2
4u1
代入，得：
u12 1.69105 9.811.5 4u1 2 1.4105 10.6
2 1000
指截面中心点至基准水平面的垂直距离，选取的目的是为了 确定位能的大小。为简化计，水平管道，可选管道中心轴线
为基准水平面，则 z 0 。基准水平面也可选择通过其中
任一截面，则该截面上z=0。 （4） 两截面上的压强
两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。 （注：绝压或表压强，若为真空，表压强计为“-”值）。
解：1、选取衡算截面及基准水平面
取水箱水面为上游截面1-1’ ，排出管口内侧为下游截面2-2’ ，
并以截面2-2’ 的管道中心线为基准水平面，则有Z1= H；Z2=0
2、在1-1’与2-2’之截面间列伯努利方程
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
已知：p1=p2=0 , (均为表压) ,u1≈0，Σhf=15u2，We=0
u2
Vs A
4Vs
d2
418.3 3600 3.14 0.0542
2.22m / s
9.81H 2.222 15 2.222 76.39 H 7.79m 2
即水箱内的水面至少应高出管道排出口7.79m。
（2）输水量增加后，水箱内水面上升的高度。
Vs' u' A 1.05Vs 1.05uA u' 1.05u 1.05 2.22 2.33m / s
gz1
u12 2
p1
We
gz2
u22 2
p2
hf
式中：We ——流体输送机械对单位质量流体所作的有效功。
h f ——单位质量流体的机械能损耗。
注：式中各项单位为J/kg，表示单位质量流体所具有的能量。
2) 以单位重量流体（1N流体）为衡算基准。将（Ⅲ）式中各
项除以g。
z1
u12 2g
p1
g
We g
1、伯努利方程的应用主要有以下几个方面 ①确定管道中流体的流量。 ②确定容器间的相对位置。 ③确定输送设备的有效功率。 ④确定管路中流体的压强。
2、伯努利方程的解题要点
（1） 作图与确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并标明流体的流动方
向。选好上、下游截面（1-1’、2-2’截面），以明确流动系 统的衡算范围。