矩阵论第2章内积空间
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矩阵理论-第二章内积空间
2
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
戴华《矩阵论》线性空间与内积空间PPT精品文档
组 Ax 的一个基础解系， 为 Ax b 的一
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
.
17
.
18
.
19
.
20
.
21
证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
38
从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
个特解。
.
15
.
16
向量的线性相关性：
线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、 线性相关、线性无关、秩等定义和结论都可以推 广到一般线性空间。
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20
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证明：取k1 ，k2 ，k3∈R， 令 k11+k22+k33
k 1 1 00 0 k2 1 11 0 k3 1 01 0 0 00 0 则有k1-k2=0, k2 +k3=0
( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
.
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从而 ( B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) ( E 1 1 ,E 1 2 ,E 2 1 ,E 2 2 ) C 2
(A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4)C 1 1 C 2
.
32
由题， 在基 1,2,3下的坐标为 x(3,2,4)T
而且，基 1,2,3 到基 1,2,3的过渡矩阵为
1 2 4
所以
P
0
1
4
0 0 1
1 2 4 3 2 3
y P1x 0
1
4 2
1
8
0 0 1. 4 4
33
例1.3.5 已知矩阵空间 R 2 2 的两组基：
1 0
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
.
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
第二章 内积空间 矩阵理论课件
(4) 定性：( x, x)=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
矩阵论第2章 内积空间
，
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
矩阵论第二章
0
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有
定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有
定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
Matrix1-2内积空间PPT课件
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间 的方法。
重要的子空间：
➢ 设向量组｛1，2，···， m｝Vn（F）， 由它们的一切线性组合生成的子空间：
m
➢L{矩1阵，A2，F m··×·，n，两m }个=子｛i空1 间ki：i ki F }
•A的零空间：N(A)=｛X ： AX=0｝F n，
“正交补”子空间
(i) 集合的U的正交集：
U=｛Vn(F )： U，(，)=0 ｝
(ii) 若U是Vn(F)的子空间，则
U 是Vn(F)子空间
(iii)
Vn(F)=U U 。
U的正交补子空间
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
2021/3/9
17
矩 阵
i1 j1
度量矩阵A的性质：Hermite 性与正定性
A
定义内积 在一个基{1，2，…， n }下定义内积 确定一个度量矩阵A 。
二、标准正交基
1. 标准正交的向量组：
定义：
｛1，2，…，n｝为正交组(i，j ) =0 性质：
2. 标准正交基
基｛1，
2，…，n｝是标准正交基
(i， j)=
1 0
dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2) 证明的主要方法：基扩充方法
4. 子空间的直和
分析：如果dim(W1W2)0，则 dim(W1＋W2)dimW1＋dimW2 所以： dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2
dim(W1W2)=0 W1W2={0} 直和的定义： 定义1·6 ： dim(W1W2)=0 ，则和为直和 W=W 1＋W2=W1W2，
i j i j
标准正交基的优点：
重要的子空间：
➢ 设向量组｛1，2，···， m｝Vn（F）， 由它们的一切线性组合生成的子空间：
