2018考研数学线代重点：行列式知识点总结
行列式知识点
行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。
对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。
具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。
若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。
例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。
五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。
行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。
通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。
考研数学（线性代数）知识点归纳
考研数学（线性代数）知识点归纳2018考研数学(线性代数)知识点归纳炎炎烈日，正值盛暑，也是考生提升考研数学成绩的关键时期，以下是店铺搜索整理的关于2018考研数学(线性代数)知识点归纳，供参考复习，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们店铺!不同专业考察的内容不一样，从历年的实际考研试题来看，3类数学的线性代数试题基本相同，差别仅仅在于：数学(一)比数学(二)和(三)多了n维向量空间的相关内容，但这部分内容在考题中很少出现。
第一章、行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章、矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章、向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的.秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章、线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章、矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章、二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
行列式知识点汇总
行列式知识点汇总在数学中，行列式是一个重要的概念，用于描述线性代数中的一些性质和运算。
它在各个领域中都有广泛应用，如线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量的计算等。
本文将对行列式的相关知识点进行汇总介绍，帮助读者更好地理解和应用行列式。
1. 行列式的定义行列式是一个用来对方阵进行运算的函数。
对于n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算通常通过对方阵进行按行展开或按列展开的方式来进行，根据展开的元素进行递归计算。
2. 行列式的性质行列式具有以下性质：- 性质1：互换行（列）会改变行列式的符号，即det(A) = -det(A')，其中A'表示通过互换A的两行（两列）得到的新方阵。
- 性质2：如果行（列）中有零元素，则行列式的值为0。
- 性质3：行（列）成比例，则行列式的值为0。
- 性质4：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以k，等价于行列式乘以k。
- 性质5：若A的某一行（列）元素都是两数之和，则行列式可以分解为两个行列式的和。
- 性质6：若A的某一行（列）元素都是两数之差，则行列式可以分解为两个行列式的差。
3. 行列式的计算方法行列式的计算可以根据方阵的阶数和具体性质来选择不同的方法，主要有以下几种方法：- 按行（列）展开法：通过按行（列）展开元素，并对展开的结果进行递归计算。
- 初等行变换法：通过初等行变换将矩阵转化为上（下）三角矩阵，再利用三角矩阵行列式的计算公式求解。
- 对角线法则：将方阵按对角线划分为若干小方阵，利用小方阵行列式的性质求解。
4. 行列式的重要应用行列式在线性代数中有广泛的应用，下面介绍几个重要的应用：- 线性方程组的求解：利用行列式可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷解，并可以通过克拉默法则求解方程组。
- 矩阵的逆：若方阵A的行列式不为0，则A可逆，且可以通过行列式求解矩阵的逆。
- 特征值和特征向量：方阵A的特征值为使得det(A-λI)=0成立的λ值，其中I为单位矩阵。
2018考研数学线代重点：行列式重点及常考题型
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2018考研数学线代重点：行列式重点及
常考题型
目前是考研突破提升的一个重要阶段，距离最终冲刺也没多少时日了，这个过渡期对考生而言很关键，冲刺能否发力，现阶段复习一定要做好铺垫，考研数学中，线性代数数学一、二、三中都有，且占比22%，大家要好好复习，做好总结。
下面是凯程考研为大家整合的线性代数行列式部分的重点内容和常考题型，大家参考。
2018考研数学线代重点：行列式重点及常考题型
一行列式
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。
如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。
所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。
1、重点内容:行列式计算
(1)降阶法
这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。
但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。
(2)特殊的行列式
有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。
2、常见题型
(1)数字型行列式的计算
(2)抽象行列式的计算
(3)含参数的行列式的计算
(4)代数余子式的线性组合
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线性代数知识点总结第一章
线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，即结果为一个数。
同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。
即=二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组设则，对三元方程组，设，，，，则，，。
（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。
n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。
（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。
（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。
（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2，… ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。
也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。
根据定义，有说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、的符号为，t的符号等于排列的逆序数5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆。
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结1行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）—行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则★ 8对角线的元素为a ,其余元素为b 的行列式的值:（三）按行（列）展开 9、按行展开定理:（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等 于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素 的代数余子式乘积之和等于 0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式: (1) |kA|=kn|A|1 1…ik £…益■y (v)」IT=n厲-号）klXn7、n 阶（n 》2）范德蒙德行列式数学归纳法证明(2) |AB|=|A| • |B|(3) |AT|=|A|(4) |A-1|=|A|-1(5) |A*|=|A|n-1(6) 若A的特征值入1、入2、……入n,贝y P(7) 若A与B相似，则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则：(1 )非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0(3 )若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0b2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：(1)矩阵乘法要求前列后行一致；(2)矩阵乘法不满足交换律；(因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义：B=A-1 AB=E或 BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为注：A可逆的充要条件是|A|工04、逆的性质：( 5 条)(1)( kA) - 1=1/k ・A-1 (k 工0)(2)(AB)-仁B- 1 ・A-1(3)|A-1|=|A|-1( 4)( AT) -1= ( A-1 ) T( 5)( A-1 ) -1=A5、逆的求法：( 1 ) A 为抽象矩阵：由定义或性质求解(2) A为数字矩阵：(A|E初等行变换E|A-1 )(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数c（3）一行（列）乘k 加到另一行（列）7、初等矩阵：单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵。
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线性代数之行列式知识点总结
（1）抽象n阶方阵行列式公式：
抽象n阶方阵行列式公式
（2）代数余子式性质的补充
1.行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0，即：
代数余子式的性质
2.若A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则AA*=A*A=|A|E.
