最新全概率公式和贝叶斯公式练习题
条件概率全概率与贝叶斯公式(解析版)
专题29条件概率全概率与贝叶斯公式目录专题29条件概率全概率与贝叶斯公式..........................................................................................1【题型一】条件概率性质.................................................................................................................1【题型二】古典概型中的条件概率：取球型................................................................................3【题型三】条件概率：“医护”分配型...........................................................................................4【题型四】条件概率列表型.............................................................................................................6【题型五】全概率公式基础型.........................................................................................................7【题型六】贝叶斯公式.....................................................................................................................9【题型七】概率综合题...................................................................................................................11培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................14培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................16培优第三阶——培优拔尖练.. (19)【题型一】条件概率性质【典例分析】已知()()()111,,.324P A P B A P B A ===∣∣则()P B =（）A ．712B ．724C ．512D ．524【答案】C【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得()P BA 和()P BA ，从而求得()P B .【详解】由题知，()2()13P A P A =-=，()()()111()()223P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣，()21133)3(()P A BA P B P A =-==-，又()()()111(()4412P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣，则()()115312()12P BA P B P BA ===++.故选：C1.设A ，B 是两个事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论一定成立的是（）A ．()()1PB A P A B =B ．()()()P AB P A P B =C ．()()P B P B A ≤D ．()()P AB P B A ≤【答案】D【分析】应用条件概率公式及独立事件的概率关系()()()P AB P A P B =，结合概率的性质判断各项的正误.【详解】A ：由()()1P B A P A B =，而()()0,1P B A P A B ≤≤，则()()()()1()()P AB P AB P B A P A B P A P B ====，即()()()P AB P A P B ==时成立，否则不成立，排除；B ：当A ，B 是两个相互独立的事件，有()()()P AB P A P B =，否则不成立，排除；C ：由()()()()P AB P B P B A P A ≤=且()01P A <≤，故()()()P AB P A P B ≥时成立，否则不成立，排除；D ：由()()()P AB P B A P A =，而()01P A <≤，则()()P AB P B A ≤，符合；故选：D2.已知随机事件A ，B 的概率分别为(),()P A P B ，且()()0≠P A P B ，则下列说法中正确的是（）A ．(|)()<P AB P AB B ．(|)(|)P B A P A B =C ．(|)()(|)()P A B P B P B A P A =D ．(|)0=P B B 【答案】C【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】由条件概率知：()()(|)P AB P A B P B =，因为()(]0,1P B ∈，所以()()(|)()P AB P A B P AB P B =>，故A 不正确；()()()()(|),(|)P AB P AB P B A P A B P A P B ==，()P A 与()P B 不一定相等，所以(|)(|)P B A P A B =不一定成立，故B 不正确；()()()()(|),(|)P AB P AB P B A P A B P A P B ==，所以()()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A P A ==，故C 正确；()()(|)0P B P B B P B =≠，故D 不正确.故选：C.3.已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（）A ．()()()P B A P B A P A +=B ．若()()1P A P B +=，则A ，B 对立C ．若A ，B 独立，则()()P A B P A =D ．若A ，B 互斥，则()()1P A B P B A +=【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；【详解】对A ，()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===，故A 错误；对B ，若A ，B 对立，则()()1P A P B +=，反之不成立，故B 错误；对C ，根据独立事件定义，故C 正确；对D ，若A ，B 互斥，则()()0P A B P B A +=，故D 错误；故选：C【题型二】古典概型中的条件概率：取球型【典例分析】袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）A ．23B ．14C ．521D ．523【答案】C【分析】记:i A 骰子掷出的点数为i ，()1,2,3i =，事件B:取出的球全是白球，分别求出()()2P A B P B ，，利用条件概率公式即可求解.【详解】记:i A 骰子掷出的点数为i ，()1,2,3i =，事件B:取出的球全是白球，则()16i P A =,()37|ii i C P B A C =，所以()()()123333312317771111311111|666676763510i i i C C C P B P A P B A C C C ===⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=∑所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：()()()2211567|12110P A B P A B P B ⨯===.1.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（）A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，()()()82582599P AB P B A P A ===.故选：D.2.一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件A =“第一次抽到红球”，B =“第二次抽到红球”，则概率(|)P B A 是（）A ．25B ．14C ．15D ．12【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件A 及事件AB 的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】依题意，2()5P A =，211()5410P AB ⨯==⨯，所以1()110(|)2()45P AB P B A P A ===.故选：B 3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（）A ．13B ．23C ．12D ．15【答案】B【分析】利用条件概率求解.【详解】设“第一次摸到红球”的事件为A ，设“第二次摸到白球”的事件为B ，则()()21221,42433p A p AB ⨯====⨯，所以在第一次摸到的是红球的条件下，第二次第二次摸到白球的概率为：()()()123|132p AB p B A p A ===.故选：B【题型三】条件概率：“医护”分配型【典例分析】将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 相互独立C ．5(|)12P B A =D ．5(|)12P C A =【答案】D【分析】由古典概率公式求出(),(),(),(),()P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D 作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有2343C A 36=个基本事件，它们等可能，事件A 含有的基本事件数为322332A C A 12+=，则121()363P A ==，同理1()()3P B P C ==，事件AB 含有的基本事件数为22A 2=，则21()3618P AB ==，事件AC 含有的基本事件数为211222C C C 5+=，则5()36P AC =，对于A ，1()()()9P A P B P AB =≠，即事件A 与B 相互不独立，A 不正确；对于B ，1()()()9P A P C P AC =≠，即事件A 与C 相互不独立，B 不正确；对于C ，()1(|)()6P AB P B A P A ==，C 不正确；对于D ，()5(|)()12P AC P C A P A ==，D 正确.故选：D【变式训练】1.有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（）A ．16B ．14C ．29D ．136【答案】A【分析】用事件A 表示“甲被安排到了冰壶”，以A 为样本空间，利用古典概率公式求解作答.