概率论征解报告

36 王彬彬 串级随机变量在核辐射探测学中的应用【摘要】在核辐射探测学中遇到的一个比较有趣的问题，而结合概率论与数理统计的知识，做出的一点深入的分析与解释。

核辐射探测过程中，核辐射实际上就是一些我们经常听到的高能粒子，比如α粒子，β粒子以及γ粒子，由于这些粒子可以电离物质中原子的核外电子，所以又称为电离辐射。

由于不确定的因素，比如原子衰变的速率的随机性，我们可想而知，粒子的实际数目是带有统计特征的随机变量；在探测这些粒子的过程中，同样是一个随机过程，也存在着一定的统计特征；不仅如此，有时由于探测信号的微弱，我们需要利用一些巧妙的方法，或者使用一定的技术手段放大所接收到的探测信号，这里同样是一个有涨落的随机过程。

所以对于核辐射的探测实际上是一个多级串联的随机过程，而且实际的探测过程中，由于技术的原因，存在的串级随机过程的数目要远大于以上我们讨论的基本情况。

本文的任务，就是分析串级随机变量的数字特征与每个随机变量之间的关系。

【关键字】 串联随机变量 方差 期望 【正文】一、首先，我们来讨论级联两次的情况：(1) 先按条件组A 做了一次实验，实现了随机变量1ξ的一个可能取值1i ξ (2) 再按条件组B 做1i ξ次实验，实现了随机变量2ξ的1i ξ个可取值 (3) 条件组A 与条件组B 下的实验是相互独立的。

(4) 将这些可取值加起来得到一个值i ξ，112122221ii i jj ξξξξξξξ==++⋅⋅⋅+=∑并且将此定义为一个新的随机变量ξ的可取值(5) 这里ξ为随机变量1ξ与2ξ的“串级”随机变量：1ξ⇒为串级随机变量的第一级；2ξ⇒为串级随机变量的第二级。

举一个更加常见而现实的例子，有一个放射源，第i 分钟释放出数量1i ξ的粒子，而这每个粒子全部射入探测器内，则这1i ξ个粒子射入探测器内有形成信号强弱了1i ξ个随机变量{}121,jjj ξξ=。

则第i 分钟检测到的数目i ξ就是一个二级的串级随机变量。

下面讨论二级串联变量与各级之间的关系： 1. 期望值：()()()12E E E ξξξ=⋅则由条件(3)两组变量之间独立，且每次试验的独立性可知：()()()()()11221211E j j j j E E E E E ξξξξξξξ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑。

即级联变量的期望值是每一级级联变量的期望值之乘积。

2. 方差：()()()()()22112D E D E D ξξξξξ=+⎡⎤⎣⎦()()()()()()222212D E E E E E ξξξξξξ=-=-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()()()()()()11111111222222222221101022122222222212212222222E j j j k j j k j j j k j j k j k j k j k j k E E E E E E E E E E E E E E E E E E ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ==≤<≤=≤<≤≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅=+⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=⋅+⋅--++-⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎡⎤=⋅+--⎡⎣⎣⎦∑∑∑∑∑∑()()()1112222212j k j k E C E E ξξξξξξξ≤<≤⎛⎫⎡⎤+⋅+-⎤ ⎪⎦⎣⎦⎝⎭∑由于2j ξ与2k ξ是相互独立的所以协方差为0，则()()11222200jk j k E E E ξξξξξξ≤<≤⎛⎫⎡⎤--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 且，()()()()()()()()()()1122222222222112112221j k E C E E E C E E E E E E ξξξξξξξξξξξξξ⎡⎤⋅+-=⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，()()()()()()222221112E E E E E E ξξξξξξ⎡⎤=⋅+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且由()()()22111D E E ξξξ=-⎡⎤⎣⎦和()()()22222D E E ξξξ=-⎡⎤⎣⎦代入()D ξ可得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22122222211121222222211221122222221112222112D E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E D E D ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ=-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-⋅+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦3. 测量的相对方差()()()()()()()()()()()()()()12221121222222121122211E D E D D D D v E E E E E E v v E ξξξξξξξξξξξξξξξξξ+⎡⎤⎣⎦===+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+由此可见，测量的最终误差，是第一级相对误差与第二级相对误差的和，不过第二级的相对误差要除以第一级的期望。