（3）行列式|A|是否为零的判定
题型一：抽象型行列式的计算
例1：
解题思路：用行列式性质，把|A+2B|化简，向已知条件|A|,|B|靠拢。
解：
题型二：代数余子式求和问题
例2：
解题思路：利用行列式代数余子式的性质解：
总结：在计算抽象行列式时，有可能要用到行列式的性质来恒等变形化简；有可能用到矩阵的运算、公式、法则来化简变形；也有可能利用特征值、相似来处理。
2018考研数学一线性代数行列式复习内容介绍
2018考研数学一线性代数行列式复习内容介绍
来源：智阅网
线性代数在考研数学一中，也占有很重要的位置。
需要我们认真复习，才能取得不错的成绩。
那么，我们就来了解一下在强化阶段，线性代数中行列式的主要内容有哪些，以方便我们的复习。
行列式这个章节的核心考点主要分为两大块，一是行列式的计算，二是行列式的应用。
行列式计算的主要方法有：第一，利用行列式的相关性质化行列式为上三角或下三角来进行计算;第二，利用行列式的行展开或列展开定理来进行计算;第三，利用特殊行列式来进行计算，如范德蒙行列式，行(列)和相等行列式，广义对角行列式等等，第四，利用特征值来计算行列式。
行列式的应用主要体现在利用克莱姆法则判断方程组解的情况以及如何求解整个方程组，在判断方程组解的情况时只要方程组满足是方形的也就是方程组的个数和未知数的个数相等时往往利用克莱姆法则来判断解的情况来的更快，更简捷。
总之，行列式这个章节整体的落脚点还是在行列式的计算上，在后面章节中求解特征值时都要用到行列式的相关计算。
我们还可以做做汤家凤老师的2018《考研数学15真题解析与方法指导》（数学一），书中对于真题常考题型解析详尽，有助于我们掌握常考题型和方法技巧。
所以，想买考研数学相关书籍的朋友，还可以去天猫商城北京世纪文都图书专营店上看看，最近有很多购书优惠，买得越多，折扣越多。
线性代数各章要点整理
第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。
重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。
（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。
线性代数背诵要点(全)
第一章 行列式一、行列式的概念、展开公式及其性质 （一）行列式的概念nnn n n n a a a a a a a a a A .. (2)12222111211=（二）行列式按行（列）展开公式公式为关于副对角线，其计算角线上元素的乘积三角行列式等于其主对下上的代数余子式为的余子式，而阶行列式，称之为列元素后的行及第中去掉第是其中.2......)(.1)1(1)1( (221122)11221122112211nnnn nn ij ij j i ij ij ijj i ij nj nj j j j j in in i i i i a a a a a a a a a a M a n j i A M M A A a A a A a A a A a A a A ⋅⋅⋅=******=******---=+++=+++=++11212)1(11211121)1(......n n n n n n n nn n na a a a a a a a a ⋅⋅⋅-=******=******---- B A OB A BA OB A B OA B O A n B m A mn ⋅-=*=*⋅=*=*)1(.3阶矩阵，则是阶矩阵，是开式，设两种特殊的拉普拉斯展（三）行列式的性质1．经转置的行列式的值不变，即T A A =2.行列式中某一行各元素如有公因数k ，则k 可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零3.如果行列式中某行的每个原色都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和mlb b a a 2121++=mlb a 11+mlb a 224对换行列中某两行的位置，行列式的值只改变正负号；若两行元素对应相对（成比例），则行列式的值为零 5.把某行的k 倍加至另一行，行列式的值不变（四）关于代数余子式的求和...0...)()(.2,.122112211=+++=+++nk nj k j k j jn in j i j i ij ij ij ij A a A a A a A a A a A a a A A a 乘积之和必为零对应元素的代数余子式列元素与另一行列行列式一行的取值无关与式值并不影响其代数余子所在行或列中的元素的只改变二、有关行列式的几个重要公式A k kA n A n =阶矩阵，则是若.1B A B A n B A •=阶矩阵，则是，若.211-1.3--*==AA n A AA n A n 阶可逆矩阵，则是若阶矩阵，则是若∏≤≤----==ni j j i n nn n n nx x A x x x x x x x x x A n A 1112112222121)( (1)...11.4，则阶范德蒙矩阵是若 ∏==ni i i A A n A 1.5λλ的特征值，则是阶矩阵，是若B A B A =，则若~.6三、关于克莱姆法则的系数换成常数项中的是把其中则方程组有唯一解方程组，如果系行列式个未知数的非齐次线性个方程对于j j n n x D D DDx D D x D D x A D n n ,,...,,,02211===≠=则方程组只有零解程组，系数行列式个未知数的齐次线性方个方程对于,0≠=A D n n 0==A D n n 数行列式程组，有非零解，则系个未知数的齐次线性方个方程对于逆序数的计算，从左至右,看每个数后面比它小的数的个数 经初等变换矩阵的秩不变第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵 （一）矩阵及相关概念 1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A 3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n nn≠≠=得不到由,.............. (2)12222111211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵， 记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设 7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nnnnn n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算 1.