【详解】用事件A 表示“甲被安排到了冰壶”，B 表示“乙被安排到了冰壶”，在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于以A 为样本空间，考查事件B 发生，在新的样本空间中事件B 发生就是积事件AB ，包含的样本点数22()A 2n AB ==，事件A 发生的样本点数223323()C A A 12n A =+=，所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为()21(|)()126n AB P B A n A ===.故选：A2.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则()P A B =（）A ．29B ．13C ．49D ．59【分析】利用条件概率公式有()()()P B A P A B P B ⋂=，结合排列组合数分别求出()P B 、()P B A ⋂即可得结果.【详解】由()()()P B A P A B P B ⋂=，而1344327()464C P B ⋅==，4443()432A PB A ⋂==，所以()29P A B =.故选：A3.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（）A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A求出()P A ()P AB =，()P B ，然后由条件概率公式计算．【详解】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=，∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ．【题型四】条件概率列表型【典例分析】已知某家族有A 、B 两种遗传性状，该家族某位成员出现A 性状的概率为415，出现B 性状的概率为215，A 、B 两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现A 性状的条件下，出现B 性状的概率为（）A ．14B ．38C ．12D ．34【答案】B【分析】记事件:E 该家族某位成员出现A 性状，事件:F 该家族某位成员出现B 性状，求出()P EF ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:E 该家族某位成员出现A 性状，事件:F 该家族某位成员出现B 性状，则()415P E =，()215P F =，()710P E F =，则()()3110P E F P E F =-=，又因为()()()()P E F P E P F P EF =+-，则()()()()110P EF P E P F P E F =+-=，故所求概率为()()()11531048P EF P F E P E ==⨯=.故选：B.【变式训练】1.某射击选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是（）A ．25B ．58C ．12D ．45【分析】设该选手第一次射击击中10环为事件A ，第二次射击击中10环为事件B ，则P （A ）45=，1()2P AB =，某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：()(|)()P AB P B A P A =．【详解】解：某选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，设该选手第一次射击击中10环为事件A ，第二次射击击中10环为事件B ，则()45P A =，1()2P AB =，∴某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：1()52(|)4()85P AB P B A P A ===．故选：B ．2.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲､乙同时击中目标的概率为（）A ．2144B ．1223C ．1225D ．1121【答案】B【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,则()()0.6,0.8P A P B ==，所以，()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=，()()()0.60.80.48P AB P A P B ==⨯=，则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==.故选：B.3.．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.7，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5，已知第一次击中目标的概率为0.8，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（）A ．1425B ．1433C ．2833D ．2539【答案】C【分析】设出事件，利用全概率公式计算出()()()()()0.66P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=，再利用条件概率公式计算出答案.【详解】设第一次击中目标为事件A ，第二次击中目标为事件B ，则()0.7P B A =，()0.5P B A =，()0.8P A =，所以()0.2P A =，故()()()()()()()0.80.70.20.50.66P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅=⨯+⨯=，则()()()()()0.70.8280.660.6633P A P B A P AB P A B P B ⋅⨯====故选：C 【题型五】全概率公式基础型【典例分析】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．110B ．38C ．25D ．2225【答案】A【分析】令1A =“玩手机时间超过2h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查一人，利用全概率公式计算即可.【详解】令1A =“玩手机时间超过2h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查一人，此人近视”，则12A A Ω=，且1A ，2A 互斥，()10.4P A =，()20.6P A =，()1|0.6P B A =，()0.3P B =，依题意，()()()()()()11222||0.40.60.6|0.3P B P A P B A P A P B A PB A =+=⨯+⨯=，解得()21|10P B A =，所以所求近视的概率为110．故选：A1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（）A ．0.132B ．0.112C ．0.868D ．0.888【答案】C【分析】记事件B 表示从仓库中随机提出的一台是合格品，i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，i 1,2=，分别求出()()()()1212,,|,|P A P A P B A P B A ，再由全概率公式即可求解.【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B ，事件i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，i 1,2=，由题意可得()120.45P A ==，()20.6P A =，()1|0.85P B A =，()2|0.88P B A =由全概率公式得()()()()()1122||0.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=所以该产品合格的概率为0.868故选：C.2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为（）A ．0.0415B ．0.0515C ．0.0425D ．0.0525【答案】D【分析】设B ＝“任取一个零件为次品”，Ai ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，利用全概率的公式求解.【详解】解：设B ＝“任取一个零件为次品”，Ai ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，A 1，A 2，A 3两两互斥．根据题意得P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，P (B |A 1)＝0.06，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝0.05.由全概率公式，得P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故选：D3.设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为110，115，120，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2【答案】A【分析】以1A ，2A ，3A 分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，求得()1P A ，()2P A ，()3P A ，由条件概率和全概率公式可得答案.【详解】以1A ，2A ，3A 分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，()1510P A =，()2310P A =，()3210P A =，()11|10P B A =，()21|15P B A =，()31|20P B A =，则由全概率公式，所求概率为()()()()()()112233()|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++5131210.08101010151020=⨯+⨯+⨯=，故选：A.【题型六】贝叶斯公式【典例分析】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）A ．13B ．23C ．34D ．14【答案】B【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.【详解】设A 表示“考生答对”，B 表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得()()()()()121113342P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=.又由贝叶斯公式得()()()()1123132P B P A B P B A P A ⨯===.故选：B1.通信渠道中可传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC 三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA ，则传输的字符是AAAA 的概率为________．【答案】0.5625【分析】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，123,,A A A 分别表示传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC ，根据已知得到()1P B A ，()2P B A ，()3P B A ，利用贝叶斯公式可计算求得()1P A B .