相互独立的变量华北科技学院协方差传播律习题三
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
（北P181,T3） 解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
《误差理论与测量平差基础》试卷A(2013)
精品文档安徽建筑工业学院试卷（试卷A）共 5 页第 1 页（201 2 ——201 3 学年第二学期）考试课程：误差理论与测量平差基础班级： 11测绘、11地信学号：姓名：注：1.请命题老师用黑色的墨水工整的书写，作图准确，以保证试卷字迹清晰。
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方差分析习题与答案完整版
方差分析习题与答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】统计学方差分析练习题与答案一、单项选择题1．在方差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异A 总离差B 组间误差C 抽样误差D 组内误差2．是（）A 组内平方和B 组间平方和C 总离差平方和D 因素B的离差平方和3．是（）A 组内平方和B 组间平方和C 总离差平方和D 总方差4．单因素方差分析中，计算F统计量，其分子与分母的自由度各为（）A r，nB r-n，n-rC r-1.n-rD n-r，r-1二、多项选择题1．应用方差分析的前提条件是（）A 各个总体报从正态分布B 各个总体均值相等C 各个总体具有相同的方差D 各个总体均值不等E 各个总体相互独立2．若检验统计量F= 近似等于1，说明（）A 组间方差中不包含系统因素的影响B 组内方差中不包含系统因素的影响C 组间方差中包含系统因素的影响D 方差分析中应拒绝原假设E方差分析中应接受原假设3．对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说法是对的（）A 其自由度为r-1B 反映的是随机因素的影响C 反映的是随机因素和系统因素的影响D 组内误差一定小于组间误差E 其自由度为n-r4．为研究溶液温度对液体植物的影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（）A 单因素方差分析B 双因素方差分析C 三因素方差分析D 单因素三水平方差分析E 双因素三水平方差分析三、填空题1．方差分析的目的是检验因变量y与自变量x是否，而实现这个目的的手段是通过的比较。
2．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间的关系是。
3．方差分析中的因变量是，自变量可以是，也可以是。
4．方差分析是通过对组间均值变异的分析研究判断多个是否相等的一种统计方法。
5．在试验设计中，把要考虑的那些可以控制的条件称为，把因素变化的多个等级状态称为。
协方差练习题
协方差练习题协方差是用来衡量两个变量之间相关性的统计量。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算协方差的情况。
下面将给出一些协方差的练习题，帮助读者加深对协方差概念的理解并提升计算能力。
练习一：计算协方差已知两个变量X和Y的取值如下：X: 10, 15, 20, 25, 30Y: 20, 25, 30, 35, 40请计算X和Y之间的协方差。
解答：首先，计算X和Y的平均值：X的平均值：(10 + 15 + 20 + 25 + 30) / 5 = 20Y的平均值：(20 + 25 + 30 + 35 + 40) / 5 = 30然后，计算每个数据点与平均值的差值，并求平方：X与平均值的差值的平方：(10 - 20)^2 = 100(15 - 20)^2 = 25(20 - 20)^2 = 0(25 - 20)^2 = 25(30 - 20)^2 = 100Y与平均值的差值的平方：(20 - 30)^2 = 100(25 - 30)^2 = 25(30 - 30)^2 = 0(35 - 30)^2 = 25(40 - 30)^2 = 100最后，将每个数据点与平均值的差值的平方相乘，并求和：(100 * 100) + (25 * 25) + (0 * 0) + (25 * 25) + (100 * 100) = 10,000 + 625 + 0 + 625 + 10,000 = 21,250最终，协方差的计算公式为：协方差= (∑(X - 平均值X) * (Y - 平均值Y)) / (n - 1)其中，n为数据点的个数。
练习二：协方差矩阵已知三个变量X、Y和Z的取值如下：X: 1, 2, 3, 4Y: 5, 6, 7, 8Z: 9, 10, 11, 12请计算X、Y和Z之间的协方差矩阵。
解答：首先，计算X、Y和Z的平均值：X的平均值：(1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5Y的平均值：(5 + 6 + 7 + 8) / 4 = 6.5Z的平均值：(9 + 10 + 11 + 12) / 4 = 10.5然后，计算每个数据点与平均值的差值，并求平方：X与平均值的差值的平方：(1 - 2.5)^2 = 2.25(2 - 2.5)^2 = 0.25(3 - 2.5)^2 = 0.25(4 - 2.5)^2 = 2.25Y与平均值的差值的平方：(5 - 6.5)^2 = 2.25(6 - 6.5)^2 = 0.25(7 - 6.5)^2 = 0.25(8 - 6.5)^2 = 2.25Z与平均值的差值的平方：(9 - 10.5)^2 = 2.25(10 - 10.5)^2 = 0.25(11 - 10.5)^2 = 0.25(12 - 10.5)^2 = 2.25最后，将每个数据点与平均值的差值的平方相乘，并求和，得到协方差矩阵：协方差矩阵 = [[2.25, 2.25, 2.25], [0.25, 0.25, 0.25], [0.25, 0.25, 0.25]]练习三：判断协方差的含义已知两个变量X和Y的协方差为正数，表示X和Y之间存在正相关关系。
