高中数学导数讲义完整版

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第一部分 导数的背景

一、导入新课 1. 瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (2

2

1gt s =,其中g 是重力加速度）.

2. 切线的斜率

问题2：P （1,1）是曲线2

x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

3. 边际成本

问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2

+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:

瞬时速度是平均速度

t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率x

y ∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本

q

C

∆∆当q ∆趋近于0时的极限.

三、练习与作业：

1. 某物体的运动方程为2

5)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线2

2x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522

+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.

4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2

t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线2

2

1x y =

在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742

+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.

第二部分 导数的概念

一、新课：

1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即x

y

∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

/

x x y =，即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/。 一般地，a x b a x =∆+→∆)(lim 0，其中b a ,为常数。特别，a a x =→∆0lim 。

二、练习

1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2s s t gt ==

若t ∆无限趋近于0时，

(1)(1)

s t s t

+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ）

A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度

B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度

C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度

D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.

2．若/

(1)2015f =，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= ，x

f x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，

x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0= ， x

f x f x ∆-∆+→∆)

1()21(lim 0= 。

三、导数

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/

x f ，从而构成了一个新的函数)(/

x f 。称这个函数)(/

x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/

y ，即 )(/

x f ＝/

y ＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)

()(lim

lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0

/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/

x f 在0x 处

的函数值，即0

/

x x y =＝)(0/x f 。所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f 。

注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。 2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分

3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/

x f ＝x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 0

4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

（2）.求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(。 （3）.取极限，得导数/

y ＝x

y x ∆∆→∆0lim 。

例1.求122

-=x y 在x ＝－3处的导数。

例2.已知函数x x y +=2 （1）求/y 。 （2）求函数x x y +=2

在x ＝2处的导数。

四、练习与作业： 1.求下列函数的导数：

（1）43-=x y ； （2）x y 21-= (3)x x y 1232-= (3)3

5x y -=

2.求函数12

+=x y 在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：

（1）2,02

==x x y ； （2）0,3

102

==

x x y ；

（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02

-=-=x x x y .

4.求下列函数的导数：

（1）;14+=x y （2）2

10x y -=； （3）;323

x x y -= （4）722

+=x y 。

5.求函数x x y 22

-=在－2,0，2处的导数。