【详解】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，1A 表示事件“传输的字符为AAAA ”，2A 表示事件“传输的字符为BBBB ”，3A 表示事件“传输的字符为CCCC ”，根据题意有：()10.3P A =，()20.4P A =，()30.3P A =，()10.60.20.20.60.0144P B A =⨯⨯⨯=，()20.20.60.20.20.0048P B A =⨯⨯⨯=，()30.20.20.60.20.0048P B A =⨯⨯⨯=；根据贝叶斯公式可得：()()()()()111310.01440.30.56250.01440.30.00480.40.00480.3i ii P B A P A P A B P B A P A =⨯===⨯+⨯+⨯∑.故答案为：0.5625.2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．【答案】0.80【分析】设“中途停车修理”为事件B ，“经过的是货车”为事件1A ，“经过的是客车”为事件2A ，则12B A B A B =+，然后代入贝叶斯公式计算.【详解】设“中途停车修理”为事件B ，“经过的是货车”为事件1A ，“经过的是客车”为事件2A ，则12B A B A B =+，12()3P A =，21()3P A =，1(|)0.02P B A =，2(|)0.01P B A =，由贝叶斯公式有1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +=20.023210.020.0133⨯=⨯+⨯0.80=.故答案为：0.803.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．【答案】1415【分析】以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲患者”.由已知得()()12P A P A ==，()7%P H A =，()0.5%P H A =.根据贝叶斯公式可求得答案.【详解】解：以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲患者”.由题意，知()()12P A P A ==，()7%P H A =，()0.5%P H A =.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为()()()()()()()()()17%14211157%0.5%22P H A P A P AH P A H P H P H A P A P H A P A ⨯====+⨯+⨯.故答案为：1415.【题型七】概率综合题【典例分析】2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E 处，小华在如图的街道F 处，老年公寓位于如图的G 处，则下列说法正确的个数是（）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为1835④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A ：小明经过F 事件B ；从F 到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则2()15P B A =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数m ，并确定向上或向右各走的步数n ，则最短路径的走法有nm C ，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F 且从F 到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为133C =条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为3735C =条，正确；对于③，小明到F 的最短路径走法有246C =条，再从F 处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为63183535⨯=，正确；对于④，由题意知：事件A 的走法有18条即18()35P A =，事件A B ⋂的概率()62435335P A B ⨯⋂==⨯，所以()()()2|9P A B P B A P A ⋂==，错误.故说法正确的个数是2.故选：B.【变式训练】1.．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（）①事件1A 与2A 相互独立；②1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件；③24(|)11P B A =；④()922P B =；⑤14(|)9P A B =A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】先判断出1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且不满足()()()1212P A A P A P A =⋅，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.【详解】显然，1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且()1515232P A ==++，()2215235P A ==++，而()()()12120P A A P A P A =≠⋅，①错误，②正确；()2215235P A ==++，()214451155P A B =⨯=，所以24(|)11P B A =，③正确；()()()()()()()1122331541349211115101122P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯=④正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C2．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．67【答案】C【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件A 为“有一枚正面朝上”，则()78P A =，记事件B 为“另外两枚也正面朝上”，则AB 为“三枚都正面朝上”，故()18P AB =，故()()()118778P AB P B A P A ===.即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17.故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．3．如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =A ．415B ．730C ．15D ．16【答案】C【分析】分别求出事件A 与事件B 的基本事件的个数，用()|P B A =()AB P P A （）计算结果.【详解】由题意知，事件A 共有4454C A =120个基本事件，事件B ：“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，()24|120P B A ∴==15.故选C.培优第一阶——基础过关练1.已知7(3|)P A B =，7()9P B =，则()P AB =（）A ．37B ．47C ．13D ．2749【答案】C【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【详解】因为7(3|)P A B =，7()9P B =，所以(7(31()))73|9P AB P A B P B ==⨯=.故选：C2．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A ．0.34B ．0.37C ．0.42D ．0.43【答案】C【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A 表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C 0.80.32C P =⨯=,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=，故12()0.320.10.42P A P P =+=+=,故选：C3．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是920，连续两天顾客量超过1万人次的概率是720，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（）.A ．710B ．910C ．45D ．79【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A ，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次”为事件B ，则9()20P A =，7()20P AB =，所以7()720()9()920P AB P B A P A ===，故选：D ．4．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）A ．0.92B ．0.93C ．0.94D ．0.95【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ，则()0.6P A =，()0.4P B =，记事件:C 从该地市场上买到一个合格灯泡，则()0.95P C A =，()0.9P C B =，所以，()()()()()()()0.60.950.40.9P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯0.93=.故选：B.5．将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，A 表示事件“志愿者甲派往①社区”；B 表示事件“志愿者乙派往①社区”；C 表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（）A ．事件A 、B 同时发生的概率为19B ．事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与C 为互斥事件【答案】B【分析】根据互斥独立的概率公式乘法公式和判定方法，可判定A 、C 不正确；利用条件概率的计算公式，可判定B 正确，结合互斥事件的概念与判定，举例可判定D 错误.【详解】由题意，每个社区至少派1名志愿者的所有可能情况有1123243122C C C A 36A ⨯=种分法，事件A 表示志愿者甲派往①社区的分法有322332A C A 12+=，所以1()3P A =,同理可得1()3P B =，1()3P C =，则22A 1()()()3618P AB P A P B ==≠，所以A 、B 不相互独立，所以A 、C 不正确；又由1()118(|)1()63P AB P B A P A ===，所以B 正确；例如：事件D :甲、乙派到①，丙派到②，丁派到③和事件E :甲派到①，乙、丙派到②，丁派到③，此时事件A 与事件C 同时发生，所以A 与C 不互斥，所以D 错误.