概率论题答案
概率论题答案21. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为221,1,(,)0x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他， 则[(|)]E E X Y = 0 .2. 设随机变量X 服从二项分布,Y 服从泊松分布, 即()~4,0.5X B ,()~1πY , 0.5XY ρ=，则(21)-+=D Y X 3 .3. 设()cos sin ,()=+-∞<<+∞X t A at B at t 其中,A B 是相互独立的随机变量，其均值都是0，方差都是1，则{()}X t 的自相关函数为(,)X R s t =cos ()-a t s .4. 设电话总机在(0,]t 内接受到的电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，则3分钟内接到5次呼叫的概率为 538140λλ-e . 5.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即~(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 1 .6. 设随机过程{(),0}X t t ≤<+∞是实值均方可微过程，且其自相关函数为(,)5=X R s t st ，均值函数为()2=X m t t ，令()()dd Y tt X t =，则导数过程()Y t 的协方差函数(,)=Y B s t 1 .二.某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：(1) 在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2) 若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
3解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为λ的Poisson 过程。
(1) 在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102P N e e -⨯-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) 在开门半小时中无顾客到来可表示为102N ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，在未来半小时仍无顾客到来可表示为()1102N N ⎧⎫⎛⎫-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，从而所求概率为：()141221111100100022221102P N N N P N N N N P N N e e ⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()|()|()三.随机过程()()+∞<<∞-Φ+=t t A t X ,cos ω，其中 ω是常数， ,ΦA 是相互独立的随机变量，4,2==DA EA , Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。
方差分析习题答案
方差分析习题答案【篇一：方差分析习题】lass=txt>班级_______ 学号_______ 姓名________ 得分_________一、单项选择题1、方差分析所要研究的问题是（） a、各总体的方差是否相等 b、各样本数据之间是否有显著差异 c、分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 d、分类型因变量对数值型自变量是否显著2、组间误差是衡量因素的不同水平（不同总体）下各样本之间的误差，它（）a、只包含随机误差b、只包含系统误差c、既包含随机误差也包含系统误差d、有时包含随机误差，有时包含系统误差3、组内误差（） a、只包含随机误差b、只包含系统误差 c、既包含随机误差也包含系统误差d、有时包含随机误差，有时包含系统误差4、在单因素方差分析中，各次实验观察值应（）a、相互关联b、相互独立c、计量逐步精确d、方法逐步改进5、在单因素方差分析中，若因子的水平个数为k，全部观察值的个数为n，那么（）a、sst的自由度为n b 、ssa的自由度为k c、 sse的自由度为n-k-1 d、sst的自由度等于sse的自由度与ssa的自由度之和。
