中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及标准答案汇总
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀Λ210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(解答)《随机过程》第三章习题
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。
对0>s ，试求：（1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律；（2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。
解：（1）由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为：},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为：sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{（2）由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的，又因为1)0(-=X ，因此可知过程)(t X 是一马氏过程，其转移概率为：),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附：泊松过程相关函数的计算： 设210t t ≤<，我们有：∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时，,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此，我们有：1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有：当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此，有：},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。
第11讲随机过程孙应飞
第11讲随机过程孙应飞第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）九、更新过程（1）概念及基本性质定义：设}1,{≥k X k 是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为)(x F ，且1)0(k k n X S X S S 1110,,0，对0≥?t ，记：}:sup{)(t S n t N n ≤=则称}0),({≥t t N 为更新过程。
更新过程是一计数过程，并有：}{})({t S n t N n ≤=≥}{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++记：)(s F n 为n S 的分布函数，由∑==nk k n X S 1，易知：)()(1x F x F =)2()()()(01≥-=?-n u F d u x F x F xn n证明：由全概率公式有：))(())(()()()(}{)(}{)(}{}{}{)(1101010111x F f x f F u F d u x F u F d u x S P u F d u x S P ud u f u X u x S P x X S P x S P x F n n x n xn n X n n n n n n n----∞-∞∞---*=*=-=-≤=-≤==-≤=≤+=≤=即)(x F n 是)(x F 的n 重卷积，记作：F F F n n *=-1。
另外，记：)}({)(t N E t m =称)(t m 为更新函数。
关于更新函数，有以下重要的定理。
定理：对于0≥?t ，有：∑∞==1)()(n n t F t m证明：根据以上的关系式，计算得：∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞=≤=≥=≥=========11111110}{})({})({})({})({})({})({)(n n n k k kn n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m即有：∑∞==1)()(n n t F t m推论：若对0≥?t ，1)(<="">1))(1)(()(--≤t F t F t m下面是重要的更新方程。
第3-4讲随机过程 孙应飞
j
(i
,
1)
,
i 1 i0
其中 为该周期内到达的顾客数。
记 第 n 个 周 期 开 始 的 顾 客 数 为 X n ， 则 X n1 ( X n 1) n ， 其 中
a ˆ max{a,0}，根据马氏链的定义，可知{X n , n 0}是一马氏链。
由此推出：
P(m) P P (m1) (1) (P)m Pm
其中： P(1) P 由此可知：对于齐次马氏链，如果知道了它的初始分布 (0) 和一步转移矩
阵 P ，就可以求得 X (n) 的所有有限维概率分布。即有：
P{X (n1) i1, X (n2 ) i2 ,, X (nk ) ik }
m1
n
j 2
i
,
m2
n
j 2
i
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
n ji n ji n ji
C p q , (n)
2
2
2
n
p ij
0 ,
(n j i 是偶数) (n j i 是奇数)
p(n) ii
n
即上面式子的右边与时刻 n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。 对于齐次马氏链，我们记 P ( pi j ) ，称矩阵 P 为齐次马氏链的一步转移概
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
率矩阵，简称为转移矩阵。
注 3：对于马氏链{X (n); n 0} ，我们有： P{X (0) i0 , X (1) i1,, X (n) in} P{X (n) in X (0) i0 , X (1) i1,, X (n 1) in1}
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
《随机过程》第二章习题
7、 设具有三个状态的齐次马氏链的一步转移概率矩阵为：
p00 P p10 p 20
（a） 求 3 步首达概率 f 02 ；
( 3)
p01 p11 p 21
p02 1 / 2 0 1 / 2 p12 1 / 3 0 2 / 3 p 22 1 / 4 0 3 / 4
g
k 0
k
k 。
k 1
P0 P k 1 ( I P)e ；
1
（b） 对于任意 0 1 ，有： G( ) 0 ( I P) ( I P)e 。 13、 设有一生灭过程 { (t ); t 0} ，其中参数 n , n n ， 和 均为大于零的