m
➢L{矩1阵，A2，F m··×·，n，两m }个=子｛i空1 间ki：i ki F }
•A的零空间：N(A)=｛X ： AX=0｝F n，
“正交补”子空间
(i) 集合的U的正交集：
U=｛Vn(F )： U，(，)=0 ｝
(ii) 若U是Vn(F)的子空间，则
U 是Vn(F)子空间
(iii)
Vn(F)=U U 。
U的正交补子空间
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
2021/3/9
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矩 阵
i1 j1
度量矩阵A的性质：Hermite 性与正定性
A
定义内积 在一个基{1，2，…， n }下定义内积 确定一个度量矩阵A 。
二、标准正交基
1. 标准正交的向量组：
定义：
｛1，2，…，n｝为正交组(i，j ) =0 性质：
2. 标准正交基
基｛1，
2，…，n｝是标准正交基
(i， j)=
1 0
dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2) 证明的主要方法：基扩充方法
4. 子空间的直和
分析：如果dim(W1W2)0，则 dim(W1＋W2)dimW1＋dimW2 所以： dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2
dim(W1W2)=0 W1W2={0} 直和的定义： 定义1·6 ： dim(W1W2)=0 ，则和为直和 W=W 1＋W2=W1W2，
i j i j
标准正交基的优点：
第二章矩阵论
例 设 H I n 2uu H , u C n ,且 变换 H 2uu H , 则
uH u 1
,定义
H , H 2uu H , 2uu H
H 2 H uu H 2uu H H ,
例 设欧氏空间P3 x 中的内积定义为
f x , g x
1 1
f x g x dx ,
f x , g x P3 x
取 f1 x x ，构造子空间 W Span x ， W 的一组正交基； （1）求 （2）将 W 分解为两个正交的非零子空 间的和。
, 也是 R 2 的内积。 可验证这样定义的
例3 对 f x , g x C a, b ，定义内积为
f x , g x
b a
f x g x dx
用定积分的性质可证明这样定义的 f x , g x 是 C a, b 的内积。
2 , 1 2 2 1 ,, 1 , 1 i , 1 i , 2 i , i 1 i i 1 2 i 1 1 , 1 2 , 2 i 1 , i 1
例 设P3 x 是全体次数小于3的实系数多项 式构成一个实线性空间，定义内积为 f x , g x 11 f x g x dx , f x , g x P3 x 不难验证这样定义的 f x , g x 是 P3 x 的内 积，求 P3 x 的一组标准正交基。
所以H是 C n 上的酉变换，称为Householder 镜象变换.
定理2.5 设T是内积空间V上的一个线性 变换，则下列命题等价： （1） T , T , , , V , （2） T , V ， 当V是有限维时，以上命题进一步与以下 命题等价。 （3） 1 , 2 ,, n 是V的一组标准正交基，则 T 1 , T 2 ,, T n 是V的一组标准正交基; （4）T在任一组标准正交基 1 , 2 ,, n下的 矩阵是酉矩阵。
课件：2-1 内积空间
m
n
m
n
(3) ( i xi , j y j ) (i xi , j y j )
i 1
j1
i 1
j1
mn
mn
(i xi , j y j )
i j ( xi , y j )
i1 j1
i1 j1
推论 设(x,y)是欧氏空间V的内积，则
(1) ( x, y) ( x, y), x, y V , C
则 C n 是n维酉空间。
称为标准内积
定义
设 A C mn 称 A (aij )mn 为A的共轭； 称 AH ( A)T 为A的共轭转置。
不难验证共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A B A B (2) AB AB (3) AH AT AT (4) ( A B)H AH BH
则 (x,y)=xH Ay (3) x C n , x , 均有 xH Ax 0
证明： 设 A (aij )nn , aij ( i , j ), 由于
aij (i , j ) ( j ,i ) aji
所以 AH A
(2)
( x, y) ( x11 x2 2 xn n , y11 y2 2 yn n )
V( x(C) y,酉z)空 间( x, z) ( y, z), z V （可加性） ( x, x) 0 等号成立当且仅当 x （正定性）
例2.1对任意的 x, y Rn，定义内积 ( x, y) xT y
则 Rn 是n维欧氏空间。 证：( x, y) xT y yT x ( y, x)
x
3
0
1 )112(
2( x 1)2
x
8
41)2
5
所以，f(x)，g(x)在基1,
矩阵理论课件 第二章 内积空间
则 T是正交变换。 ②设 T是内积空间 的V 一个线性变换，则
是T正交变换 Tx T。y x y
即：保持距离不变的线性变换是正交变换。
③设 T是内积空间 的V 一个变换，证明：如果 保T持
向量的内积不变，即对 x, y V ,(Tx,Ty，) 则( x, y)
T一定是线性变换，故是正交变换。
