理论力学完整讲义

理论力学一 静力学(平衡问题)01力的投影与分力 02约束与约束力 03二力构件04平面汇交力系的简化 05力矩与力偶理论06平面一般力系的简化：主矢和主矩 07平面一般力系的平衡方程 08零杆的简易判断方法 09刚体系统的平衡问题 10考虑摩擦时的平衡问题01力的投影与分力 基本概念：刚体：在力的作用下大小和形状都不变的物体。

平衡：物体相对于惯性参考系保持静止或均速直线运动的状态 力的三要素：力的大小、方向、作用点。

集中力：力在物体上的作用面积很小，可以看做是一个作用点，单位：N 。

分布力：小车的重力均匀分布在桥梁上面，这种力称为分布力（也称为均布荷载），常用q 表示，单位N/m ，若均布荷载q 作用的桥梁的长度是L ，则均布荷载q 的合力就等于q ×L ，合力的作用点就在桥梁的中点位置。

力的投影和分力 1)在直角坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos y F F β=分力(矢量)cos x F F i α=u u r r cos y F F j β=u u r r2)在斜坐标系： 投影(标量)：cos x F F α= cos()y F F ϕα=-分力(矢量)(cos sin cot )x F F F i ααϕ=-u u r rsin sin y F F j αβ=u u r r02约束与约束力约束：对于研究对象起限制作用的其他物体。

约束力方向：总是与约束所能阻止物体运动的方向相反，作用在物体和约束的接触点处。

约束力大小：通常未知，需要根据平衡条件和主动力求解。

(1)柔索约束：柔索约束：由绳索、皮带、链条等各种柔性物体所形成的约束，称为柔索约束。

特点：只能承受拉力，不能承受压力。

约束力：作用点位接触点，作用线沿拉直方向，背向约束物体。

(2)光滑面约束光滑面约束：由光滑面所形成的约束称为光滑面约束。

约束性质：只能限制物体沿接触面公法线趋向接触面的位移。

特点：只能受压不能受拉，约束力F 沿接触面公法线指向物体。

原图受力图(3)中间铰链约束中间铰链约束：若相联的两个构件均无固定，则称为中间铰链连接，简称中间较。

约束力特点：通过销钉中心，在垂直于销钉轴线的平面内方向待定，通常用两个正交的分力Fx和Fy表示。

(4)固定铰链支座固定铰链支座：物体与固定的地基或机架上的支座有相同直径的孔，用一圆柱形销钉连接起来，这种构造称为固定铰支座。

约束力特点：约束反力通过接触点并垂直于销钉轴线，由于接触点的位置不能确定，故其反力的方向也不能确定，通常用两个正交的分力Fx和Fy表示。

(5)辊动支座(活动铰支座)辊动支座(活动铰支座)：若在固定铰支座的下面放一排辊轴，支座便可以沿支承面移动，又称为活动铰支座。

约束力性质：只能限制物体与支座接触处向着或者离开支撑面的运动，不限制物体的转动和沿接触面切向的移动。

约束力特点：约束力垂直于支撑面通过铰链中心。

(6)固定端约束固定端约束：既能限制移动，也能限制转动。

技巧：在平面力系情况下，刚体的移动方向有2个（X轴和Y轴方向的移动），刚体的转动面只有1个（刚体所在平面）。

故在绘制约束力时，如果能限制X方向的移动，则有Fx，如果能限制Y方向的移动，则有Fy，如果能限制转动，则有M。

03二力构件二力平衡条件：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，如图所示，若AB 杆件平衡，则：AB BA F F 在两个力作用下保持平衡的构件。

二力构件二力构件可以是直杆，也可以是曲杆。

受力特点：二力的作用线必通过作用点的连线。

结论：两端是铰链连接，两端之间没有别的力作用的杆件，一定是二力构件；二力的作用线必通过两个作用点的连线。

C 不是二力构件：04平面汇交力系的简化力系的基本概念：作用在同一刚体上的两个或两个以上的力所组成的系统，记为：12()n F F F L 、、、平面汇交力系：平面力系中所有的力的作用线汇交于同一点平面任意力系：平面力系中所有的力的作用线不汇交于同一点。

平面汇交力系 平面任意力系1)几何法(平面汇交力系)作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。

合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

平衡条件：力多边形自行封闭。

2)解析法合力在X 轴上的投影：Rx xiF F =∑ 合力在Y 轴上的投影：Ry yiF F=∑合力：22R Rx Ry F F F =+平面汇交力系的平衡方程：若平面汇交力系12()n F F F L 、、、为平衡力系，则其合力0R F =，则可得其平衡方程为：=0=0Rx xi Ry yi F F F F ⎧=⎪⎨=⎪⎩∑∑05力矩与力偶理论 力对点之距：力的大小（F ）与距心O 到力的作用线的距离（力臂h ）的乘积称为力F 对O 点之距，记做()O M F ：()O M F Fh =±（单位：N m g ）方向：逆时针转动为正，顺时针转动为负。

合力矩定理：合力对平面内任意一点之距，等于所有分力对同一点之距的代数和：若：12R n F F F F =+++L则：12()()()()O R O O O n M F M F M F M F =+++L （注：逆时针方向转动为正，顺时针方向转为负，方向不同要抵消）力偶：力偶定义：大小相等、方向相反、作用线互相平行、但不在同一直线上的两个力组成的力系，记为'()F F 、。