故选：B.6．目前，国际上常用身体质量指数()()22:kg :m BMI =身高体重单位单位来衡量成人人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为15；女员工中，肥胖者的占比为110．已知该公司男、女员工的人数比例为3:2，为了解员工肥胖原因，现从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）A ．34B ．35C ．45D ．910【答案】A【分析】记事件A 为“选到的员工为肥胖者”，事件B 为“选到的员工为男性”，求出()P AB 、()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件A 为“选到的员工为肥胖者”，事件B 为“选到的员工为男性”．则()3135525P AB =⨯=，()312145551025P A =⨯+⨯=，则()()()32532544P AB P B A P A ==⨯=．故选：A.7．从分别标有1,2,3,9,的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（）A ．38B ．16C ．112D ．124【答案】A【分析】设事件A 为第1张为偶数，事件B 为第2张为偶数，则()49P A =，()16P AB =，根据条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为第1张为偶数，事件B 为第2张为偶数，则()49P A =，()2429C 1C 6P AB ==，故()()()38P AB P B A P A ==.故选：A培优第二阶——能力提升练1．2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间[70,90)内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（）A ．频率分布直方图中的0.030x =B ．估计100名学生成绩的中位数是85C ．估计100名学生成绩的80%分位数是95D ．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于[)70,80，则后抽取的学生成绩在[)80,90的概率是415【答案】AC【分析】根据频率之和为1可判断A,根据中位数为面积在0.5的位置可判断B,根据百位数的计算可判断C ，根据条件概率的计算公式可判断D.【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.0050.010.0150.040)1x ⨯++++=，解得0.030x =，故A 正确；对于B ：全校学生成绩的中位数为()()00050010001510=030500050010001510=0605........x ..++´<+++´>，，故中位数位于[]8090，之间，故中位数为()2260809080=33+´-，故B 错误，对于C ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分，故C 正确．对于D ：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)和[)80,90的学生人数之比为100.0151100.0302⨯=⨯，故[)70,80抽取了2人，[)80,90中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于[)70,80，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在[)80,90的个数有4个，故概率为45，故D不正确，故选：AC2．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（）A ．事件B 与事件C 是互斥事件B ．事件A 与事件C 是独立事件C ．()330P C 1=D ．()12P C A =【答案】CD【分析】根据互斥的概念及独立事件概率公式可判断A 、B ；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断C 、D.【详解】解：当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A 错误；因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以()35P A =，()25P B =，若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，所以()3395630P AC =⨯=，()2245630P BC =⨯=，()332213565630P C =⨯+⨯=，因为()()()P AC P A P C ≠⨯，所以事件A 与事件C 不是独立事件，故选项B 错误；选项C 正确；因为()()()9130325P AC P C A P A ===，故选项D 正确.故选：CD3．已知事件,A B 满足()()0.5,0.2P A P B ==，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若()0.2P BA =∣，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =【答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．【详解】对A ，因为B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，错误；对B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.7P A B P A P B +=+=，正确；对C ，因为()()()0.2P AB P BA P A ==∣，所以()0.1P AB =，而()()0.5,0.2P A P B ==，。
1.5全概率公式与贝叶斯公式
Bayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计 、检验、判别、推理等方面 Bayes公式的重要意义在于利用人们 掌握的先验知识来推断后验概率
用某种诊断法诊断癌症,记 A {判断被检验者患有癌症 } C { 被检验者患有癌症 } 已知 P( A | C ) 0.95, P( A | C ) 0.90,又设人群中 P(C ) 0.0004 现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可 能性有多大？ 由 Bayes 公式,此人真正患有癌症的概率为
B1 B2 ,
B1 B2 S .
甲
乙
解:记 B1为在甲箱中抽到有奖票的事件，
B2为在甲箱中抽到无奖票的事件， 由全概率公式得 A 为最后抽到有奖票的事件。
则
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 12
2
1 3 2 P A | B2 ; P B1 ; P A | B1 ; P B2 ; 6 5( B ) P5 ( A B1 ) P( B1 )6 P( A B2 ) P 2
P ( A B ) 0.1, P ( A B ) 0.5
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎 （A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为 （用贝叶斯公式）
P( B) P( A B) P ( B A) P( B) P( A B) P( B ) P( A B )
0.8 0.1 0.444 0.8 0.1 0.2 0.5
分析：记 Bi ={球取自 i 号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1 2 3
至多一个发生
1
有且仅有一个发生
2
至少一个发生
(完整word版)习题与解答2条件概率+全概率贝叶斯概率
习题2：条件概率与全概率、贝叶斯概率一、 条件概率与乘法公式 P20:A3,4；B5；1.据统计，某市发行A ，B ，C ，3种报纸，订阅情况为:()0.6,(|)0.5,(|)0.3(|)0.5,P C P B C P A BC P A C ====， 求订阅A 和C 报但不订阅B 报的概率. 解：()()(|)0.3,()()1(|)0.3P AC P C P A C P BC P C P B C ⎡⎤===-=⎣⎦()()(|)0.30.50.15.P ABC P BC P A BC ==⨯=()()()0.30.150.15.P ABC P AC P ABC =-=-=2. 已知()1/4,(|)1/3,(|)1/2,P A P B A P A B ===求(|)P A A B U .解：1()1()()(|).().12(|)6P AB P AB P A P B A P B P A B ====1()()34(|)111()()()()44612P A P A P A A B P A B P A P B P AB ====+-+-U U 二、 全概率P23:A5,6；4. 某人去外地参加会议，乘火车，汽车，飞机的概率分别为0.3,0.2,0.5 . 若乘飞机，不会迟到，若乘火车和汽车，则迟到的概率分别为0.1和0.2，求最终不迟到的概率.解：设A 1=“乘火车”，A 2=“乘汽车”，A 3=“乘飞机”，B=“不迟到”，123123()0.3,()0.2,()0.5,(|)0.9,(|)0.8,(|)1.P A P A P A P B A P B A P B A ======31()()(|)0.30.90.20.80.510.93.i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑5. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收为 B 的概率为 0.02，B 被误收为A 的概率为0.01,信息 A 与 B 传递的频繁程度比为3:2. 求接收站收到的信息为B 的概率为多少？解：设A=“发送信息A ”，B=“接收信息B ”，()0.6,(|)0.02,(|)0.01,P A P B A P B A ===()()(|)()(|)0.60.020.40.990.408.P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=三、 贝叶斯概率P26:A2, 3，5；6. 一批零件，合格品占92%，一检验员随机地取一件进行检验，合格品误检为不合格品的概率是0.05，而不合格品误检为合格的概率是0.1，求当产品检为合格时，实际取的是不合格品的概率.解：设A=“取到合格品”，B=“检验为合格品”，()0.92,(|)0.05,(|)0.1,P A P B A P B A ===()(|)0.080.1(|)0.009.0.920.950.080.1()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+ 7. 某公司从四家厂购入同一产品，数量之比为9:3:2:1，已知四家厂次品率分别为1%，2%，3%，1%，现随机取到一件次品，问该次品是哪家的责任最大？解：设A i =“第i 家厂的产品”，B=“次品”，123412349321(),(),(),(),15151515(|)0.01,(|)0.02,(|)0.03,(|)0.01.P A P A P A P A P B A P B A P B A P B A ========41932122()()(|)0.010.020.030.01.151515151500i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 111234()(|)9661(|),(|),(|),(|).()22222222P A P B A P A B P A B P A B P A B P B ===== 答：由四个贝叶斯概率可知第一家责任最大。