注： 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基 为标准（或规范）正交基，通常记为
0 i j e1, e2 , , en; (ei , e j ) 1 i j
定理1 （正交基的构造）
( x ty, x ty) 0 t R ( y, y)t 2 2( x, y)t ( x, x) 0
4( x, y)2 4( x, x)( y, y) 0 ( x, y)2 ( x, x)( y, y)
Rn 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：
1
1
n
xi yi
T 是正交变换 x, y V ,(Tx,Ty) ( x, y)
1 i j (Tei ,Te j ) (ei , e j ) 0 i j (3) (1)
x, y V , x x1e1 x2e2 xnen y y1e1 y2e2 ynen
Tx x1Te1 x2Te2 xnTen Ty y1Te1 y2Te2 ynTen
设V1 L(P ),V2 L(P ) 是两个内积空间，如果
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 x, y V1, R 满足
⒈ (x y) (x) ( y)
⒉ ( x) (x) ⒊ ( ( x), ( y)) ( x, y)
是T正交变换 Tx T。y x y
即：保持距离不变的线性变换是正交变换。
③设 T是内积空间 的V 一个变换，证明：如果 保T持
向量的内积不变，即对 x, y V ,(Tx,Ty，) 则( x, y)
T一定是线性变换，故是正交变换。
注： 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基 为标准（或规范）正交基，通常记为
0 i j e1, e2 , , en; (ei , e j ) 1 i j
定理1 （正交基的构造）
( x ty, x ty) 0 t R ( y, y)t 2 2( x, y)t ( x, x) 0
4( x, y)2 4( x, x)( y, y) 0 ( x, y)2 ( x, x)( y, y)
Rn 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：
1
1
n
xi yi
T 是正交变换 x, y V ,(Tx,Ty) ( x, y)
1 i j (Tei ,Te j ) (ei , e j ) 0 i j (3) (1)
x, y V , x x1e1 x2e2 xnen y y1e1 y2e2 ynen
Tx x1Te1 x2Te2 xnTen Ty y1Te1 y2Te2 ynTen
设V1 L(P ),V2 L(P ) 是两个内积空间，如果
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 x, y V1, R 满足
⒈ (x y) (x) ( y)
⒉ ( x) (x) ⒊ ( ( x), ( y)) ( x, y)
第2章 内积空间-2
1 2
1 2
cos sin
sin cos
1 2
G
1 2
就是一个正交变换。因为此变换的矩阵表示 G 是正
交矩阵。
矩阵分析简明教程
例2 HouseHolder变换
如图，
e2
x
x ( x, e1 )e1 ( x, e2 )e2 ,
2β
y
e1
因此向量 x 关于“与 e2 轴正交的直线”对称的镜
一、正交补与投影定理
定义 2.4.1 设 V1,V2 是数域 R上欧氏空间 V 的
两个子空间。向量 V 。如果对任意 V1 ，都 有 ( , ) 0 ，则称 与子空间 V1 正交，记
为 V1 。如果对任意 V2 ，都有 V1 ， 则称子空间 V1 与 V2 正交，记为 V1 V2
就称 x 为方程组的最小二乘解，这种方法就称为
最小二乘法。
矩阵分析简明教程
令 y A x ，显然 y R( A) ，因此求不相容方 程组的最小二乘解的问题即为在 R( A) 中找出向 量 Ax，使得向量b 到 Ax 的距离比到子空间 R( A) 中其它向量的距离都短，即Ax 是向量 b 在 R( A)
1. 正交投影的概念
定义 设 V1 是数域 R上欧氏空间V 的子空间。
向量 V 。如果有 1 V1 , 2 V1 使得
1 2
则称 1 是 在 V1 上的正交投影。
定理 （投影定理）设 V1 是数域 R 上欧氏空间V 的
子空间，则对任意 V ， 在 V1 上存在唯一 的正交投影。
矩阵分析简明教程
设 Rn 为单位向量，对任意 Rn ，定义
H ( E 2 H )
称H 为Householder 变换（初等反射变换），则 H 是 Rn 的正交变换。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
定理2-2：任一n维欧氏空间V 都存在正交基.
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
V的一个基： 1,2 ,,n
1 1,
2 2 k11
(2 , 1 ) (2 k11, 1 ) (2 , 1 ) k1(1, 1 ) 0
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
第二节 正交基及子空间的正交关系
正交组：内积空间中两两正交的非零向量组. （必线性无关！）
定义2-3：在 n 维欧氏空间中,由正交组构成的基 称为正交基.