矩阵的加法C B A B A b a c C n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A kkA 111))(3(---=A B AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T AB AB =))(3( T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n AA n )2())(3(2≥=-**n A AA n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T TT T TD B C A D C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O B C O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A E BA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵 （一）矩阵的初等变换及相关概念 1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换 （1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去 （4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换） （5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P)()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E kE k E EE ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A EA B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~rE PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B AE E A A EE A A AA E BA E AB B 111-1-1-1-111)()();()(1，分块矩阵法初等变换法伴随矩阵法或使定义法，找出为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A AB r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===的主对角线元素之和是矩阵T T αββα 若11,--==P PB A PBP A n n 则1-)(,P P A P A n n n Λ=Λ，令与先求特征值与特征向量求 行列变换与单位矩阵、初等矩阵运算的关系第三章 n 维向量一、n 维向量的概念与运算 （一）n 维向量的概念个分量称为向量的第的矩阵，数或维列向量，也就是维行向量或分别称为或维向量，记作构成的有序数组称为个数i a n n n n a a a a a a n a a a n i T n n n 11,),...,,(),...,,(,...,,212121⨯⨯（二）n 维向量的运算0),(......),(,0),(.4...),(.3),...,,(.2),...,,(.1),...,,(,),...,,(222212222122112122112121=⇔==+++=+++=====+++==+++=+==ααααααααααβαβααββαβααβαβαT n nT TT n n Tn T n n T n T n a a a a a a b a b a b a ka ka ka k b a b a b a b b b a a a 正交，，则若内积数乘加法如果二、线性组合与线性表出 1.线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组称为组合系数的一个线性组合，其中称为向量组所构成的向量个常数及维向量个由s s s s s s k k k k k k k k k s n s ,...,,,...,,...,...,,,...,,212122112121ααααααααα+++ 2.线性表出的线性组合是线性表出，或说可由则称的线性组合能表示成向量维向量如αααβαααββααααααβ,...,,,...,,...,...,,2121221121s s s s k k k n =+++3.向量组等价，则称两个向量等价量组可以互相线性表出线性表出；如果两个向可由向量组线性表出，则称向量组量组的每个向量都可以由向如过向量组)2()1(,...,,)2(,...,,)1(2121t s βββααα等价、则线性表出，可由向量组如果向量组不一定等价秩，但秩相同的向量组等价的向量具有相同的相同向量组所含向量的个数两个等价的线性无关的无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价任一向量组和它的极大样，线性相关也可以不一但向量个数可以不一样、对称性、及反身性，等价向量组具有传递性)2()1(),2()1()2()1(.6.5.4.3.21r r =三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念 1.线性相关线性相关则称此向量组使得的数，如存在一组不全为维向量对于s s s s s k k k k k k n ααααααααα,...,,0...,...,,0,...,,2122112121=+++2.线性无关线性无关称此向量组，，必有不全为或者说如存在一组数线性无关则称此向量组，必有，如果维向量对于s s s s s s s s s k k k k k k k k k k k k n ααααααααααααααα,...,,0...0,...,,,...,,,0...0...,...,,212211212121221121≠+++=====+++（二）线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件位向量一定线性相关个维向量线性相关个个向量线性表出可由其他存在某向量的个数有非零解齐次方程组线性相关，向量组n n n n s s r x x x s i s s s s 10,...,,1)(),...,,(0...),...,,(,...,,2121212121+=⇔-⇔⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔ααααααααααααα2.线性无关的充分必要条件个向量线性表出都不能用其他存在某向量的个数只有零解齐次方程组线性无关，向量组1)(),...,,(0...),...,,(,...,,21212121-⇔=⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔s s r x x x i s s s s αααααααααα3.几个重要结论组必然线性无关两两正交、非零的向量必然线性无关，，，延伸组线性无关，则它的任一若向量组必然线性无关个部分分组线性无关，则它的任一若向量组无关阶梯形向量组一定线性)4(...,...,,)3(,...,,,...,,)2()1(2211212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡s s s i i i s t βαβαβαααααααααα四、线性相关性与线性表出的关系ts t s s s t s s t s i i i s s s s s t ≤-线性无关，则线性表出，且可由向量组若向量组线性相关则线性表出，且可由向量组若向量组必然线性无关则它的任一个部分分组一线性表出，且表示法唯可由线性相关，则，线性无关，而向量组若向量组个向量线性表出可以用其余是线性相关，的充要条件向量组αααβββααααααβββαααααααααββαααααααααα,...,,,...,,,...,,)4(,...,,,,...,,,...,,)3(,...,,,...,,,...,,,...,,)2(1,...,,)1(2121212121212121212121五、向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组是由原向量唯一确定的即个数都是关组中所含向量的个数个极大线性无关组是等价的，从而每的。
线性代数重点归纳
