第五章 测量误差的基本知识
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间[－3m，＋3m]几乎是肯定的事。因此在测量 工作中，我们常常取三倍中误差作为偶然误差的 容许值（或限差），如果精度要求较高时，就可 以取两倍中误差作为限差，即：
∆容＝士பைடு நூலகம்2|m| 或 ∆容＝士3|m |
§5.3 误差传播定律
误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函 数中误差之间关系的定律
一、一般函数的中误差 设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变 量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
得方向值l1、l2、l3，设各方向的 l1
中误差均为m，求mα、 mβ和mγ 。
l2
• α＝l2－l1，
• β＝l3－l2， • γ＝α＋β，
α
γ
β
• （错误计算：因为α和β并非独立
的观测值，因为它们都用到了方
l3
向值l2）正确计算应为：
•
γ＝l3－l1，
从这道题应
该注意到中误差传播定律的前提
是x1、x2…xn为相互独立的观测 值。
例：假设对一个水平角进行了两组等精度的观 测，其中甲组观测了2测回，测得水平角分别 为l1、l2，计算得平均L1=( l1+l2 )/2；乙组观测 了4测回，测得水平角分别为l3、l4、 l5、l6,计 算得平均L2=( l3+l4+ l5+l6 )/4。那么这个水平 角应怎样计算？
① L=(L1+L2)/2 ② L=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4)
权：观测值精度的可靠程度。
“权”与中误差成反比，观测值或观测值函数 的精度越高，其权越大 。
2、单位权
在Pi=λ²/mi²中，当Pi=1，Pi为单位权
① Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值;
② Pi=1时，λ²＝mi²，当权为1时， λ常数等于 观测值的中误差，所以称为单位权中误差 （用m0表示）
②系统误差：误差的大小符号按一定的规律
变化
产生的原因：外界条件、仪器设备、观测 方法、计算手段
消除、减弱系统误差方法： 检校仪器 求改正数 对称观测
③偶然误差：误差的大小、符号无一定的规
律变化，但符合某一统计规律
产生的原因：人的感觉器官、仪器的性能
处理方法：进行多余观测
• 有了多余观测，可以发现观测值中的错误，以便 将其剔除和重测。
四、相对误差
例2、假设现在丈量了两段距离：
甲：100±0.01米；乙： 200±0.01米
到底那组的精度高些呢？
如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显 然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相 关，距离越大，误差的累积就越大,这就需要引 入相对误差：
K= ｜m｜/D （注意化为分子为1的形式）
（2）了解非等精度观测。
第五章 误差基本知识
重点
误差的分类及 特点
中误差 误差传播定理 算术平均值的
中误差
难点
误差传播定理 非等精度观测
§5.1 测量误差概述
1.什么叫误差？ 误差＝观测值－真值 ∆i＝li－X 2.研究误差的目的 怎样提高精度？ 怎样去满足精度进行施测？ 3.误差产生的原因 仪器、设备－－构造不完善 观 测 者－－眼睛的分辨率60″ 外 界 条 件－－气温、大气折光、风力等影响
• 有了多余观测，观测值之间必然产生矛盾（往返 差、不符值或闭合差等），差值如果大到一定的 程度，就认为观测值中有错误，或者说误差超限， 需要返工重测。
• 差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理， 称为“闭合差的调整”
问题（2）判断下列误差各属于哪些误差：
数据记错、尺子颠倒、温度改正、尺长改正、 大气折光误差、 视准误差、度盘偏心误差、 竖轴误差、尺子零点误差、对中误差、照 准误差、估读误差
3、定权的常用方法
① 等精度观测值算术平均值的权 ：λ＝m（观
测值中误差），
，则Pn＝n
② 水准测量的权：水准路线的权与路线长度成 反比，即Pi＝K/Li
二、加权平均值及其中误差
1.加权平均值
例：L=(2L1+4L2)/(2+4)
2.单位权中误差（m0）
m0
[P] n
[PV]V n1
3、加权平均值的中误差（M0）
第五章 误差基本知识
学习本章的意义 ：使同学们掌握怎样把误差的
基本知识应用到实际工程。
内容主要有 ：误差概述、偶然误差的性质、衡量
精度的标准、误差转播定律、观测值及算术平均值 中误差、非等精度观测。
