函数的认识
初等函数的认识与运算
函数值域与定义域
函数值域
函数值域是指函数在定义域内所有可能 取到的值的集合。对于不同的函数类型 ，其值域也有所不同。例如，一次函数 的值域为全体实数；二次函数的值域根 据开口方向和顶点位置而定；指数函数 的值域为正实数集；对数函数的值域为 全体实数；三角函数的值域根据具体函 数而定。
VS
函数定义域
初等函数的认识与运 算
汇报人：XX 2024-01-29
目 录
• 函数基本概念 • 初等函数及其性质 • 初等函数运算规则 • 初等函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中的每一个数 $x$，变量$y$按照一定的对应法则总有一个确定的数值与之对应，则称$y$是 $x$的函数，记作$y=f(x)$，其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$f$称为对 应法则。
隐函数
隐函数是一种通过方程来表示的函数关系，即$F(x,y)=0$。隐函数的求解通常需要使用代数方法或数值方法，同 时要注意隐函数的定义域和值域。在实际问题中，很多关系都是隐函数关系，如经济学中的供需平衡、物理学中 的运动方程等。
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奇偶性判断与周期性分析
奇偶性判断
对于定义域关于原点对称的函数f(x)，如果满足f(-x)=f(x)， 则称f(x)为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
周期性分析
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内 的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为其一个 周期。对于周期函数，可以通过分析其周期性来简化运算和 研究函数性质。
函数的概念的认识
函数的概念函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系，帮助我们更好地理解现实世界中的许多问题。
本篇文档将介绍函数的概念，包括函数的定义、函数关系、函数性质以及函数应用等方面。
一、函数定义函数是一个数学表达式，它描述了两个或多个变量之间的关系。
在一个函数中，每个输入值（或自变量）都对应一个输出值（或因变量）。
函数定义通常包括以下要素：1. 定义域：输入值的范围。
2. 对应关系：输入值与输出值之间的对应关系。
3. 值域：输出值的范围。
例如，函数f(x) = x^2的定义域为全体实数，对应关系是将每个自变量x映射到x^2，值域也是全体实数。
二、函数关系函数关系是指变量之间的依赖关系。
函数关系可以表现为多种形式，如线性关系、二次关系、指数关系等等。
理解函数关系对于解决实际问题非常重要，因为它可以帮助我们描述和预测变量之间的关系。
例如，在物理学中，重力加速度与距离的关系可以用二次函数来表示。
在经济学中，价格与需求量之间的关系可以用线性函数来表示。
三、函数性质函数性质是指函数本身的特征和属性。
以下是几种常见的函数性质：1. 奇偶性：如果一个函数的定义域关于原点对称，并且f(-x)=f(x)，则该函数为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。
2. 单调性：如果一个函数在某区间内单调递增（或递减），则该函数在该区间内是单调的。
3. 周期性：如果存在一个正实数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数。
4. 连续性：如果在一个函数的定义域中，任意两点之间的差值都小于一个给定的正数，则该函数在该区间内是连续的。
四、函数应用函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在科学研究中，函数被用来描述物理、化学等自然现象的变化规律；在工程设计中，函数被用来描述性能指标与设计参数之间的关系；在金融领域中，函数被用来描述资产价格的变化规律等等。
此外，函数还在计算机科学、社会科学等领域有着广泛的应用。
函数的初步认识
•函数的基本概念•函数的分类与运算•常见函数解析式目•函数的应用场景•函数的实际应用案例录函数的定义函数是一种数学模型，它描述了一个输入值（或多个输入值）与一个输出值（或多个输出值）之间的对应关系。
在函数中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。
函数的表示方法函数对应每个输入值只有一个输出值。
单值性封闭性连续性可导性函数的定义域和值域之间存在一种封闭关系，即通过函数关系转换后的值不会超出原始值的范围。
函数在定义域内的每一点都是连续的，即函数不会突然跳跃或中断。
函数在某一点处可导，即该点的切线存在。
