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2020学年第一学期高二第一次月考数学试题

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人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)

人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)
【详解】解：（1）由题意得， ，
因为 ，所以解得 ，
所以 的方程为 ，
（2）由题意可得直线方程为 ，设直线与椭圆交于 ，
将 代入椭圆方程得， ，即 ，
所以 ，
所以
【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝ .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆 定义得： ，结合题意可得： ，再根据余弦定理可求得结果
【详解】解：（1）由已知设椭圆方程为 ，
【详解】由不等式 的解集为 ，得 无解，即对 , 恒成立，①当 时，显然满足题意，②当 时，有 ，解得： ，综上，
故答案为：
【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假．
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
15.若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出椭圆的焦点在 轴上，得出 的值，根据离心率的概念可得 ，解出 的值可得短轴长.
【详解】由椭圆 得焦点在 轴上， ， ， ，
10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。

广东省江门市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

广东省江门市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

2020-2021学年第一学期第一次考试高二数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级及学号填涂在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.本试卷共6页，22小题，满分150分。

测试用时120分钟。

不能使用计算器。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线√3x +y −2=0的倾斜角为（ ） A ．30∘B ．150∘C ．120∘D ．60∘2．下列说法正确的是（ ） A ．a//b ，b ⊂α⇒a//α B ．a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥α C ．a ⊥α，b ⊥α⇒a//bD ．α⊥β，a ⊂β⇒a ⊥α3．高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) A ．13 B ．17 C ．19 D ．21 4．过点（1，-3）且平行于直线x +2y -3=0的直线方程为（ ） A ．x −2y −7=0B ．2x +y +1=0C ．2x −y −5=0D ．x +2y +5=05．设直线0x y a -+=与圆x 2+y 2+2x −4y +2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则a =（ ）A．-1或1 B．1或5 C．-1或3 D．3或56．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+15.5，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（）A．45 B．50 C．55 D．607．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾､坤､震､巽､坎､离､艮､兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻).若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为（）A．18B．14C．38D．128．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．283πB．√223πC．73πD．√7π二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

福建省龙岩市武平县第一中学2020-2021学年高二上学期月考数学试题(解析版)

福建省龙岩市武平县第一中学2020-2021学年高二上学期月考数学试题(解析版)

公式可得所求事件的概率为 P B
A
P AB P A
.
【详解】记事件 A :甲获得冠军，事件 B :比赛进行三局，
事件 AB : 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得
P
AB
C21
3 4
1 4
3 4
9 32
，
对于事件 A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 AB ，
5
3
4
不能破译出密码”发生的概率为 4 2 3 2 ,所以此密码被破译的概率为1 2 3 ,故 B 不正确；
534 5
55
对于 C,设“从甲袋中取到白球”为事件 A,则 P( A)
8
2
,设“从乙袋中取到白球”为事件 B,则
12 3
P(B) 6 1 ,故取到同色球的概率为 2 1 1 1 1 ,故 C 正确；
故选 A.
【点睛】本题考查了排列问题，不相邻一般采用插空法，同时要注意特殊优先原则.
3.
若二项式
x
2 x
n
的展开式中各项的系数和为
243，则该展开式中含
x
项的系数为（
）
A. 1
B. 5
C. 10
D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
对
x
2 xn Fra bibliotek令x
1
，结合展开式中各项的系数和为
243 列方程，由此求得
C62C
C2 2
42
A33
，
将三组书本分给甲、乙、丙三人的方法数： A33 ，
所以总的分法数为：
C62C24C22 A33

高二数学第一次月考试题

高二数学第一次月考试题

高二数学第一次月考试题高二数学第一次月考试题第一部分：选择题（每小题5分，共计50分）1.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 4x + 1，则f(g(2))的值为（） A.-3 B. 3 C. 7 D. 112.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则方程f(x) = 0的根为（） A. 1和-3B. 3和-1C. 1和3D. -1和33.若两个正整数x和y满足x^2 - y^2 = 48，则x - y的值为（） A. 4 B.6 C. 8 D. 124.已知函数f(x) = 2x + 5，g(x) = 3x - 1，则f(g(x))的值为（） A. 6x+ 14 B. 6x - 4 C. 6x + 4 D. 6x - 145.若函数f(x) = x^2 + kx + 8与函数g(x) = 2x^2 - 3x - 4相等，则k的值为（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 46.若两个正整数x和y满足x + y = 7，x - y = 3，则x的值为（） A. 5B. 4C. 3D. 27.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，g(x) = x + 1，则f(g(2))的值为（） A.6 B. 3 C. 0 D. -38.若函数f(x) = x^2 - 5x + 6与函数g(x) = x - 2相等，则x的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 19.若两个正整数x和y满足x^2 + y^2 = 34，x - y = 2，则x + y的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(1))的值为（） A.-1 B. 1 C. 3 D. 5第二部分：填空题（每小题5分，共计50分）1.函数f(x) = x^2 - 4x - 3的图像开口向上，顶点的坐标为（）。

【精品高二数学试卷】2019-2020天津高二(上)第一次月考+答案

【精品高二数学试卷】2019-2020天津高二(上)第一次月考+答案

2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷一、选择：5×10＝50分。

1．（5分）已知数列√2，√5，2√2，√11，⋯则2√5是这个数列的（ ） A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项2．（5分）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8＝16，则a 2+a 6+a 10＝（ ） A ．12B ．16C ．20D ．243．（5分）数列{a n }中，a 1=12，a n ＝1−1a n−1（n ≥2），则a 2019的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．24．（5分）不等式x−1x＞2的解集为（ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）5．（5分）不等式ax 2+bx +2＞0的解集是(−12，13)，则a +b 的值是（ ） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣146．（5分）等比数列{a n }中，a 1+a 3＝10，a 4+a 6=54，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝24﹣nB ．a n ＝2n ﹣4C ．a n ＝2n ﹣3D ．a n ＝23﹣n7．（5分）已知数列{a n }的递增的等比数列，a 1+a 4＝9，a 2•a 3＝8，则数列的前2019项和S 2019＝（ ） A ．22019B ．22018﹣1C ．22019﹣1D ．22020﹣18．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2，S 6＝6，则a 13+a 14+a 15的值是（ ） A ．18B ．28C ．32D ．1449．（5分）已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1610．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n ﹣4＝130，则n ＝（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题：（5×5＝25分）11．（5分）等差数列{a n }中，前4项和S 4＝22，a 2＝4，则前10项和S 10＝ ． 12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝a n +n +1，则数列{a n }的通项公式是 ．13．（5分）在数列{x n }中，2x n=1x n−1+1x n+1（n ≥2），且x 2=23，x 4=25，则x 10＝ ．14．（5分）数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为 ．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝﹣n 2+20n ，则数列{na n }中数值最大的项是第 项．三、解答题（25分）.16．（8分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=a na n +3（n ∈N *） （1）求证：{1a n+12}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式a n ．17．（17分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2﹣2S n （n ∈N *），数列{b n }是等差数列，且b 5＝14，b 7＝20．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式． （2）求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．（3）设c n =a n ⋅b n2，求数列{c n }的前n 项和M n ．2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择：5&#215;10＝50分。

