大学物理 第四章功和能(必看)
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大学物理第04章_功和能
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
大学物理 第四章功和能(必看)
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
《大学物理》第四章功和能
地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
大学物理 第四章
b
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态
重 大
函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功
赵 有关，是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关，且与做功路径有关，称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周，保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ，则在此过程中，
力对质点所做的功按以下计算：
第一篇 力学
解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0，
重
大 数 理 学
初态动能：
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能： r , v 0, Ek 0
承 均
大学物理课件第4章-功和能
如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒（ 势能无变化）
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，
如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解：
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
（从碰撞前后两球中心连线角度分类 ）
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
（从碰撞能量损失角度分类）
例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于
第四章 功和能
第一篇力学第4章功和能第4章功和能Work & Energy第1节功功率第2节动能动能定理第3节保守力势能第4节功能原理机械能守恒定律d rαrr 'ab Fod d A F r =⋅所做的总功d b ab a A F r =⋅⎰d cos b F S α=⎰d cos b aF r α=⎰Work & Power第1节功功率1.功——力的空间积累效应将质点由a 移动到b ，F力相应于元位移d rF , 力对质点所做的功为:——元功tt +d t合力做的功：注意：d b ab aA F r=⋅⎰可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和。
若有多个力同时作用在质点上，则d bab a A F r =⋅⎰ d 12(...)b a F F r=++⋅⎰d d 12...b b a a F r F r =⋅+⋅+⎰⎰...A A ++=21(1)力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关。
2.功率平均功率：瞬时功率(功率)：——做功的快慢功率：力在单位时间内所做的功A P t∆∆=d d 0lim t A A P tt ∆∆∆→==d d A F r=⋅ d d r F F v t =⋅=⋅ P F v∴=⋅单位: 瓦特符号W 1W ＝1J·s －1当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。
这就是为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力拉着质量为m 的车沿半径为R 的圆弧形路面极缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为μ，求:车由底端A 被拉上顶端B 时,各力对车所做的功。
解:车受4个力的作用拉力F 、摩擦力f ，沿切向路面支持力N 指向圆心O重力mg 竖直向下在切向与法向有:sin 0F f mg θ--=Nf μ=而()cos sin F mg μθθ∴=+cos 0N mg θ-=拉力的功:d B F A A F S=⎰31[]mgR μ=+d 600(cos sin )mg R μθθθ=+⎰R O R AB θo60重力的功d 600sin g A mg R θθ=-⋅⎰d()600cos mgR θ=⎰/2mgR =-摩擦力的功d 0Sf A f S=-⎰d 600cos mg R μθθ=-⋅⎰μmgR 23-=路面支持力N 的功为零.RORABθo60例2.一人从H ＝10m 深的水井中提水,开始时,桶中装有M ＝10kg 的水(忽略桶的质量).由于水桶漏水,每升高1m 要漏出0.2kg 的水,求将水桶匀速地从井中提到井口的过程中,人所做的功。
大学物理功和能课件讲义
解: 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
Af E2 E1
E2 E1 mgh
Af mg cos s' mgs mg(s's)
mg(s's) mgh
代入已知数据有 s h s' 500m
例4.5 一半径为 R的四分之一圆弧垂直固定于地面上，
止，距离为a. 在万有引力作用下,
两者距离变为b. 在此过程中,万有引
力做的功A=.
解： A Epa Epb
( Gm2 ) ( Gm2 )
a
b
Gm2 (a b)
ab
[思考]两者距离为b时的速率？
[例4-8] 质量为m的质点在指向圆心的力
F=k/r2 的作用下，作半径为r的
圆周运动，若取Ep=0，则系统的机
2. 力学中常见的势能函数
(1) 万有引力势能
由
Aab
(
Gm1m2 ra
) (
Gm1m2 rb
)
=
EPa－EPb
以r→∞时为万有引力势能零点，即令 EPy 0
由任一状态势能值的定义,可得 两物体相距r时的万有引力势能
EP引
EP引
Gm1m2 dr Gm1m2
r
r2
r
O
r
E
P引
G m1m 2 r
一、保守力的定义
1.万有引力的功 —与路径无关 rb
dr
dA以MF处G Md为rm原点rG，Mr2m
r0
dr
r2
dr r
M
r
ra m
(r0
r） r
GMm
r 2 dr
rb
A
rb
ra
第04章 功与能
1．碰撞的物理过程
碰撞问题的求解
设有两个质点发生碰撞。
p10 p20
碰撞前动量为 碰撞后动量为
Ep
G
mM r
1.2 势能曲线
质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。
E
r
O
O z
重力势能
O 弹性势能
x 万有引力势能
说明：
➢ 系统共有：某一质点的势能为该质点与对该质点 施加保守力的其它质点构成的质点系所共有
➢ 相对值： E p 的值与零势能参考点的选择有关 ➢ 位置的函数： E p E p (r) ， E p E p (r) 构成一
合力对质点作的功为
A
P
v F
drv
P0
P
P0 Ft ds
P dv m ds
P0 dt
P ds m dv
P0 dt
v v0
mvdv
1 2
mv2
1 2
mv02
质点的动能：
Ek
1 2
mv
2
动能定理：
A Ek Ek0
为什么我们可以把动能看作是物体所具有的一种作功的本领？ 利用动能作功的例子
数均为μ，结果如何？
mA
系统？
B m1 h
外力、保守内力、非保守内力？
谁作功？
列方程
mA
摩擦不计
B m0 h
物体B落到地面时的速度v ?