函数的基本性质超越函数有理函数复合函数初等函数由常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算加法减法乘法三角运算除法幂运算定义域值域复合运算规则030201定义图像性质一次函数定义图像性质图像正比例函数的图像是一条直线。
定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。
性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
1 2 3定义图像性质定义对数函数的图像与底数a的取值有关，不同的底数a对应不同的图像。
图像性质定义图像幂函数方程求解统计分析热学电学力学成本核算函数在成本核算中发挥着重要作用，如总成本、平均成本等。
市场需求预测函数可以帮助预测市场需求，从而制定合理的销售策略。
投资回报分析函数可以用来分析投资回报，为投资者提供参考。
函数在经济领域的应用03软件设计01算法实现02数据处理函数在计算机领域的应用利用函数解决实际问题的方法结果解释和评估模型训练和应用特征提取和选择数据探索和可视化利用函数进行数据分析数据预测和时间序列分析最优化决策和规划风险评估和风险管理机器学习和人工智能应用决策结果解释和实施利用函数进行预测与决策。
我国数学家对函数的认识
我国数学家对函数的认识1. 函数的初步认识1.1 函数的起源说起函数，那真是数学里头的一个“老大哥”。
古代数学家们在研究数的关系时，早就发现了类似于函数的东西。
那时候，还没啥“函数”这名词，但人家早就看出，数和数之间是有着千丝万缕的联系的。
咱们的祖先那是脑袋动得快，一下子就看懂了函数的“雏形”。
1.2 早期数学家的贡献在我国古代，数学家们对函数的认识并不是一蹴而就的，咱们最早的数学经典《九章算术》里就已经有了函数的影子。
不过，那会儿的数学家们用的术语和我们现在的可大相径庭。
比如说，解方程时，他们就用一些原理，咱们现在回过头来看，这不就有点像函数的味儿了吗？2. 近现代数学家的突破2.1 黎曼的贡献来到近现代，函数这块儿终于迎来了“大牛”。
德国数学家黎曼是个真正的“数学怪才”，他对函数的认识深入骨髓。
他提出了“黎曼面”的概念，打开了函数研究的新天地。
这些新的想法就像是给数学家们打开了一扇窗，让他们能看得更远、更清楚。
2.2 我国数学家的追赶我国的数学家们也不甘示弱，纷纷跟上了这股风潮。
比如，华罗庚大师就对数学函数的理论研究做出了很大的贡献。
华老先生的研究就像是给我们铺了一条通往数学“高峰”的小路，让我们在探究函数的过程中少走了很多弯路。
3. 函数的应用与未来展望3.1 函数在现代社会的应用说到函数，现代社会里可真是离不开它。
无论是计算机程序、经济模型，还是物理学的各种公式，函数都扮演着重要角色。
举个例子，咱们平时用的手机，背后好多的功能都是用函数来计算的，真是“函数无处不在”，这话一点也不夸张。
3.2 未来的无限可能未来，函数的研究还会继续深入。
科学家们就像是登山者一样，不断往上攀登，探索函数的更多奥秘。
谁知道，函数的研究会不会在未来带来更多“惊喜”呢？也许，某一天，我们会发现函数的“终极奥秘”，让数学这座大山显得更加神秘又迷人。
结语总之，函数这东西，看似简单，实则内涵丰富。
无论是古代的数学家，还是现代的科学家们，大家对函数的认识不断深入。
【数学课件】认识函数
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
小学五年级数学教案分享函数与方程的认识与计算
小学五年级数学教案分享函数与方程的认识与计算教案分享：函数与方程的认识与计算导语：本教案旨在帮助小学五年级的学生全面了解函数与方程的概念，并通过实际运算提升他们的计算能力和问题解决能力。
一、引言函数和方程是数学中的重要概念。
它们不仅在数学中有广泛应用，也在日常生活中发挥着重要的作用。
本节将对函数和方程进行简要介绍，并引出后续的学习内容。
二、函数的概念及表示方法1. 函数的概念：函数是两个集合之间的一种对应关系，即每一个自变量都对应唯一一个因变量。
函数可以表示为f(x) = y，其中x为自变量，y为因变量。
2. 表示方法：函数可以用文字描述、表格、图形等形式表示。
图形表示中，函数的关系可以通过坐标系上的点或曲线展示出来。
三、方程的概念及解法1. 方程的概念：方程是一个等式，其中包含一个或多个变量，通过解方程可以求出满足等式的变量值。
2. 方程的解法：通过逆运算、化简等方法，可以解出方程中的变量值。
四、函数与方程在数学计算中的应用1. 函数在数学计算中的应用：函数可以帮助我们计算数列的通项公式、判断两个数之间的关系、进行数据分析等。
2. 方程在数学计算中的应用：方程可以用于解决实际问题，例如物体自由落体的运动问题、几何图形的面积和体积计算等。
五、函数与方程的练习及讲解1. 函数的练习：通过给出一些函数表达式，并要求学生根据函数表达式，求出相应的数值。
例如：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)的值。
解：将x = 5代入函数表达式中，得到f(5) = 2 × 5 + 3 = 13。
2. 方程的练习：通过给出一些方程，要求学生解出方程中的变量值。