若1,,n是正交基，且i 1(i 1,,n) 则称1 ,, n是 标准正交基(或单位正交基).
k1
(2 , (1,
1) 1)
,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
3 3 k21 k32,
(3,1) 0 (3,2) 0
k2
(3 , 1 ) (1, 1 )
,
k3
(3 , (2,
2) 2)
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
当( , ) 0时称 , 是正交 的，记为 . 由(0, ) 0，规定零向量0与任意向量正交. 例3: 若 , 则 | |2 | |2 | |2 . 一般，若1 ,2 ,,k是k个两两正交的向量，则：
| 1 2 k |2 | 1 |2 | 2 |2 k .2
推论：对内积空间V的任两向量 , 都有 （1） | || | | | （2） | || | | |
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
V的一个基： 1,2 ,,n
1 1,
2 2 k11
(2 , 1 ) (2 k11, 1 ) (2 , 1 ) k1(1, 1 ) 0
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
第二节 正交基及子空间的正交关系
正交组：内积空间中两两正交的非零向量组. （必线性无关！）
定义2-3：在 n 维欧氏空间中,由正交组构成的基 称为正交基.
若1,,n是正交基，且i 1(i 1,,n) 则称1 ,, n是 标准正交基(或单位正交基).
k1
(2 , (1,
1) 1)
,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
3 3 k21 k32,
(3,1) 0 (3,2) 0
k2
(3 , 1 ) (1, 1 )
,
k3
(3 , (2,
2) 2)
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
当( , ) 0时称 , 是正交 的，记为 . 由(0, ) 0，规定零向量0与任意向量正交. 例3: 若 , 则 | |2 | |2 | |2 . 一般，若1 ,2 ,,k是k个两两正交的向量，则：
| 1 2 k |2 | 1 |2 | 2 |2 k .2
推论：对内积空间V的任两向量 , 都有 （1） | || | | | （2） | || | | |
【矩阵论】第1,2章 线性空间与线性变换内积空间
六、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1 基变换公式 {1 , 2 ,..., n } 设空间中有两组基：{1 , 2 ,..., n }
过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵
则(1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
子集合：设 S1与S2 表示两个集合，如果集合
都是集合 S 2 的元素，即由 a S1 a S2 ， 那么就称 S1是S2 的子集合，记为
S1 S 2或S 2 S1
相等：即
S1 S2且S1 S2 S1 S2
集合的交： S1 S2 x x S1且x S2 集合的并： S1 S2 x x S1或x S2
3 1 在基{E } ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳： 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数0 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4） = （ 1）
向量0
三、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝R 3， V={x=(x1，x2，1｝R 3，
矩阵论第2章
a2n
ann
称为线性变换T 在基1, 2 , , n 下的矩阵．
定理 2.3.2 dim(L(V )) dim( P nn ) n2 ．
定理 2.3.3 设V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1, 2 , , n 为V 中 一个基，线性变换T1,T2 在基1, 2 , , n 下的矩阵为 A, B ，则
的变换 T 称为数 k 与线性变换T1 的数量乘积，记为T kT1 ．(1)T1 简记为 T1．
可以证明：T1 T2 ，T1T2 ，kT1 都是线性变换，并且线性变换的加法、 乘法、数乘运算满足下面运算规律（设 k,l P ，T ,Ti V (i 1,2,3) ）：
（1）V 中线性变换的加法满足交换律与结合律，即 T1 T2 T2 T1 ，
则
h(T ) f (T ) g(T ) ， t(T ) f (T )g(T ) ． 注 2.2.1 线性变换的乘法一般是不可交换的，即TS ST ，因 此一般地有 (TS )n T n S n ．
2.3 线性变换的矩阵
在上节知道，若V 是数域 P 上的 n 维线性空间，则V 上的所有 线性变换组成的集合 L(V ) 对于线性变换的加法和数乘运算也构成 一个线性空间，本节要讨论的问题是 L(V ) 的维数是多少，它与线性 空间 Pnn 有什么关系，以及当V 的一个基改变时线性变换的矩阵的
（1）V 中所有向量在 T 下的像的集合称为T 的值域，记作 R(T ) ，即
R(T ) {T () | V}， R(T ) 也称为T 的像空间．
（2）在线性变换T 下， 零向量的所有原像的集合称为T 的核， 记为 Ker(T ) 或T 1 (0) 或 N (T ) ，即
Ker(T ) { | T () 0, V} ， Ker(T ) 也称为T 的零空间或核空间．
矩阵论第2章内积空间综述
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
下的矩阵为
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基 则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
矩阵分别为
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在
基下的矩阵为
且向量 在该基下的坐标为
不同的欧氏空间。
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f (x), g(x) 定义
f
( x),
g(x)
b
a
f
(x)g(x)dx
利用定积分的性质，可以验证 是欧氏空间，但其维数无限。
f (x), g是(x)内 积， C[a,b]
例4在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，
则 在该基下的坐标为
（5）设
是纯量多项式，T
为V中的线性变换，且对V的基
有
则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：
其中f(A)称为矩阵A的多项式。
例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T