6、在方差分析中，如果拒绝原假设，则说明（）a、自变量对因变量有显著影响b、所检验的各总体均值之间全部相等c、不能认为自变量对因变量有显著影响d、所检验的各样本均值之间全不相等7、在单因素分析中，用于检验的统计量f的计算公式为（） a、ssa/sseb、ssa/sst c、msa/msed、mse/msa8、在单因素分析中，如果不能拒绝原假设，那么说明组间平方和ssa （） a、等于0 b、等于总平方和c、完全由抽样的随机误差所决定d、显著含有系统误差9、ssa自由度为（）a、r-1b、n-1c、n-rd、r-n二、实验分析题1、某公司采用四种颜色包装产品，为了检验不同包装方式的效果，抽样得到了一些数据并进行单因素方差分析实验。
实验依据四种包装方式将数据分为4组，每组有5个观察值，用excel中的数据分析工具，在0.05的显著水平下得到如下方差分析表：方差分析(1)填表：请计算表中序号标出的七处缺失值，并直接填在表上。
协方差矩阵例题
20 道协方差矩阵例题例题1已知随机变量X 和Y，X 的取值为1、2、3，对应的概率分别为0.2、0.5、0.3；Y 的取值为2、3、4，对应的概率分别为0.3、0.4、0.3。
求X 和Y 的协方差矩阵。
例题2有两个随机变量 A 和B，A 的取值为-1、0、1，对应概率为0.3、0.4、0.3；B 的取值为0、1、2，对应概率为0.4、0.4、0.2。
计算协方差矩阵。
例题3随机变量 C 和D，C 的取值为3、4、5，概率分别为0.2、0.5、0.3；D 的取值为4、5、6，概率分别为0.3、0.4、0.3。
求协方差矩阵。
例题4设随机变量 E 和F，E 的取值为2、4、6，对应概率为0.3、0.4、0.3；F 的取值为3、5、7，对应概率为0.2、0.5、0.3。
确定协方差矩阵。
例题5已知随机变量G 和H，G 的取值为 1.5、2.5、3.5，概率分别为0.3、0.4、0.3；H 的取值为2、3、4，概率分别为0.2、0.5、0.3。
求协方差矩阵。
例题6有随机变量I 和J，I 的取值为-2、0、2，概率为0.3、0.4、0.3；J 的取值为-1、1、3，概率为0.4、0.4、0.2。
计算协方差矩阵。
例题7随机变量K 和L，K 的取值为4、5、6，概率分别为0.2、0.5、0.3；L 的取值为5、6、7，概率分别为0.3、0.4、0.3。
求协方差矩阵。
例题8设随机变量M 和N，M 的取值为 3.5、4.5、5.5，对应概率为0.3、0.4、0.3；N 的取值为4、5、6，对应概率为0.2、0.5、0.3。
确定协方差矩阵。
例题9已知随机变量O 和P，O 的取值为 2.2、3.2、4.2，概率分别为0.3、0.4、0.3；P 的取值为3、4、5，概率分别为0.2、0.5、0.3。
求协方差矩阵。
例题10有随机变量Q 和R，Q 的取值为-3、-2、-1，概率为0.3、0.4、0.3；R 的取值为0、1、2，概率为0.4、0.4、0.2。
误差理论与测量平差基础习题集1
第一章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。
1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。
1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？第二章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？§2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。
第三章 协方差传播率
第三章 协方差传播律一、 公式汇编广义传播律T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ⎫=⎪=⎬⎪=⎭220022002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭独立观测值权倒数22211221111Z n nf f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭方差与协因数阵202020XX XX YY YY XY XYD Q D Q D Q σσσ===22022020i iij jj ji ijQ Q Q σσσσσσ===22100XX XX XX D Q P σσ-==权202i ip σσ=二、 解题指南1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式,XX X D2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==全微分写成矩阵形式：dZ KdX =3应用协方差传播律求方差或协方差阵。
T ZZ XX D KD K =三、 例题讲解在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：123ˆ4010'30"ˆˆ5005'20"ˆ8944'10"L L L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 解：1.观测量 及其方差123ˆˆˆˆL L L L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 2.