第一章 概率统计基础知识(4)常用分布

图1.2-12 标准正态分布的概率密度函数 的图形（教材28页）
(1) 标准正态分布函数
(1) 标准正态分布函数
表，用来计算形如“ ”的随机事件发生的概率，即标准正态分布函数。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表1—2)上查得， .例如事件“u≤1.52“的概率可从附表1—2上查得p(u≤1.52)= (1.52)=0.9357它表示标准正态随机变量u取值不超过1.52 的概率，在数量上它恰好为1.52 左侧的一块阴影面积(见图1.2-13) 。
这个分布
这个分布称为二项分布，记为b(n,p)
是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：
二项分布的均值、方差与标准差分别为：np, npq, .
特例：n=1的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：
或列表如下：
它的均值、方差与标准差分别为p,p(1-p), 。
[例1.2-10]
[例1.2-10]在—个制造过程中，不合格品率为o.1，如今从成品中随机取出6个，记x为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布，简记为b(6,0.1)。现研究如下几个问题：
由于概率0.95 恰好介于0.9495 与0.9505 中间，故。
0.5 分位数，即50% 分位数，也称为中位数，在标准正态分布n(o，1)场合，
u0.5=0 。当α<o．5时，比如α=0.25，由对称性可知u0.25=-u0.75。u0.75=0.675，对它加上负号即得u0.25=-0.675，类似地有u0.1=-u0.9=-1.282(见图1.2—20) 。（p30）
1.2 起重大事故，这表明：x服从 =1.2 的泊松分布，现考察如下事件的概率：
(1) 在一个月内发生1起重大事故的概率为：
类似地也可计算x取其他值的概率，现罗列于如下分布列中：
此例中，x理论上也可以取8，9，…等值。由于取这些值的概率的前三位小数皆为零，甚至更小，已无多大实际意义，故可不列出，当作不可能事件处理。也可把此8个概率画一张线条图，如图1.2—8。
若x～n(10 ， )，通过标准化变换；若y～n(2， )，通过标准化变换；两个正态变量及其标准化变换后的分布的示意图见图1.2—21。
性质2
性质2：设 ，则对任意实数 有：
（1）
（2）
（3）
其中ф（·）为标准正态(累积)分布函数，其函数值可从附表1—2中查得。
(三)其他连续分布
(三)其他连续分布
正态分布是实际中最常用的分布，但在实际中还有很多非正态的连续分布也很有用，在质量管理中最常用的是均匀分布、对数正态分布与指数分布，现分别介绍如下。
窗体顶端
四、常用分布
四、常用分布
(一)常用离散分布
这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。
1．二项分布
我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件:
(1) 重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。
(2) n 次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。
(1) 恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件x=1 的概率为：
这表明，6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543 。类似可计算x=0，x=1，…，x=6 的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：
这里0.0000表示x=6 的概率取前4位小数的有效数字为零，实际上，它的概率为p(x=6)=0.000001，并不严格为零。还可以画出一张线条图(图1.2—7(a)) 来表示这个分布(共有7个取值)。图上的横坐标为x的取值，纵轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些上的概率大，哪些上的概率小。假如改变成功概率p，其线条图亦会改变。比如，连抛六次硬币，其中正面出现次数。通过计算可画出其线条图(见图1．2—7 (b))，此图是对称的，如p(x=2)=p(x=4)=0.2343 。
(2) 1.282 是标准正态分布n(0，1)的0.9 分位数，也称为90% 分位数或90百分位数，记为 。
后一种说法有新意，o.9 分位数 。，把标准正态分布密度函数 下的面积分为左右两块，左侧一块面积恰好为o.9，右侧一块面积恰好为o.1，见图1.2-18(p29)。
一般说来，对介于0与1之间的任意实数，标准正态分布n(o，1)的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为l— (详见图1.2-19)(p29)。用概率的语言表示，u (或它的分布)的α位数是 满足下面等式的实数：p(u≤)= 分位数亦可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用内插法得到，比如0.95 的分位数 可先查得： u0.9495=1.64， u0.9505=1.65