分别在下列两组基下的表示矩阵
说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵.---P18定 理1.4.7。
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性 相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W 中的线性无关向量组；
（4）设 则
并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为
矩阵论--内积空间
第三讲 内积空间[回顾] nR 作为线性空间，运算：加法，数乘，数量积：刻画向量长度，夹角… 抽象出来….a b •推广至线性空间？()n V F 一， 欧氏空间和酉空间1．内积定义：二元运算满足(,):()()n n V F V F F ×→i i 对称性，线性性，正定性，则称是的一个内积。
(,)i i ()n V F 内积空间：[]();(,)n V F αβF=R, []为欧氏空间,此时为实内积。
();(,)n V R αβF=C, []为酉空间，此时为复内积。
();(,)n V C αβ2．常见的欧氏空间[R )= T ] ,n T α[R ；(，βαβ)=], [R B)=tr A)]m [R ×n T ；(A ，B)=tr (BA)] [ [X] g(x) )==10()()f x g x dx ∫[P ][X](f(x)n ；，g(x))Remark: 对于相同的线性空间，可以定义不同的内积，成为不同的内积空间。
例[R n ；(α，β)= α T A β] ,A 正定。
3，常见的酉空间记号：复矩阵A 的共轭转置矩阵记为()H T A A =，)= H ] ,[C n H α；(，βαβ)=], [C B)=trm [C ×n H ；(A ，B)=tr (B A)]二， 内积空间数量关系1． 向量长度α。
单位向量定义。
=|| || || ||α||k ||=⏐⏐αk ||||；Cauchy（Cauchy 不等式）：∀ α ，β ∈ [V n (F )；(α，β)], | (α，β) | ≤ || α|| || β|| 。
|| || || || || ||α（三角不等式）||＋β≤αβ||||||||||＋． 欧氏空间中，定义非零向量之间夹角2之间夹欧氏空间中，定义非零向量角0,0αβ≠≠，夹角θ定义为：c o s θ=(,)arccos αβαβ⋅α 和 β正交 ⇔（α，β）=0正交向量组：标准正交向量组：[回顾]3R 中相互正交向量的个数3；且线性无关（构成基）一般的n R 中？更加一般的中？()n V F 定理：不含零向量的正交向量组是线性无关的。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的同构、正交变换、点到子空间的距离
例3: 设T是内积空间V 的一个变换. 证明：如果T 保持向量的内积不变，即
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
矩阵分析引论--第二章 内积空间-厄米特二次型
i , j1
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
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y1 n n y2 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A xT Ay i 1 j 1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维欧氏空间V的基，它们 的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
命题
设S是n维线性空间V 的一个子空间，则存在子空 间T , 使得
并称T是S的补空间。
证明： 设x1 ,x2 , …,x k是S的一组基，则它可扩充为 V的一组基x1 ,x2 , …,x k，x 令 则
k+1，
…,x n,
从而
练习P23：5, 6
第四节
线性映射
主要内容： 一、线性映射 二、线性映射的矩阵表示 三、线性映射的运算（自学） 四、不变子空间（自学）
例4在实线性空间中，对于任意两个 n阶矩阵A，B ，定 义 n n T A, B tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则
( A, B)
是内积，向量空间
R
nn
是欧氏空间。
内积的性质
对于欧氏空间的向量 , ,
1.(0, ) ( ,0) 0, V ; 2.( , ) ( , ) ( , ); 3.( , k ) k ( , )
3 k , k , (4) , 0 当且仅当 0
时等式成立
则称复数 ( , )为向量 , 的内积。 定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 , ,
1.( , k ) k ( , )
1 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
T T f ( x), g ( x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1) , (1,4,5) ,
则
( f , g ) T A
2 (1,1,1) 0 2 3
0 2 3 0
实例 求导运算T在多项式空间pn [x]上的值空间R(T)与 核空间N (T)分别为 R(T)=L{1 , x , x2 , … , x
n-1
}
N(T)={ 1 }
定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换， 是n维线性空间V的基，
则 （1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间； 分别称为象子空间，核子空间；
例2、在R3中线性变换T将基
其中
变为基
（1）求T在基
（2）求向量
下的表示矩阵；
及 在基 下的坐标
解（1）依题意
则
（2）设
则 练习P23：7, 8
第二章 内积空间
主要内容
一、欧氏空间与酉空间
二、内积空间的度量
三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
第一节
欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
1 , n 2 , n
矩阵 A 也常常称为度量矩阵（或 Gram 矩阵），因为许多 与向量度量有关的量可以用A来描述。
定理1：设A为n维欧氏空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
说明： 在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义 中的（3），可采用： (3) k , k , 这样，在例（7）中的内积为：
, aibi
H
i
定理3：设A为n维酉空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；
2.( , ) ( , ) ( , );
3.( , ) ( , ) 0, V .