写出函数式12033ˆˆsin sin ˆˆsin sin a b L L S S S S LL==线性化01323ˆˆln ln ln sin ln sin ˆˆln ln ln sin ln sin a bS S L L S S LL =+-=+-11332233ˆˆˆˆcot cot ˆˆˆˆcot cot a a a bbbdS S L dL S L dL dS S L dL S L dL=-=-123ˆˆˆ,,LL L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss写成矩阵形式1133233ˆˆˆcot 0cot ˆˆˆ0cot cot ˆa a a b b b dLdS S L S L dS dL dS S L S L dL ⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1313233ˆˆcot cot ˆ0ˆˆˆcot cot ˆ0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρρ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦133ˆ1146041ˆˆ09625ˆdL dL KdL dL ρ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.应用协方差传播律求方差或协方差阵263311460114604136309620962533645Dss ρ--⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦21.860.770.77 1.32Dss cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦四、练习题1. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =。
桂林理工大学《误差理论与测量平差基础》考试试卷(含参考答案)
桂林理工大学《误差理论与测量平差基础》考试试卷一、名词解释1.观测条件2.偶然误差3.精确度4.多余观测5.权6.权函数式7.相对误差椭圆8.无偏性二、填空题1.观测误差包括偶然误差、、。
2.偶然误差服从分布，其图形越陡峭，则方差越。
3.独立观测值L1和L2的协方差为。
4.条件平差的多余观测数为减去。
5.间接平差的未知参数协因数阵由计算得到。
6.观测值的权与精度成关系，权越大，则中误差越。
7. 中点多边形有个极条件和个圆周条件。
8. 列立测边网的条件式时，需要确定与边长改正数的关系式。
9. 秩亏水准网的秩亏数为 个 。
三、 问答题1. 写出协方差传播律的应用步骤。
2. 由最小二乘原理估计的参数具有哪些性质？3. 条件平差在列立条件式时应注意什么？什么情况下会变为附有参数的条件平差？4. 如何利用误差椭圆求待定点与已知点之间的边长中误差？5. 为什么在方向观测值的误差方程式里面有测站定向角参数？6. 秩亏测角网的秩亏数是多少？为什么？7. 什么是测量的双观测值？举2个例子说明。
8. 方向观测值的误差方程式有何特点？四、 综合题1. 下列各式中的Li （i=1,2,3）均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差：(1) 321)(21L L L X ++= ，(2)321L L L X =。
2. 如图1示，水准网中A,B,C 为已知高程点，P1,P2,P3为待定点，h1～h6为高差观测值，按条件平差方法，试求： （1） 全部条件式； （2） 平差后P2点高程的权函数式。
3. 如图2示，测边网中A,B,C 为已知点，P 为未知点，观测边长为L1～L3，设P 点坐标P X 、P Y 为参数，按间接平差方法，试求： （1） 列出误差方程式； （2） 按矩阵符号写出法方程及求解参数平差值的公式； （3） 平差后AP 边长的权函数式。
4. 在条件平差中，0=+∆WA ，试证明估计量^L 为其真值~L 的无偏估计。
协方差传播律
协方差传播律协方差传播律指的是在多变量情况下怎么计算协方差。
协方差是衡量两个变量之间关系的统计度量，我们可以通过协方差矩阵分析多个变量之间的相互作用。
在多变量情况下，协方差传播律有很重要的作用，因为很多时候我们需要计算多个变量之间的协方差。
以下是协方差传播律的具体解释：假设有一个由多个变量组成的向量x，对应一个方差-协方差矩阵S，而且还有一个由x组成的函数y = f(x)，那么y对应的方差、协方差矩阵可以通过以下方式计算：Var(y) = J*S*J'，Cov(y) = J*S其中，J是一个m×n的Jacobian矩阵，m是y的维度，n是x的维度。
J由y对x每个元素的一阶偏导数组成。
这些公式可能看起来比较复杂，但实际上非常简单。
举个例子，如果我们有两个变量x和y，它们之间有一个函数z = x + y，那么z 的协方差矩阵可以通过以下方式求解：⎡ Var(x) Cov(x,y) ⎡⎡⎡⎡ Cov(y,x) Var(y) ⎡其中Var(x)是x的方差，Var(y)是y的方差，Cov(x,y)和Cov(y,x)是x和y之间的协方差。
在实际应用中，协方差传播律可以帮助我们解决很多问题。
比如，假设我们有一个模型，它包含多个变量，我们想要在这个模型的基础上进行优化，那么我们需要知道每个变量对模型的影响。
这时协方差传播律就派上用场了。
我们可以利用这个公式计算每个变量的方差和协方差，从而分析出它们对模型的重要性，并确定优化方向。
总之，协方差传播律是多变量统计分析中不可或缺的工具，通过它，我们可以更加深入地了解变量之间的相互作用，进一步优化我们的统计分析和预测模型。
概率统计练习册习题解答(定)【精选】