线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*0nnnnb b A b b b b ==④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111⑦ ab -型公式：1[(1)]()n a b bbb a bba nb a b b b ab b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b ab b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A-=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：①对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；②对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A矩阵秩的描述：①、()=r A r，A中有r阶子式不为0，1+r阶子式(存在的话) 全部为0；②、()<r A r，A的r阶子式全部为0；③、()≥r A r，A中存在r阶子式不为0；☻矩阵的秩的性质：①()A O r A≠⇔≥1; ()0A O r A=⇔=;0≤()m nr A⨯≤min(,)m n②()()()T Tr A r A r A A==③()()r kA r A k=≠其中0④()(),,()m n n sr A r B nA B r ABB Ax⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB≤{}min(),()r A r B⑥若P、Q可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ===；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m nAxr AB r Br A nAB O B OAAB AC B Cο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n sr AB r Br B nB⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r rE O E Or A r A AO O O O⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B±≤()()r A r B+, {}max(),()r A r B≤(,)r A B≤()()r A r B+⑩()()A O O Ar r A r BO B B O⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A Cr r A r BO B⎛⎫≠+⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，则称β是12,,,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b bb c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3. 线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣ 线性相关性判别法（归纳）♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式 Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ②),Tn a 与),Tn b 的内积1(,)ni i n n i a b a b αβ===++∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥ ④),,Tn a 的长度221(,)ni n i a a ααα====++∑⑤(,1αα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化.8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
2018考研数学线性代数详解
凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构第 1 页 共 1 页 2018考研数学线性代数详解线性代数总共分为六章，第一章行列式，这一块唯一的重点是行列式的计算，主要有数值型和抽象型两类行列式的计算，06、08、10、12年的真题中均有抽象行列式的计算问题，而且均是以填空题的形式出现的，个别的还出现在了大题的第一问中。
2013年考了一道填空题，也属于抽象矩阵的行列式的计算。
第二章矩阵，重点在矩阵的秩、逆、伴随、初等变换以及初等矩阵、分块矩阵。
中公考研指出，这一章概念和运算较多，考点也较多，而且考点以填空和选择为主，当然也会结合其他章节的知识考大题。
06、09、11、12年均考了一个小题是有关初等变换与矩阵乘法之间的关系，10年考了一个小题关于矩阵的秩，08年考了一道抽象矩阵求逆的问题，而今年考试的则是矩阵的运算。
第三章向量，可以分为三个重点，第一个是向量组的线性表示，第二个是向量组的线性相关性，第三个是向量组的秩及极大线性无关组。
这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题，今年也考了一道真题就是向量组的等价。
第四章线性方程组，中公考研指出有三个重点。
第一个是线性方程组解的判定问题，第二个是解的性质问题，第三个是解的结构问题。
06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题，而今年考试的形式不是很明显，需要考生自己转换成线性方程组的问题进行解答。
第五章矩阵的特征值与特征向量，也是分三个重点。
第一个是特征值与特征向量的定义、性质以及求法。
第二个为矩阵的相似对角化问题，第三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。
实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考，12年、11年、10年09年都考了，2013年的最后一道线性代数大题中也涉及到了特征值与特征向量的知识。
线代知识点总结(1-4)
1.4行列式的性质1.性质1行列式与它的转置行列式相等.2.性质2对换行列式的两行（列），行列式变号.3.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.4.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k 乘此行列式.5.推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.6.性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.7.性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和,则D 等于下列两个行列式之和：8.性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.1.5 行列式按行（列）展开1.引理一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元ai j外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D = a ij A ij.2.