例如：方程2x + 3 = 9，求x的值。
解：将方程化简得到2x = 6，再通过除以2得到x = 3。
六、函数与方程在实际问题中的应用举例1. 函数的应用举例：通过给出一些实际问题，引导学生建立函数模型，并求解问题。
例如：小明每天早上骑自行车上学，骑行的时间与距离之间存在函数关系，当骑行距离为15千米时，小明骑行时间为30分钟。
认识函数教案通用1篇
认识函数教案通用1篇认识函数教案 1函数的初步认识教学目标：1、通过实例，了解函数的概念．（重难点）2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．3、理解函数值的概念，并会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．教学过程：一、课前准备小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为y元，填写下表：工作时间t（时） 1 5 10 15 20 。
报酬y（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（2）能用x的代数式来表示y的值吗？二、课上探究1、自主学习（1）自学课本P116并回答：______函数，__叫做自变量．例如，上面的问题中，__是__的函数，__是自变量；（2）函数的表示法①解析法：问题中，y =16x，这种表示函数关系的'等式，叫做函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．如下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温（℃） 3.8 5.19.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 ③图象法: 我们还可以用图象法来表示函数，例如课本P113图5-5表示的是温度T关于时间t的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法．（3）函数值概念____叫做函数值，它与__的取值有关，通常函数值随着__的变化而变化．若函数用解析法表示，____就能得到相应的函数值．若函数用列表法表示．____就能得到相应的函数值．若函数用图象法表示．____就能得到相应的函数值．2、合作探究（1）什么叫函数，你能从生活中举出几个函数的例子吗？（2）你是如何理解函数的值与代数式的值的？3、有效训练（1）课本P117练习1、2、3 （2）等腰△ABC的周长为20，底边BC长为x，腰AB长为y，求：①y关于x的函数解析式；②当腰长AB=7时，底边的长；③当x=11和x=4时，函数值是多少？三、课后延伸：必做题：1、某城市共有绿化面积108m2，这个城市人均占有绿化面积y(m2)与人数a的函数关系是__________· 2．地面气温是25℃，如果每升高1千米，气温下降5℃．则气温t℃与高度h千米的函数关系式是________，其中自变量是___________。
认识函数从输入和输出到函数的认知
认识函数从输入和输出到函数的认知认识函数：从输入和输出到函数的认知函数是计算机编程中一种重要的概念，它是一段可重复使用的代码块，在程序中起到一定的作用。
通过输入参数，执行特定的操作，然后返回输出结果。
本文将从函数的输入和输出两个方面来介绍函数的认知。
1. 函数的输入函数是根据输入参数来执行操作的。
输入参数可以是任意的数据类型，例如整数、浮点数、字符串等。
在函数的定义中，我们可以设定参数的类型，以便我们在函数的执行过程中能够正确地使用这些参数。
2. 函数的输出函数的输出结果是函数执行完操作后返回的值。
输出值的类型可以根据函数的需求进行设定，可以是任意类型的数据，甚至可以是函数本身。
通过返回输出值，我们可以在程序的其他地方继续使用这些值，实现数据的传递和共享。
3. 函数的定义和调用函数的定义是指对函数进行具体实现的过程。
在函数定义中，我们需要设定函数的名称、输入参数以及输出结果。
通过定义函数，我们可以将一些常用的操作封装起来，以便在其他地方进行调用。
函数的调用是指在程序中使用函数的过程。
通过调用函数，我们可以使用函数所定义的操作，并获得函数的输出结果。
4. 函数的参数传递方式函数的参数传递方式有两种：值传递和引用传递。
值传递是指在函数调用时，将实际参数的值拷贝给形式参数，函数内部对形式参数的修改不会影响到实际参数。
而引用传递是指在函数调用时，将实际参数的地址传递给形式参数，函数内部对形式参数的修改会影响到实际参数。
5. 函数的返回值函数的返回值可以是任意类型的数据，用于向调用者返回函数的执行结果。
在函数的定义中，我们可以使用关键字`return`来返回一个或多个值。
返回值的类型必须和函数定义的输出类型一致。
6. 函数的递归调用函数的递归调用是指函数内部调用函数本身的过程。
通过递归调用，我们可以在函数内部多次执行相同的操作，从而解决一些需要重复计算的问题。