例7
在向量空间Cn，设
T
a1 , a2 ,, an ,
定义
i
b1 , b2 ,, bn T C n
则Cn成为酉空间。
, H aibi
, 0
当且仅当
0
时等式成立
则称实数 ( , )为向量 , 的内积，
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
例1
在向量空间Rn，设
T
a1 , a2 ,, an
定义
b1 , b2 ,, bn R n
T
, aibi T T
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相 关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的 线性无关向量组； （4）设 则 并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为 --T的全体像组成的集合 --零向量原像组成的集合 设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f ( x), g ( x) 定义
f ( x), g ( x) a
b
f ( x) g ( x)dx
是内积，
f ( x), g ( x) 利用定积分的性质，可以验证 C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
2 a23 a32 ( x, x ) 1x x dx 0 , a33 ( x , x ) 1x dx , 5
2
1 2
11dx 2 , a12 a21 (1, x) 1 xdx 0 , 2 2 2 1 x dx , x dx , a22 ( x, x) a13 a31 (1, x ) 3 3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 ,
按某种法则有实数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ,
(2) , , ,
(3)
k , k ,
(4)
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
y1 n n 则 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A y2 x H Ay i 1 j 1 y n
a11 (1,1)
1 1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
4
则
2 A0 2 3
0 2 3 0
2 3 0 2 5
2 2 （2）求 f ( x) 1 x x 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
方法一：利用定义，直接计算 f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx
三、子空间的直和
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，如果交空 间={0}，则称和空间为直和，记做
定理 : 设S1 ,S2是线性空间 V的两个子空间，则下列命 题等价 （1）和空间 为直和； （2）和空间
（3）若 则 的任意元 是S1的基， 是 可唯一表示成 是S2的基， 的基。
自学P11定理1.3.5
定理4：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维酉空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
H 矩阵，则 B C AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
第二节 内积空间的度量 主要容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基
下的矩阵为
矩阵分别为
则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基
下的矩阵为
则
且向量
在该基下的坐标为
二、度量矩阵及性质
设 1 , 2 ,, n 为n维欧氏空间V的基，令
1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 A , , n 2 n 1
n , n
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。 例2 在向量空间Rn，设
a1 , a2 ,, an T
定义
b1 , b2 ,, bn T R n
, iaibi i 可以验证 , 也是Rn中的内积。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成 不同的欧氏空间。
2 3 1 0 0 4 2 5 5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ( , )
(2) , , ,
一、线性映射（变换）的定义及性质
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维欧氏空间V的基，它们 的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
命题
设S是n维线性空间V 的一个子空间，则存在子空 间T , 使得
并称T是S的补空间。
证明： 设x1 ,x2 , …,x k是S的一组基，则它可扩充为 V的一组基x1 ,x2 , …,x k，x 令 则
k+1，
…,x n,
从而
练习P23：5, 6
第四节
线性映射
主要内容： 一、线性映射 二、线性映射的矩阵表示 三、线性映射的运算（自学） 四、不变子空间（自学）
例4在实线性空间中，对于任意两个 n阶矩阵A，B ，定 义 n n T A, B tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则
( A, B)
是内积，向量空间
R
nn
是欧氏空间。
内积的性质
对于欧氏空间的向量 , ,
1.(0, ) ( ,0) 0, V ; 2.( , ) ( , ) ( , ); 3.( , k ) k ( , )
3 k , k , (4) , 0 当且仅当 0
时等式成立
则称复数 ( , )为向量 , 的内积。 定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 , ,
1.( , k ) k ( , )
1 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
T T f ( x), g ( x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1) , (1,4,5) ,
则
( f , g ) T A
2 (1,1,1) 0 2 3
0 2 3 0
实例 求导运算T在多项式空间pn [x]上的值空间R(T)与 核空间N (T)分别为 R(T)=L{1 , x , x2 , … , x