教学要求 ：
（1）掌握误差的分类及性质、衡量精度的标准、误 差转播定律、怎样求观测值及算术平均值中误差。
5.偶然误差的特性
现重复观测了多个三角形内角和，得到真误 差 ∆i＝Li－180°，统计见表5-1，从这个列 表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：
① 有界性 ② 密集性 ③ 对称性； ④ 抵偿性
6.偶然误差的分布曲线
• 误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正 态分布概率密度函数表示：
§5.2衡量精度的标准
4.误差的分类
观测成果的精确程度简称为精度，观测精 度取决于观测时所处的条件。依据观测条 件来区分观测值，可分为：
同等精度：观测条件相同的各次观测
不等精度观测：观测条件不相同的各次观 测
在相同观测条件下测量误差可分为：
①过失误差（粗差）：观测者错误引起
问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行 政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器 测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测 量结果是不是过失误差？
m z( x f1)2m 1 2 ( x f2)2m 2 2 .. .( x fn)2m n 2
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：m z m 1 2m 2 2.. .m n 2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差： m z (k1)2m 1 2 (k2)2m 2 2 . .(.kn )2m n 2
L1
70.344
4
2.5
175.86
1
L2
70.339
2.5
4
281.356
-4
L3
70.352
8.5
1.2
84.422
9
∑
70.343
7.7
541.638
Pvv 2.5 64 97.2 163.7
加权平均值: HP= ［PL］/［P］=70.343m
单位权中误差：m0=
= ±9mm
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
M0＝ m 0
[P ]
例：如图，已知L1＝4Km，
L2＝2.5Km，L3＝8.5Km
HA＝78.324m，h1＝-7.980m； HB＝64.347m， h2＝5.992m； HC＝24.836m，h3＝45.516m
求P点的高程平均值及其中误差 ？
水准路线 结点P高程 路线长
权
P×L V(mm)
或然误差：vi＝li－L 或然误差特性： ［v］=0 3、由或然误差求中误差：
例：见教材中的例子 4、算术平均值中误差 ：
（白塞尔公式）
从这个公式可以看出，要使算术平均值中误差变小， 可以通过两个方面来实现：一是增加观测次数n，但观 测次数也不可能无限多，而且增加到一定次数后对算术 平均值中误差 的影响不明显，所以一般n取2～4；二是 减小每次观测时的中误差m，也就是要改善观测条件， 例如用精度更高的仪器，提高观测者的技能、责任心， 在气象条件好的环境下观测。
一、精度的含义 所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。
如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若 误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。
二、平均误差
θ＝［｜∆｜］/n θ越小，精度越高
三、中误差 m
n m越小，精度越高 例1、设甲乙两组观测，真误差为： 甲：＋4″，＋3 ″ ，0 ″ ，－2 ″，－4 ″ 乙：＋6″，＋1 ″ ，0 ″ ，－1 ″ ，－5 ″ 试比较两组的精度。
1、平均误差： θ甲＝θ乙＝2.6″ • 甲组的离散区间（－4，＋4） • 乙组的离散区间（－5，＋6） • 所以甲组精度高。 2、中误差：
• 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 • 中误差（m）与真误差（ ∆ ）不同，它只是表示某一组
观测值的精度指标，并不等于任何观测值的真误差。若 为等精度观测，那么组中每个观测值的精度皆为m。 • 中误差的概率含义是：对任一观测值li的真误差∆i，落 在区间[－m，+m]的概率是0.68。
K甲＝1/10000,K乙＝1/20000, 甲组精度高。
例3、β1＝28°35′18″±3.8″ ； β2＝
308°15′12″±3.2″，那组的精度高？
五、极限误差