随机过程讲稿
孙应飞
试求： （1） f 00 , f 00 , f 00 , f 01 , f 01 , f 01 ； （2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。 6、 试确定下列齐次马氏链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。已知该链的 一步转移矩阵为：
(1) ( 2) ( 3) (1) ( 2) ( 3)
t o(t ) 生一个儿女，假定这些人是统计独立的，则如果在时刻 t 人口中有 n 个人，
在 (t , t t ) 中出生的概率是 nt o(t ) 。同样地，如果在 (t , t t ) 内一个人死亡的 概率是 t o(t ) ，则如果在 t 时刻有 n 个人活着，在 (t , t t ) 内死亡的概率是
常数，其起始状态为 (0) 0 。试求： （a） 该过程的 Q 矩阵； （b） 列出福克－普朗克微分方程； （c） 其均值函数 M (t ) E{ (t )} ； （d） 证明 lim p0 (t ) exp{ / } 。
随机过程试题与答案
随机过程试题与答案《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt ?π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。
4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。
二、（本题10分）解：（1）P N 12 ?N 8 =0 =e ?12. (5分)（2）f T t =3e ?3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。
（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。
则平稳分布为（10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = ?λλμ?(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 ?(λ+μ)λμ?μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分）后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0，π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1?λμ1? λμ4,π1=λμ 1?λμ1? λμ4,π2=λμ2 1?λμ1? λμ4,π3=λμ3 1?λμ1? λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,?,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ?Z t n = t 12t 22?t n2 2t 12t 2?2t n X Y + ?2?2?2?2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,?,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。
第9-10讲随机过程 孙应飞
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）一、 基本概念及Poisson 过程的一维分布（1） 独立增量过程定义：设}),({T t t X ∈是一随机过程，如果对于任意的 n t t t <<< 21，N n ∈∀，n i T t i ≤≤∈1,，有随机过程)(t X 的增量：)()(,),()(),()(12312----n n t X t X t X t X t X t X相互独立，则称随机过程}),({T t t X ∈是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集-∞>=a b a T ),,[，一般假定0)(=a X ，则独立增量过程是一马氏过程。
特别地，当0)0(=X 时，独立增量过程}0),({≥t t X 是一马氏过程。
证明如下：形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量)()(a X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)(=a X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
随机过程讲义(中科院-孙应飞)
中科院研究生院 2009～2010 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
cos π t , 当出现 H 时 X (t ) = 2t ， 当出现 T 时
t ∈ (−∞ , + ∞)
其中 P{H } = P{T } = 1 / 2 ，则 { X (t ) , t ∈ ( −∞ , + ∞ )} 是一随机过程。试考察其 样本函数和状态空间。 例 2：设
FX ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t 2 ,L, t n ) = P{ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x2 ,L, X (t n ) ≤ xn }
其全体
中科院研究生院 2009～2010 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
{F
X
( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t 2 ,L, t n ), t1 , t 2 ,L, t n ∈ T , n ≥ 1 }
3． 随机过程的数字特征
（一）单个随机过程的情形
中科院研究生院 2009～2010 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
设 { X (t ); t ∈ T } 是一随机过程，为了刻画它的统计特征，通常要用到随机过 程的数字特征，即随机过程的均值函数、方差函数、协方差函数和相关函数。 下面我们给出它们的定义。 （a） 均值函数：随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的均值函数定义为： （假设存在）
2 σX (t ) = D X (t ) = C X (t , t ) = R X (t , t ) − [ µ X (t )]2
例 7：考察上面的例 1， （1）写出 X (t ) 的一维分布列 X (1 / 2), X (1) ； （2） （3） 求该过程的均值函数和相关函数。 写出 X (t ) 的二维分布列 ( X (1 / 2), X (1)) ；
