椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时 椭圆的简单几何性质

题型分类 深度解析考点一

椭圆的性质

考点一 椭圆的性质

【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63

B.33

C.23

D.13

(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4

5，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，32 B.⎝⎛⎦

⎤0，34

C.⎣⎢

⎡⎭

⎪⎫32，1

D.⎣⎡⎭

⎫3

4，1

解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2

＝a ，整理为a 2＝3b 2

，即b a ＝13. ∴e ＝c

a ＝a 2－

b 2a ＝

1－⎝⎛⎭

⎫b a 2

＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥4

5，∴1≤b <2.

离心率e ＝c

a ＝

c 2a 2＝

a 2－

b 2a 2＝

4－b 24∈⎝

⎛⎦⎥⎤

0，32. 答案 (1)A (2)A

规律方法 求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的

方程(或不等式)求解.

【变式练习1】 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13

B.12

C.23

D.34

(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________. 解析 (1)设M (－

c ，m )，则E ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，

则D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，

所以m 2（a －c ）＝m

a ＋c ，

所以a ＝3c ，所以e ＝1

3.

(2)由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2

a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b

2

a .因为AB 平行于y 轴，

且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－b

2

2a ，

又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·k F 1B ＝－1，即b 2a －⎝⎛⎭⎫－

b 22a

c －0×－b 2

a －0

c －（－c ）＝－1，整理得3b 2＝2ac ，

所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a 且0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝3

3(e ＝－3舍去).

答案 (1)A (2)

33

考点二 椭圆性质的应用

【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1

2，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2

3＝1 B.x 28＋y 2

6＝1 C.x 22＋y 2

＝1

D.x 24＋y 2

＝1

(2)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→

＋PF 2→

|的最小值是( ) A.0

B.1

C.2

D.2 2

解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以

c ＝1，又离心率e ＝c a ＝1

2，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1，故选A.

(2)椭圆的标准方程为x 22＋y 2

＝1，因为原点O 是线段F 1F 2的中点，所以PF 1→＋PF 2→＝2PO →，

即|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →

|＝2|PO |，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO |的最小值为b ＝1，所以|PF 1→＋PF 2→

|的最小值为2. 答案 (1)A (2)C

规律方法 利用椭圆几何性质的注意点及技巧

(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 【变式练习2】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1

B. 2

C.2

D.2 2

(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)

D.(0，3]∪[4，＋∞)

解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大， 所以12×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝2 2 (当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.