北师大版八年级下数学期末复习压轴题

期末复习压轴题

2011福建厦门，25）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，

AE=1

3

AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA

运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

31.（2011四川达州，20，6分）如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF．

（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）

（2）将△DEF沿直线m向左平移到图（2）的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG．猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合？请证明你的猜想．

5、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如

图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，

然后证明你的猜想；

A

B

E

F

G

图2

D

A

B

C

D

E F

G

图3

A

B

F G

图1

E

B

C

A

（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

2、图1是边长分别为a 和b （a ＞b ）的两个等边三角形纸片ABC 和C ′DE 叠放在一起（C 与C ′重合）的图形．

（1）操作：固定△ABC ，将△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连结AD ，BE ，如图2；在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． （2）操作：若将图1中的△C ′DE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度

，连结AD ，

BE ，如图3；在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．

（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？

当为多少度时，线段AD 的长度最小？是多少？（不要求证明）

A

D

E

A

25．如图1，在△ACB 和△AED 中，AC =BC ，AE =DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°,点E 在AB

上， F 是线段BD 的中点，连结CE 、FE .

（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边

图2

B

D

C

F E Ｇ

A

AC 在同一条直线上（如图2），连结BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否

仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD ，取BD 的

中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

图1

图2

F C C

B

D B

E

F E

D

A

图3

E

A

A

F

C

D

25．解：（1）线段CE 与FE 之间的数量关系是

CE ．…………………………………2分

（2）（1）中的结论仍然成立．

如图2，连结CF ，延长EF 交CB 于点G ． ∵90,ACB AED ∠=∠=︒ ∴ DE ∥BC ． ∴∠EDF =∠GBF ．

又∵EFD GFB ∠=∠，DF =BF ， ∴ △EDF ≌△GBF ． ∴ EF =GF ，BG ＝DE ＝AE ． ∵ AC =BC ， ∴ CE =CG ．

∴∠EFC =90°，CF =EF ． ∴ △CEF 为等腰直角三角形．

B

Ｐ

Ｍ

Ｎ

D

C E

A

图3

F ∴∠CEF =45°．

∴CE

……………………………………………………………………5分 （3）（1）中的结论仍然成立．

如图3，取AD 的中点M ,连结EM ，MF ,取AB 的中点N ,连结FN ，CN ，CF ． ∵DF =BF ， ∴1

//,.2

FM AB FM AB =

且 ∵AE =DE ，∠AED =90°, ∴AM =EM ，∠AME =90°. ∵CA =CB ,∠ACB =90°,

∴12CN AN AB ==，∠ANC =90°.

∴//MF AN ，FM =AN =CN . ∴四边形MFNA 为平行四边形. ∴FN =AM =EM ，∠AMF =∠FNA . ∴∠EMF =∠FNC . ∴△EMF ≌△FNC . ∴FE = CF ，∠EFM =∠FCN .

由//MF AN ，∠ANC =90°，可得∠CPF =90°. ∴∠FCN ＋∠PFC =90°. ∴∠EFM ＋∠PFC =90°. ∴∠EFC =90°.

∴ △CEF 为等腰直角三角形． ∴∠CEF =45°.