(解答)《随机过程》第五章习题
T 2 (u)du
0
T 0
2
(v)dv
P
2
1 T T E{ 2 (u) 2 (v)}dudv P 2 T2 0 0
1 T2
T 0
T 0
[
R2
(0)
2
R2
(u
v)]dudv
P
2
2
T2
T 0
T 0
R2
(u
v)dudv
H ( j) 2 1
j
2 2
由维纳－辛嵌定理，有：
S
()
F[R
(
)]
2
2
2
2
由输入输出功率谱的关系，有：
因此，我们有
S ()
H ( j) 2 S ()
( 2
2
2
2 )( 2
2)
2
2
2 2
2
H ( j) 2 Sn ()
N0 2( 2 2 )
由维纳－辛嵌定理，有：
由于
R
( )
F
1[S
()]
N0 4
e
E{(t)} 0 ， D{(t)}
E{(t)(t)} 2[R (0) R (T )]
N0 2
1 eT
ˆ
（1）在 t 0 时输出(0) 大于 y 的概率 P{(0) y}；
（2）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 ；
（3）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 。
第18-20讲随机过程 孙应飞
xy0
xy0
E{XY} 2 xyf (x, y)dxdy xy0
r 1
2
20
0
xyf
(x,
y)dxdy
0
0
xyf
(x,
y)dxdy
令：
则有：
u v
x
1 y
2
E XY
r 1 2
2 1 2 1 r2
5．例子
设 ( X1, X 2 , X 3, X 4 ) 为服从正态分布的随机向量，且 E{X i} 0,i 1,2,3,4 ，
试证明：
E{X1 X 2 X 3 X 4} E{X1 X 2}E{X 3 X 4} E{X1 X 3}E{X 2 X 4} E{X1 X 4}E{X 2 X 3}
过程为高斯过程或正态过程。正态过程是二阶矩过程。
设 t1,t2 ,,tn T ，则由正态过程的定义，有：
f (xt1 , xt2 ,, xtn )
1 (2 )n / 2
B
1/ 2
exp{ 1 (xt 2
t )T B1 (xt
t )}
其中：
T
xt
(xt1 , xt2 ,, xtn )
征值。
（6） n 维正态随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 的每一个分量都是正态变量；反
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
之，若 X1 , X 2 ,, X n 都是正态随机变量，且相互独立，则 ( X1 , X 2 ,, X n ) 是 n 维正态随机变量。
0
(解答)《随机过程》第四章习题
（2）如果 X ~ N (0,1) ，问过程 (t) 是否均方可微？说明理由。
解：计算随机过程 (t) 的相关函数：
R (s,t) E{ (s) (t)} E{( X cos 2s Y sin 2s)(X cos 2t Y sin 2t)} cos 2s cos 2tE{X 2} sin 2s sin 2tE{Y 2} [cos 2s sin 2t sin 2s cos 2t]E{XY}
4、 设有随机过程 X (t) 2Z sin(t ) ， t ，其中 Z 、 是相互独立的随机 变量，Z ~ N (0,1) ，P( / 4) P( / 4) 1/ 2 。问过程 X (t) 是否均方可积
过程？说明理由。
解：由 Z 、 的相互独立性，计算随机过程 X (t) 的均值函数和相关函数： E{X (t)} E{2Z sin(t )} 2E{Z}E{sin(t )} 0
Y (t) 2X (t) 1， t 0 。试求过程{Y (t), t 0} 的相关函数 RY (s,t) 。
解：由相关函数的定义，有：
RY (s,t) E{Y (s)Y (t)} E{(2X (s) 1)(2X (t) 1)} 4E{X (s) X (t)} 2E{X (s)} 2E{X (t)} 1 4E{X (s) X (t)} 4 1
0
T 2 T T E{X (s) X (u)}dsdu m2 00
T 2
T 0
T 0
R
X
(
s
u
)dsdu
m
2
T 2
T 0
T 0
[C
中科院随机过程习题解答(一)
∑ξ ξ
i
j
)=
2
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2
∑ E (ξ ξ
i
j
)
当 i = j 时， E (ξ i ξ j ) = 1 ；否则 E (ξ i ξ j ) = ( p − q ) 令 n = min(n1 , n 2 ) ， N = max(n1 , n2 ) ，则有
Rηη (n1 , n 2 ) =
中科院研究生院 2004～2005 第一学期
随机过程讲稿
孙应飞
随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量 ( X , Y ) 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 N (0,1) 。 （a）分别写出随机变量 X + Y 和 X − Y 的分布密度 （b）试问： X + Y 与 X − Y 是否独立？说明理由。 解： （a） X + Y ~ N (0,2), （b）由于：
) ( µσ
=
2 1
σ1 µ2
2 2 2 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
)
（b）当 ρ XZ = 的时候， Z 和 X 线性相关，即
2 2 2 2 µ12σ 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2 = σ 12 µ 2
3 、 设 { X (t ), t ≥ 0} 是 一 个 实 的 均 值 为 零 ， 二 阶 矩 存 在 的 随 机 过 程 ， 其 相 关 函 数 为
1 2π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
（3）给定一时刻 t ，由于 ξ , η 独立、服从正态分布，因此 ς (t ) 也服从正态分布，且
E (ς (t )) = E (ξ cos ωt + η sin ωt ) = cos ωtE (ξ ) + sin ωtE (η ) = 0 D(ς (t )) = D(ξ cos ωt + η sin ωt ) = D(ξ cos ωt ) + D(η sin ωt ) = cos 2 ωtD(ξ ) + sin 2 ωtD(η ) = 1
第7-8讲随机过程 孙应飞
第二章 Markov 过程7．参数连续状态离散的马氏过程（一）参数连续状态离散的马氏过程的转移概率定义：设}0,)({≥t t X 是取值于状态空间S 的随机过程，S 是有限或无限可列的，如果对于任意的正整数n ，任意的1210+<<<<≤n n t t t t ，及任意的状态S i i i i n n ∈+121,,,, ，均有：})()({})(,,)(,)()({11221111n n n n n n n n i t X i t X P i t X i t X i t X i t X P =======++++则称此随机过程为参数连续状态离散的马氏过程（纯不连续马氏过程）。