递归调用需要注意控制递归的停止条件，以避免出现无限循环的情况。
有关函数的初步认识的教学教案
有关函数的初步认识的教学教案第一章：函数的概念1.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的定义，并能正确表达函数的概念。
教学内容：介绍函数的定义，解释函数的概念。
教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的定义。
教学步骤：(1) 引入函数的概念，让学生思考日常生活中遇到的函数例子。
(2) 给出函数的定义，解释函数的概念。
(3) 通过举例说明函数的特性，让学生理解函数的定义。
(4) 让学生进行练习，巩固对函数概念的理解。
1.2 函数的表示方法教学目标：让学生掌握函数的表示方法，并能正确绘制函数图像。
教学内容：介绍函数的图像表示方法，讲解函数图像的特点。
教学方法：通过讲解、绘制函数图像、讨论等方式，让学生掌握函数的表示方法。
教学步骤：(1) 介绍函数的图像表示方法，讲解函数图像的特点。
(2) 让学生绘制一些简单的函数图像，加深对函数图像的理解。
(3) 通过讨论，让学生理解函数图像与函数性质之间的关系。
(4) 让学生进行练习，巩固对函数图像表示方法的理解。
第二章：函数的性质2.1 函数的单调性教学目标：让学生理解函数的单调性，并能判断函数的单调区间。
教学内容：介绍函数的单调性概念，讲解函数单调性的判断方法。
教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的单调性。
教学步骤：(1) 引入函数的单调性概念，让学生思考日常生活中遇到的单调函数例子。
(2) 给出函数单调性的定义，讲解函数单调性的判断方法。
(3) 通过举例说明函数的单调性，让学生理解函数的单调性。
(4) 让学生进行练习，巩固对函数单调性的理解。
2.2 函数的奇偶性教学目标：让学生理解函数的奇偶性，并能判断函数的奇偶性。
教学内容：介绍函数的奇偶性概念，讲解函数奇偶性的判断方法。
教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的奇偶性。
教学步骤：(1) 引入函数的奇偶性概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶函数例子。
(2) 给出函数奇偶性的定义，讲解函数奇偶性的判断方法。
一次函数与二次函数的认识知识点总结
一次函数与二次函数的认识知识点总结一、一次函数的定义和特点：一次函数亦称为线性函数，在数学中表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数。
1. 定义：一次函数是一种变量之间的线性关系，其中x为自变量，y为因变量，k为斜率，b为截距。
2. 斜率：斜率k代表函数曲线的倾斜程度，其定义为曲线上任意两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。
斜率越大，曲线越陡峭，斜率为正表示曲线上升，斜率为负表示曲线下降。
3. 截距：截距b表示函数曲线与y轴的交点，即当x=0时，对应的y值。
4. 图像特点：一次函数的图像是一条直线，特点是直线上的所有点都满足y = kx + b的方程。
二、二次函数的定义和特点：二次函数是一类非线性函数，其中数学表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
1. 定义：二次函数是变量之间的二次关系，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c为常数。
2. 平移：二次函数可以通过将一般形式y = ax^2 + bx + c表示为标准形式y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
此变换称为平移，它可以使得二次函数图像在坐标平面上上下左右移动。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和开口方向确定的，对称轴与平移后顶点的横坐标相等。
4. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下。
5. 最值点：当二次函数开口向上时，二次函数的最小值为顶点坐标；开口向下时，二次函数的最大值为顶点坐标。
三、一次函数与二次函数的比较：1. 变化速率：一次函数的斜率是恒定的，代表了以恒定速率变化；而二次函数的斜率是不断变化的，代表了以不同速率变化。
2. 图像形状：一次函数的图像是一条直线，而二次函数的图像是一个抛物线。
3. 极值点：一次函数没有极值点，而二次函数有极值点（最大值或最小值）。
4. 开口方向：一次函数没有开口方向的区别，而二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
一次函数的初步认识
一次函数的初步认识一次函数是数学中常见的一类函数，也是学习数学的基础之一。