力偶中两个力的作用线间的距离d 称为力偶臂，两个力所在的平面称为力偶的作用面，力F 与力偶臂d 的乘积称为力偶'()F F 、的力偶距，记为M ：'()=F F F d ±⨯、方向：逆时针转动为正，顺时针转动为负。

力偶的表示法：力偶的等效：力偶系的概念：力偶系：由两个或两个以上的力偶所组成的系统 平面力偶系：力偶系中各力偶均作用在同一平面。

平面力偶系的合成：作用在同一刚体上若干平面力偶的转动效应可以用一个和力偶的转动效应代替，力力偶系可以合成为一个合力偶。

i M M =∑力偶系的平衡条件：物体在平面力偶系作用下平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数和等于0，即：0iM M==∑06平面一般力系的简化：主失和主矩 1)加减平衡力系原理：在作用于刚体的已知力系中，加上或减去任意平衡力系，都不会改变原力系对刚体的运动效应。

2)力向一点平移定理作用在物体上的一个力可以向刚体上任意一点平移，而不改变它对刚体的作用效应，但前提是必须附加一个力偶，这个附加力偶的力偶距等于原作用力对新作用点之距。

'()==M F F m F d ⨯、3)主失的概念作用在刚体上的力系12()n F F F L 、、、中所有力的矢量和，称为该力系的主失，用R F 表示。

12R n F F F F =+++L注：主失R F 的求法仍可以利用力的平行四边形法则。

4)主矩的概念力系12()n F F F L 、、、 中所有的力对于同一点O 之距的矢量和，称为该力系的主矩，用O M 表示：=()O O i M M F ∑注：一个力系的主失是唯一的，主失和矩心位置的选择无关；主矩可有很多个，主矩与矩心的位置选择一般是有关的。

5)平面一般力系向任一点简化根据力向一点平移定理，可以将平面任意力系12()n F F F L 、、、中的每一个力平移到作用面内任一点O （O 点称简化中心），可得到一个平面汇交力系'''12()n F F F L 、、、和一个平面力偶系12()n m m m L 、、、： '''1212R n n i F F F F F F F F =+++=+++=∑L L (即原力系的主失) 12()O n O i M m m m m F =++=∑L (即原力系对O 点的主矩)结论：平面任意力系向一点简化可得到一个主失R F 和主矩O M 。

07平面一般力系的平衡方程平面任意力系向一点简化可得到一个主失R F 和主矩O M ，而主失表征的是力系对刚体的移动效应，主矩表征的是力系对刚体的转动效应。

故力系平衡的条件：力系的主失和力系对任一点的主矩都等于零。

0R i F F ==∑ ()0O O i M m F ==∑1)一矩式（两个力一个力矩）00()0x y O O i F F M m F ⎧=⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩∑∑∑ 2)二矩式（一个力两个力矩）()0()0x A A i B B i F M m F M m F ⎧=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩∑∑∑ 或 0()0()0y A A i B B i F M m F M m F ⎧=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩∑∑∑ 前提条件：AB 两点的连线不能垂直X （Y ）轴。

平面静定桁架的平衡问题1)节点法：取节点为研究对象，根据平面汇交力系平衡方程求杆件内力。

2)截面法：用一假想截面将桁架截开，再考虑其中的一部分平衡建立静力学平衡方程求杆件的内力。

用节点法求下列各杆的内力，一直P=10kN 。

原图 取整体取A 节点 取D 节点 ①取整体：求得：5Ay By F F kN ==，0Bx F =。

②取节点A 和节点D ，求得：110F kN =-，28.66F kN =，310F kN =。

③根据对称性可知：410F kN =-，58.66F kN =。

用截面法求1~3杆的轴力。

已知10E P kN =，7G P kN =各杆长度均为1m 。

原图 取整体 用mn 截面截开 ①取整体：求得0Ax F =，9Ay F kN =，8By F kN =。

②用截面法，取桁架左边部分：110.4F kN =-，2 2.31F kN =-，311.555F kN =。

08零杆的建议判断方法零杆的判断：受力为0的杆件称之为“0杆” 常规判断方法：节点法：根据节点建立平面汇交力系平衡方程求杆件内力 截面法：根据所截取部分建立静力学平衡方程求杆件的内力。

1）“L ”型节点：只连接两根杆（不在同一直线上）且节点不受别的力作用，此两根杆必为“0”杆。

2）“T ”型节点：连接三根杆（其中两根杆在同一直线上）且节点不受别的力作用，则另一根杆必为“0”杆。

“L”型节点 “T”型节点注意：当节点上作用有外力时，可以用一根杆来代替外力，如图中的节点5，节点5上作用了一个外力F ，可用一根向右的杆件代替F ，故根据节点的简易判断方法可知5为T 型节点，即可判断杆件57为零杆。

57杆为零杆 AD DE CD HG CG BG6个杆为零杆09刚体系统的平衡问题实际工程结构大多是由两个或两个以上构件通过一定的约束方式连接起来的系统，称之为刚体系统。

分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理单个刚体的平衡问题是一致的，关键在于选择合适的研究对象。