定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +…+ain Ain （i= 1，2，…，n）或D = a1jA 1j +a2jA2j +…+anjAn j （j = 1，2，…，n）.3.4.推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即a i1 A j1 + a i2 A j2 + …+ a in A jn = 0，i≠j或a1iA1j +a2iA 2j +…+aniA nj = 0，i≠j.2.1 线性方程组和矩阵1.定义1由m×n 个数aij（i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n）排成的m 行n 列的数表称为m 行n 列矩阵，简称m×n 矩阵.为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A 的（i，j）元. 以数aij为（i，j）元的矩阵可简记作（aij）或（aij）m×n.m×n 矩阵A 也记作A m×n .元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.行数与列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵. n 阶矩阵A 也记作A n.两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.如果A =（ai）j与B =（bij）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij = bij （i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n），那么就称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A = B.元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O.注意不同型的零矩阵是不同的.2.2矩阵的运算1.定义2设有两个m×n 阵A =（aij）和B =（bij），那么矩阵A 与B 的和记作A +B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设A，B，C 都是m×n 矩阵）：（i）A +B = B +A；（ii）（A +B）+ C = A +（B +C）.设矩阵A =（aij），记-A =（-aij），-A 称为矩阵A 的负矩阵，显然有A +（-A）= O，由此规定矩阵的减法为A -B = A +（- B）2.定义3数λ与矩阵A 的乘积记作λA 或Aλ，数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B 为m×n 矩阵，λ、μ为数）：（i）（λμ）A =λ（μA）；（ii）（λ+μ）A =λA +μA；（iii）λ（A +B）=λA +λB.矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.3.定义4设A=（ai）j 是一个m×s矩阵，B=（bi）j 是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个m×n 矩阵C =（cij），其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj= ∑aikbkj（i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n），并把此乘积记作C = A B.4.定义5把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作 A T .矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：（1）（A T）T = A；（ii）（A + B）T = A T +B T；（iii）（λA）T =λA T；（iv）（A B）T = B T A T .5. 定义6由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作det A 或|A︳.应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n 阶方阵是n 2 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数（也就是数表A）按一定的运算法则所确定的一个数.由A 确定︳A︳的这个运算满足下述运算规律（设A、B 为n阶方阵，λ为数）：（i）|A T︳=|A︳（行列式性质1）；（ii）|λA︳=λn|A︳；（iii）|AB︳=|A︳|B︳.2.3 逆矩阵1.定义7对于n 阶矩阵A，如果有一个n 阶矩阵B，使A B = B A = E，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称逆阵.如果矩阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是惟一的.这是因为：若B、C 都是A的逆矩阵，则有B = B E = B（A C）=（B A）C = E C = C，所以A 的逆矩阵是惟一的.A 的逆矩阵记作A -1 .即若AB = BA = E，则B = A-1.2.定理2若︳A︳≠0，则矩阵A 可逆，且其中A *为矩阵A 的伴随矩阵.当︳A｜=0时，A 称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵.由上面两定理可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是︳A︳≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵3.推论若A B = E （或BA = E），则B = A - 1 .4.2.4克拉默法则1.克拉默法则如果线性方程组（9）的系数矩阵A 的行列式不等于零，即那么，方程组（9）有惟一解其中A j（j= 1，2，…，n）是把系数矩阵A 中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶矩阵，即2.5矩阵分块法1.矩阵A = O 的充分必要条件是方阵A T A = O .3.1矩阵的初等变换1.定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（i）对换两行（对换i，j两行，记作ri ↔rj）；（ii）以数k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作ri×k）；（iii）把某一行所有元的k 倍加到另一行对应的元上去（第j 行的k 倍加到第i行上，记作ri +krj）.把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换.显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换ri ↔rj 的逆变换就是其本身；变换ri×k 的逆变换为变换ri+krj 的逆变换为ri +（-k）rj（或记作ri -krj）.