(2) 不超过1个
(2) 不超过1个不合格品的概率为：p(x≤1)=p(x=0)+p(x=1)=0.5314+0.3543=o.8857这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857 。
在实际中经常需要求形如“”的概率，在概率论中把事件“”的概率称为x的分布函数，也称为累积分布函数，记为f(x)，即：
(3) 每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。
(4) 每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1- p。在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然x是可以取0，1，…，n等n+1 个值的离散随机变量，且它的概率函数为:
由于直线是没有面积的，即直线的面积为零，故：p(u≤1.52)=p(u<1.52)= (1.52)=0.9357
综合上述，可得如下计算公式：p(u≤a)=p(u(a) 类似的计算公式还有一些，现罗列如下，图形可帮助我们理解它。
(2)p(u>a)=1- (a)，(见p29图1.2—14) 。
(3) (-a)=1- (a)( 见p29图1.2-15) 。
(2) 在一个月内发生重大事故超过2起的概率为：
这表明，该公司在一个月内发生重大事故超过2起的概率为o.121 。
(3) 泊松分布p(1.2)的均值、方差与标准差分别为：
3．超几何分布
3．超几何分布
从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。设有n个产品组成的总体，其中含有m个不合格品。若从中随机不放回地抽取n个产品，则其中不合格品的个数x 是一个离散随机变量，假如n≤m，则x可能取0，1，…，n；若n>m，则x可能取0，l，…，m，由古典方法(参见例1．1—4)可以求得
的概率是：
其中r=min(n,m) ，这个分布称为超几何分布，记为h(n，n,m) 。
超几何分布h(n，n,m) 的均值与方差分别为：
e(x)= ，var(x)= (1.2-8)
(二)正态分布
(二)正态分布
正态分布是在质量管理中最重要也最常使用的分布，它能描述很多质量特性x随机取值的统计规律性。
1．正态分布的概率密度函数
1．均匀分布
均匀分布在两端点a与b之间有一个恒定的概率密度函数，即在(a, b )上概率密度函数是一个常数，见图l.2 -25(a)，它的全称是"在区间 (a, b) 上的均匀分布"，常记为u（a,b) 。这里"均匀"是指随机点落在区间(a, b) 内任一的机会是均等的，从而在相等的小区间上的概率相等。
五、中心极限定理
五、中心极限定理
中心极限定理叙述了统计中的一个重要结论:多个相互独立随机变量的平均值(仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。
(一)随机变量的独立性
两个随机变量x1与x2相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值，或者说是指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子出现的点数记为x1与x2，则x1与x2是相互独立的随机变量。随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。以下要用到一个假定:"
(2) 在一定时间内，某操作系统发生的故障数；
(3) 一个铸件上的缺陷数；
(4) 一平方米玻璃上的气泡个数；
(5) 一件产品因擦伤留下的痕迹个数；
(6) 一页书上的错字个数。
从这些例子可以看出，泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的，若表示某特定单位内的平均点数( >0)，又令x表示某特定单位内出现的点数，则x取值的概率为： ，x=0,1,2, (1.2-6)
(3) 最重要的特征是:若随机变量 x服从对数正态分布，则经过对数变换y=lnx (ln 是自然对数)后，随机变量y服从态分布。
图1.2-26 对数正态分布（教材p33）
(4)若
3.指数分布
3.指数分布
用以下指数函数
表示的概率密度函数称为指数分布。其中的称为指数分布函数的参数，常记为。其概率密度函数的图形如图1.2-27 所示。事件"x在区间 (a, b) 上取值"的概率为图1.2-27 上阴影的面积，它的计算公式为:
(4)p(a≤u≤b)= (b)- (a)( 见p29图1.2—16) 。
(5) (见p29图1．2—17) 。
3．标准正态分布N(0，1)的分位数
分位数是一个基本概念，这里结合标准正态分布n(0，1)来叙述分位数概念。对概率等式p(u≤1.282)=0.9 ，有两种不同说法：
(1) 0.9 是随机变量u不超过1.282 的概率。
正态分布的概率密度函数有如下形式：
它的图形是对称的钟形曲线，称为正态曲线。见图1.2—10。(教材27页)
正态分布含有两个参数
正态分布含有两个参数 与 ，常记为。其中 为正态分布的均值，它是正态分布的中心，质量特性x在附近取值的机会最大，关于 对称。 是正态分布的方差， 是正态分布的标准差， 愈大，分布愈分散； 愈小，分布愈集中；p(x) 在 处有拐点(2阶导数为零)。