P{-m＜∆＜m｝＝0.683 P{-2m＜∆＜2m｝＝0.954 P{-3m＜∆＜3m｝＝0.997 我们可以看到，对于真误差来说，它的值落在区
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
观测值l1，l2，…ln 算术平均值为 ：L=(l1+l2+…ln )/n=[l]/n 算术平均值原理:当n→∞时，L=X 证明：∆i＝li－X, [∆]=[l]－ nX， [∆]/n=[l]/n － X，根据偶然误差第4特性即证 算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫
做“最或是值”。
2、或然误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
－b ctan ∠A （d ∠A /ρ″） ρ″=206265″ mb²＝（ b/a）²ma²＋（ b ctan ∠B ）²（mB/ ρ″) ²
＋（ b ctan ∠A ）²（mA/ ρ″) ²＝0.0000498 mb＝±0.022，则b＝102.402 ±0.022m
例5：在O点观测了3个方向，测
一、非等精度观测及观测值的权
上例中：甲组观测值的算术平均值精度： 而乙组观测值的算术平均值精度为： m2>m1，也就是L2的精度比L1要高。如果要将L1、 L2进行平均，应该是精度高的数值所占的“比 重”大一些，精度低的数值所占的“比重”应 该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的 “权”。
1、权的定义
例4：在△ABC中，测量得a＝137.285±0.012m
∠A=56 °35′18″±38″, ∠B=38°30′32″±26″
求b及其中误差？ 解：b=asin ∠B/sin ∠A
=137.285sin 38°30′32″/sin56 °35′18″＝102.402 db＝b/a da＋b ctan ∠B (d ∠B/ρ″)
DJ6经纬仪需要测几个测回？ 解： n＝（8.5/4）²＝4.5 所以需要测5个测回 假定精度达到±1.7 ″,用DJ6经纬仪测几个测
回？如果用DJ2经纬仪需要测几个测回？ DJ6: n＝（8.5/1.7）²＝25测回 DJ2: n＝（2.82/1.7）²＝2.8,即3测回
§5.6加权平均值及其中误差
所以瞄准一个方向的中误差为： 上半测回角值：β半＝b－a 半测回角值差： 半测回差取2m＝ ±34 ″，考虑到其它不利因
素 ，所以取半测回差应该小于40 ″。 一测回角值： β＝（ β上 ＋ β下 ）/2 一测回角值精度m β= ±8.5 ″
测回角值之差：∆β= β1- β2，m ∆β=±12 ″ 测回差取2m= ±24 ″,规范测回差限差24 ″ 例：为了让某一角度的精度达到±4 ″,问用
∆容＝士பைடு நூலகம்2|m| 或 ∆容＝士3|m |
§5.3 误差传播定律
误差传播定律：是指描述观测值中误差与其函 数中误差之间关系的定律
一、一般函数的中误差 设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自变 量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
得方向值l1、l2、l3，设各方向的 l1
中误差均为m，求mα、 mβ和mγ 。
l2
• α＝l2－l1，
• β＝l3－l2， • γ＝α＋β，
α
γ
β
• （错误计算：因为α和β并非独立
的观测值，因为它们都用到了方
l3
向值l2）正确计算应为：
•
γ＝l3－l1，
从这道题应
该注意到中误差传播定律的前提
是x1、x2…xn为相互独立的观测 值。
例：假设对一个水平角进行了两组等精度的观 测，其中甲组观测了2测回，测得水平角分别 为l1、l2，计算得平均L1=( l1+l2 )/2；乙组观测 了4测回，测得水平角分别为l3、l4、 l5、l6,计 算得平均L2=( l3+l4+ l5+l6 )/4。那么这个水平 角应怎样计算？
① L=(L1+L2)/2 ② L=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4)
权：观测值精度的可靠程度。
“权”与中误差成反比，观测值或观测值函数 的精度越高，其权越大 。
2、单位权
在Pi=λ²/mi²中，当Pi=1，Pi为单位权
① Pi=1时相应的观测值，称单位权观测值;
② Pi=1时，λ²＝mi²，当权为1时， λ常数等于 观测值的中误差，所以称为单位权中误差 （用m0表示）
②系统误差：误差的大小符号按一定的规律
变化
产生的原因：外界条件、仪器设备、观测 方法、计算手段
消除、减弱系统误差方法： 检校仪器 求改正数 对称观测
③偶然误差：误差的大小、符号无一定的规