以物体A、B及地球作为系统 系统的机械能守恒
地面为重力势能零点，根据系统的机械能守恒，有：
1 2
mv1
2
1 2
m0 v1 2
m0 gh
v1
2m0 gh m m0
大学物理第4章 功和能
f d r 0 （此式也可作为
L
(1 ) ( 1 ) f d r ( 2 ) f d r L1 L2
(2)
L1
L2
保守力的定义） 20
二. 几种保守力 1.万有引力
(2) ×
d r er d r
W 12 对 ( 1 )
(2)
13
本质区别：动能和物体的运动状态相联系，任 一运动状态对应一定的动能，是状态量；而功 是与物体在力作用下的具体运动过程相联系， 它一般是路径的函数，因而功是过程量。 密切关系：过程便意味着状态变化。合外力对 质点做功，质点的动能便发生变化。做功是使 质点动能改变的手段，动能的变化又是用功来 量度的，故二者具有相同的单位。 动能是质 点因运动而具有的做功本领。
——质点的动能定理
“合外力对质点所做的功等于质点动能的增量”
12
2. 分析说明： ①动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它 从一个侧面反映了质点在力学过程（空间积累 过程）中所服从的规律。 ②由动能定理知，力对物体做功，能改变物体 的动能，也只有力对物体做功，物体的动能才 能改变， 功是机械运动能量变化的量度。 ③功和动能的概念不可混淆
14
3. 质点系的动能定理 质点：m1 、 m2
F F 内力： f 1 、f 2 外力： 1 、 2 初速度： 1 a 、 2 a 末速度： 1b 、 2 b
b
v1b
dr b · b·
1 2
v2b
F2
2 2
F1
dr1 m1
m ·
f1 f2
·
m1:
m2:
2 2 2 ( F 1 f 1 ) d r1 1 m 1 1 b 1 m 1 1 a ( 1 ) a 1 2 2 b 2 2 2 ( F 2 f 2 ) d r2 1 m 2 2 b 1 m 2 2 a ( 2 ) a 2 2 2
大学物理力学第四章功与能
（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决 定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对 力称为保守力 （如：万有引力、弹力、重力）
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理第4章功和能
Ah h 12mgm dh1 gh2
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x2 x
x
dx
F ＝ kix
d F A d x k i d x i x kxdx
Axx 12kx d1 2x k1 2x1 2k2 2x
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr dix d jh d A m g d r mgdh
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
第一篇 力 学
第一篇 力 学
例3 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此之间存在万有引力的作用。 设m1固定不动，m2在m1的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已 知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求万有引力的功。
b l
dr
rb
dr
r
m2
F
m1
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x2 x
x
dx
F ＝ kix
d F A d x k i d x i x kxdx
Axx 12kx d1 2x k1 2x1 2k2 2x
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr dix d jh d A m g d r mgdh
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
第一篇 力 学
第一篇 力 学
例3 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此之间存在万有引力的作用。 设m1固定不动，m2在m1的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已 知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求万有引力的功。
b l
dr
rb
dr
r
m2
F
m1
北京工业大学《大学物理》课件-第四章功和能
E(rB
)
E(rA)
( A)
( A)
( A)
有心力作功与路径无关 ——有心力是保守力！
【思考】为什么摩擦力不是保守力？
§4.3 势能 Potential Energy 保守力的功可用质点相对位置的函数来表征
势能(函数)
1.定义 ——保守力的功等于系统势能的减少： Aab=EpaEpb= Ep 选定势能零点 才能确定势能各点的数值
A
xB
xA
Fdx
xB
xA
kxdx
A
(1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
＊有心力是保守力
有心力：f f (r) rˆ
B
引力：
f
Gm1m2
rˆ2
4 0 r
2
rˆ
弹性力： f kx x0 xˆ
rB
rA
A
r
WAB
(B)
＝
f dr
(B)
f
(r ) rˆdr
(B)
f
(r)dr
的功的代数和为零。
上述说法中：(A)(1)(2)是正确的.