山西省高二上学期数学第一次月考试卷

山西省高二上学期数学第一次月考试卷

山西省高二上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）直线3x+ y﹣1=0的倾斜角为（）A . 60°B . 30°C . 120°D . 150°【考点】2. （2分）以双曲线的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为（）【考点】3. （2分） (2019高二上·丽水期中) 经过点（1，-3），倾斜角是150°的直线方程是（）A .B .C .D .【考点】4. （2分） (2020高二上·夏津月考) 在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是A .B .C .D .【考点】5. （2分） (2020高二上·鱼台月考) 已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（）A .B .C .D .【考点】6. （2分） (2020高一下·苍南月考) 在中，内角为钝角，，，，则（）A . 2B . 3C . 5D . 10【考点】7. （2分） (2017高一上·福州期末) 已知直线l1：2x﹣y+1=0，直线l2与l1关于直线y=﹣x对称，则直线l2的方程为（）A . x﹣2y+1=0B . x+2y+1=0C . x﹣2y﹣1=0D . x+2y﹣1=0【考点】8. （2分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β其中真命题是（）A . ①和②B . ①和③C . ③和④D . ①和④【考点】二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高一下·无锡期中) 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A .B .C .D .【考点】10. （3分） (2020高一下·烟台期末) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）A . 在棱上存在点M，使平面B . 异面直线与所成的角为90°C . 二面角的大小为45°D . 平面【考点】11. （3分） (2020高一下·如东期末) 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则（）A . 三棱锥的体积为B . 平面截三棱锥所得的截面面积为C . 点与点到平面的距离相等D . 直线与直线垂直【考点】12. （3分） (2020高二上·郓城月考) 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（）A . 始终过定点B . 若，则或-3C . 若，则或2D . 当时，始终不过第三象限【考点】三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·晋江月考) 若，且共面，则________【考点】14. （1分） (2020高二上·柯桥期末) 已知直线l的斜率为1，过点，则l的方程为________，过点且与l平行的直线方程为________.【考点】15. （1分） (2018高一上·广东期末) 直线与直线平行，则________．【考点】16. （1分） (2019高一上·延边月考) 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________【考点】四、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2017高三上·宿迁期中) 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量 =（a，b）， =（sinB，﹣cosA），且⊥ ．（1）求A的大小；（2）若| |= ，求cosC的值．【考点】18. （15分） (2019高二上·三明月考) 已知空间三点．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值．【考点】19. （10分） (2019高一上·海口月考)（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？【考点】20. （10分） (2017高一下·盐城期中) 求经过A（﹣2，3），B（4，﹣1）的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．【考点】21. （10分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A'B'C'棱长均为2，E为AB中点．点D在侧棱BB'上．（Ⅰ）求AD+DC'的最小值；（Ⅱ）当AD+DC'取最小值时，在CC'上找一点F，使得EF∥面ADC'．【考点】22. （2分） (2017高一上·淄博期末) 如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC，AB= DE，F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【考点】参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共57分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：第21 页共21 页。

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题

联合校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟试卷满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（每题5分，满分60分）1.已知向量，，则（）A. (－1,1,5)B. (－3,5,－3)C. (3,－5,3)D. (1,－1,－5)2.点到原点的距离为（）A. 1B. 3C. 5D. 93.已如向量，且与互相垂直，则k=A. B. C. D.4.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A. B. C. 或 D. 25.如图，长方体ABCD - A1B1C1D1中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.6.已知正四棱柱ABCD - A1B1C1D1，设直线AB1与平面所成的角为，直线CD1与直线A1C1所成的角为，则（）A. B. C. D.7.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OB、AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（）A. B.C. D.8.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，则CD的长为A. B. 7 C. D. 99.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若，则点B到平面ACE的距离等于（）A. B. C. D. 310.如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，M为A1C1的中点，若，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M､N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A. MN∥平面ADD1A1B. MN⊥ABC. 直线MN与平面ABCD所成角为45°D. 异面直线MN与DD1所成角为60°12.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是（）A. 平面ABC⊥平面ACDB. 四面体的体积是C. 二面角的正切值是D. BC与平面ACD所成角的正弦值是二、填空题（每题5分，满分20分）13.若平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与所成角的正弦值为________.14.若同方向的单位向量是________________15.在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ 的长度等于__________．16.已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．三解答题（共6个解答题，17题10分，其余每题12分）17.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；(2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．18.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，，，，，.（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦（2）求点A到平面PCD的距离.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。

新泰市第一中学老校区新泰中学高二数学上学期第一次月考试题

新泰市第一中学老校区新泰中学高二数学上学期第一次月考试题

山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020—2021学年高二数学上学期第一次月考试题考试时间：120分钟 满分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题.（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知向量()()1,1,01,0,2a b ==-，且2ka b a b +-与互相垂直，则k 的值是( ）A ．75B ．2C ．53D ．12．{},,a b c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成空间向量的基底的一组向量是A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+ 3．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（ ） AB C D4。

已知m 是实常数,若方程x 2+y 2+2x +4y +m ＝0表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，20） B ．（﹣∞,5） C ．（5，+∞）D ．（20,+∞）5．已知点P (－1,1)与点Q (3,5）关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ）A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －4＝0D ．x ＋y ＝06、已知直线()1:21230l x a y a +-+-=，22:340l ax y a +++=，则“32a =”是“12l l //"的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、直线2xcos α－y －3＝0错误!的倾斜角的变化范围是（ ) A 。

错误! B 。

错误!C.错误!D 。

错误!8．在如图3的正方体ABCD ﹣A 'B ’C ’D '中,AB ＝3，点M 是侧面BCC ’B ’内的动点，满足AM ⊥BD '，设AM 与平面BCC ’B '所成角为θ，则tanθ的最大值为( )A ．B ．B ．C ．D ．二、多选题(共4小题，每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分) 9.下面四个结论正确的是A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥,则0a b ⋅=B ．若空间四个点P，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+,则A ，B ，C 三点共线C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b为钝角D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 10．已知直线l :2(1)10a a x y ++-+=，其中a R ∈,下列说法正确的是（ ）A ．当a ＝－1时,直线l 与直线x ＋y ＝0垂直B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行,则a ＝0C．直线l过定点（0,1)D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等11。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（ ）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（ ）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（ ）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

2020年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高2022届高2019级高二第一学期月考数学试题及解析答案

2020年辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高2022届高2019级高二第一学期月考数学试题及解析答案