本文将对一次函数进行初步的认识和解析。
一、定义一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b为常数，且k≠0。
这里的x和y分别表示变量和函数的值。
二、图像特征1. 直线：一次函数的图像是一条直线。
直线倾斜的方向和斜率k有关，斜率为正值时，函数图像上升；斜率为负值时，函数图像下降；斜率为0时，函数图像水平。
2. 截距：截距即函数曲线与坐标轴的交点。
b为y轴截距，即函数曲线与y轴交点的y坐标；x轴截距为函数曲线与x轴交点的x坐标。
3. 斜率：斜率k表示函数曲线的倾斜程度。
斜率为正值时，函数图像向右上方倾斜；斜率为负值时，函数图像向右下方倾斜。
三、性质与特点1. 增减性：当斜率k为正时，一次函数是递增的；当斜率k为负时，一次函数是递减的。
2. 奇偶性：一次函数一般没有奇偶性，即f(x) ≠ f(-x)时，无奇偶性。
3. 零点：一次函数的零点是指使得f(x) = 0的x值。
解一次方程kx+ b = 0，可以得到一次函数的零点。
4. 相关性：一次函数的斜率可以表示一个量相对于另一个量的比例关系。
斜率k表示y的增长量与x的增长量之间的比例关系。
四、应用举例一次函数在实际应用中有广泛的用途。
以下是一些例子：1. 物理学：速度和时间的关系可以表示为一次函数。
速度v = k∙t + b，其中k为斜率，表示速度的增加或减少程度；b为初始速度。
2. 经济学：线性需求曲线可以用一次函数来表示。
需求量和价格的关系为一次函数，即需求量D = k∙P + b，其中D为需求量，P为价格，k为斜率，b为截距。
3. 市场分析：市场份额和广告费用之间的关系可以用一次函数表示。
市场份额S = k∙A + b，其中S为市场份额，A为广告费用，k为斜率，b为截距。
结论一次函数是数学中重要的概念之一，它的图像为一条直线，可以通过斜率和截距来描述其特点。
一次函数在物理学、经济学等领域有广泛的应用。
小学数学重点认识简单的函数和关系
小学数学重点认识简单的函数和关系数学是一个普遍存在于我们生活中的学科，它帮助我们理解和解决各种现实问题。
而函数和关系是数学中的重要概念，在解决实际问题时有着广泛的应用。
本文将介绍小学数学中关于简单函数和关系的重点认识。
一、函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种自变量和因变量之间的关系。
在小学数学中，函数通常是指从一个数集到另一个数集的关系。
举个例子来说明函数的概念。
假设小明在一小时内跑步的距离与时间之间的关系可以用一个数表来表示：时间（分钟）距离（米）0 010 10020 20030 30040 40050 50060 600在这个例子中，时间是自变量，距离是因变量。
我们可以看到，每当时间增加10分钟，距离也增加100米。
因此，这个关系可以表示为一个函数。
二、函数的表示方法在小学数学中，我们通常使用不同的记号来表示函数。
最常见的是用一个小写字母表示自变量，用一个大写字母表示因变量。
从上面的例子中，我们可以用函数符号f(x)来表示小明跑步的距离，其中x表示时间。
三、函数的图像函数的图像是一种对函数关系的图形表示。
在小学数学中，常常使用平面直角坐标系来表示函数的图像。
横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
回到前面的例子，我们可以将时间和距离分别作为横轴和纵轴，绘制一个坐标系。
然后，将表中的数据点连接起来，就得到了一个表示函数关系的直线。
这条直线就是小明跑步的函数图像。
四、关系的性质函数和关系的性质在小学数学中也是一个重点要求。
在学习函数和关系时，我们需要注意以下几个性质：1. 一对一关系：如果一个自变量对应一个唯一的因变量，那么这个函数称为一对一关系。
2. 奇偶性：某些函数关系在对称轴上有特殊的性质，即关系中的函数值在右侧和左侧是对称的。
这样的函数称为偶函数。
如果函数关系中的函数值在右侧和左侧有相反的符号，那么这样的函数称为奇函数。
3. 单调性：函数关系中的函数值随自变量的增大或减小而单调增加或单调减少，那么这个函数称为单调函数。
函数的认识教学设计一等奖
函数的认识教学设计一等奖介绍这份教学设计旨在帮助学生理解和掌握函数的概念和使用方法。
通过针对学生的实际应用场景和问题进行教学，培养学生的问题解决能力和创新思维。
目标- 了解函数的概念和作用；- 学会定义和调用函数；- 掌握函数参数和返回值的使用方法；- 能够应用函数解决实际问题。
教学内容1. 函数的定义和作用：- 介绍函数的概念和在编程中的作用；- 通过示例代码演示函数的结构和使用方法。
2. 函数的调用：- 解释如何调用已定义的函数；- 讲解函数的命名规则和命名方式。
3. 函数的参数和返回值：- 介绍函数参数的概念和不同类型的参数；- 演示如何定义带参数的函数和使用默认参数；- 解释函数的返回值及其用途。
4. 函数的实际应用：- 根据学生的实际场景和问题，设计相关的函数应用实例，如数学运算、字符串处理等；- 引导学生思考如何用函数解决实际问题，并进行实践。