n-1
}
N(T)={ 1 }
定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换， 是n维线性空间V的基，
则 （1） T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间； 分别称为象子空间，核子空间；
例2、在R3中线性变换T将基
其中
变为基
（1）求T在基
（2）求向量
下的表示矩阵；
及 在基 下的坐标
解（1）依题意
则
（2）设
则 练习P23：7, 8
第二章 内积空间
主要内容
一、欧氏空间与酉空间
二、内积空间的度量
三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
第一节
欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运算， 而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应 这种要求而引入的。内积空间是3维向量空间的自然推广， 故称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
1 , n 2 , n
矩阵 A 也常常称为度量矩阵（或 Gram 矩阵），因为许多 与向量度量有关的量可以用A来描述。
定理1：设A为n维欧氏空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
说明： 在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义 中的（3），可采用： (3) k , k , 这样，在例（7）中的内积为：
, aibi
H
i
定理3：设A为n维酉空间V的基 1 , 2 ,, n 的度量矩阵，则
（1）矩阵A为Hermite、正定矩阵；
2.( , ) ( , ) ( , );
3.( , ) ( , ) 0, V .
例7
在向量空间Cn，设
T
a1 , a2 ,, an ,
定义
i
b1 , b2 ,, bn T C n
则Cn成为酉空间。
, H aibi
, 0
当且仅当
0
时等式成立
则称实数 ( , )为向量 , 的内积，
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
例1
在向量空间Rn，设
T
a1 , a2 ,, an
定义
b1 , b2 ,, bn R n
T
, aibi T T
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相 关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的 线性无关向量组； （4）设 则 并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为 --T的全体像组成的集合 --零向量原像组成的集合 设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f ( x), g ( x) 定义
f ( x), g ( x) a
b
f ( x) g ( x)dx
是内积，
f ( x), g ( x) 利用定积分的性质，可以验证 C[a,b]是欧氏空间，但其维数无限。
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
2 a23 a32 ( x, x ) 1x x dx 0 , a33 ( x , x ) 1x dx , 5
2
1 2
11dx 2 , a12 a21 (1, x) 1 xdx 0 , 2 2 2 1 x dx , x dx , a22 ( x, x) a13 a31 (1, x ) 3 3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 ,
按某种法则有实数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ,
(2) , , ,
(3)
k , k ,
(4)
(2) , V , x11 x2 2 xn n ; y11 y2 2 yn n ;
y1 n n 则 , xi y j i , j x1 , x2 ,, xn A y2 x H Ay i 1 j 1 y n
a11 (1,1)
1 1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
4
则
2 A0 2 3
0 2 3 0
2 3 0 2 5
2 2 （2）求 f ( x) 1 x x 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
方法一：利用定义，直接计算 f ( x), g ( x) f ( x) g ( x)dx
三、子空间的直和
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，如果交空 间={0}，则称和空间为直和，记做
定理 : 设S1 ,S2是线性空间 V的两个子空间，则下列命 题等价 （1）和空间 为直和； （2）和空间
（3）若 则 的任意元 是S1的基， 是 可唯一表示成 是S2的基， 的基。
自学P11定理1.3.5
定理4：设 1, 2 ,, n 与 1 ,2 ,,n 为n维酉空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，，C是 1, 2 ,, n 到 1 ,2 ,,n 的过渡
H 矩阵，则 B C AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
第二节 内积空间的度量 主要容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基
下的矩阵为
矩阵分别为
则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基
下的矩阵为
则
且向量
在该基下的坐标为
二、度量矩阵及性质
设 1 , 2 ,, n 为n维欧氏空间V的基，令
1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 A , , n 2 n 1
n , n
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。 例2 在向量空间Rn，设
a1 , a2 ,, an T
定义
b1 , b2 ,, bn T R n
, iaibi i 可以验证 , 也是Rn中的内积。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成 不同的欧氏空间。
2 3 1 0 0 4 2 5 5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 ( , ) 并满足公理，
(1) , ( , )
(2) , , ,
一、线性映射（变换）的定义及性质