2020～2021学年度辽宁省大连市瓦房店市实验高级中学高二第一学期月考数学试题一、单选题1.下列命题中,假命题是( )A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等 【参考答案】D【试题解析】根据向量的定义即可判断出答案.A.向量是有向线段,不能比较大小.真命题.B.两向量相等:方向相同,模长相等.起点相同,则终点也相同.真命题.C.零向量:模长为0的向量.真命题.D .共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题. 故选:D.本题考查向量的定义,属于基础题.向量:有向线段.既有大小也有方向. 2.设,x y R ∈,向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥,则a b +=( )A. C.3D.4【参考答案】C【试题解析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ,再求向量模长即可.()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，, (),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=, ()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，, ()222123a b ∴+=+-+=故选:C .本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示,属综合基础题. 3.若直线l∥α,且l 的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭,则m 为( ) A.－4 B.－6 C.－8D.8【参考答案】C【试题解析】由l ∥α,可得m •n ＝0,即可得出m 的值.∵l ∥α,∴m •n ＝2＋12m ＋2＝0. ∴m ＝﹣8. 故选C.本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为( )A.3B.2C.5D.5【参考答案】D【试题解析】由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角.解:以D 点为坐标原点,以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量. 110cos ,558BC AC ∴<>==⋅. ∴直线1BC 与平面11BB DD 10故选:D .此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题.5.已知平面α的一个法向量为(2,2,1)n →=,点(1,3,0)A -在平面α内,则点(2,1,3)P 到平面α的距离为( ) A.53B.43C.1D.23【参考答案】A【试题解析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可.由题意(3,2,3)PA →=--, 则||53441||n PA d n →→→⋅===++,故选:A本题主要考查了点到平面的距离,向量法求点到平面的距离,属于容易题. 6.二面角α－l －β为60°,A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面αβ、内,AC l ⊥,BD l ⊥,且AB AC a ==,2BD a =,则CD 的长为( )A.3aB.22aC.5aD.2a【参考答案】D【试题解析】由已知条件和空间向量加法可得CD CA AB BD =++,再根据向量模和数量积的关系可得 ()2CD CA AB BD =++,由此能求出CD 的长.因为二面角α－l －β为60°,A 、B 是棱l 上的两点,AC 、BD 分别在半平面αβ、内,AC l ⊥,BD l ⊥,所以,60AC BD >=<,0AC BA ⋅=,0AB BD ⋅= 又CD CA AB BD =++ 所以()2222+2+2+2 CD CA AB BDCA AB BD CA AB AB BD CA BD =++=++⋅⋅⋅222+2 CA AB BD CA BD =++⋅()2222= 22cos1202a a a a a a +++⋅⋅=.所以CD 的长为2a . 故选:D.本题考查空间线段长的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 7.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG ＝3GG 1,若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ,则(x ,y ,z )为( )A.111,,444⎛⎫⎪⎝⎭B.333,,444⎛⎫⎪⎝⎭C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】A【试题解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得131114444OG OG OA OB OC ===++,即得(x,y,z ).如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,1(2AE AB AC =+)＝1(2OB -2OA OC +), 121(33AG AE OB ==-2OA OC +).因为OG ＝31GG ＝3(1OG OG -), 所以OG ＝34OG 1. 则1133(44OG OG OA AG ==+)＝31211114333444OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭ . 故答案为A(1)本题主要考查空间向量的运算法则和基底法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量,,a b c 不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z 使p xa yb zc =++.我们把{},,x y z 叫做空间的一个基底,其中,,a b c 叫基向量.8.在空间直角坐标系O xyz -中,(0,0,0),O E F ,B 为EF 的中点,C 为空间一点且满足||||3CO CB ==,若1cos ,6EF BC <>=,,则OC OF ⋅=( ) A.9B.7C.5D.3【参考答案】D【试题解析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标,设(,,)C x y z ,利用||||3CO CB ==,1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标,最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值.设(,,)C x y z ,B ,(,,)OC x y z =,()BC x y z =--,(EF =-,由(()1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅,整理可得:2x y -=-,由||||3CO CB ==,=化简得x y +=,以上方程组联立得x y ,则()(,,)3OC OF x y z =⋅==. 故选:D.本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、多选题9.(多选题)下列说法正确的是( ) A.可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B.可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C.可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D.可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【参考答案】BCD【试题解析】==结合两点间的距离公式,即可求解.由题意,可得===,可看作点(),0x 与点()1,2--的距离,可看作点(),0x 与点1,2的距离,可看作点(),1x -与点()1,1-的距离,故选项A 不正确,故答案为:BCD.本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用,其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键,属于基础题.10.关于空间向量,以下说法正确的是( )A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点O ,有111632OP OA OB OC →→→→=++,则P ,A ,B ,C 四点共面C.已知向量{},,a b c →→→组是空间的一个基底,若m a c →→→=+,则{},,a b m →→→也是空间的一个基底D.若0a b →→⋅<,则a b →→⋅是钝角 【参考答案】ABC【试题解析】根据共线向量的概念,可判定A 是正确的;根据空间向量的基本定理,可判定B 是正确的;根据空间基底的概念,可判定C 正确;根据向量的夹角和数量积的意义,可判定D 不正确.对于A 中,根据共线向量的概念,可知空间中的三个向量,若有两个向量共线, 则这三个向量一定共面,所以是正确的;对于B 中,若对空间中任意一点O ,有111632OP OA OB OC →→→→=++,因为1111632++=,根据空间向量的基本定理,可得P ,A,B,C 四点一定共面,所以是正确的; 对于C 中,由{},,a b c →→→是空间中的一组基底,则向量,,a b c →→→不共面,可得向量,,a b c a +不共面,所以{},,a b m →→→也是空间的一组基底,所以是正确的;对于D 中,若0a b →→⋅<,又由[0,]a b π→→⋅∈,所以(,]2a b ππ→→⋅∈,所以不正确.故选:ABC本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用,基底的概念与判定,以及向量的夹角的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.如图,正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1,E是1DD的中点,则()A.直线1//B C平面1A BD B.11B C BD⊥C.三棱锥11C B CE-的体积为13D.异面直线1B C与BD所成的角为60︒【参考答案】ABD【试题解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法一一验证即可;解:如图建立空间直角坐标系,()0,0,0A,()1,0,0B,()1,1,0C,()0,1,0D,()10,0,1A,()11,0,1B,()11,1,1C,()10,1,1D,10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E,()1B C0,1,1=-,()11,1,1BD=-,()1,1,0BD=-,()11,0,1BA=-所以()111011110B C BD=-⨯+⨯+-⨯=,即11BC BD⊥,所以11B C BD⊥,故B正确;()11011101B C BD=-⨯+⨯+-⨯=,12B C =,2BD =,设异面直线1B C与BD所成的角为θ,则111cos2B C BDB C BDθ==,又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,所以3πθ=,故D正确;设平面1A BD的法向量为(),,n x y z=,则1·0·0n BAn BD⎧=⎨=⎩,即x yx z-+=⎧⎨-+=⎩,取()1,1,1n=,则()10111110n B C=⨯+⨯+⨯-=,即1Cn B⊥,又直线1B C⊄平面1A BD,所以直线1//B C 平面1A BD ,故A 正确;111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅,故C 错误;故选:ABD本题考查空间向量法在立体几何中的应用,属于中档题.12.如图,一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( )A.()()2212AA AB ADAC ++=B.()10AC AB AD ⋅-= C.向量1B C 与1AA 的夹角是60° D.1BD 与AC 所成角的余弦值为63【参考答案】AB【试题解析】直接用空间向量的基本定理,向量的运算对每一个选项进行逐一判断.以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°, 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭, 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- ＝0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形,则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-,AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-,()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以111cos ==6||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，,所以D 不正确.故选:AB本题考查空间向量的运算,用向量求夹角等,属于中档题.三、填空题13.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是(21)P -，,则AB 等于________ 【参考答案】【试题解析】根据点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,且AB 的中点是(21)P -，,利用中点坐标公式得到A ,B 的坐标,再利用两点间的距离公式求解.因为点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,且AB 的中点是(21)P -，, 所以(40),(02)，，-A B ,所以()()()22400225=-+--=AB ,故答案为:25本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用,属于基础题.14.如图,正三棱锥V ABC -的侧棱长为3,底面边长为2,则VA 与BC 所成角的余弦值为______.【参考答案】0【试题解析】根据向量的运算得出VA BC VA VC VA VB ⋅=⋅-⋅,利用数量积公式得出VA 与BC 所成角的余弦值.设VA 与VC 的夹角为θ,则VA 与VB 的夹角也是θBC VC VB =-9cos 9cos 0VA BC VA VC VA VB θθ∴⋅=⋅-⋅=-=则VA 与BC 所成角的余弦值为0||||VA BCVA BC ⋅=⋅故答案为:0本题主要考查了求异面直线的夹角的余弦值,属于中档题.15.已知空间三点的坐标为()1,5,2A -、()2,4,1B 、(),3,2C p q +,若A 、B 、C 三点共线,则p q +=______. 