如果矩阵A 经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A 与B 行等价;如果矩阵A 经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A 与B 列等价；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～B.矩阵之间的等价关系具有下列性质：（i）反身性A ～A；（ii）对称性若A～B，则B～A；（iii）传递性若A ～B，B～C，则A ～C.2.定义2（1）非零矩阵若满足（i）非零行在零行的上面；（ii）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵；（2）进一步，若A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i）非零行的首非零元为1；（ii）首非零元所在的列的其他元均为0，则称A 为行最简形矩阵.3.定理1设A 与B 为m×n 矩阵，那么（i）的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P，使PA = B；（ii）A ～B 的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q，使A Q = B；（iii）A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q，使PA Q = B.4.性质1设A 是一个m×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘相应的n 阶初等矩阵.显然初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵：5. 性质2方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pl，使A = P1 P2…P l.6.推论方阵A 可逆的充分必要条件是A~E.3.2 矩阵的秩1.定义4在m×n 矩阵A 中，任取k 行与k 列（k ≤m，k ≤n），位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.m×n 矩阵A 的k 阶子式共有个.2.引理设则A 与B 中非零子式的最高阶数相等.3.定义5设在矩阵A 中有一个不等于0 的r 阶子式D，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r称为矩阵A 的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.由行列式的性质可知，在A 中当所有r+1 阶子式全等于0 时，所有高于r+1阶的子式也全等于0，因此把r 阶非零子式称为最高阶非零子式，而A 的秩R（A）就是A 的非零子式的最高阶数.由于R（A）是A 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0，则R（A）≥s；若A 中所有t阶子式全为0，则R（A）＜t.显然，若A 为m×n 矩阵，则0 ≤R（A）≤min｛m，n｝.由于行列式与其转置行列式相等，因此A T 的子式与A 的子式对应相等，从而R（A T）= R（A）.对于n 阶矩阵A，由于A 的n 阶子式只有一个︳A︳，故当︳A︳≠0 时R（A）= n，当︳A︳= 0 时R（A）＜n.可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数.因此，可逆矩阵又称满秩矩.阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵.4.定理2若A ～B，则R（A）= R（B）.5.推论若可逆矩阵P、Q 使PA Q = B，则R（A）= R（B）.6.矩阵秩的一些最基本的性质：①0 ≤R（A m×）n ≤min｛m，n｝.②R（A T）= R（A）.③若A～B，则R（A）= R（B）.④若P、Q 可逆，则R（PA Q）= R（A）.⑤max｛R（A），R（B）｝≤R（A，B）≤R（A）+R（B），⑥R（A +B）≤R（A）+R（B）.⑦R（A B）≤min｛R（A），R（B）｝⑧若A m×n Bn×l = O，则R（A）+R（B）≤n6.若A m×n B n×l = C，且R（A）= n，则R（B）= R（C）.设A B = O，若A 为列满秩矩阵，则B = O.3.3线性方程组的解1.定理3 n 元线性方程组Ax =b（i）无解的充分必要条件是R（A）＜R（A，b）；（ii）有惟一解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）= n；（iii）有无限多解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）＜n.2.定理4 n 元齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是R（A）＜n.3.定理5线性方程组A x = b 有解的充分必要条件是R（A）= R（A，b）.4.定理6矩阵方程A X = B 有解的充分必要条件是R（A）= R（A，B）.5.定理7设A B = C，则R（C）≤min｛R（A），R（B）｝.4.1向量组及其线性组合1.定义2给定向量组A：a1，a2，…，am，对于任何一组实数k1，k2，…，km，表达式k 1 a 1 + k 2 a 2 + …+ k m a m称为向量组A 的一个线性组合，k1，k2，…，km 称为这个线性组合的系数.给定向量组A：a1，a2，…，am 和向量b，如果存在一组数λ1，λ2，…，λm，使b =λ1 a 1 +λ2 a 2 + …+λm a mm，则向量b 是向量组A 的线性组合，这时称向量b 能由向量组A 线性表示.向量b 能由向量组A 线性表示，也就是方程组x 1 a 1 + x 2 a 2 + …+ x m a m = b2.定理1向量b 能由向量组A：a1，a2，…，a m 线性表示的充分必要条件是矩阵A =（a1，a2，…，a m）的秩等于矩阵B =（a，1 a2，…，a m，b）的秩.3.定义3设有两个向量组A：a1，a2，…，a m 及B：b1，b2，…，bl，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价.4.定理2向量组B：b1，b2，…，bl 能由向量组A：a1，a2，…，a m 线性表示的充分必要条件是矩阵A =（a1，a2，…，am）的秩等于矩阵（A，B）=（a1，…，am，b1，…，bl）的秩，即R（A）= R（A，B）.5.推论向量组A：a1，a2，…，a m 与向量组B：b1，b2，…，bl 等价的充分必要条件是R（A）= R（B）= R（A，B），其中A 和B 是向量组A 和B 所构成的矩阵.6.定理3设向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A：a1，a2，…，am 线性表示，则R（b1，b2，…，bl）≤R(a 1，a 2，…，a m）.7.上述各定理之间的对应，其基础是向量组与矩阵的对应，从而有下述对应：向量组B：b1，b2，…，bl 能由向量组A：a1，a2，…，a m 线性表示⇔有矩阵K，使B = A K⇔方程A X = B 有解.4.2 向量组的线性相关性1.定义4给定向量组A：a1，a2，…，am 如果存在不全为零的数k1，k2，…，km，使k1 a 1 + k 2 a 2 + …+ k m a m = 0，则称向量组A 是线性相关的，否则称它线性无关.2.定理4向量组A：a1，a2，…，a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A =（a1，a2，…，a m）的秩小于向量个数m；向量组A 线性无关的充分必要条件是R（A）= m.3.