人教A版选修2-3 第二章2.1.1离散型随机变量 学案

2．1.1 离散型随机变量

知识点随机变量

(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个□01确定的数字表示．在这个对应关系下，□02数字随着□03试验结果的变化而变化．像这种随着□04试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

(2)表示：随机变量常用字母□05X，Y，ξ，η表示．

知识点随机变量与函数的关系

相同点随机变量和函数都是一种映射

随机变量是随机试验的结果到□01实数的映射，函数是□02实数到□03实区别

数的映射

随机试验结果的范围相当于函数的□04定义域，随机变量的取值范围相联系

当于函数的□05值域

知识点离散型随机变量

所有取值可以□01一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

随机试验的特点

(1)试验的所有结果可以用一个数来表示；

(2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( )

(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )

(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )

答案(1)×(2)√(3)×

2．做一做

(1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为1

2

，记甲击中目标的次数为ξ，则

ξ的可能取值为________．

(2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．

(3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．

答案(1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品

解析(1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3.

(2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．

(3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品．

探究1 随机变量的概念

例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．

(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．

(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．

(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．

[解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．

拓展提升

随机变量的辨析方法

(1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

[跟踪训练1]指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．

(1)某人射击一次命中的环数；

(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；

(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；

(4)某个人的属相随年龄的变化．

解(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．

(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．

(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．

(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．

探究2 离散型随机变量的判定

例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)某超市5月份每天的销售额；

(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ.

[解] (1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．

(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．

拓展提升

判断一个随机变量X 是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X 的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：

(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的试验结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

[跟踪训练2] 某市公交公司规定：身高不超过120 cm 的学生免费乘车，凡身高超过120 cm 的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．

解 由于每个学生对应唯一的一个身高，并且可以一一列举出来，因此ξ是一个离散型随机变量，其取值为本市所有学生的身高．

η＝⎩⎨⎧ 0ξ≤120，0.5ξ>120，

因此η也是一个离散型随机变量，其取值为

0,0.5.

探究3 随机变量的应用

例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．

(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，每次取到的红球不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；

(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．

[解] (1)设所需的取球次数为X ，则X ＝1,2,3,4，...，10,11， X ＝i 表示前(i －1)次取到红球，第i 次取到白球，这里i ＝1,2， (11)

(2)设所取卡片上的数字之和为ξ，则ξ可取3,4，…，11，其中：

{ξ＝3}表示取出标有1,2的两张卡片；

{ξ＝4}表示取出标有1,3的两张卡片；

{ξ＝5}表示取出标有1,4或2,3的两张卡片；

{ξ＝6}表示取出标有1,5或2,4的两张卡片；

{ξ＝7}表示取出标有1,6或2,5或3,4的两张卡片；

{ξ＝8}表示取出标有2,6或3,5的两张卡片；

{ξ＝9}表示取出标有3,6或4,5的两张卡片；

{ξ＝10}表示取出标有4,6的两张卡片；

{ξ＝11}表示取出标有5,6的两张卡片．

拓展提升

解此类题主要是运用离散型随机变量的定义，随机变量X 满足三个特征：①