教学方法1. 探究式研究：学生通过观察和实践来理解函数的概念和使用方法，通过与教师的互动交流来加深对函数原理的理解。
2. 问题导向：针对学生可能遇到的问题和困惑，通过提问和讨论引导学生思考和解决问题的方法。
3. 小组合作：组织学生分成小组，在小组内共同思考和解决问题，促进合作和交流。
教学评估1. 课堂互动：通过课堂提问、讨论和小组活动，评估学生对函数概念和使用方法的掌握情况。
2. 实际应用：要求学生通过设计和编写函数解决实际问题的实践任务，评估学生应用函数解决问题的能力。
3. 总结回顾：通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈等综合评估学生对函数的理解和掌握程度。
教学资源1. 计算机和编程软件：确保每个学生都能使用计算机，打开编程软件进行实践和演示。
2. 示例代码和练题：准备一些函数相关的示例代码和练题，用于教学演示和学生练。
3. 教学讲义和课件：准备教学讲义和课件，简洁明了地呈现函数的概念和使用方法。
时间安排本教学设计的时间安排为5个课时，每个课时为45分钟，具体安排如下：1. 课时一：介绍函数的定义和作用，示例代码演示（45分钟）；2. 课时二：函数的调用，命名规则和方式（45分钟）；3. 课时三：函数的参数和返回值，带参数函数和默认参数（45分钟）；4. 课时四：函数的实际应用案例设计和编写（45分钟）；5. 课时五：学生实践任务演示和总结回顾（45分钟）。
7.2认识函数(2)
等腰三角形ABC的周长为 底边 长为 y , 的周长为10,底边 等腰三角形 的周长为 底边BC长为 腰AB长为 长为 (1) 求 x ,求: y关于 x 的函数解析式 的函数解析式;
A
(2)自变量的取值范围 自变量的取值范围; 自变量的取值范围 (3)腰长 腰长AB=3时,底边的长 底边的长. 腰长 时 底边的长
5 − 4x +1自变量的取值范围 自变量的取值范围. 求函数 y = 3x − 2
函数的三类基本问题： 函数的三类基本问题： ①求解析式 ②求自变量的取值范围
③已知自变量的值求相应的函数值或者已知 函数值求相应的自变量的值
1.求下列函数自变量的取值范围 (使函数式有 求下列函数自变量的取值范围 使函数式有 意义): 意义 1 1 + x+2 (1) y = (2) y = x −1 (3) y = x −1 x −1 2.如图 正方形 如图,正方形 内接于边长为1 如图 正方形EFGH内接于边长为 的正方形 内接于边长为 的正方形ABCD. 试求正方形EFGH的面积 y 与 x 的函数式 的函数式, 设AE= x ,试求正方形 试求正方形 的面积 1 的取值范围,并求当 并求当AE= 时,正方形 写出自变量 x 的取值范围 并求当 正方形 EFGH的面积 的面积. 的面积
1
2
等腰三角形ABC的周长为 底边 长为 y , 的周长为10,底边 等腰三角形 的周长为 底边BC长为 腰AB长为 长为 (1) 求 x ,求: y关于 x 的函数解析式 的函数解析式;
A
问题一：问题中包含了哪些变量？ ， 问题一：问题中包含了哪些变量？X，y 分别 (2)自变量的取值范围 自变量的取值范围; 自变量的取值范围 x x 表示什么？ 表示什么？ 问题二： 之间存在怎样的数量关系？ 问题二：x ,y 之间存在怎样的数量关系？ (3)腰长 腰长AB=3时,底边的长 底边的长. 腰长 时 底边的长 B C 这种数量关系可以什么形式给出？ 这种数量关系可以什么形式给出？ y 问题三：根据题设， 问题三：根据题设，可得 2x+y=10,这个等式算 这个等式算 不算函数解析式？如果不算， 不算函数解析式？如果不算，应将等式进行怎样 的变形？ 的变形？ (2)自变量的取值范围： 2.5 < x < 5 自变量的取值范围： 自变量的取值范围 (1). y = 10 – 2 x (3)当腰长 AB = 3，即 x = 3 时，y =10-2×3=4 当腰长 ， × 底边BC长为 长为4 ∴当腰长 AB = 3 时，底边 长为
函数的初步认识
§5.5函数的初步认识【学习目标】1.初步掌握函数的概念2.能判断两个变量间的关系是否函数关系3.初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力重点：函数概念的理解难点：会判定两个变量间的关系是否函数关系【课前延伸】回顾§5.4的4个y关于x的代数式和图5-5，并自学P116“交流与发现”，完成问题1.问题1中，______随______的增大而___ ____。
2．问题2中，______随______的增大而____ ___。
3．问题3中，______随______的增大而____ ___。
4．问题4中，______随______的增大而____ ___。
5．图5-5中，从0时到3时，温度随时间的增大而_______；从3时到15时，______随______的增大而_______；从15时到24时，______随______的增大而_______。