律变化，但符合某一统计规律
产生的原因：人的感觉器官、仪器的性能
处理方法：进行多余观测
• 有了多余观测，可以发现观测值中的错误，以便 将其剔除和重测。
四、相对误差
例2、假设现在丈量了两段距离：
甲：100±0.01米；乙： 200±0.01米
到底那组的精度高些呢？
如果从中误差来看，两组的精度相等，但这样显 然不合理。因为实际上距离测量的误差与长度相 关，距离越大，误差的累积就越大,这就需要引 入相对误差：
K= ｜m｜/D （注意化为分子为1的形式）
（2）了解非等精度观测。
第五章 误差基本知识
重点
误差的分类及 特点
中误差 误差传播定理 算术平均值的
中误差
难点
误差传播定理 非等精度观测
§5.1 测量误差概述
1.什么叫误差？ 误差＝观测值－真值 ∆i＝li－X 2.研究误差的目的 怎样提高精度？ 怎样去满足精度进行施测？ 3.误差产生的原因 仪器、设备－－构造不完善 观 测 者－－眼睛的分辨率60″ 外 界 条 件－－气温、大气折光、风力等影响
• 有了多余观测，观测值之间必然产生矛盾（往返 差、不符值或闭合差等），差值如果大到一定的 程度，就认为观测值中有错误，或者说误差超限， 需要返工重测。
• 差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理， 称为“闭合差的调整”
问题（2）判断下列误差各属于哪些误差：
数据记错、尺子颠倒、温度改正、尺长改正、 大气折光误差、 视准误差、度盘偏心误差、 竖轴误差、尺子零点误差、对中误差、照 准误差、估读误差
3、定权的常用方法
① 等精度观测值算术平均值的权 ：λ＝m（观
测值中误差），
，则Pn＝n
② 水准测量的权：水准路线的权与路线长度成 反比，即Pi＝K/Li
二、加权平均值及其中误差
1.加权平均值
例：L=(2L1+4L2)/(2+4)
2.单位权中误差（m0）
m0
[P] n
[PV]V n1
3、加权平均值的中误差（M0）
第五章 误差基本知识
学习本章的意义 ：使同学们掌握怎样把误差的
基本知识应用到实际工程。
内容主要有 ：误差概述、偶然误差的性质、衡量
精度的标准、误差转播定律、观测值及算术平均值 中误差、非等精度观测。
教学要求 ：
（1）掌握误差的分类及性质、衡量精度的标准、误 差转播定律、怎样求观测值及算术平均值中误差。
5.偶然误差的特性
现重复观测了多个三角形内角和，得到真误 差 ∆i＝Li－180°，统计见表5-1，从这个列 表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：
① 有界性 ② 密集性 ③ 对称性； ④ 抵偿性
6.偶然误差的分布曲线
• 误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正 态分布概率密度函数表示：
§5.2衡量精度的标准
4.误差的分类
观测成果的精确程度简称为精度，观测精 度取决于观测时所处的条件。依据观测条 件来区分观测值，可分为：
同等精度：观测条件相同的各次观测
不等精度观测：观测条件不相同的各次观 测
在相同观测条件下测量误差可分为：
①过失误差（粗差）：观测者错误引起
问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行 政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器 测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测 量结果是不是过失误差？
m z( x f1)2m 1 2 ( x f2)2m 2 2 .. .( x fn)2m n 2
二、特殊函数的中误差
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：m z m 1 2m 2 2.. .m n 2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差： m z (k1)2m 1 2 (k2)2m 2 2 . .(.kn )2m n 2
L1
70.344
4
2.5
175.86
1
L2
70.339
2.5
4
281.356
-4
L3
70.352
8.5
1.2
84.422
9
∑
70.343
7.7
541.638
Pvv 2.5 64 97.2 163.7
加权平均值: HP= ［PL］/［P］=70.343m
单位权中误差：m0=
= ±9mm
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
M0＝ m 0
[P ]
例：如图，已知L1＝4Km，
L2＝2.5Km，L3＝8.5Km