专题07 事件与概率(古典概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式)小题综合(原卷版)
专题07 事件与概率（古典概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）小题综合考点01 互斥事件的概率计算1．（2018·全国·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3B．0.4C．0.6D．0.72．（2016·天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为A．B．C．D．考点02 古典概率一、单选题1．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14B．13C．12D．232．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A．56B．23C．12D．133．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．16B．13C．12D．234．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．235．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．236．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.87．（2019·全国·高考真题）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．128．（2019·全国·高考真题）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A ．23B ．35C ．25D ．159．（2018·全国·高考真题）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.310．（2018·全国·高考真题）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．11811．（2017·天津·高考真题）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．15142542105C p C ===12．（2017·山东·高考真题）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49C ．59D ．7913．（2017·全国·高考真题）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A ．110 B ．35C ．310 D ．2514．（2017·江西·高考真题）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ）A ．132 B ．164C ．332D ．36415．（2016·北京·高考真题）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．92516．（2016·全国·高考真题）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A ．815 B ．18C ．115D ．13017．（2016·全国·高考真题）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A ．13B ．12C ．23D ．5618．（2015·全国·高考真题）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A ．310 B ．15C ．110D ．12019．（2015·广东·高考真题）已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．120．（2015·广东·高考真题）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．B ．C ．D ．1二、填空题 21．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .22．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为 ．23．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．24．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 25．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ== ，()E ξ= ．26．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 27．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．28．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -= ，()E ξ= .29．（2020·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 .30．（2019·江苏·高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .31．（2018·江苏·高考真题）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．32．（2016·上海·高考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为正八边形的中心，.任取不同的两点，点P 满足，则点P 落在第一象限的概率是 .33．（2016·上海·高考真题）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．34．（2016·四川·高考真题）从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ． 35．（2016·江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．36．（2015·江苏·高考真题）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．考点03 条件概率1．（2024·天津·高考真题）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．2．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.43．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽取A 的概率为考点04 全概率公式与贝叶斯公式1．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．（附加）2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i 次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n n i i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．考点05 正态分布指定区间的概率1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><2．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >= ．3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等4．（2015·山东·高考真题）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%。
本科概率1-全概,习题课(白底)
概率统计第一章习题课
习题一
4. 从一副扑克牌的 张黑桃 中，有放回抽三次 ， 13 求取出的三张牌中: (1)没有同号的概率 ； (2)有同号的概率.
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 133
13 ⋅12 ⋅11 P( A) = 1 − P( A) = 1 − 133
5.某城市有A, B, C三种报纸.在居民中, 订A报的占 45%, 订B报的占35%, 订C报的占30%,同时订A与 B报的占10%,同时订A与C报的占8%,同时订B与 C报的占5%,同时订A, B与C报的占3%, 求下列概率：
P ( A3 ) = P ( H1H2 H3 )
加法公式 独立性
P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14. P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 × 即飞机被击落的概率为0.458. 即飞机被击落的概率为
P( (1)只订A报的； AB C ) = P( A) − P( AB) − P( AC) + P( ABC ) = 0.3
(2)只订A与B报的； P( ABC ) = P( AB) − P( ABC ) = 0.07 (3)只订一种报的； P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.73 (4)恰好订两种报的；P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC) = 0.14
∑ P( A ) P( B｜A )
k =1 k k
3
将这里得到的公式一般化， 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．
由贝叶斯公式得P ( A1 | B) P (B | A1 ) P ( A1 )
P ( A ) P (B | A )
i 1 i i
3
其中 P(Ｂ|Ａ1)=2/3, P(Ｂ|Ａ2 )=3/4, P(Ｂ|Ａ3 )=1/2, P(Ａi)=1/3, i=1,2,3． 代入数据计算得： P ( A1 | B) 0.348
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
0.005 0.95 0.087 0.005 0.95 0.995 0.05
1.5.2 贝叶斯公式
本题的结果表明，虽然 P ( B A) 0.95,