(B)(2)(3)是正确的.
(C)只有(2)是正确的.
答案：C
(D)只有(3)是正确的.
保守力另外的表述：沿任意闭合的相对路径移动 一周做功为零的力
L2
(1) L=L1+（- L2 ）
(2)
F dr F dr
L1
L2
L1
势能属于产生保守力的整个系统
零点改变, 则各点势能值随之改变
e.g. 改令 Epd=0
简记：Epa(新,d 为零点)=Epa(旧) Epd(旧)
大学物理第四章 功和能
dA F d r
P F dr F v dt
单位：W或Js-1 量纲：ML2T－3
例1：某质点在力 F 4 5xiˆ 的作用下沿
x轴做直线运动 ， 求在从x=0移到x=10m的 过程中，力 F 所做的功。
解：
b
10
A Fxdx (4 5x)dx 290 (J)
拉力对小环所做的功为 -0.207 J B
提示：
A (E P2 - EP1)
R
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
O
c
x2 2R l0 R x1 2R l0 2 1 R
§4 功能原理 机械能守恒定律
1、质点系的功能原理
质点系的动能定理：A外+A内=EkB - EkA
2、机械能守恒定律
如果 A外＝0 A非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量
在只有保守内力做功的情况下，质点系的机 械能保持不变。
3、能量守恒定律
一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有能 量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。
4、守恒定律的特点及其应用
特点和优点：不追究过程细节而能对系统的状态下
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab
b
fs
drLeabharlann bfs
dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)
Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
第4章__功和能
dA = (− mgk ) ⋅ (dxi + dyj + dzk )
mg
Ι
= − mgdz
A=∫
M2
z2
1
y
x
dA = dE K
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
9
M1
dA = ∫ − mgdz = − mgz 2 − mgz1） （ z
重力的功只决定于作功的起点和终点 与作功的路径无关
10
弹性力的功
r
N
o
f
N =m
υ2
r
f = μN
走一段小位移 dl 所做的功为
dA = f ⋅ dl = f cos πdl = − μm
转一周
υ2
r
dl
dA= F ⋅ dl dυ =m ⋅ dl = mυ ⋅ dυ = mυdυ dt
(b)
A = ∫ dA = − μm
υ2
r
∫
2πr
0
dl = − 2 πμ m υ 2
A外 + A内 = E K − E K 0 = ΔE K
质点系从一个状态运动到另一个状态时， 质点系动能的增量等于作用于各质点的所有外 力和所有内力在这一过程中作功的总和。 思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？
F = Fx + F y + Fz
§4.3 质点系的功能原理 机械能守恒定律 一、质点系的动能定理
∫ f ⋅ dl
L
=0
环流为零的力场是保守场， 如静电场力的环流也是零，
∫f
L
保
⋅ dr = 0
所以静电场也是保守场。 环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。
大学物理04功和能
速率最大、最小时的速度方向和矢径垂直，角动量守恒。
r1m v r2 m v2 1
r1v1 8.75 1010 5.46 104 r2 5.26 1012 m v2 9.08 102
P92 3.15 用绳系一小球使之在光滑的水平 面上做圆周运动，圆半径为r0，速率为v0。 今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径缩至 r时，小球的速率v为多大？ mv0
A
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
4.6 机械能守恒 机械能 EM EK E p
A A A非保内力 A外力 Ek E p 保内力
E p
功能原理
当外力和非保守内力不作功，则
0 机械能守恒： Ek E p 或 EM C
P129 4.8 质量为 72kg的人跳蹦极。弹性蹦极带原长 20m，颈度系数为60N/m。忽略空气阻力。问(1)下落最 大速度及对应高度；(2)已知跳台离水面60m，此人会碰 到水面吗？xb
1 2 1 2 kxb kxa EP 2 2
•做功只与始末位置有关，与路径无 关的力——保守力。 •保守力做功等于势能增加的负值。
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 常见保守力：万有引力、 静电力、弹性力、、、
B