定理5（1）若向量组A：a1，…，am 线性相关，则向量组B：a1，…，am，am +1也线性相关.反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.（2）m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关.特别地n+1 个n 维向量一定线性相关.（3）设向量组A：a1，a2，…，a m 线性无关，而向量组B：a1，…，a m，b 线性相关，则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表示式是惟一的.4.3向量组的秩1.定义5设有向量组A，如果在A 中能选出r + 向量a1，a2，…，ar，满足（i）向量组A0：a1，a2，…，ar 线性无关；（ii）向量组A 中任意r+1 个向量（如果A 中有r+1 个向量的话）都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称量大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A 的秩，记作RA.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.2.推论（最大无关组的等价定义）设向量组A0：a1，a2，…，ar是向量组A 的一个部分组，且满足（i）向量组A0 线性无关；（ii）向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示，那么向量组A0 便是向量组A 的一个最大无关组.3.定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.4.定理2′向量组b1，b2，…，bl 能由向量组a1，a2，…，a m 线性表示的充分必要条件是R（a1，a2，…，a m）= R（a1，…，a m，b1，…，bl）.5.定理3′若向量组B 能由向量组A 线性表示，则R B ≤RA.4.4 线性方程组的解的结构1.（1）n 个未知数的齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R（A）＜n.（2）n 个未知数的非齐次线性方程组Ax = b 有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵B 的秩，且当R（A）= R（B）= n 时方程组有惟一解，当R（A）= R（B）= r＜n 时方程组有无限多个解.2.性质1 若x =ξ1，x =ξ2 为向量方程（2）的解，则x =ξ1 +ξ2 也是向量方程（2）的解.3.性质2若x =ξ1 为向量方程（2）的解，k 为实数，则x = kξ1 也是向量方程（2）的解.4.定理7 设m×n 矩阵A 的秩R（A）= r，则n 元齐次线性方程组Ax = 0的解集S 的秩R S = n-r.5.性质3设x =η1 及x =η2 都是向量A x = b的解，则x =η1-η2 为对应的齐次线性方程组A x = 0的解.6.性质4设x =η是A x = b的解，x =ξ是A x = 0 的解，则x =ξ+η仍是A x = b的解.4.5 向量空间1.定义6设V 为n 维向量的集合，如果集合V非空，且集合V 对于向量的加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间.所谓封闭，是指在集合V 中可以进行向量的加法及数乘两种运算.具体地说，就是：若a∈V，b∈V，则a+b∈V；若a∈V，λ∈R，则λa∈V.2.定义7设有向量空间V1 及V2，若就称V1 是V2 的子空间.3.定义8设V 为向量空间，如果r个向量a1，a2，…，ar∈V，且满足（i）a1，a2，…，ar 线性无关；（ii）V中任一向量都可由a1，a2，…，ar 线性表示，那么，向量组a1，a2，…，ar 就称为向量空间V 的一个基，r称为向量空间V 的维数，并称V为r维向量空间.如果向量空间V 没有基，那么V 的维数为0. 0 维向量空间只含一个零向量0.若把向量空间V看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，V 的基就是向量组的最大无关组，V 的维数就是向量组的秩.4.定义9 如果在向量空间V 中取定一个基a1，a2，…，ar，那么V 中任一向量x 可惟一地表示为x =λ1 a 1 +λ2 a 2 + …+λr a r，数组λ1，λ2，…，λr 称为向量x 在基a1，a2，…，ar 中的坐标.特别地，在n 维向量空间R n 中取单位坐标向量组e1，e2，…，en 为基，则以x1，x2，…，xn 为分量的向量x，可表示为x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + …+ x n e n ，可见向量在基e1，e2，…，en 中的坐标就是该向量的分量.因此，e1，e2，…，en 叫做R n中的自然基.。
数学一线代知识点
考研数学一《线性代数》知识点总结第一部分行列式一、本部分内容重点1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
2．会用行列式的性质和行列式按行（列）展开法则计算行列式。
二、考点分析1．行列式是基础，它与后续要学的内容——方阵构成的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都有重要应用。
所以必须要弄清楚行列式在处理有关问题中的功能与作用，熟练掌握行列式的性质和计算方法，为应用行列式处理有关问题打下良好的基础。
2．计算行列式的常用方法：1）用定义法计算行列式中含某一项的系数；2）应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）；3）将各行（列）加到某一行（列），提取公因式；4）按行（列）展开行列式——降阶法（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式法来计算行列式）。
5）逐行（列）相加减；6）拆项法——将一个行列式分成几个较简单的行列式进行计算；7）公式法——如对角行列式、范德蒙德行列式等；8）升阶法。
在实际计算过程中，常常将上述方法交替使用。
第二部分矩阵一、本部分内容重点1．理解矩阵的概念。
2．了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。
3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算律，了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式。
4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
6．了解分块矩阵及其运算。
二、考点分析1．矩阵的运算（含逆矩阵）是矩阵考试内容中的重点，其中，又以矩阵乘法和逆矩阵最为重要。
要掌握矩阵运算，除了要理解各种运算的定义外，还要熟练掌握各种运算的运算律和运算性质。
在作矩阵运算时，一般要先利用运算法则通过“字母”运算进行化简。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中一个重要的概念，对于矩阵运算和求解线性方程组等问题具有重要的应用价值。