P ( B A ) 0.95 这两个概率都很高．但是，即试验
1.5.2 贝叶斯公式
特别有：
设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 A
是一个完备事件组，若P(A) > 0， ( A) 0， P
P(B) > 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为
P ( A B)
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这 一点，将 P( B A) 和 P( A B) 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果．
1.5.2 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1， 2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 P ( Ai | B), i 1,2,...,n
由全概率公式得
P ( B1 B2 ) P ( Ai )P ( B1 B2 Ai )
概率论与数理统计 第四节 全概率公式与贝叶斯公式
一、概率公式
二、贝叶斯公式
——贝叶斯公式 贝叶斯公式
二、贝叶斯公式
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析 三、例题分析
练习1 设某光学仪器厂制造的透镜, 练习1 设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下 时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破 第二次 若第一次落下未打破, 时打破的概率为 若第一次落下未打破 落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破 第 若前两次落下未打破, 落下打破的概率为 三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而 三次落下打破的概率为 试求透镜落下三次而 未打破的概率. 未打破的概率. 解 以Ai ( i = 1,2,3)表示事件" 透镜第 i 次落下打破" , 表示事件“透镜落下三次而未打破” 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
P( B) = ∑ P( Ai ) P( B Ai )
3 3 1 3 1 3 3 C9 C6 C92C6 C7 C9C62 C83 C6 C9 = 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = ... C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15 C15
i =1 4
因为 B = A1 A2 A3 ,
所以
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
三、例题分析
练习3 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。 15个乒乓球 练习3 在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。 在第一次比赛时任意取出三个球， 在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原 盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球， 盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第 二次取出的三个球均为新球的概率。 二次取出的三个球均为新球的概率。 解 设第一次取出的球为“3新”、“2新1旧”、“1新2 设第一次取出的球为“ 新 新 旧 新 “3旧”分别为事件 、A2、A3、A4；“第二次取 旧 分别为事件A1、 、 、 ； 出三个新球”为事件B， 出三个新球”为事件 ，则
全概率公式和贝叶斯公式练习题
例题讲解:例题 1.市场上某产品由三家厂家提供，根据以往的记录，这三个厂家的次品率分别为，0.020.,0.01,0.03，三个厂家生产的产品所占的市场份额分别0.15,0.8,0.05.产品出厂后运到仓库，见面后再进入市场，设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合（1）在仓库中随机的取一个产品，求它的次品的概率。
（2）在仓库中随机的取一个产品，发现为次品，如果你是管理者，该如何追究三个厂家的责任？例题2保险公司把被保险人分成三类”谨慎的”,”一般的”和”冒险的”，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为，0. 5. 0.15. 和0.30. 如果”谨慎的”被保险人占20%”一般的”，被保险人占50%，”冒失的”被保险人占30%，确认一个被保险人在一年内出事故的概率。
练习:1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2则有分解B=A 1B ∪A 2B由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。
解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b+=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
全概率公式和贝叶斯公式练习题
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2则有分解B=A 1B ∪A 2B由题意由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。
解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++ 所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b+=+=+++++++ 3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯ 4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
概率论与数理统计——1.4全概率公式与贝叶斯公式
8
易知
P(
B1
)
2 10
P(
B2
)
3 10
P(
B3
)
5 10
P( A|B1 )
C22 C62
1 15
P(A|B2 )
C32 C62
3 15
P( A|B3 )
一批产品中有次品数 0
1
2
3
4
概率
0.1 0.2 0.4 0.2
0.1
10
解 设事件Bi是一批产品中有i个次品（i=0,1,2,3， 4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查
的10个产品都是合格品
则有 PA | B0 1
P(A | B1)
C10 99
C10 100
0.900
P(A
|
B2 )
C10 98
C10 100
0.809
P(A | B3)
C10 97
C10 100
0.727
P(A |
B4 )
C10 96
C10 100
0.652
4
所求的概率为 P(A) P(Bi )P(A | Bi ) 0.8142
i 1
11
例:有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个 正品一个次品；在第二个箱中有三个正品一个次 品；在第三个箱中有两个正品两个次品. 现从任 何一个箱子中任取一件产品，求取得的是正品的 概率.
课时作业6：4.1.2 乘法公式与全概率公式第2课时 全概率公式、贝叶斯公式
4.1.2 乘法公式与全概率公式第2课时 全概率公式、贝叶斯公式A 组 基础巩固练一、选择题1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.842．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 53．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.1254．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A.13B.23C.34D.145．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )A.29B.38C.112D.58二、填空题6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________． 三、解答题9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．B 组 素养提升练11．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)12．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________．14．(一题两空)某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为110，114，118.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)C组思维提升练15．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？参考答案A组基础巩固练一、选择题1．【答案】C【解析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P (B )＝0.4，P (C )＝0.6，P (A |B )＝0.8，P (A |C )＝0.9. 由全概率公式得P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (C )P (A |C )＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.]2．【答案】D【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A 1，A 2，A 3，A 4，则它们构成样本空间的一个划分．设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P (B )＝∑4i ＝1P (A i )P (B |A i ) ＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D.3．【答案】A【解析】设A 1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B 表示次品，则P (A 1)＝0.5，P (A 2)＝P (A 3)＝0.25，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.02，P (B |A 3)＝0.04，∴P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.4．