对于纯不连续马氏过程，有：S j i t t i t X j t X P t t t X j t X P ∈≤===≤'≤'=,,})()({}0,)()({211212记：})()({ˆ),(1221i t X j t X P t t p j i ===称此条件概率为纯不连续马氏过程的转移概率。
显然有：⎪⎩⎪⎨⎧∈=≥∑∈S i t t p t t p S j j i j i 1),(0),(2121如果),(21t t p j i 仅为时间差12t t t -=的函数，而与1t 和2t 的值无关，则称此纯不连续马氏过程为齐次的。
此时121221})()({ˆ),()(t t t i t X j t X P t t p t p j i j i -=====⎪⎩⎪⎨⎧≥∈=≥∈≥∑∈0,1)(0,,0)(t S i t p t S j i t p S j ji j i以下我们主要讨论齐次纯不连续马氏过程。
纯不连续马氏过程的C －K 方程： 一般情形：),,(})()({})()({})()({321122313S j i t t t i t X k t X P k t X j t X P i t X j t X P Sk ∈<<========∑∈齐次情形：)0,0,,(,)()()(>>∈=+∑∈τττt S j i p t p t p Sk j k k i j i连续性条件：⎩⎨⎧≠===→ji ji t p j i j i t ,0,1)(lim 0δ 满足连续性条件的马氏过程称为随机连续的马氏过程。
孙应飞随机过程答案
孙应飞随机过程答案【篇一：随机过程第18-19讲】lass=txt>（四）随机分析（续）5．随机微分方程初步设{y(t);t?t}是一均方连续的二阶矩过程，x0是一存在一、二阶矩的随机变量，假设{y(t);t?t}和x0是独立的，考虑以下随机微分方程： ?dx(t)?y(t)??dt??x(t0)?x0试研究{x(t);t?t}的统计特性。
解：方程两边在均方意义下积分，有：x(t)?x(t0)??ty(u)dut并且该解是唯一的。
由于：e{x(t)}?e{x(t0)}??te{y(u)}dut所以，当e{y(t)}?0时，e{x(t)}?e{x0}又相关函数为：rx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)}?e{x0}?e{x0}?te{y(u)}du?e{x0}?te{y(u)}du2t2t1??tt2?t1t0ry(u,v)dudv所以，当e{y(t)}?0时，有：rx(t1,t2)?e{x0}??t设有一阶线性微分方程：2t2?t1t0ry(u,v)dudv?dx(t)?a(t)x(t)?y(t)??dt??x(t0)?x0其中a(t),t?t是一确定性函数，{y(t);t?t}是一均方连续的实二阶矩过程，x0是存在一、二阶矩的随机变量，则此线性方程有唯一的解：x(t)?x0exp{?ta(u)du}??ty(v)exp{?va(u)du}dvttt下面研究其均值函数和相关函数?x(t)?e{x(t)}?e{x0}exp{?ta(u)du}??te{y(v)}exp{?va(u)du}dvtttrx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)}?e{x}exp{?ta(u)du}exp{?ta(v)dv}20t1t2?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dvt1t2t2?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dvt2t1t1??tt1?t2t0ry(v1,v2)exp{?va(u)du}exp{?va(u)du}dv1dv2121t1t2（五）各态历经性1．各态历经性本节主要讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案汇总
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀ 210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
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（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀ 210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量)0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。
由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。
（3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤∀ 210，则有：n k W W W ki t t t i i k ,,2,1][11 =-=∑=-由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121----i i t t t t N W W i i σ并且独立 因此),,,(1121---n n t t t t t W W W W W 是联合正态分布的，由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1121211110011001n n n t t t t t t t t W W W W W W W W 可知是正态过程。
（4） 设}{t B 为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：},m in{),(2t s t s R B σ=如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/t t R B 存在，但是：20/0/),(),(lim ),(0),(),(lim),(σ=∆-∆+==∆-∆+=+→∆-+→∆+tt t R t t t R t t R tt t R t t t R t t R BB t B B B t B故),(/t t R B 不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
（5） 设t N ，0≥t 是零初值、强度0>λ的泊松过程。
写出过程的转移函数，并问在均方意义下，0,0≥=⎰t ds N Y tst 是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= λλλλλλλλ0000Q其相关函数为：st t s t s R N 2},min{),(λλ+=，由于在t ∀，),(t t R N 连续，故均方积分存在。