q1q2 F K 2 , F kx r
起点
力的空间积累
ri
A
B
j
i
Fi
F(x)
功
Ai Fi ri
Ai Fi ri cosi
A
dA
元功
B x
或者Ai Fix x F1y y Fiz z
A到B做功
AAB
B Ai Fi ri Fi dri
r1m v r2 m v2 1
r1v1 8.75 1010 5.46 104 r2 5.26 1012 m v2 9.08 102
P92 3.15 用绳系一小球使之在光滑的水平 面上做圆周运动，圆半径为r0，速率为v0。 今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径缩至 r时，小球的速率v为多大？ mv0
A
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
4.6 机械能守恒 机械能 EM EK E p
A A A非保内力 A外力 Ek E p 保内力
E p
功能原理
当外力和非保守内力不作功，则
0 机械能守恒： Ek E p 或 EM C
P129 4.8 质量为 72kg的人跳蹦极。弹性蹦极带原长 20m，颈度系数为60N/m。忽略空气阻力。问(1)下落最 大速度及对应高度；(2)已知跳台离水面60m，此人会碰 到水面吗？xb
1 2 1 2 kxb kxa EP 2 2
•做功只与始末位置有关，与路径无 关的力——保守力。 •保守力做功等于势能增加的负值。
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 常见保守力：万有引力、 静电力、弹性力、、、
B
q1q2 F K 2 , F kx r
起点
力的空间积累
ri
A
B
j
i
Fi
F(x)
功
Ai Fi ri
Ai Fi ri cosi
A
dA
元功
B x
或者Ai Fix x F1y y Fiz z
A到B做功
AAB
B Ai Fi ri Fi dri
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例 题 13
13、某弹簧不遵守胡克定律，设施力 F ，相应伸长 为 x ，弹力与伸长的关系为 F 3x 2 。 求： 1）将弹簧从伸长 x1 1m 拉伸到伸长 x2 2m 时，弹 簧弹力所做的功； 2）以弹簧的原长为弹簧的势能零点，求弹簧伸长 时具有的势能。
x
解： 1）由功的定义：
A (M m) gh
A 19600J
例 题 10
10、一质量为m 10kg 的物体沿 x 轴无摩擦的运动， 设 t 0 时，物体位于原点，速度为零，求物体在与 位置有关的力 F 3 4 x(SI ) 作用下移到 x 3 处时， 它的速度和加速度为多少？ 解： 由动能定理： A Ek
m1 由（1）,（3）,（4）解得： v3 m 5 gl 2
2 2
（3）
（4）
例 题 16 16、如图所示，质量为 m 的陨石从距离地面高 h 处
由静止开始向地面下落（忽略空气阻力）， 求：1）陨石下落到地面过程中，万有引力作功？ 2）陨石落地时的速度大小？
h
R
解： 1）法一：保守力作功： 1 1 A EP GMm( ) R Rh 法二：功的定义 A F dr
（D） mgtg 2 gh
mg
解：
P F v mgv cos( ) 2 1 2 mv mgh 2
3、一个质点同时在几个力作用下的位为 r 4i 5 j 6k 其中一个力为恒力 F 3i 5 j 9k（SI），则此力在该
2
o
R
B
例 题 12
12、一弹簧原长 l0 0.1m ，劲度系数k 50N / m ，其 一 端固定在半径为
R 0.1m
的半圆环的端点A，另一端
与一套在半圆环上的小环相连。在把小环由半圆环
B 中点B移到另一端C的过程中，弹簧的拉力对小环所
作功为 解：保守力作功
J。
A
R
C O
1 2 2 A E p k (xB xC ) 0.21J 2
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
法二：
1 Mm 1 Mm 2 2 mv1 G mv2 G 2 r1 2 r2
2 mv 万有引力提供向心力： 1
1
GMm r12
GMm r22
2 mv2
2
近日点和远日点的运动轨迹的曲率半径相等，即： 1 2 解得： v1
两者作功的代数和必为零。
（A）（1）（2）是正确的 （B）（2）（3）是正确的 （C）只有（2）是正确的 （D）只有（3）是正确的
例题2
2、如图所示，木块m沿固定的光滑斜面（倾角为 ） 下滑，当下降h高度时，重力的瞬时功率（ （A） mg 2 gh （B） mg cos 2 gh
h
）
v
（C） mg sin 2 gh
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
E Ek E p
动能定理：
质点动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量，即：
AAB F dr EkB EkA
A B
质点系动能定理：所有外力对质点系做的功和内力
对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。
A外 A内 Ekt Ek 0
功能原理：系统机械能的增量等于外力的功和非保
