现代控制理论：控制系统的状态空间表达式

写成矩阵形式
x1 x2
0
1
L
1
C R
x1 x2
0 1
L
u
L
y 1
0
x1 x2
以上方程可表为形如
x Ax Bu y Cx Du
1.1 状态空间及状态空间表达式
动态系统的结构
u1
x1
u2
x2
动力学部件
ur
xn
y1
输出部件
y2
ym
连续时间线性系统的状态空间描述
– 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描 述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观 测的部分。
– 内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完 全反映系统的所有动力学特性。
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 状态空间描述常用的基本概念
• 输入：外部对系统的作用(激励)，输入
包括控制输入和干扰输入。
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t )
x
D(t)u
1.1 状态空间及状态空间表达式
x Ax Bu y Cx Du
状态方程 输出方程
• x n维状态矢量 • u r维输入(或控制)矢量 • y m维输出矢量 • A nxn系统矩阵 • B nxr输入(或控制)矩阵 • C mxn输出矩阵 • D mxr直接传递矩阵
• 线性系统的状态空间表达式
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程 组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运 动方程），包括
– 状态方程 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ述状态变量与输入之间的关系 – 输出方程 描述输出与状态变量之间的关系
1.1 状态空间及状态空间表达式
如图所示RLC的电路
RL
根据回路电压定律
u(t)
i(t) C uc(t)
• 输出：系统的被控量或从外部测量到的
系统信息。 若输出是由传感器测量得到的，又称为
观测。
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 状态变量:
一个动力学系统的状态变量组定义为：能完全表 征其时间域行为的一个最小内部变量组
• 状态矢量：
一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组
x1(t), x2 (t),, xn (t)
1.1 状态空间及状态空间表达式
几点解释
(1) 状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 (t0 ), , xn (t0 )
和t ≥ t0 各时刻的任意输入变量组
u1(t), u2 (t),, ur (t)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动 行为也就随之而完全确定
所组成的一个列向量
x1(t)
x(t)
x2
(t
)
xn
(t
)
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 状态空间：
状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间 的维数等同于状态的维数
• 状态轨线：
系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是 一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化， 并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称 为状态轨线或状态轨迹。
Ri(t)
L
di(t) dt
uc
(t)
u(t)
C duC (t) i(t) dt
duC (t) 1 i(t) dt C
di(t) dt
1 L
uc (t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
1.1 状态空间及状态空间表达式
uC
(t)
1 C
i(t)
i(t)
1 L
uc (t)
R L
i(t)
1 L
u(t)
令状态变量 x1=uc，x2=i，系统输出 y=uc=x1
1.3 状态空间表达式的建立
• 1.3.2 从系统结构图建立状态空间表达式
u
1
x
s
u
x
x u
u
K
x
u
K/T
x
u
x
Ts+1
s+1/T
x 1 x K u TT
1.3 状态空间表达式的建立
u
s+z
y
s+p
u
zp
s+p
y
u zp
xy
p
x px (z p)u
y
x
u
1.3 状态空间表达式的建立
Y (s) U (s)
sn
bn1sn1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要 由两个数学方程表征—— 状态方程
输出方程
u1
y1
u2
x1, x2,, xn
y2
ur
ym
系统动态过程的两类数学描述
• 外部描述和内部描述的比较
1.1 状态空间及状态空间表达式
• 连续时间线性系统的方框图
x Ax Bu y Cx Du
D
u
x
x
B
C
y
A
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 一阶标量微分方程
x ax bu
y cx
u
x
x
y
b
c
a
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 三阶系统微分方程
x a2x a1x a0x bu x a2x a1x a0x bu
1.1 状态空间及状态空间表达式
(2) 状态变量组最小性的物理特征 (3) 状态变量组最小性的数学特征 (4) 状态变量组的不唯一性 (5) 系统任意两个状态变量组之间的关系 (6) 有穷维系统和无穷维系统 (7) 状态空间的属性
状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn
1.1 状态空间及状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
系统动态过程的两类数学描述
• 系统的外部描述
外部描述常被称作输出—输入描述
例如，对SISO线性定常系统 u
y
时间域的外部描述：
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述：
W (s)
x1
K3 T3
x2
x2
1 T2
x2
K2 T2
x3
x3
K1K4 T1
x1
1 T1
x3
K1 T1
u
y x1
0
K3 T3
x 0 1
u
w2
y
s2+2zws+w2
u
w2 s+2zw
1y s
u
w2
x2
x1 y
2zw
x1 x2
x2 w2 x1 2zw x2 w2u
y x1
1.3 状态空间表达式的建立
已知系统的结构框图，求状态空间表达式
u
K1
K2
K3
y
T1s+1
T2s+1
T3s
K4
1.3 状态空间表达式的建立
系统的状态空间表达式为
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 状态空间方程
1.2 状态空间表达式的模拟结构图
• 多输入多输出系统
x1
x2
a11 a21
a12 a22
x1
x2
b11 b21
y1 y2
c11 c21
c12 x1
c22
x2
b12 u1
b22
u2
1.2 状态空间表达式的模拟结构图