【参考答案】5【试题解析】将A 、B 、C 三点共线转化为//AB AC ,设AC k AB =,利用空间向量的坐标运算列出方程组可求出p 、q 、k 的值,可求出p q +的值.由题意可得()1,1,3AB=-,()1,2,4AC p q=--+,A、B、C三点共线,则//AB AC,则存在实数k,使得1243p kkq k-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩,解得232kpq=⎧⎪=⎨⎪=⎩, 因此,5p q+=,故答案为5.本题考查空间中三点共线问题,解题的关键在于将三点共线转化为向量共线来处理,考查运算求解能力,属于基础题.16.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D-中,底面边长为2,直线1CC与平面1ACD所成角的正弦值为13,则正四棱柱的高为_____.【参考答案】4【试题解析】以D为坐标原点,1,,DA DC DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 设1DD a=,求出平面1ACD的一个法向量n,则11cos,3n CC<>=,则可以得到答案.解:以D为坐标原点,1,,DA DC DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设1DD a=,则(2,0,0)A,(0,2,0)C,1(0,0,)D a,故(2,2,0)=-AC,1(2,0,)AD a=-,1(0,0, )CC a=,设平面1ACD的一个法向量为(,,)n x y z=,则122020n AC x yn AD x az⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩,可取21,1,na ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故11212cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+, 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13, 21324a ∴=+,解得4a =.故答案为:4.本题考查根据线面角,利用向量法求柱体的高,属于中档题.四、解答题17.在ABC 中,()2,5,3A -,()4,1,2AB =,()3,2,5BC =-. (1)求顶点B 、C 的坐标; (2)求CA BC ⋅;(3)若点P 在AC 上,且12AP PC =,求点P 的坐标. 【参考答案】(1)()6,4,5B -,()9,6,10C -;(2)58CA BC ⋅=-;(3)131616,,333P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【试题解析】(1)利用向量的坐标运算可求得点B 、C 的坐标;(2)计算出向量CA 、BC 的坐标,利用空间向量数量积的坐标运算可求得CA BC ⋅的值; (3)由12AP PC =可得()12OP OA OC OP -=-,可求得向量OP 的坐标,进而可求得点P 的坐标.(1)设点O 为坐标原点,()()()2,5,34,1,26,4,5OB OA AB =+=-+=-, 则()6,4,5B -.()()()6,4,53,2,59,6,10OC OB BC =+=-+-=-,则()9,6,10C -;(2)()7,1,7AC AB BC =+=-,则()7,1,7CA =--,又()3,2,5BC =-,因此,()()73127558CA BC ⋅=-⨯+⨯-+-⨯=-; (3)设点O 为坐标原点,12AP PC =,则()12OP OA OC OP -=-, 则()()21211316162,5,39,6,10,,3333333OP OA OC ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭, 所以,点P 的坐标为131616,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题考查空间向量的坐标运算,同时也考查了空间向量数量积的计算,考查计算能力,属于中等题.18.用坐标法证明:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等 【参考答案】证明见解析.【试题解析】建立平面直角坐标系,设()0,A a ,(),0Bb ,得到AB 的中点C 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭,然后用两点间的距离分别求得CA ,CB ,CO 即可.建立如图所示的平面直角坐标系,设()0,A a ,(),0B b ,则AB 的中点C 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭.∵2222022b a a b CA a +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2222022b a a b CB b +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 22220222b a a b CO b +⎛⎫⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴CA CB CO ==,即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离都相等.本题主要考查两点间的距离公式的应用,属于基础题.19.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC ＝90°,BC ＝2,CC 1＝4,点E 在棱BB 1上,EB 1＝1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H .(1)求证:B 1D ⊥平面ABD ; (2)求证:平面EGF ∥平面ABD ; (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.【参考答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【试题解析】(1)建立空间直角坐标系,运用线面垂直的判定定理可得证; (2)由面面平行的判定定理可得证;(3)根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距.(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,设AB＝a,则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D (0,2,2),G102a⎛⎫⎪⎝⎭，，.所以1B D＝(0,2,2),AB＝(-a,0,0),BD＝(0,2,-2).所以1·B D AB＝0＋0＋0＝0,1·B D BD＝0＋4-4＝0.所以11B D AB B D BD⊥⊥，,所以B1D⊥AB,B1D⊥BD.又AB∩BD＝B,所以B1D⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得AB＝(-a,0,0),BD＝(0,2,-2),-002aGF EF⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，＝(0,1,-1),所以AB＝2GF BD，＝2EF,所以////GF AB EF BD，.所以GF∥AB,EF∥BD.又GF∩EF＝F,AB∩BD＝B,所以平面EGF∥平面ABD.(3)解:由(1)(2)知,1B D是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面EGF∥平面ABD,所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离,设为d.因为EB＝(0,0,3),1B D＝(0,2,2),所以d＝1221||322||22B D EBB D⋅==+.即两平面间的距离为322.本题考查空间中的线面垂直、面面平行的证明,面到面的距离转化到一个面内一个点到面的距离的问题,属于中档题.20.已知()1,1,2a λλ=+,()6,21,2b m =-. (1)若//a b ,分别求λ与m 的值;(2)若5a =,且与()2,2,c λλ=--垂直,求a . 【参考答案】(1)15λ=,3m =;(2)()0,1,2a =-. 【试题解析】(1)设()a kb k R =∈,利用空间向量的坐标运算可得出关于k 、λ、m 的方程组,进而可解得实数λ与m 的值;(2)根据题意可得出关于λ的等式组,解得实数λ的值,由此可得出向量a 的坐标. (1)//a b ,设()a kb k R =∈,得()()1,1,26,21,2k m λλ+=-,()1612122k k m k λλ+=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩,解得153k m λ⎧==⎪⎨⎪=⎩,因此,15λ=,3m =;(2)50a a c ⎧=⎨⋅=⎩,()()()2222112521220λλλλλ⎧+++=⎪∴⎨+--=⎪⎩,化简,得225230220λλλ⎧+-=⎨-=⎩,解得1λ=-.因此,()0,1,2a =-.本题考查利用空间向量共线求参数,同时也考查了利用空间向量的坐标运算处理垂直和模的相关问题,考查计算能力,属于中等题.21.如图,三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C,点E 是棱1C C 的中点,已知1111112A B BC C C B E ====，(Ⅰ)求证:1B B ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角11A EB A --的余弦值. 【参考答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)5.3. 【试题解析】(Ⅰ)首先证明四边形11BB C C 为矩形,可得1B B BC ,结合1B B AB ⊥,可证1B B ⊥平面ABC(Ⅱ)分别以BC ,1BB BA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,利用法向量求二面角的余弦值.(Ⅰ)依题意,在11B C E ∆中,1111112512B C B E C E C C ====，，, 所以2221111B C C E B E +=,所以1190B C E ∠=.又因为三棱锥111ABC A B C -中,四边形11BB C C 为平行四边形, 所以四边形11BB C C 为矩形, 所以1B BBC .因为AB ⊥平面11BB C C ,1BB ⊂平面11BB C C ,所以1B B AB ⊥.又因为AB BC ⊂，平面ABC ,AB BC B ⋂=, 所以1B B ⊥平面ABC .(Ⅱ)因为AB ⊥平面11BB C C ,BC ⊂平面11BB C C , 所以AB BC ⊥.如图建立空间直角坐标系B −xyz ,则111()()()())00221002002221(0A E B A B E =-,,,,,,,,,,,,,,,111)022((002)B A B A =-=,,,,,,设平面1AEB 的法向量为(,,)n x y z =,则1120,0,220.0x y n B E y z n B A ⎧-=⋅=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩即, 令1x =,则2y =,2z = , 于是,,(1)22n =,设平面11A EB 的法向量为111(,,)m x y z =,则11100m B E m B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1112020x y z -=⎧⎨=⎩ 令1x =,则2y =,0z =. 于是(1,2,0)m =,所以cos ,35n m n m n m⋅<>===由题知二面角11A EB A --为锐角,所以其余弦值为3本题主要考查了线面位置关系线面垂直的证明以及二面角余弦值的求解,属于中档题. 22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,AD AB ⊥,//AD BC ,3AD =,2AB BC ==,4PA =,5PD =,平面PAD ⊥平面ABCD ,点E 在棱PD 上,()01PE PD λλ=<<,,F G 分别为,PC PB 的中点,过,,E F G 三点的平面交PA 于点H ,且//EF 平面PAB .(1)求λ的值;(2)求PC 与平面EFGH 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)13;(2278【试题解析】(1)首先证明四边形EFGH 为平行四边形,再得出1HE =,然后用相似关系求出λ的值;(2)建立空间直角坐标系A xyz -,用向量法求出PC 与平面EFGH 所成角的正弦值.解:(1)因为EF 平面PAB ,EF ⊂平面EFGH ,平面PAB ⋂平面EFGH GH =, 所以EFGH .因为F 为PC 的中点,G 为PB 的中点, 所以FGBC .又因为底面ABCD 为直角梯形,AD BC ∥, 所以FG AD ∥.因为FG ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , 所以FG ∥平面PAD . 又因为平面EFGH 平面PAD EH =,所以FG EH ∥,从而四边形EFGH 为平行四边形. 又2BC =,所以1FG =, 所以1EH GF ==,所以13PE EH PD AD ==,所以13PE PD =.所以λ的值为13.(2)由题可知3AD=,4PA=,5PD=所以222AD PA PD+=,所以PA AD⊥.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且交于AD,所以PA⊥平面ABCD.又AB AD⊥,所以,,AB AD AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以向量AB,AD,AP所在方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-.所以()0,0,0A,()2,0,0B,()2,2,0C,()0,3,0D,()0,0,4P.由(1)可知13λ=,即13PE PD=.所以80,1,3E⎛⎫⎪⎝⎭.因为EH AD∥,13EH AD=,所以80,0,3H⎛⎫⎪⎝⎭.又F为PC的中点,所以()1,1,2F.所以()0,1,0EH=-,21,0,3EF⎛⎫=-⎪⎝⎭,()2,2,4PC=-.设平面EFGH的一个法向量(),,n x y z=,所以0,0,n EFn EF⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,3yx z=⎧⎪⎨-=⎪⎩令3z=,所以2x=,所以()2,0,3n=.设PC与平面EFGH所成的角的平面角为θ,所以sin cos ,13n PCn PC n PC θ⋅====故PC 与平面EFGH 所成角的正弦值为.本题主要考查立体几何、空间直角坐标系、直线与平面所成角的正弦值等相关知识,考查运算求解能力,属于基础题型.。