6．在课本P116的问题中，______随______的增大而___ ____。
【探索新知】1．在关系式中，当时，，当时，，变量y随变量x的______而_______（填“增大”或“减小”），变量y的取值是由变量x的取值确定的。
（填“唯一”或“多个”）2．通过观察、计算后完成下面表格200速度V(千米时)时间t (小时)80548501008/3…………时间t（小时）与速度V（千米/小时）之间的关系式是t＝_________，变量速度v（千米/小时）的取值是由变量时间t（小时）______确定的。
（填“唯一”或“多个”）3．观察图像，完成下列题目。
下图是一个水池放水时，水池中的剩余水量随时间的变化情况。
1234510080604020t(小时)剩余水量Q（立方米）①由图象观察可知，每小时可放水立方米。
②剩余水量Q（立方米）与时间t（小时）之间的关系式是__________（0≤t≤5），Q随x的______而_______；③当t=2.5时，Q= ，当t=3.2时，Q= ；④变量剩余水量Q（立方米）的取值是由变量时间t（小时）的取值确定的。
人教版小学四年级数学上册教案认识简单的函数和像
人教版小学四年级数学上册教案认识简单的函数和像认简单的函数和像函数是数学中的重要概念，它在我们日常生活与学习中都有很多应用。
在小学四年级的数学上册中，我们将学习认识简单的函数和像。
通过本节课的学习，我们将了解什么是函数和像，并学习一些相关的概念和计算方法。
一、函数的认识函数是指一个变量的值与另一个变量的值之间存在一种确定关系的规律。
在数学上，我们通常使用字母来表示函数。
例如，我们可以用f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
当我们给定一个自变量的值时，函数就能够根据规律计算出对应的因变量的值。
二、像的认识在函数中，像是指自变量经过函数规律计算后得到的因变量的值。
可以理解为输入一个值，经过函数的运算后得到的输出结果。
我们可以用“y=f(x)”表示函数的定义，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数规律的运算。
三、函数和像的关系函数和像之间存在一对一的对应关系。
也就是说，一个自变量的值对应唯一确定一个因变量的值。
以一个简单的例子来理解，假设有一个函数规律是 f(x) = x + 2。
我们可以根据这个规律计算出相应的像。
例如，当x为1时，f(1) = 1 + 2 = 3。
当x为2时，f(2) = 2 + 2 = 4。
可以看到，每个自变量的值都与一个唯一的因变量的值相对应。
四、函数和像的计算在计算函数和像时，我们需要根据给定的函数规律和自变量的值来计算出对应的因变量的值。
以前面的例子 f(x) = x + 2 为例，如果要计算x为5时的像，我们可以将x的值代入函数中进行计算，即 f(5) = 5+ 2 = 7。
这样我们就得到了x为5时的像，即7。
除了加法之外，函数和像还可以通过其他的运算得到。
例如，我们可以通过乘法、除法、减法等不同的运算来计算函数和像。
五、小结通过本节课的学习，我们对函数和像有了更深入的认识。
我们了解了函数是指一个变量的值与另一个变量的值之间存在一种确定关系的规律，像是指自变量经过函数规律计算后得到的因变量的值。
对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读
对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、 函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础， 而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方 法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。
因此，对本章内容力求学习得更 好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：函数， 主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图 象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础。
第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。
2.1 函数 关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。
甚至函数图象处 处不连续，也可看作分段函数。
如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时， 应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。