（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.05.025.075.011100100p p p p P试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。
（7） 设齐次马氏链{}{},4,3,2,1,0,=≥S n X n 一步转移概率矩阵如下： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P（a ）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C －K 方程）； （b ）求n 步转移概率矩阵；（c ）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？解：（a ）略（b ）⎩⎨⎧====偶数奇数n P n P P n P n2)( （c ）此链不具遍历性（8） 设0,)1()()(≥-=t X t Y t N ，其中}0);({≥t t N 为强度为0>λ的Poission 过程，随机变量X 与此Poission 过程独立，且有如下分布：0,2/1}0{,4/1}{}{>=====-=a X P a X P a X P问：随机过程0),(≥t t Y 是否为平稳过程？请说明理由。
由于：0)}({=t Y E{}{}{}{}{}{}1222)(220)(12201212)()(2)()(2)()()(22)()(2)()(22122!)]([)1(2})()({)()()1(2)1(2)1(2)1()1(),(121212*********t t e a e a e n t t a n t N t N P n t N t N E a E a E a E X E X E t t R t t n t t n nn t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N t N Y -===--==-=--=-=-=-=-⋅=---∞=--∞=---+++∑∑τλλτλλ故)}({t Y 是平稳过程。
（9） 设0,2≥+=t Yt X X t ，其中X 与Y 独立，都服从),0(2σN（a ）此过程是否是正态过程？说明理由。
（b ）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。
证明：（a ）任取 n t t t N n <<<≤∈ 210,，则有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Y X t t t Yt X Yt X Yt X X X X n n t t t n 212121222212121 由于X 与Y 独立，且都服从),0(2σN ，因此可得()τY X服从正态分布，由上式可知随机向量 ()τn t t t X X X 21服从正态（高斯）分布，所以过程0,2≥+=t Yt X X t 是正态（高斯）过程。
（b ）由：0}{2}{}{=+=Y tE X E X E t221222121222121221214}{4}{}{)(2}{}{4}{)(2}{]}2][2{[}{),(21σσt t Y E t t Y E X E t t X E Y E t t XY E t t X E Y t X Y t X E X X E t t R t t X +=+++=+++=++==由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。
（10） 设t N ，0≥t 是零初值、强度1=λ的泊松过程。
（a ）求它的概率转移函数}{),,,(i N j N P j i t s p s t ===； （b ）令0,≥-=t t N X t t ，说明⎰=1dt X Y t存在，并求它的二阶矩。
解：（a ）)()!()]([}{),,,(s t i j s t e i j s t i N j N P j i t s p -----====λλ（b ）先求相关函数：)21(},min{)})({(),(2λλλ-++=--=st st s t s N t N E s t R s t X对任意的t ，在),(t t 处),(t t R X 连续，故t X 均方连续，因此均方可积，⎰=1dt X Y t存在。
{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101101010102102),(}{dtdss t RdtdsX X E ds X dt X E dt X E Y E Xs t s t t将),(s t R X 代入计算积分即可。
由1=λ，得：},min{)21(},min{)})({(),(2s t st st s t s N t N E s t R s t X =-++=--=λλλ{}{}31},min{),(}{1101101101101010102102=+=====⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ds s dt ds t dt dtds s t dtds s t R dtds X X E ds X dt X E dt X E Y E ttX s t s t t（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。
现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。
第一次摸球之前没有积分。
以n Y 表示第n 次取出球后的累计积分， ,1,0=n （a ）n Y ， ,1,0=n 是否齐次马氏链？说明理由。
（b ）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率ij p 和两步转移概率)2(ij p 。
（c ）令}0,0;m in{0>==n Y n n τ，求}5{0=τP 。
解：（a ）是齐次马氏链。
由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。
状态空间为：},2,1,0,1,2,{ --=S 。
（b ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+=====+其他,01,3.0,4.01,3.0}{1i j i j i j i Y j Y P p n n ij⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-=⨯⨯=⨯++=⨯⨯+====+其他,02,3.01,4.03.02,3.024.01,4.03.022,3.0}{)2(22222i j i j ij i j i j i Y Y P p n n ij（c ）即求首达概率，注意画状态转移图。