高二数学上学期第一次月考测试题和答案

高二数学上学期第一次月考测试题和答案

高二数学上学期第一次月考测试题和答案高二数学月底考试是检测学习成效的重要手段，只有平时认真对待每一次数学月考，才能够在高考数学考试中超常发挥。

以下是店铺为大家收集整理的高二数学月考测试题，希望对大家有所帮助!高二数学上学期第一次月考测试题(理科卷)(考试时间：120分钟总分：150分)一、(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.以两点A(-3，-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(A) k>4?(B)k>5?(C) k>6?(D)k>7?(第3题)3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )A. B. C. D.4. 将51转化为二进制数得 ( )A.100 111(2)B.110 110(2)C.110 011(2)D.110 101(2)5.读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILE i<=5S= S+iI= i+1WENDPRINT SENDI= 5S= 0DOS = S+iI = i-1LOOP UNTIL i<1PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A 程序不同，结果不同B 程序不同，结果相同C 程序相同，结果不同D 程序相同，结果不同6.(如图)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是( )A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=-10 则输出的是( )A. 1B. 0C. 20D. -208..若点P(1，1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A. B.C. D.9. 三个数390, 455, 546的最大公约数是 ( )A.65B.91C.26D.1310. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )A. 和B. 和C. 和D. 和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ). .12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样二、题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.14. 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2 v1=2×5-5=5 则v3= ________.15. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16.若集合A={(x，y)y=1+4-x2}，B={(x，y)y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)对甲?乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲?乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.(本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图;(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19.(本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?参考公式：20. (本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.21.(本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框 =f( )其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有 ;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值 .22.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围.高二数学月考测试题参考答案一、题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、题(13)、 15..10..20 (14)、 108. (15 ) 16 (16) 512三、解答题1718. 解析】 (1)频率分布直方图如图…………6分(2) (克) …………12分19. 解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x=255=5，y=2505=50，i=15x2i=145，i=15y2i=13 500，i=15xiyi=1 380.于是可得b=i=15xiyi-5x yi=15x2i-5x2=1 380-5×5×50145-5×52=6.5; ——————7分a=y-bx=50-6.5×5=17.5，因此，所求回归直线方程是=6.5x+17.5. ——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元. ————————————12分20. 【解析】：(1)平均数是=1 500+≈1 500+591=2 091(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ——————————————4分(2)平均数是≈1 500+1 788=3 288(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. ——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2) 要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0,即 ,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22. 解析：(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a，a)，半径为2a. ——————————2分直线l的方程化为：x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是-2a+42=22-a. ——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2(2a)2-(22-a)2 ——————————5分=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0(2)因为直线l与圆C相切，则有m-2a2=2a，——————————8分即m-2a=22a.又点C在直线l的上方，∴a>-a+m，即2a>m. ——————————10分∴2a-m=22a，∴m=2a-12-1.∵0。

贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案贵溪市实验中学高中部2020—2021学年第一学期第一次月考高二(理科)数学试卷考试时间:120分钟 总分：150 命题人：一、 选择题:本大题共12小题。

每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。

1、设等差数列｛}的前n 项和为n S ，若515S =,则3a =（ ） A. 3 B 。

4 C. 5 D 。

6 2．若a b c >>，且0a b c ++=,则（ ） A ．ab bc > B ．ac bc >C ．ab ac >D ．a b c b >3．若a 和b 是异面直线，a 和c 是平行直线，则b 和c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．异面或相交D ．相交、平行或异面4、在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5、从平面α外一点P 引直线与α相交，使P 点与交点的距离等于1,这样的直线（ ）A ．仅可作2条B ．可作无数条C ．仅可作1条D ．可作1条或无数条或不存在6、已知圆锥的母线长是10,侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）。

