2020学年第一学期高二第一次月考数学试题

2020学年第一学期高二级月考
数学试题
注意事项：
1.本试题共4页，四大题，18小题，满分130分（含附加题10分），考试时间90分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。

2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。

3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。

第Ⅰ卷选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1.在△ABC中，已知A=75°，B=45°，b=4，则c=()
A. √6
B. 2
C. 4√3
D. 2√6
2.若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是()
A. a−b>c−d
B. a+c>b+d
C. a−c>b−c
D. a−c<a−d
3.已知△ABC中，AB=2，BC=3，AC=√10，则cosB=()
A. √10
8B. √10
4
C. 1
4
D. 1
2
4.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S3=21，则公比q=()
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知x>0，y>0，且1
x
+4
y
=1，则x+y的最小值为()
A.6
B. 8
C. 9
D. 12
6.已知数列{a n}是首项a1=4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，−2a3成
等差数列，则公比q等于()
A. 1
2
B. −1
C. 2
D. −2
7.任取实数x∈[−2,8]，则所取x满足不等式x2−5x+6≤0的概率为()
A. 1
8B. 1
9
C. 1
10
D. 1
11
8.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方
一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两).问玉、石重各几何?”如图所示的程序框图反映了对此题的一
个求解算法，运行该程序框图，则输出的x,y分别为()
A. 98，78
B. 96，80
C. 94，74
D. 92，72
9.设等差数列{a n}前n项和为S n，等差数列{b n}前n项和为T n，若S n
T n
=20n−1
2n−1
，
则a3
b3
=()
A. 59
5
B. 11
C. 12
D. 13
10.在△ABC中，若AB=√37，BC=4，C=2π
3
，则△ABC的面积S=()
A.3√3
B. 3√2
C. 6
D. 4
第Ⅱ卷非选择题（共80分）
二、填空题（本大题共2小题，共10分）
11.若变量x，y满足约束条件{x+y⩾−1
2x−y≤1
y⩽1
，则z=3x−y的最小值为
__________．
12.已知数列{a n}满足a1=1，log2a n+1=log2a n+1，若a m=32，则
m=________．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
13.（10分）解下列不等式：
>1
(1)3x2−7x+2>0 (2)2x+4
x−3
14.（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．已知a3=5，S7=49．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=1
，求数列{b n}的前n项和T n．
a n a n+1
15.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C−
sin2A=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若a=4，△ABC的面积为4√3，求b，c．
16.（12分）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
17.（14分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N∗，点(a n,S n)都在函数f(x)=2x−2的图象上.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列b n=(2n−1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.
四、附加题（本大题共1小题，共10分）
18.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿
在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设ΔABD中边BD所对的角为A，ΔBCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=2√3．
霍尔顿发现无论BD多长，√3cosA−cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值.。