习题 1-1样本空间与随机事件1．选择题（ 1）设A, B,C为三个事件，则“A, B, C中起码有一个不发生”这一事件可表示为（ D ）（A）AB AC BC （B）A B C （C）ABC ABC ABC （D） A B C （ 2）设三个元件的寿命分别为T1 ,T2 ,T3，并联成一个系统，则只需有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超出t ”可表示为（ D ）A T T T tB TT T tC min T ,T ,T tD max T , T ,T t1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32．用会合的形式表示以下随机试验的样本空间与随机事件 A ：（ 1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件 A 表示“点数之和大于 10”。
解：＝ 3，4，5， ,18 ； A＝11,12, ,18。
（ 2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件 A 表示“射击次数不超出 5 次”。
解：＝ 1，2，3，； A＝ 1，2，3，4，5 。
（ 3）车工生产精细轴干，其长度的规格限是15± 0.3 。
现抽查一轴干丈量其长度，事件 A 表示丈量长度与规格的偏差不超出0.1。
解：＝ x; x -15 0.3 ； A＝ x; x -15 0.1 。
3．设 A ，B ， C 为三个事件，用 A ， B， C 的运算关系表示以下各事件：（1）A ，B，C 都发生：解：ABC；（2）A ，B，C 都不发生：解：A BC（3）A 发生， B 与 C 不发生：解：ABC（或A－B－C）；（ 4） A ， B， C 中起码有一个发生：解：AB C（ 5） A ， B， C 中不多于两个发生：解：AB C ；4．设某工人连续生产了 4 个部件，A i表示他生产的第i 个部件是正品（ i 1,2,3,4 ），试用A i表示以下各事件：（ 1）只有一个是次品；A1A 2A3A4 A 1 A 2A3A4A1A2A3A4 A1A2A3A4（ 2）起码有一个次品；A1 A2 A 3 A 4（ 3）恰巧有两个是次品；A1A2A3 A4 A1A2A3 A4 A1A2A3A4 A1A 2 A3A 4 A1A2 A3A 4 A1A2A3A4（ 4）至多有三个不是次品；A1 A2 A3 A 4。
方差分析思考与练习带答案
第九章方差分析【思考与练习】一、思考题1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS、、各表示什么含义？总组间组内3. 什么是交互效应？请举例说明。
4. 重复测量资料具有何种特点？5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？二、最佳选择题1. 方差分析的基本思想为A. 组间均方大于组内均方B. 误差均方必然小于组间均方C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源D. 组内方差显着大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显着E. 组间方差显着大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显着3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是4. 总的方差分析结果有P<，则结论应为A. 各样本均数全相等B. 各总体均数全相等C. 各样本均数不全相等D. 各总体均数全不相等E. 至少有两个总体均数不等5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差D. SS SS SS SS =++B A 总误差E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析 B. 随机区组设计的方差分析 C. 完全随机设计的方差分析D. 重复测量设计的方差分析E. 两阶段交叉设计的方差分析8. 某研究者在4种不同温度下分别独立地重复10次试验，共测得某定量指标的数据40个，若采用完全随机设计方差分析进行统计处理，其组间自由度是 A. 39 B. 36 C. 26 D. 9E.39. 采用单因素方差分析比较五个总体均数得0.05P ，若需进一步了解其中一个对照组和其它四个试验组总体均数有无差异，可选用的检验方法是A. Z检验B. t检验C. Dunnett–t检验D. SNK–q检验E. Levene检验三、综合分析题1. 某医生研究不同方案治疗缺铁性贫血的效果，将36名缺铁性贫血患者随机等分为3组，分别给予一般疗法、一般疗法+药物A低剂量，一般疗法+药物A高剂量三种处理，测量一个月后患者红细胞的升高数(102/L)，结果如表9-1所示。
第5章方差分析习题解答
yij , i = 1, 2, L , r , j = 1, 2, L , t .对 ( yij ) r×t 的偏差有分解：
SST = ∑∑ ( yij − y ) = ∑∑ ( yij − yi⋅ ) 2 + ∑ t ( yi⋅ − y )2 = ˆ SS E + SS A
i =1 j =1 i =1 j =1 i =1
次试验后， 对结果进行双因子有重复试验的方差分析， 则以下关于各偏差平方和自由度的结 论错误的是( D ).
A. A 因子的偏差平方和 SS A 的自由度为
.
B. B 因子的偏差平方和 SS B 的自由度为
.