【答案】B【解析】设A ＝“考生答对”，B ＝“考生知道正确答案”，由全概率公式：P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝13×1＋23×14＝12. 又由贝叶斯公式：P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝1312＝23.故选B. 5．【答案】B【解析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用B k 表示丢失的一箱为k ，k ＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (B k )P (A |B k )＝12·C 24C 29＋15·C 25C 29＋310·C 25C 29＝836.P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝12·C 24C 29P (A )＝336÷836＝38.故选B. 二、填空题6．【答案】0.087【解析】由题设，有P (C －)＝1－P (C )＝0.995，P (A |C －)＝1－P (A －|C －)＝0.05，由贝叶斯公式，得P (C |A )＝P (A |C )P (C )P (A |C )P (C )＋P (A |C －)P (C －)≈0.087. 7．【答案】5285 915【解析】设A ＝“第二次取出的均为新球”，B i ＝“第一次取出的3个球恰有i 个新球”(i ＝0,1,2,3)．由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝C 36C 315·C 39C 315＋C 19C 26C 315·C 38C 315＋C 29C 16C 315·C 37C 315＋C 39C 315·C 36C 315＝5285 915. 8．【答案】34【解析】设A ＝收到“·”，B ＝发出“·”，由贝叶斯公式P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝58×3558×35＋38×13＝34. 三、解答题9．解：(1)设A 1＝从甲盒取出2个红球；A 2＝从甲盒取出2个白球；A 3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B ＝从乙盒取出2个红球．则A 1，A 2，A 3两两互斥，且A 1＋A 2＋A 3＝Ω，所以P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝C 22C 25×C 23C 27＋C 23C 25×0C 27＋C 13C 12C 25×C 22C 27＝370. (2)P (A 1|B )＝P (A 1B )P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)∑3i ＝1P (A i )P (B |A i )＝170370＝13.10．解：设A 表示枪已校正，B 表示射击中靶．则P (A )＝35，P (A －)＝25，P (B |A )＝0.9， P (B －|A )＝0.1，P (B |A －)＝0.4，P (B －|A －)＝0.6.(1)P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝35×0.9＋25×0.4＝0.7. (2)P (A －|B －)＝P (A －)P (B －|A －)P (A －)P (B －|A －)＋P (A )P (B －|A )＝25×0.625×0.6＋35×0.1＝0.8. B 组 素养提升练11．【答案】0.998【解析】设A ＝任取一产品，经检查是合格品，B ＝任取一产品确是合格品，则A ＝BA ＋B －AP (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8，故所求概率为P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝0.96×0.980.942 8≈0.998 12．【答案】4049【解析】设B 1＝{使用的枪校准过}, B 2＝{使用的枪未校准}, A ＝{射击时中靶}，则P (B 1)＝58，P (B 2)＝38， P (A |B 1)＝0.8，P (A |B 2)＝0.3.由贝叶斯公式， 得P (B 1|A )＝P (A |B 1)P (B 1)P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＝4049. 所以， 所用的枪是校准过的概率为4049. 13．【答案】64%【解析】记A 为事件“利率下调”， 那么A －即为 “利率不变”， 记B 为事件“股票价格上涨”. 依题设知P (A )＝60%，P (A －)＝40%，P (B |A )＝80%，P (B |A －)＝40%，于是P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.14．【答案】(1)0.083 (2)0.287【解析】(1)设A ＝{取得一个产品是次品}，B 1＝{取得一箱是甲厂的}，B 2＝{取得一箱是乙厂的}，B 3＝{取得一箱是丙厂的}．三个厂的次品率分别为110，114，118， ∴P (A |B 1)＝110，P (A |B 2)＝114，P (A |B 3)＝118. 12箱产品中，甲占612，乙占412，丙占212， 由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (A |B k )P (B k )＝612×110＋412×114＋212×118≈0.083. (2)依题意，已知A 发生，要求P (B 2|A )，此时用贝叶斯公式：P (2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )≈412×1140.083≈0.287. C 组 思维提升练15．解：设A i ＝“第i 次接通电话”，i ＝ 1,2,3， B ＝“拨号不超过3次接通电话”，则事件B 的表达式为B ＝A 1∪A －1A 2∪A －1A －2A 3.利用概率的加法公式和乘法公式P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 若已知最后一位数字是奇数，则P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝15＋45×14＋45×34×13＝35.。
全概率公式与贝叶斯公式
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
第4节 全概率公式与贝叶斯公式
例6 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌 引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概 率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1%的概率 误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出 呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？
解 记 A " 检验呈阳性 "
B1 " 检验者患此疾病 " B2 " 检验者不患此疾病 " 且已知 P ( B1 ) 0.005 P( B2 ) 0.995
0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 0.41 ,
P( B3 ) P( A1 A2 A3 ) 0.4 0.5 0.7 0.14 ,
由贝叶斯公式有 P ( B 3 ) P (C | B 3 ) 0.14 P ( B3 | C ) 3 0.306 . 0.458 P ( B i ) P (C | B i )
a ， 这 体 现 了 抽 签 好坏与先后次序无关的公平性. ab
——抽签与顺序无关——
2
定理1.1 全概率公式
如果事件A1 , A2 ,, An构成一个完备事件组，
而且P( Ai ) 0, i 1, 2,, n. 则对任何一个事件B有，
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
显然 A1 B, A2 B,, An B 也两两互不相容，
A3 A1 A2 A5 A6 B A4
Ω
A7
A8
4
设 A1 , A2 ,, An 为 一 个 完 备 事 件 组,对任一事件 B,有
B B ( A1 A2 An )B
A1 B A2 B An B ,
8全概率公式与贝叶斯公式
B ={被诊断者患有癌症}.
要计算 由题意知
P(B | A)
A ={检测指标为“阴性”}， B ={被诊断者未患癌症}.
由条件有 P( A | B) 0.95, P( A | B ) 0.90,
P( A | B) 1 P( A | B) 0.10
P(B) 0.005, P(B ) 1 P(B) 0.995
乘火车、船的可能性大，
乘坐汽车的可能性很小，
几乎不可能是乘飞机来的。
在贝叶斯公式中，通常称P(B1)，P(B2)，… 为先验概率。 称 P(B1| A ), P(B2| A ), …为后验概率。 上例中
P(B1) = 0.3，P(B2) = 0.2，P(B3) = 0.1， P(B4) = 0.4，
为次品的概率。
解 记 Ω = {买到一件该产品}
B1 = {买到一件甲厂该产品}
B2 = {买到一件乙厂该产品}
B3 = {买到一件丙厂该产品}
3
则有 (i) Bi Bj (i j)
(ii) Bi
i 1
由全概率公式
P( A)＝n P(Bi )P( A | Bi ) i 1
而 P(B1 ) 1 / 4, P(B2 ) 1 / 4, P(B3 ) 1 / 2
…… ……
“原因” B1 B2
Bn
“结果” A
用贝叶斯公式算出每个“原因”Bi 的条件概率 P(Bi|A) ； ( i = 1,2,…,n)，
再比较大小
P(Bk | A) = max{ P(B1 | A)，P(B2 | A)，…}. Bk为最可能产生结果的原因.
例6 有朋自远方来，他乘火车、乘船、乘汽车、 乘飞机的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。若他 乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机，则迟到的概率 分别是0.25、0.3、0.1、0。实际上他迟到了， 推测他乘坐何种交通工具来的可能性大。
1-4条件概率全概率公式贝叶斯公式
一、条件概率 二、全概率公式 与贝叶斯公式
下 回
停
一、条件概率
1. 问题的引入
引例 甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量 表如下：
正品数 35 50 85 次品数 5 10 15 合计 40 60 100
甲车床 乙车床 总 计
从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：
AB 包含的样本点数 P (AB )= . B 包含的样本点数
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).
解
样本点总数：23,
1
2
3
A= “ 3个中至少有一个女孩” ,
A= “ 3个全是男孩” ,
1 1 P (A )= 3 = , 2 8
17 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.