A ．B ． 100πC ．D ． 50π7．已知数列{}n a 为各项均不相等的等比数列，其前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则 ）A ．3B．1 D8、关于空间中直线与平面之间的关系描述不正确的是（ ) A ．b a a //,α⊥⇒α⊥b B ．αα⊥⊥b a ,⇒b a // C ．α⊂b b a ,//⇒α//a D ．αβα⊂a ,//⇒β//a9、在ABC 中，角A , B ， C 的对边分别为a , b ， c ，且75A =︒， 60B =︒，则b =（)．A.B 。

人教版高二上学期数学第一次月考试题解析版

人教版高二上学期数学第一次月考试题解析版
人教版
高
中
数
学
测试卷
（考试题）
2020-2021学年度第一学期永寿县中学第一次月考试题
高二数学
一､单选题
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出集合 ， ，再根据交集的定义求出 ．
【详解】解： 集合 ，
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
21.已知等差数列 满足 ，前7项和为
（Ⅰ）求 的通项公式
（Ⅱ）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2) .
【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得 ，得 ，然后由已知 可得公差，进而求出通项；（2）先明确 = ，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.
解析：
（Ⅰ）由 ，得
19.已知数列 的前n项和为 ，点 ( )均在二次函数 的图象上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）通过点 ( )均在二次函数 的图象上，求出 利用 ，求解数列 的通项公式；
（2）通过 ，数列 的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出 ， 利用两角和的正弦公式即可得解.
【详解】由题 均为锐角，所以 ，
，所以 ，
.
故选：B
【点睛】此题考查三角函数给值求值问题，关键在于根据题意分析角的取值范围，整体代入利用两角和的正弦公式求解.
10.已知数列 满足 ，则 （）

2019-2020学年安徽省合肥高二上学期第一次月考数学试题 解析版

2019-2020学年安徽省合肥高二上学期第一次月考数学试题 解析版

合肥九中2019-2020学年第一学期高二第一次月考数学卷一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，圆锥的底面直径，母线长，点C在母线长VB上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）3.4.5. A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）7.A.B.C.D.8.下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（）A. B.C. D.9.以下命题中真命题的序号是10.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱；11.有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台；12.用一个平面去截圆锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；13.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．A. B. C. D.14.一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（）A. B. C. D. 315.如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（）①BM与ED平行②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．A. B. C. D.16.如图是水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到的直观图，其中B′O′=C′O′=，A′O′=，那么△ABC的面积是（）A. B. C. D.17.下列命题正确的是A. 两两相交的三条直线可确定一个平面B. 两个平面与第三个平面所成的角都相等,则这两个平面一定平行C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线18.下列四个命题中错误的是（）A. 若直线a、b互相平行,则直线a、b确定一个平面B. 若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线C. 若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面19.已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A. m与n异面B. m与n相交C. m与n平行D. m与n异面、相交、平行均有可能20.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A. B.C. D.21.下列命题，能得出直线m与平面α平行的是（）A. 直线m与平面内所有直线平行B. 直线m与平面内无数条直线平行C. 直线m与平面没有公共点D. 直线m与平面内的一条直线平行22.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）23.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是______．24.25.26.27.28.29.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为______．30.31.32.33.34.35.如图，已知三棱锥A-BCD中，AD,BD,CD两两垂直，AD=BD=1,CD=,E,F分别为AC,BC的中点，则点C到平面DEF的距离为__________ .36.37.38.39.如图所示，O是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的投影不可能是___________ .三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）40.如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．41.42.43.44.（1）求该几何体的体积;45.（2）求该几何体的表面积．46.47.48.49.50.51.52.53.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形．54.（1）证明：A1C1∥平面ACD1；55.（2）求异面直线CD与AD1所成角的大小；56.（3）已知三棱锥D1-ACD的体积为，求AA1的长．57.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．58.59.60.61.62.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且DE=2AF=2AD（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，使点E到达点G的位置，连结BG、BF、CG（如图2），且AB⊥GD．63.（1）证明：AC∥平面BFG；64.（2）当AB=DG=2，求三棱锥A-BCG的体积．65.如图，正方体中，是的中点．66.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成的角．答案和解析1.【答案】C【解析】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，属于基础题.要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，解得：α=，∴∠AVA′=，则∠1=，过C作CF⊥VA，∵VC=1，∠1=60°，∴∠VCF=30°，∴FV=，∴CF2=CV2-VF2=，∵AV=3，FV=，∴AF=，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为底面直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可．本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面直径为2，高为2的圆柱的一半．体积V==π．故选A．4.【答案】D【解析】【分析】在A、C中，均得到PR∥SQ，B中得到PS∥RQ，P、Q、R、S四点共面；在D中，PS与SQ既不平行也不相交，P、Q、R、S四点不共面．本题考查四点共面的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．【解答】解：在A中，∵正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，∴PR∥SQ，∴P、Q、R、S四点共面，故A不正确；在B中，正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，∴PS∥RQ，∴P、Q、R、S四点共面，故B不正确；在C中，四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，∴PR∥SQ，∴P、Q、R、S四点共面，故C不正确；在D中，四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，∴PS与SQ既不平行也不相交，∴P、Q、R、S四点不共面，故D正确．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱柱、棱台、圆台的定义的应用，直接利用棱柱、棱台、圆台的定义，判断选项即可得出，是基础题．【解答】解：①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；正确，当平面与棱柱的所有平面不平行时，截出的两个几何体不是棱柱．②有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台；不正确，不满足棱台的定义．③用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台；不正确，当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台．④有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．不正确，不满足棱柱的定义．如下图:故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查正三棱柱的外接球的半径的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键．正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，利用勾股定理求出球的半径．【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，所以，r==．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确.故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查．B′O′=C′O′=，A′O′=，直接计算△ABC即可．【解答】解：因为B′O′=C′O′=，A′O′=，所以△ABC的面积为=．故选C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质应用问题，是基础题目．根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故选C．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．故选C．11.【答案】D【解析】【分析】可根据题目中的信息作图判断即可．本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．【解答】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故D不满足题意；选项A满足题意，(假设AB//平面MNQ，利用线面平行的性质定理，过ABQ的平面与MN交点P，可得AB//QP，但QP显然与AB不平行，矛盾，所以直线AB与平面MNQ不平行.)故选A．13.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了直线与平面平行的判定．利用特例解决选择题，较好．判断出A项说法错误，B项，C项当直线m在平面α内，满足，但m与α不平行．【解答】解：A项命题本身说法错误；B项当直线m在平面α内，m与α不平行；C项能推出m与α平行．D项，当直线m在平面α内满足，m与α不平行．故选C．14.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形，PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=4+1-2×2×1×（-）=7，∴AC=，∴MQ=，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===-；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．故选C．15.【答案】【解析】【分析】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为V2=R3，圆柱的体积为V1=πR2•2R=2πR3,则==．故答案为．16.【答案】【解析】解：将三棱锥A-DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则V A -DED1=V E -ADD1，其中S△ADD1=S A1D1DA=，E到底面ADD1的距离等于棱长1，故．故答案为：将三棱锥A-DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，进行等体积转化V A -DED1=V E -ADD1后体积易求本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．17.【答案】【解析】【分析】此题考查点到面的距离，考查线面垂直的判断，及三棱锥的体积公式，属于中档题.关键是利用体积相等列方程.【解答】解：三棱锥A－BCD中，AD，BD，CD两两垂直，则，点A到平面BDC的距离为AD＝1，E为AC的中点，则点E到平面DFC的距离为，又，，，，由余弦定理可得,在中，有所以，设点C到平面DEF的距离为d，又，，所以.故答案为.18.【答案】①【解析】【分析】空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的投影是③选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的投影是④选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的投影是②选项的图形，得到结论．本题考查平行投影及平行投影作图法，考查在同一图形在不同投影面上的投影不同，本题是一个基础题．【解答】解：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的投影是③选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的投影是④选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的投影是②选项的图形，只有①选项不可能是投影，故答案为：①．19.【答案】解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为2,母线长为2的圆锥与一个长宽都为2高为1的长方体组成的组合体.此几何体的体积为；（2）此几何体的表面积.【解析】本题主要考查空间几何体的三视图以及几何体的表面积与体积，考查了学生的空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.（1）根据空间几何体的三视图，可知原几何体的形状，利用柱体与圆锥的体积即可求得结果；（2）利用柱体与圆锥的即可得到结果.20.【答案】（1）证明：在长方体中，因A1A=CC1，A1A∥CC1，可得A1C1∥AC，A1C1不在平面ACD1内，AC⊂平面ACD1，则A1C1∥平面ACD1；……………………………………………（4分）（2）解：因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，可得CD⊥AD1，所以异面直线CD与AD1所成角900；………………………………………………（8分）（3）解：由三棱锥D1-ACD的体积为，可得，∴AA1=1．……………………………………………（12分）【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1C1∥AC，即可得A1C1∥平面ACD1；（2）由CD⊥平面ADD1A1，可得CD⊥AD1，异面直线CD与AD1所成角900；（3）由三棱锥D1-ACD的体积为，可得，即可得解．本题考查直线与平面平行的判定，直线与直线所成角的计算，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21.【答案】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台-V圆锥=[25π++4π]×4-×2π×2×2=×39π×4-×8π=．所求表面积为：，体积为：．【解析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．22.【答案】（1）证明：取DG中点M，连接AM，CM，可得AM∥FG，CM∥BF，又AM∩CM=M，∴平面ACM∥平面BFG，∴AC∥平面BFG；（2）解：由AB⊥DG，AD⊥DG，且AB∩AD=A，可得DG⊥平面ABCD，又AB=DG=2，∴，∴．【解析】（1）取DG中点M，连接AM，CM，得AM∥FG，CM∥BF，由面面平行的判定可得平面ACM∥平面BFG，进一步得到AC∥平面BFG；（2）由AB⊥DG，AD⊥DG，得DG⊥平面ABCD，由已知结合棱锥体积公式可得三棱锥A-BCG 的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．23.【答案】(1)证明：连接交于点，连接．因为分别是与的中点，所以．又因为在平面内，不在平面内，所以平面．(2)解：连接，由于且，所以四边形为平行四边形，，异面直线与所成的角为或其补角．而为正三角形，所以异面直线与所成的角为．【解析】本题主要考查空间中的线面关系的证明及异面直线所成角的求法，考查线面垂直判定定理及平面向量的夹角求异面直线所成角，属于中档题.（1）连结交于点，连结，再运用线面平行的判定方法化简即可求解；（2）由题意得，直接运用线线角的判定方法化简即可求解.。