HA＝78.324m，h1＝-7.980m； HB＝64.347m， h2＝5.992m； HC＝24.836m，h3＝45.516m
求P点的高程平均值及其中误差 ？
水准路线 结点P高程 路线长
权
P×L V(mm)
或然误差：vi＝li－L 或然误差特性： ［v］=0 3、由或然误差求中误差：
例：见教材中的例子 4、算术平均值中误差 ：
（白塞尔公式）
从这个公式可以看出，要使算术平均值中误差变小， 可以通过两个方面来实现：一是增加观测次数n，但观 测次数也不可能无限多，而且增加到一定次数后对算术 平均值中误差 的影响不明显，所以一般n取2～4；二是 减小每次观测时的中误差m，也就是要改善观测条件， 例如用精度更高的仪器，提高观测者的技能、责任心， 在气象条件好的环境下观测。
一、精度的含义 所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。
如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若 误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。
二、平均误差
θ＝［｜∆｜］/n θ越小，精度越高
三、中误差 m
n m越小，精度越高 例1、设甲乙两组观测，真误差为： 甲：＋4″，＋3 ″ ，0 ″ ，－2 ″，－4 ″ 乙：＋6″，＋1 ″ ，0 ″ ，－1 ″ ，－5 ″ 试比较两组的精度。
1、平均误差： θ甲＝θ乙＝2.6″ • 甲组的离散区间（－4，＋4） • 乙组的离散区间（－5，＋6） • 所以甲组精度高。 2、中误差：
• 所以甲组精度高 关于中误差要注意两点 • 中误差（m）与真误差（ ∆ ）不同，它只是表示某一组
观测值的精度指标，并不等于任何观测值的真误差。若 为等精度观测，那么组中每个观测值的精度皆为m。 • 中误差的概率含义是：对任一观测值li的真误差∆i，落 在区间[－m，+m]的概率是0.68。
K甲＝1/10000,K乙＝1/20000, 甲组精度高。
例3、β1＝28°35′18″±3.8″ ； β2＝
308°15′12″±3.2″，那组的精度高？
五、极限误差
P{-m＜∆＜m｝＝0.683 P{-2m＜∆＜2m｝＝0.954 P{-3m＜∆＜3m｝＝0.997 我们可以看到，对于真误差来说，它的值落在区
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
观测值l1，l2，…ln 算术平均值为 ：L=(l1+l2+…ln )/n=[l]/n 算术平均值原理:当n→∞时，L=X 证明：∆i＝li－X, [∆]=[l]－ nX， [∆]/n=[l]/n － X，根据偶然误差第4特性即证 算术平均值是观测量的“最可靠值”，或者叫
做“最或是值”。
2、或然误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
－b ctan ∠A （d ∠A /ρ″） ρ″=206265″ mb²＝（ b/a）²ma²＋（ b ctan ∠B ）²（mB/ ρ″) ²
＋（ b ctan ∠A ）²（mA/ ρ″) ²＝0.0000498 mb＝±0.022，则b＝102.402 ±0.022m
例5：在O点观测了3个方向，测
一、非等精度观测及观测值的权
上例中：甲组观测值的算术平均值精度： 而乙组观测值的算术平均值精度为： m2>m1，也就是L2的精度比L1要高。如果要将L1、 L2进行平均，应该是精度高的数值所占的“比 重”大一些，精度低的数值所占的“比重”应 该小一些，这个“比重”就是通常我们所说的 “权”。
1、权的定义
例4：在△ABC中，测量得a＝137.285±0.012m
∠A=56 °35′18″±38″, ∠B=38°30′32″±26″
求b及其中误差？ 解：b=asin ∠B/sin ∠A
=137.285sin 38°30′32″/sin56 °35′18″＝102.402 db＝b/a da＋b ctan ∠B (d ∠B/ρ″)
DJ6经纬仪需要测几个测回？ 解： n＝（8.5/4）²＝4.5 所以需要测5个测回 假定精度达到±1.7 ″,用DJ6经纬仪测几个测
回？如果用DJ2经纬仪需要测几个测回？ DJ6: n＝（8.5/1.7）²＝25测回 DJ2: n＝（2.82/1.7）²＝2.8,即3测回
§5.6加权平均值及其中误差
所以瞄准一个方向的中误差为： 上半测回角值：β半＝b－a 半测回角值差： 半测回差取2m＝ ±34 ″，考虑到其它不利因
素 ，所以取半测回差应该小于40 ″。 一测回角值： β＝（ β上 ＋ β下 ）/2 一测回角值精度m β= ±8.5 ″
测回角值之差：∆β= β1- β2，m ∆β=±12 ″ 测回差取2m= ±24 ″,规范测回差限差24 ″ 例：为了让某一角度的精度达到±4 ″,问用