4. 量纲分析由于是多级变量，方差和相对方差的量纲看上去似乎有问题，而且不够对称。

但是通过细心分析可以看出，第一级的值应该是一个无量纲数，否则不能作为第二级的试验次数，而第二级则可以根据实际测量的量确定单位，可以清晰看到，当第一级的为无量纲数，则方差为第二级量纲的平方，相对方差为无量纲的数。

二、 一些基本分布的二级级联 1. 伯努利串联伯努利()11~1,B p ξ与()22~1,B p ξ的级联()()()1212E E E p p ξξξ=⋅=()()()()()()()()2221122111221212111D E D E D p p p p p p p p p p ξξξξξ=+=-+-=-⎡⎤⎣⎦显然()12~1,B p p ξ，则两个伯努利分布串联仍然是伯努利。

如核辐射探测中，放射源是否发射例子是一个伯努利分布，同样，探测器是否可以探测到，又是另一级联的伯努利分布，显然，粒子发射并且可以被探测到是一个伯努利分布，不过概率较第一级和第二级都较小。

2. 泊松分布串联伯努利分布()1~P ξλ与()2~1,B p ξ的级联()1E ξλ= ()1D ξλ= ()()()12E E E p ξξξλ=⋅=()()()()()()2221121D E D E D p p p p ξξξξξλλλ=+=+-=⎡⎤⎣⎦则()~P p ξλ，可以看出级联后的随机变量是一个泊松分布。

在实际情况中，单位时间内放射源发射的粒子数是λ，粒子被探测的概率是p ，探测数仍然为泊松分布，与源呈现完美的正比关系。

3. 任何分布与伯努利分布()()()()()1211E E E pE E p ξξξξξ=⋅==()()()()()()()()()()()222112111111D E D E D p D E p p D p E p p ξξξξξξξξξ=+=+-⎡⎤⎣⎦=+-显然期望满足很好的级联性质，但是方差不能在完美的体现一级变量的性质，级联的相关性明显。

4. 泊松分布与高斯分布()1~P ξλ与()22~,N ξμσ的级联()()()12E E E ξξξλμ=⋅=图()()()()()()2222112D E D E D ξξξξξλμσ=+=+⎡⎤⎣⎦()12222221111v v v E ξξξσξλμ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭同样是辐射探测中，放射源发出的粒子数是一个泊松分布，对于粒子在探测器内引发的信号，则更接近于一个有一个期望μ和一定方差2σ的高斯分布，通过级联的计算结果可以看出相对误差和泊松流之间呈现正相关关系，所以当粒子数较多时，可以减小测量的相对误差，这是核辐射探测中提高探测精度的基本思想。

三、多级串联随机变量设n 级的串联随机变量的期望与方差分别是()n E ξ，()n D ξ，2nv ξ，则对于n+1级串联随机变量1n ξ+，同二级串联随机变量的推导，可得()()()11n n n E E E ξξξ++=⋅()12221n nn n v v v E ξξξξ+=+()()()212E E E ξξξ=⋅ ()21222211v v v E ξξξξ=+可以归纳出n 级串联随机变量的期望与相对方差：()()()()()121n n n E E E E E ξξξξξ-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()()()1232122221122221121211n n nn n v v v v E E v v v v E E E E E E ξξξξξξξξξξξξξξξξ-=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅若当21iv ξ<<，()1i E ξ≥时，级联后的相对误差只与前几项关系较大，后面的相对误差所引起的相对误差较小。

四、总结通过这篇文章，总结了串联随机过程在核辐射探测中的基本原理，为核辐射探测在提高精度方面奠定了理论基础，同时，串联随机过程，比一般的随机过程有更宽阔的实际应用范围，也较一般随机过程更加有趣。