安徽省合肥一中2020至2021高二上学期第一次月考 数学理试题

安徽省合肥一中2020至2021高二上学期第一次月考 数学理试题

合肥一中2020-2021学年高二上学期第一次段考理科数学试卷一选择题。

（每题4分，计40分） 1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 3．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是（ ） A 用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B 几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D 水平放置的圆的直观图是椭圆4．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 25、一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．底面是正方形，有两个相邻侧面垂直于底面6. 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3107．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是( ) A 若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B 若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C 若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥M D 若a ⊥M ，M ∥N ，则a ⊥N 8、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．如图，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）10. 有一个长方体容器1111D C B A ABCD -,装的水恰好占其容积的一半；α表示水平的桌面,容器一边BC 紧贴桌面，沿BC 将其翻转使之倾斜，最后水面(阴影部分)与其各侧棱的．．．．．交点．．分别是EFGH （如图），设翻转后容器中的水形成的几何体是M ，翻转过程中水和容器接触面积为S ,则下列说法正确．．的是 （ ） A ．M 是棱柱，S 逐渐增大 B ．M 是棱柱，S 始终不变 C ．M 是棱台，S 逐渐增大 D ．M 是棱台，S 始终不变二．填空题（每题4分，计16分）11．如下图所示，AOB ∆是平面图形M 的直观图，则M 的面积是12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．45︒BO A 2213．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是14.关于图中的正方体1111D C B A ABCD -，下列说法正确的有： ___________．①P 点在线段BD 上运动，棱锥11D AB P -体积不变； ②P 点在线段BD 上运动，直线AP 与平面11D AB 所成角不变； ③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面11D AB 与平面1BDC 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