C. 交互作用的偏差平方和 SS A× B 的自由度为 ( r − 1)( s − 1) .
F 16.2 44.4
P-value 0.000569 1.02E-05
F crit 3.8625 3.8625
20．为了分析时段、路段以及时段与路段的交互作用对行车时间的影响，某市一名交 通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期驾车试验，共获得 20 个行车时间数据，得到实 验结果如下表所示．在显著水平α=0.05 下，由于 时段因素对行车时间的影响 显著
3
D. 误差平方和 SS E 的自由度为 ( r − 1)( s − 1)(t − 1) . 二．填空题 9. 进行单因素方差分析的前提之一是要求表示 r 个水平的 r 个总体的方差 10. 进行方差分析时， 将离差平方和 SST = 相等 ．
∑∑ ( X
i =1 j =1 r ni i =1 j =1 ni
5
FA× B = 0.831 < F0.05 (6,12) = 3.00
不显著
（显著，不显著） ．
《相互独立的随机变量》习题
相互独立的随机变量一、填空题1.设随机变量X 与Y 相互独立，其联合分布律为 则a=______,b=______,c=______。
2. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为则______}{_____,}{=>==Y X P Y X P 。
3. 设随机变量),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则X 与Y 相互独立的充要条件是。
4. 设随机变量X 与Y 相互独立，则它们的函数X e 与Y sin （用`是`或`不是`填空）相互独立的随机变量。
二、选择题1．如下二维随机变量),(Y X 的分布律或密度函数给出，则X 与Y 不相互独立的是（ ）。
A 、B 、C 、联合密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=，其它0,50,21,51),(y x y x f ； D 、联合密度⎩⎨⎧≤≤≤≤+=，其它0,10,10,),(y x y x y x f2. 设二维连续型随机变量),(Y X 服从区域D 上均匀分布，其中}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，则A 、),(Y X 落入第一象限的概率为0.5；B 、Y X ,都不服从一维均匀分布；C 、Y X ,相互独立；D 、Y X ,不相互独立。
三、已知二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=，其它。
0,1,0,6),(2y x xy y x f 1、判断X 与Y 是否相互独立； 2、判断X tan 与Y e 21-是否相互独立。
四、已知二维随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=，其它。
0,10,)(),(x y y x c y x f 1、求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ； 2、判断X 与Y 是否相互独立。
五、设随机变量X 与Y 相互独立，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其它。
0,0,21)(21y e y f y Y1、 求X 和Y 的联合密度函数；2、 设含有a 的二次方程022=++Y Xa a ，试求a 有实根的概率。
概率论与数理统计——3
概率论与数理统计——3.4 相互独立的随机变量
你的学号： [填空题]
_________________________________
1. 若X与Y相互独立，X~U(0, 1), Y~U(0, 2)，则以下结果错误的是 [单选题] *
A. (X,Y)的联合概率密度为
B. (X,Y)的分布函数值F(0.5,1)=0.25
C. P(X+Y>1)>0.5
D. P(X+Y>1)=0.5(正确答案)
2. 设二元连续型随机变量 (X,Y )的概率密度为f (x,y)，若平面上存在一点 (x0,y0)，使，则随机变量X与Y一定不独立. [单选题] *
对
错(正确答案)
3. 若(X,Y)的联合概率密度为，则X与Y相互独立. [单选题] *
对
错(正确答案)
4. (X,Y)是二元离散型随机变量，若存在某x i 与y i，使
，则随机变量X与Y一定独立. [单选题] *
对
错(正确答案)
5. 设随机变量(X, Y)的分布函数为F(x,y)，若对平面的某一点 (x0, y0)，有
, 则随机变量X与Y不独立. [单选题] *
对(正确答案)
错。
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提示：按协方差传播律，首先找系数K（若非线性首先进 行线性化），按公式计算。
协因数可以按求得的协方差阵求，亦可以按照协因数传 播律（根据已知的协方差阵求得协因数阵再按公式求）
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协方差传播律习题
2 已知观测向量L的权阵为
P
3 1
1 3
试求观测值L1， L2的权及协因数
解: 由权阵与协因数阵的关系式得观测值向量L的协
-2 4 -2
1
-2
5
（2）设L'=[L1 L2]T，求PL'L'
1）求是否独立，只要看Q或者D是否为对角阵。 2）求权阵只有求得Q阵，逆阵即为权阵。
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4、 单一三角形的三个观测角 L1、L2和L3的协因数阵
QLL=I ， 现 将 三 角 形 闭 合 差 平 均 分 配 到 各 角 ，