例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数， 如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。
函数的概念说课教案8篇
函数的概念说课教案8篇在我们日常的教学生涯中，难免会遇到要写教案的情况，教案是需要结合实际的教学进度和内容的，下面是作者为您分享的函数的概念说课教案8篇，感谢您的参阅。
函数的概念说课教案篇1教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国#年4月份非典疫情统计：日期#新增确诊病例数#3、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b 为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本p20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本p22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本p21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
函数 0基础学习函数,认识函数,函数的基础知识
一什么是函数: 函数也成为方法, 是指程序中具有特定功能的模块二函数的分类:1从定义的角度分: JS内置函数, 自定义函数•Js 内置函数: alert , document.write , conlose.log , confirm , prompt•自定义函数: 根据需求用户自己编写的函数2从参数角度分: 有参函数, 无参函数3从返回值角度分: 有返回值函数, 无返回值函数4特殊: 匿名函数, 递归函数, 自执行函数三函数定义的格式(完整格式):1function 函数名(形参列表){函数体[函数中封装的语句];return 返回值;}四定义函数时的注意事项1 function是关键字, 必须小写, 作用是告诉浏览器下面代码为函数, 需要按照函数的语法规则进行解析, 不可省略2函数名必须符合标识符命名规则•由字母, 数字, 下划线, $符号构成•不能以数字开头•不能是关键字•严格区分大小写•见名知意•按照驼峰式命名3所谓形参就是指用来接收要处理的数据的变量, 注意形参在定义时不加var , 一个函数可以有多个形参, 形参间用逗号分隔, 如果一个函数没有参数, name形参列表所在的小括号不可以省略, 另外小括号后面不可以加分号4函数体就是指函数要执行的语句, 可以是0 条, 也可以是多条, 如果是0 条, 那么这样的函数为“空函数” , 空函数通常用来占位!五无参无返回值函数的定义格式function 函数名(){函数体;}六无参无返回值函数的调用, 格式为: 函数名(); 或者fn();七定义函数的好处1 有利于提高代码的复用性2 有利于提高代码的维护效率3 有利于提高内存的利用效率一、有参无返回值函数的定义格式a)Function 函数名(形参列表){函数体;}b)有参函数的调用格式: 函数名(参数列表/实参列表);二、有参无返回值函数的注意事项➢形参: 指定义函数时的参数➢它的本质就是一个变量➢形参在定义时不加var➢一个函数可以有多个形参, 用逗号( , )分隔!➢如果没有形参, 小括号不可以省略➢形参列表后面不可以加分号➢形参只有在函数被调用时才会被分配空间➢函数在被执行后,形参所占用的空间会被立即释放➢形参属于局部变量, 所以形参只能在定义它的函数内部使用三、实参:【图解:最大公约数与最小公倍数】➢实参就是函数要处理的具体数据➢实参可以有多个, 中间用逗号分隔四、实参和形参的关系➢理论上实参和形参的个数要一一对应, 如果不对应也不影响程序的执行, 因为在函数内部有一个arguments 对象, 该对象保存了传递过来的实参➢实参和形参位置上要一一对应➢实参和形参在数据传递上只能是由实参传递给形参, 不可以形参传递给实参。
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函数的认识
定义包含以下几个内容：
1、必须是一个变化过程 2、有且只有两个变量
3、对于自变量只能在允许取值的范围内才能取值 4、当自变量在允许取值的范围内每取定一个值， 函数都有唯一的确定值和它对应，这个对应值 就叫做函数值
函数的认识
函数的再认识
1、函数不是变量，也不是方程，也不是图形， 确切的说函数是描述变化规律的数学组合模型， 也可以说是包含了加减乘除乘方开方的组合。
2、没有函数的数学，就不叫数学，所以函数 是数学的一个转折点。
老张讲数学
函数的认识
函数的认识
函数是什么？
函数不是数，与之前所学的自然数、整数、 正数、负数啊是没有关系的；函数是一种关系， 是两个变量之间的一种单如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确 定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做 当自变量的值为 a 时的函数值