2020-2021学年山东省招远一中高二上学期1月月考数学试题 word版

2020-2021学年山东省招远一中高二上学期1月月考数学试题 word版

招远一中2020-2021学年度第一学期高二1月月考试题数 学一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 一、单选题1．数列1111,,,,261220⋅⋅⋅，的个通项公式是A ．1(1)n a n n =-B ．12(21)n a n n =-C ．111n a n n =-+ D ．11n a n=-2．双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为A ．2B ．95C ．125 D ．33．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1=1，a 2=2，且满足()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈，则该医院30天入院治疗流感的总人数为 A ．225B ．255C ．365D ．4654．在直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，位于第一象限上的点()00,P x y 是双曲线C 上的一点，满足120PF PF ⋅=，若点P 的纵坐标的取值范围是024,35y c c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．B ．（2，4）C ．（3，5）D ．5．点P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到点A （0，-1）的距离与点P 到直线x=-2的距离和的最小值是ABC 1D 16．已知m 、n 、s 、t ∈（0，+∞），m+n=4，9m n s t +=其中m 、n 是常数，且s+t 的最小值是89，满足条件的点（m ，n ）是双曲线22128x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为A ．x+4y -10=0B ．2x -y -2=0C ．4x+y -10=0D ．4x -y -6=07．在圆锥PO 中，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点．根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M 为原点，MO 为x 轴，过M 点与MO 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为A B C D8．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论不正确的是A ．||||AF BF +为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =△ABF 为直角三角形 D ．当m=1时，△ABF 二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．9．已知数列{a n }：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是A ．68S a =B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点M （1，0），直线l ：x=-2，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是 A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线l'：x=-1是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）C ．y=2x+6是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 11．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是A ．卫星向径的取值范围是[,]a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小12．如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交C 1于A ，B 两点，连接AB ，△OMN 与△OAB 的面积分别记为OMNS ，OABS，则在下列结论中正确的为A ．若记直线MO ，MO 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2的大小是定值14B ．△OAB 的面积OABS 是定值1C ．设OMNOABS S λ=，则2λ≥ D ．22||||OA OB +为定值4 三、填空题：本题共4小题．13．已知数列{a n }满足a 1=2，()*1(1)n n n n a a a n N +=+-∈，则42aa的值为14．抛物线24y x =的准线方程为15直线x+2y -2=0经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线2:2(0)C y px p =>（如图）一条平行x 轴的光线射向C 上一点P 点，经过C 的焦点F 射向C 上的点Q ，再反射后沿平行x 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C 的方程是四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．求下列曲线方程：（1）已知椭圆222:1(8x y C a a +=>的离心率为13e =，求椭圆C 的方程．（2）已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为6，近线方程为y ，求双曲线C 的方程．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2342n S n n =-+．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）取出数列{a n }的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列{b n }，写出{b n }的通项公式．19．己知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的一个顶点坐标为（2，0），直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A ，B ．（1）求椭圆M 的方程； （2）设点C （1，1），当△ABC 的面积为时，求实数m 的值． 20．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线方程为x=-1，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，且OM k ．（1）求直线l 的方程；（2）若过T （4，0）且互相垂直的直线l 1，l 2分别与抛物线C 交于P ，Q ，R ，S 四点，求四边形PQRS 面积的最小值．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，且离心率为12，点M 为椭圆上的动点，△F 1MF 2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）M ，N 是椭圆C 上的动点，且直线MN 经过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO=∠NQO ？若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，其长轴长是短轴长的2倍，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k≠0，证明：1211kk kk +为定值，并求出这个定值； （3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围．高二数学参考答案与评分标准一、单选题CCBD DDAB 二、多选题9．BCD 10．BD 11．ABD 12．BC 三、填空题 13．43 14．116y =- 1516．24y x = 四、解答题17．解：（1）因为椭圆222:1(8x y C a a +=>，所以28b =，又因为离心率为13e =，所以222819c a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 解得29a =．所以椭圆C 的方程．22198x y +=．（2）因为双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为6，所以c=3，又因为渐近线方程为y =，所以b a =，2222254b c a a a -==， 解得24a =，25b =，所以双曲线C 的方程．22145x y -=．18．解：（1）当n=1时，11314121a S ==⨯-⨯+=，当n≥2时，由2342n S n n =-+，得213(1)4(1)2n S n n -=---+， 两式相减得：67n a n =-，11a =，不适合上式， 所以数列{a n }的通项公式．1,167,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．（2）数列{a n }的偶数项从小到大排列为：5，17，29，41，…， 则{b n }的通项公式为127n b n =-． 19解：（1）由题意知：a=2，c a =c =，2221b a c ∴=-= ∴椭圆M 的方程为：2214x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y 联立2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x mx m ++-= ()226420440m m ∴∆=-->，解得：m <1285mx x ∴+=-，212445m x x -=||AB ∴=又点C 到直线AB 的距离为：d =11||122ABC S AB d ∆∴=⋅==，解得：(m =m ∴=． 20．解：（1）由题意抛物线的方程为：24y x =设直线:1l x ty =+，代入抛物线中得：224(1)440y ty y ty =+⇒--= 则124y y t +=，()12122x x t y y +=++设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，即()221,2M t t +则222122OM t k t t ==⇒=+即直线0l y -． （2）由题意l 1，l 2的斜率存在且都不为0设直线1:4l x my =+，代入抛物线中得：24160y my --=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12||PQ y -=同理||RS =则1||||2PRQS S PQ RS ===令2212u m m =+≥，则S =当且仅当u=2，即m=±1时，四边形PQRS 面积的最小值为80．21．解：（1）△F 1MF 2面积最大值为：1211222S F F b c b bc =⋅=⋅⋅=，又12c a =，b ∴=，解得：1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2,a b ==， 所以方程为：22143x y +=． （2）假设存在满足题意的定点Q ，设Q （0，m ），设直线l 的方程为，12y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x ，得()22344110k x kx ++-=． 由直线l 过椭圆内一点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故0∆>恒成立，由求根公式得：122434k x x k -+=+，1221134x x k-⋅=+， 由∠MQO=∠NQO ，可得直线MQ 与NO 斜率和为零．故121212121122kx m kx m y m y mx x x x +-+---+=+， ()1212121220kx x m x x x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭==， ()1212221(11)1(4)22234234k kx x m x x k m k k --⎛⎫⎛⎫+-+=⋅+-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭24(6)034k m k -==+． 所以m=6，存在定点（0，6），当斜率不存在时定点（0，6）也符合题意．22．解（1）由于222c a b =-，将x=-c 代入椭圆方程22221x y a b +=1，得2b y a=±．由题意知221b a =，即22a b =．又12b a =，222a bc =+，所以a=2，b=1．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设()()000,0P x y y ≠，则直线l 的方程为()00y y k x x -=-．联立得()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩整理得()()()2222220000001484210k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-=由题意得△=0，即()22200004210x k x y k y -++-=．又220014x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．又知00012000211x x x k k y y y ++=+=，所以001212004211111g 8yx kk kk k k k x y ⎛⎫⎛⎫+=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为-8． （3）设()()000,0P x y y ≠，又1(F，2F ，所以直线PF 1，PF 2的方程分别为(1000:0PF l y x x y -=，(2000:0PF l y x x y -=．=由于点P在椭圆上，所以2214xy+==．因为m<22x-<<=，所以34m x=，因此3322m-<<．。

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2020学年第一学期高二级月考
数学试题
注意事项：
1.本试题共4页，四大题，18小题，满分130分（含附加题10分），考试时间90分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。

2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。

3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。

第Ⅰ卷选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1.在△ABC中，已知A=75°，B=45°，b=4，则c=()
A. √6
B. 2
C. 4√3
D. 2√6
2.若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是()
A. a−b>c−d
B. a+c>b+d
C. a−c>b−c
D. a−c<a−d
3.已知△ABC中，AB=2，BC=3，AC=√10，则cosB=()
A. √10
8B. √10
4
C. 1
4
D. 1
2
4.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S3=21，则公比q=()
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知x>0，y>0，且1
x
+4
y
=1，则x+y的最小值为()
A.6
B. 8
C. 9
D. 12
6.已知数列{a n}是首项a1=4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，−2a3成
等差数列，则公比q等于()
A. 1
2
B. −1
C. 2
D. −2
7.任取实数x∈[−2,8]，则所取x满足不等式x2−5x+6≤0的概率为()
A. 1
8B. 1
9
C. 1
10
D. 1
11
8.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方
一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两).问玉、石重各几何?”如图所示的程序框图反映了对此题的一
个求解算法，运行该程序框图，则输出的x,y分别为()
A. 98，78
B. 96，80
C. 94，74
D. 92，72
9.设等差数列{a n}前n项和为S n，等差数列{b n}前n项和为T n，若S n
T n
=20n−1
2n−1
，
则a3
b3
=()
A. 59
5
B. 11
C. 12
D. 13
10.在△ABC中，若AB=√37，BC=4，C=2π
3
，则△ABC的面积S=()
A.3√3
B. 3√2
C. 6
D. 4
第Ⅱ卷非选择题（共80分）
二、填空题（本大题共2小题，共10分）
11.若变量x，y满足约束条件{x+y⩾−1
2x−y≤1
y⩽1
，则z=3x−y的最小值为
__________．
12.已知数列{a n}满足a1=1，log2a n+1=log2a n+1，若a m=32，则
m=________．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
13.（10分）解下列不等式：
>1
(1)3x2−7x+2>0 (2)2x+4
x−3
14.（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．已知a3=5，S7=49．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n=1
，求数列{b n}的前n项和T n．
a n a n+1
15.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B+sin2C−
sin2A=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若a=4，△ABC的面积为4√3，求b，c．
16.（12分）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
17.（14分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N∗，点(a n,S n)都在函数f(x)=2x−2的图象上.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列b n=(2n−1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.
四、附加题（本大题共1小题，共10分）
18.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿
在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设ΔABD中边BD所对的角为A，ΔBCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=2√3．
霍尔顿发现无论BD多长，√3cosA−cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值.。

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