点，观测高差h1和h2以求P点的高程。设h1和h2的 中误差分别为σ1和σ2，且已知σ1=2σ2，单位权 中误差σ0=σ2。若要求P点高程的中误差σp=2mm， 那么，观测精度σ1和σ2的值各应是多少？
提示加权平均求中误差
A
h1
h2 B
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协方差传播律习题
6、设分5段测定AB两水准点间的高差，每段各测两次，其
7、 如图所示导线, A为已知点，α0为AB方向的 方位角， β为观测角，其方差为4.0(″)2，观测边 长S为600.00 m，其方差为0.5cm2， 试求C点的点 位方差。
（1）、列函数式， 由图知:
XC X A S cos
0
,
YC YA S sin
i 1
2n
92.5 3.0mm 10
(2) 2 公里
1 3.0 3.2 5.4mm p2
(3), 2 3.8mm
L2
2
5
(4),全 公里 Si 11.7mm, 全长高差平均值中误差
i=1
全 8.3mm
L全
2
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协方差传播律习题
得 Lˆ i Li
（1）试求W
、
W Lˆ31
，式中W=L1+L2+L3-180,
、Lˆ 2 和 Lˆ 3的权；
（2）W与 Lˆ [Lˆ 1 Lˆ 2 Lˆ 3]T是否相关？试证明之。
1）可根据协因数传播律求得闭合差值的协
因数阵。
2)求QＷＬ。
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5、有一水准路线如图3所示。图中A、B点为已知
总结
协方差传播律 权、协因数 协因数传播律 利用真误差求中误差
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一、协方差传播
Z K X K Y F X F 0 0 t,1 t,n t,1
t,1 r ,1
r ,n n,1
r ,1
DZZ = K DXX KT
DYY F DXX FT
r ,1
r,n n,n
L2
1 p2
…
f Ln
2
1 pn
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三、利用真误差求中误差
同精度独立观测， 0
lim
n
ii
n
不同精度
2 0
lim
n
pi i i n
三角形闭合差计算测角中误差 ˆ WW
3n
利用双观测计算单位权中误差
n,r
DYZ
rt
F
rn
DXX
nn
KT nt
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一、协方差传播
非线性 Z = f ( X ) = f ( X1，X2，… ，Xn )
全微分
dZ
f X1
0
dX1
f X 2
0
dX 2
f X n
0
dX n
0
（2）、线性化
B
C
dX C
cos
0
dS
S
sin
0
d
dYC
sin
0
dS
S
cos
0
d
β S
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（3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式
2 cos2
2 S 2 sin2
因数阵:
P Q
1
3 1
1 1 3
1 8
3 1
1
3
再由权与协因数的关系式得:
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P P Q 1 8 3
1
2
ii
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3、设有观测向量L=[L1 L2 L3]T，其权阵为 试问（1）L中各观测值是否相互独立？ PLL
1 8
5 -2 1
0
[ pdd ] 2n
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1、已知观测值向量L的协方差阵为
DLL
3 0
0 -1
4
1
-1 1 2
单
位
权
方
差
2 0
2
。现有函数
φ1=L1L2，
φ2=2L1-L3，试求Dφ1，Dφ2、D φ1 φ2以及
Q φ1、Q φ1和Q φ1 φ2。
结果列于下表中，求（1），每公里观测高差的中误差；（
2）第二段观测高差的中误差；（3）第二段高差的平均值
的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误
差及全长高差平均值的中误差。
段号 Li
高差 li'
di=li-li'
di*d
i
S(km)
pididi=didi/s
i
1 3.248 3.24
8 64 4
16
2 0.348 0.356
-8 64 3.2
20
3 1.444 1.437
7 49 2
24.5
4 -3.36 -3.352
-8 64 2.6
24.6
5 -3.699 -3.704
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5 25 3.4
7.4
15.2
92.5
Hale Waihona Puke 协方差传播律习题 单位权中误差
(1). 0 公里
n
pi di 2
σ
2 0
协因数传播律
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Q FQ FT
Y
X
Q Q K Z
X
K
T
Q FQ KT
YZ
X
Q Q K ZY
FT
X
协方差传播律习题
二、权、协因数及协因数传播
权倒数传播律 （相互独立的变量）
Q
ZZ
1 pZ
2
f
L1
1 p1
2
f
dZ
KdX
f X1
0
dX1
f X 2
0
dX 2
f X n
0
dX n
华北科技学院 DZZ = KDXXKT
协方差传播律习题
二、权、协因数及协因数传播
P=1/Q
权阵 协因数阵 P=Q-1 （P为对角阵时， P=1/Q）
Q=D/