男 女
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
A= “ 3 个小孩中至少有一个女 孩” ,
再设 B = “ 3 个小孩中至少有一个男 孩” , 17 则 P ( A ) = 1 P ( A ) = 1 =. 88 设A “有一个男孩两个女孩 ” , 1=
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
全概率公式和贝叶斯公式选择题
全概率公式（法）和贝叶斯公式是概率论中重要的公式，在统计学和机器学习等领域有着广泛的应用。
本文将从理论基础、适用场景、公式推导和实际应用等方面对全概率公式和贝叶斯公式进行深入分析，希望能帮助读者更好地理解和运用这两个公式。
一、全概率公式全概率公式是概率论中的重要定理，它可以将条件概率转化为无条件概率。
全概率公式的数学表达式如下：P(A) = Σ P(A|B_i)P(B_i)其中，P(A)代表事件A的概率，P(B_i)代表一组互斥事件B_i的概率，P(A|B_i)代表在事件B_i发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式的应用场景非常广泛，例如在医学诊断中，我们可以通过已知的症状和疾病发生的概率，利用全概率公式计算出某种疾病发生的概率；在工程项目管理中，我们可以通过不同的风险事件发生的概率，利用全概率公式计算出整体风险的概率。
二、贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中的另一项重要定理，它可以根据先验概率和条件概率计算出后验概率。
贝叶斯公式的数学表达式如下：P(B|A) = P(A|B)P(B) / P(A)其中，P(B|A)代表在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)代表在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别代表事件B和事件A的无条件概率。
贝叶斯公式的应用也非常广泛，例如在垃圾邮件过滤中，我们可以通过已知的正常邮件和垃圾邮件的发生概率，利用贝叶斯公式计算出收件箱中某封邮件是垃圾邮件的概率；在金融风险管理中，我们可以通过历史数据和市场变化的概率，利用贝叶斯公式计算出未来风险的概率。
三、全概率公式和贝叶斯公式的通联与区别全概率公式和贝叶斯公式在概率论中有着密切的通联，它们都是基于条件概率和无条件概率的转化关系。
全概率公式是将事件A的概率表示为在一组互斥事件B_i的条件下的概率之和，而贝叶斯公式则是根据条件概率和先验概率计算出后验概率。
在实际应用中，全概率公式和贝叶斯公式常常结合使用，通过递归地应用贝叶斯公式，可以不断更新先验概率，得到更加准确的后验概率。
全概率与贝叶斯公式练习
全概率与贝叶斯公式
1.有三个箱子, 分别编号1, 2, 3. A号箱装有1红球, 4白球; B号箱装有2红球, 3白球;
C号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱, 再从箱中任取一球，则取到红球的概率为.
2.一盒中放12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时，从中任取3个球来用于比赛，
赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中取3个球，问第二次取出的球全是新球的概率为.
3.某人赶赴高考有四种方式：家人接送、滴滴约车、骑自行车、步行，选择概率分别为0.4、
0.3、0.2、0.1，若家人接送则不会迟到，若选择滴滴约车、骑自行车、步行则迟到概率分
别为1
4、1
3
、1
12
，若此人考试迟到，则最大可能的赴考方式是.
4.甲乙两人同时对一敌机进行射击，甲乙击中的概率分别为0.5,0.6，若敌机被一人击中，则被
击落的概率为0.3；若被两人击中，则被击落的概率为0.8
（1）求敌机被击中的概率.
（2）求敌机被击落的概率.
5.在学习数学过程中，假设努力学习的学生有90%考试及格，不努力学习的学生有10%考试
及格。
经期末调查得知本学期有80%的同学努力学习。
（1）求期末考试的及格率.
（2）若某人考试及格，则其不努力学习的概率.
6.已知某人初始风评可信度为0.9，此人可信条件下说谎的概率为0.1，不可信的条件下说谎
的概率为0.5，
（1）此人第一次说谎后，求其可信度.（精确到0.01）
（2）此人第二次说谎后，求其可信度.（精确到0.01）
1。
§1.5 全概率公式与贝叶斯公式
（2） P ( B j A)
P ( AB j ) P ( A)
P(B j )P( A B j ) P ( A)
n P ( Bi ) P ( A Bi )
i 1
P(B j )P( A B j )
由此公式算得： P ( B1 A) 23.1% P ( B2 A) 24.6%
P ( B3 A) 27.7% ห้องสมุดไป่ตู้ ( B4 A) 21.5%
个黑球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一 球，求此球为白球的概率。 2白 1黑
任取一球 1白 2黑 取一球 乙
P（白）=？
甲
解： 设
A=“最后取出的求为白球” B=“从甲袋中取出的是白球”
由全概率公式：P ( A) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) P ( A B )
答案
补充练习
2 伊索寓言“孩子与狼” 讲的是一个小孩每天到
山上放羊,山里有狼出没。
第一天，他在山上喊： “狼来了，狼来了！”山
下的村民闻声便去打狼
，可到山上，发现狼并 没来，第二天，仍是如 此；第三天狼真的来了 ，可无论小孩怎么喊叫 ，也没有人来救他。现在请你用Bayes公式来分析此寓言中村民对小孩的可 信程度是如何下降的。
0.5% 95% 99.5% 1% 1.47%
P( AB) 0.5% 95% P( B A) 32.3% P( A) 1.47%
例5 一道考题有m个答案，要求学生将其中的一个正确答案选
择出来。某考生知道正确答案的概率为p，而乱猜的概率为1-p， 在乱猜时，m个答案都有机会被他选择，如果他答对了，问确 实知道正确答案的概率是多少？
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1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率。
解：设B={从仓库中随机提出的一台是合格品}
A i ={提出的一台是第i 车间生产的}，i=1,2
则有分解B=A 1B ∪A 2B
由题意P(A1)=2/5,P(A2)=3/5,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88
由全概率公式P(B)= P(A 1) P(B|A 1)+ P(A 2) P(B|A 2)=0.4*0.85+0.6*0.88=0.868.
2. 盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率。
解：设A={第一次抽出的是黑球}，B={第二次抽出的是黑球}，则B AB AB =+， 由全概率公式()()()()()P B P A P B A P A P B A =+， 由题意(),(|),(),(|)b b c a b P A P B A P A P B A a b a b c a b a b c +====++++++
所以()()()()()()b b c ab b P B a b a b c a b a b c a b +=+=+++++++
3. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设B={中途停车修理}，A1={经过的是货车}，A2={经过的是客车}，则B=A 1B ∪A 2B ，由贝叶斯公式有
111112220.02()()3()0.80.21()()()()0.020.0133P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+⨯+⨯
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解 (1) 记=B {该球是红球}，=1A {取自甲袋}，=2A {取自乙袋}，已知10/6)|(1=A B P ，14/8)|(2=A B P ，所以
70411482110621)|()()|()()(2211=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P (2) 12
72414)(==
B P。