高中数学导数讲义完整版

高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy ∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

一般地，a x b a x =∆+→∆)(lim 0，其中b a ,为常数。

特别，a a x =→∆0lim 。

二、练习1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时，(1)(1)s t s t+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.2．若/(1)2015f =，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= ，xf x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0= ， xf x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 。

三、导数如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即 )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f 。

注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 04.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

（2）.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(。

（3）.取极限，得导数/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 。

例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。

例2.已知函数x x y +=2 （1）求/y 。

（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。

四、练习与作业： 1.求下列函数的导数：（1）43-=x y ； （2）x y 21-= (3)x x y 1232-= (3)35x y -=2.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02==x x y ； （2）0,3102==x x y ；（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02-=-=x x x y .4.求下列函数的导数：（1）;14+=x y （2）210x y -=； （3）;323x x y -= （4）722+=x y 。

5.求函数x x y 22-=在－2,0，2处的导数。

作业1.若)(lim 0x f x →存在，则/)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿2.若2)(x x f =，则1)1()(lim 1--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.求下列函数的导数：（1）14020224+--=x x x y （2）432615423x x x x y --++= （3）)3)(12(23x x x y ++= （4）32)1()2(-+=x x y4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2571000)(x x x C ++=，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为1322++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是1232++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度.7.若曲线1232+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程. 8.在抛物线22x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？（1）与x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线.（3）与x 轴相交成45°角9.已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）过点A 的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程.10.在抛物线2x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线2a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2/1)1(x x-=）第一部分 函数求导一、导数定义1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。

（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。

函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。

3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式xx a x x e e a a a x x x x x n x c a xx x x n n 1n l ln 1g lo )(ln )(sin s co cos n si )(01='⋅='='⋅='-='='⋅='='- （2）法则：)()()()()())()(()()()()())()(()()())()((2x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f ⋅'-⋅'='⋅'+⋅'='⋅'+'='+ 二、例： （1）()324y xx=- （2）sin x y x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+ （5）()ln 2y x =+第二部分 复合函数的导数一、基本公式：如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且 (f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作 x y '=u y '•x u '二、例题： 例1求下列函数的导数x y23-= 4)31(1x y -=51x x y -= 例2求下列函数的导数 （1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +) (3) ()ln(ln(ln ))f x x =(4) 22()(32)sin 3f x x x x =-+三、求下函数的导数.1、（1）cos3xy = （2）21y x =- 2、(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3(4)y =(2x 3+x )23、(1)y =32)12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2) 4、⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．5、 (1) y =sin x 3+sin 33x ； （2）122sin -=x x y (3))2(log 2-x a (4))132ln(2++x x导数的应用一：求切线方程导数的几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）. 问题1：如何求解曲线的切线？求切线问题的基本步骤：找切点 求导数 得斜率 题1.求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程.练习1：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．练习2： 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 变式1:求曲线y=x 2过点(0,－1)的切线方程 变式2．已知曲线21y x =+(1)求曲线在点(1,2)P 处的切线方程；(2)求曲线过点(1,1)Q 的切线方程；变3：已知2()1f x x =-，求曲线()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？题2、在曲线31y x x =+-上求一点P ，使过点P 点的切线与直线47y x =-平行。