声学基础答案

k = Tl 。 x0 (l − x0 )
（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 F = Tl ε ， x0 (l − x0 )
方向为竖直向下。
（2）振动频率为ω = K =
Tl
。
M
x0 (l − x0 )M m
（3）对 ω
分析可得，当 x0
=
l 2
时，系统的振动频率最低。
1-4 设有一长为 l 的细绳，它以张力T 固定在两端，如图所示。设在绳的 x0 位
速度和能量。
解：设振动位移 ε = ε a cos(ω0t − ϕ) ，
速度表达式为 v = −ω0ε a sin(ω0t − ϕ) 。
由于 ε t=0 = ε 0 ， v t=0 = 0 ，
代入上面两式计算可得：
ε = ε 0 cosω0t ；
v = −ω0ε 0 sin ω0t 。
振动能量 E
=
（1） 当这一质点被拉离平衡位置 ξ 时，它所受到的恢复平衡的力由何产
生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点 M m 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它
的振动频率应如何表示？
（答：
f0
=
1 2π
g ， g 为重力加速度） l
图 习题 1－2 解：（1）如右图所示，对 M m 作受力分析：它受重力 M m g ，方向竖直向下；受沿
dt
d 2ε dt 2
Baidu Nhomakorabea
= −ω 2 sin ωt − 2ω 2 sin 2ωt 。
令 dε = 0 ，得：ωt = 2kπ ± π 或ωt = 2kπ ± π ，
dt
3
经检验后得： t = 2kπ ± π 3 时，位移最大。 ω
令 d 2ε dt 2
= 0 ，得：
ωt = kπ 或ωt = 2kπ ± arccos(− 1) ， 4
置处悬有一质量为 M 的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有 M 时，绳子
向下产生静位移ξ0 以保持力的平衡，并假定 M 离平衡位置ξ0 的振动ξ 位移很小，
满足ξ <<ξ 0 条件。
图 习题 1－4 解：如右图所示，受力分析可得
2T cosθ = Mg
cosθ = ξ0 1l 2
⇒
4π l
ξ0
= Mg
又 ξ << ξ0 ，T ' ≈ T ，可得振动方程为
−2T
ξ0 +ξ l
= M dd2tξ2
2
即
M
d2 ξ dt2
+
4T l
ξ
= − 4T l
ξ0
= ∴ f = 1 4T l = 1 Mg 1 g 2π M 2π ξ0M 2π ξ0
1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为ξ0 ，初速度为零，试求其振动位移、
1 2
M mva2
=
1 2
M
mω
02ε
2 a
。
1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为ξ0 ，初速度为 v0 ，试求其振动位移、
速度、和能量。
解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 Km ，质量为 Mm ，
取正方向沿 x 轴，位移为ξ 。
则质点自由振动方程为
d2 ξ dt2
+ ω02ξ
= 0, （其中ω02
声学基础（南京大学出版社）
习题 1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 f ，质
量为 m ，求它的弹性系数。
解：由公式
fo
=
1 2π
K m 得： Mm
K m = (2πf )2 m
1-2 设有一质量 M m 用长为 l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，
如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：
=
Km Mm
,
）
解= 得 ξ ξa cos(ω0t −ϕ0 ),
v=
dξ = dt
ω0ξa sin(ω0t −ϕ0 + π ) =
ω0ξa
cos(ω0t
− ϕ0
+
π 2
)
当ξ
t=0 = ξ0 ， v
t=0
=
v0= 时， ξv00 =
ξa cosϕ0 ω0ξa cos(ϕ0
−
π 2
)
= ⇒ ξa ϕ0
所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样 表示？
图 习题 1-3
(2) 当外力去掉后，质量 M m 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应 如何表示？
(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？
解：首先对 M m 进行受力分析，见右图，
Fx = T
l − x0
−T
(l − x0 )2 + ε 2
x0 = 0 x02 + ε 2
经检验后得： t = 2kπ 时，速度最大。 ω
1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示
ξ = ξ1 cos(ωt + ϕ1) + ξ2 cos(ωt + ϕ2 )
（
ε
〈〈
x0
，∴ x02 + ε 2 ≈ x02 , (l − x0 )2 + ε 2 ≈ (l − x0 )2
。）
Fy = T
ε
+T
(l − x0 )2 + ε 2
ε x02 + ε 2
≈T ε +T ε l − x0 x0
= Tl ε x0 (l − x0 )
可见质量 M m 受力可等效为一个质点振动系统，质量 M = M m ，弹性系数
=
1 ω0
ω02ξ02 +
arctan v0 ω0ξ0
v02
质点振动位移为ξ = 1 ω0
ω02ξ
2 0
+
v02
cos(ω0t
−
arctan
v0 ω0ξ0
)
质点振动速度为 v
=ω02ξ
2 0
+
v02
cos(ω0t
− arctan
v0 ω0ξ0
+
π) 2
质点振动的能量= 为 E
12= M mva2
1 2
=
−M m
d2 ξ dt2
则
−Mm
d2 ξ dt2
ξ = M m g l
即
d2 ξ dt2
+
g l
ξ
= 0,
∴
ω02
=
g l
即
f0
=
1 2π
g, l
这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为 l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置 x0 处，挂着一质量
M m ，如图所示，试问：
(1) 当质量被垂直拉离平衡位置 ξ 时，它
Mm
(ω02ξ02
+
v02 )
1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠
加ξ = sin ωt + 1 sin 2ωt ，试问： 2
(1) 在什么时候位移最大？
(2) 在什么时候速度最大？
解：
ξ
=
sin
ωt
+
1 2
sin
2ωt
，
∴ dε = ω cosωt + ω cos 2ωt
绳方向的拉力T ，这两力的合力 F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆 动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ ，则 sinθ = ξ
l
受力分析可= 得： F
M= m g sinθ
ξ Mmg l
（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在 F 作用下在平衡位置附近产生摆
动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知： F