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
理解保守力作功的特点及势能的概念，会
计算重力、弹性力和万有引力的势能。
掌握质点的动能定理，并能用它分析简单
问题，掌握机械能守恒定律，掌握运用守恒定
律分析问题的思想和方法。
二、基本概念
功
机械能
F
GMm 1 1 A cos dr GMm( ) 2 Rh r R Rh
R
2）动能定理：
1 2 A mv 0 v 2
2GMh ( R h) R
例 题 17
17、人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点和远 地点距地心距离分别为 r1和 r2 ，设地球质量为 M ， 万有引力常数为G， 求：1）卫星在近地点和远地点处万有引力势能之 差为多少？2）卫星在近地点和远地点速度大小分 别为多少？
功率
动能
保守力
势能
动能定理 功能பைடு நூலகம்理 机械能守 恒定律
功 力对质点作的功定义为力在位移方向上的分量与该 位移大小的乘积。有：
AAB
dA F dr F cos dr
B
A
F dr
平均功率和瞬时功率
平均功率：作功 A与完成这些功所用时间 t 的比值
A P t
守内力功的总和，即：
Ae＋Aid E
机械能守恒定律：如果系统内只有保守力作功，其 它内力和一切外力都不作功，则系统内各物体的动
能和势能可以相互转换，但机械能总值保持不变。
1、对功的概念有下列几种说法正确的是（
三、例题分析 例题1
）
（1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功 为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
3）在加速 t 1.0s以后，起重机匀速上升。求再上升
h 10m 的过程中，电动机又作了多功？
解： 1）根据牛顿第二定律：
T1 Mg aM T1 13560 N
mg T2 am T2 8300 N
T1
h
T2
2）根据功能原理： m M 1 A (m M )v 2 ( M m) gh 2 1 2 电梯作匀加速运动，所以： v at h at 2 解得： A 3945J 3）根据功能原理：
1 2 2 ( 3 4 x ) dx m ( v v t 0) 0 2 F a a 1.5m / s 2 m
3
vt 2.32m / s
例 题 11
11、如图一质点质量为 m 在半径为 R 的半球形容器 中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为 N ，则质点自A滑到 B 的过程中摩擦力作功为多少？ 2 mvB 解： B点： N mg A R 动能定理： A f AG Ek 1 2 A f mgR mvB 2 1 所以： Af ( N 3mg ) R
x
10
m m水 m桶 0.2 x 10 0.2 x
0
功的定义： A
10 0
10
0
F dr
A (10 0.2 x) gdx 882 J
2）加速运动时，满足： F mg ma
F
则： F (10 0.2 x)( g a)
a
mg
功的定义： A
10 0
10
0
F dr
A 10(10 0.2 x)dx 900 J
9、电梯由一个起重间与一个配重组成。它们分别系
例题9
在一根绕过定滑轮的钢缆的两端，如图所示。起重间
（包括负载）的质量M 1200kg，配重的质量m 1000kg 此电梯由和定滑轮同轴的电动机所驱动。假定起重间 由低层从静止开始加速上升，加速度 a 1.5m / s 2 。求： 1）这时滑轮两侧钢缆中的拉力各是多少？ 2）加速时间t 1.0s ，在此时间内电动机所作功是多 少？（忽略滑轮和钢缆的质量）
o
解： 1）木塞飞出瞬间，动量守恒：
1 m1v12 m1 g 2l 2
0 m1v1 m2v2 （1）
（2）
试管做圆周运动过程，机械能守恒，
由（1）,（2）解得：
2m1 v2 m2
gl
2）当木棒换成细绳时，到最高点时满足： 2 m1v3 m1 g l 1 1 2 2 机械能守恒： m1v1 m1 g 2l m1v3
瞬时功率：Δt → 0 时平均功率的极限值称为t时刻
的瞬时功率。
p F v
动能：物体做机械运动而具有的能量，称为动能， 记为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
解：根据动能定理，由题意，子弹穿越两块木板 损失的动能相等，所以： 1 2 1 2 1 2 1 2 mv1 mv2 mv2 mv3 2 2 2 2 v3 100m / s
例题5
5 、作直线运动的甲、乙、丙三物体，质量之比为 1：2：3若它们的动能相等，并且作用于每一个物体 上的制动力的大小都相等，方向与各自的速度方向 相反，则它们制动距离之比为 解：根据动能定理 A E k 。
mv2 GMm 3R (3R) 2
1 2 GMm Ek mv 2 6R
GMm GMm r 3R
2）根据万有引力势能公式
EP
例 题 15
15、如图所示，质量为 m1 短试管，用长为 l ，质量
可忽略不计的硬直杆悬挂，管内盛有乙醚液滴，管 口用质量为 m2的软木塞塞住。当加热试管时，软木 塞在乙醚蒸气压力下飞出， 1）要试管绕悬点o在竖直平面内 作一完整的圆周运动，那么软木 塞飞出的最小速度是多少？ 2）若将硬杆换成细绳，结果如何？