本文将对行列式的性质及其在实际问题中的应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、行列式的定义和性质1. 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的标量，在实际运算中通常用大写字母表示。
对于一个n阶方阵A = (a_ij)，其行列式记作det(A)或|A|，其中a_ij代表矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 行列式的性质（1）行列互换性：如果交换矩阵的两行（列），行列式的值不变，即|A| = -|A' |，其中A'是A行列互换后的矩阵。
（2）行列式的倍乘性：如果矩阵A的某一行（列）的元素分别乘以同一常数k，那么行列式的值也相应地乘以k，即|kA|=k^n|A|。
（3）行列式的加性：如果有两个矩阵A和B，它们唯一的区别是其中某一行（列）不同，那么这两个行列式的和等于另一个行列式，即|A+B|=|A'|+|B|。
（4）行列式的三角形性质：如果矩阵A是一个上（下）三角矩阵，那么它的行列式等于对角线上各元素的乘积，即|A| = a_11 * a_22 * ... *a_nn。
二、行列式的应用1. 矩阵的逆行列式在求解矩阵的逆时起到关键作用。
如果一个n阶方阵A存在逆矩阵A^-1，那么有A * A^-1 = I，其中I是单位矩阵。
利用行列式的性质，我们可以通过求解行列式的值来判断矩阵是否可逆，即当|A| ≠ 0时，矩阵A可逆。
2. 线性方程组的求解行列式也可以应用于求解线性方程组。
对于一个有n个未知数和n 个方程的线性方程组，可以使用Cramer法则来求解，其中每个未知数的值等于其对应行列式除以总行列式的值，即x_i = |A_i| / |A|，其中A_i是将方程组中第i个未知数对应的列替换为方程组右侧的常数列得到的矩阵。
3. 矩阵的秩行列式还可以用于求解矩阵的秩。
矩阵的秩是一个衡量矩阵线性无关性的指标，它表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的向量个数。
线代_第1章行列式(知识点汇总)
对换改变排列的奇偶性
在排列中,将任意2个元素对调,
其余元素不动----对换
9
3.n 阶行列式
n阶行列式的定义
a11 a12 L
a21 a22 L
a1n
a2n
1
a a t 1 p1 2 p2
L
anpn
L L L L L L L
an1 an2 L ann
(1)t aq1 a1 q2 2 L aqnn
3
第1章行列式----知识结构
3.展开式：余子式Mij，代数余子式Aij ，
Aij 1 i j Mij
| A |
a A n
j1 kj kj
a A n
k 1 kj kj
a A n j1 ij kj
0(i
k)
a A n i 1 ik ij
0(k
j)
4.行列式计算：利用性质及展开定理
4
1.二阶与三阶行列式
二阶行列式： a11 a21
三阶行列式：
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
----大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆6序
全排列及逆序数(续)
逆序数: 一个排列中所有逆序的总数称为 此排列的逆序数. 排列的奇偶性
奇排列：逆序数为奇数的排列; 偶排列：逆序数为偶数的排列.
7
计算排列逆序数的方法
设P1P2…Pn是1,2,…,n这n个自然数的任一排 列，并规定由小到大为标准次序.
线性代数知识点及总结
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式1212n nλλλλλλ=，()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义记111212122212nn n n nna a a a a a D a a a =，112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，行列式TD 称为行列式D 的转置行列式。
性质1行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ，行列式变号。
推论如果行列式有两行〔列〕完全一样〔成比例〕，则此行列式为零。
性质3 行列式*一行〔列〕中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的*一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中*一行〔列〕所有元素为零，则=0D 。
性质4 假设行列式的*一列〔行〕的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222*********12i n i n i n i n n n ninnn n ninna aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的*一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。
而算得行列式的值。
4. 行列式按行〔列〕展开余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。
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2018考研数学线代重点：行列式知识点总结
行列式是线性代数的基础，行列式的计算方法掌握不好，将会影响很多题的解答。
在此给大家介绍行列式的计算方法，希望对大家的复习有所帮助。
行列式是线性代数的基础，行列式的计算方法掌握不好，将会影响很多题的解答。
在此给大家介绍行列式的计算方法，希望对大家的复习有所帮助。
行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能为更好的复习2016考研数学线性代数打好基础，大家切莫忽视。
（一）首先，行列式的性质要熟练掌握
性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行（列），行列式的值变号。
推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行（列）各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行（列）。
推论2若行列式有两行（列）元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）的元素，其余各行（列）与原行列式相同。
性质5将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行（列）展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：
定理1：n阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
（二）几种特殊行列式的值
（三）关于高级行列式的几种计算方法
在计算高阶行列式前，一般都要先利用行列式的性质将原行列式化简。
至于用哪几条性质、采用什么方法化简以及采用哪条途径来计算，要根据行列式的元素及其构成的特点而定，常用的方法有：提取公因子（数）法、其他所有行（列）都加到某一行（列）、箭头形行列式、递推公式法等。
抽象行列式的计算：
抽象行列式是指行列式中并没有给出具体的（数字或文字）元素，而这时的行列式常用矩阵或向量组的形式来标记，因此抽象行列式的计算往往要综合运用行列式的性质、矩阵或向量的运算性质，有些题还会用到行列式与矩阵特征值的关系。