第三章 傅里叶变换 重要公式

( ) ∫ ( ) ∑( ) ∑ ∑ P = f 2 t
=1 T1
T1 0
f
2
t
dt
= a02
+1 2
∞ n=1
a
2 n
+ bn2
=
c02
+
1 2
∞
c
2 n
n=1
=
∞
Fn
n=−∞
2
周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。也就
是说，时域和频域的能量是守恒的。
三、周期信号的频谱
1、周期信号可分解为直流、基波（ω1 ）和各次谐波（ nω1 ：基波角频率的
)←→
∞
F(ω) δ
n=−∞
(ω
−
nω1
)
（3）时域矩形脉冲抽样
11、 cos (ω0t ) ←→π δ (ω + ω0 ) + δ (ω − ω0 )
12、 sin (ω0t ) ←→ jπ δ (ω + ω0 ) − δ (ω − ω0 )
13、
cos
(ω0t
)
u
(t
)
←→
π 2
δ
(ω
+
ω0
)
+
δ
(ω
− ω0
)
+
ω02
jω − ω2
14、
s
in
(ω0t
)
u
(t
不会使形状发生变化。 2、抽样的分类 根据抽样脉冲序列 p(t) 的不同，抽样分为“矩形脉冲抽样（自然抽样）”和
“冲激抽样（理想抽样）”。 若抽样脉冲序列 p(t) 为矩形脉冲序列，则这种抽样称为“矩形脉冲抽样”或
“自然抽样”；若抽样脉冲序列 p(t) 为冲激序列，则这种抽样称为“冲激抽样”
或“理想抽样”。 （1）时域冲激抽样
cn
c0 = a0 =an2 + bn2
n = 1, 2,3,
ϕn
= − arctan bn an
n
= 1, 2,3,
∞
∑ （3） f (t) = d0 + dn sin (nω1t +θn ) n=1
d
n
d0 = a0 =an2 + bn2
n =1, 2,3,
= θn
a= rctan an n bn
) dτ
←→
F (ω)
jω
+π
F
(0)δ
(ω )
8、频域微分和积分特性 频域微分
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 (− jt ) f (t ) ←→ dF (ω )
dω
(− jt )n
f
(
t
)
←→
d
nF (ω
dωn
)
频域积分
若 f (t ) ←→ F (ω )
−
f
(t)
jt
+π
f
(0)δ
∫ (t ) ←→ ω −∞
p(t )
抽样信号的傅里叶变换：
∞
Fs (ω) = ∑ Pn F (ω − nωs )，其中 Pn 是的傅里叶级数的系数。 n=−∞
上式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱 Fs (ω)是连续信号频谱 F (ω)的形
状以抽样频率 ωs 为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被 p(t) 的傅里
叶系数 Pn 所加权。因为 Pn 只是 n （而不是ω ）的函数，所以 F (ω)在重复过程中
设 f (t ) ←→ F (ω )
∑∞
时域冲激抽样 fs (t) = f (t)δT (t) = f (t) δ (t − nTs )
n=−∞
（ ωs
=
2π Ts
）
时域中以间隔Ts 冲激抽样
频域中以
ω
s
为周期等幅地重复（幅度为原来的
1 Ts
）
∑ ∑ f
∞
(t) δ (t
n=−∞
− nTs
)←→ 1
(t ) ←→τ
Sa
ωτ 2
7、
Sa(ω0 t )
↔
π ω0
G2ω0
(ω )
Sa (t ) ←→π G2 (ω )
8、 e−atu (t ) ←→ 1
a + jω
9、 e−a t
←→
2a a2 +ω2
10、 e jω0t ←→ 2πδ (ω − ω0 )
（ a 为正实数） （ a 为正实数） （ω0 为实数）
−∞
可简记为： f (t ) ←FT → F (ω )
（二）典型信号的傅里叶变换
1、δ (t ) ←→1
2、δ ' (t ) ←→ jω
δ (n) (t ) ←→( jω )n
3、1←→ 2πδ (ω )
3
4、 u (t ) ←→πδ (ω ) + 1
jω
5、 sgn (t ) ←→ 2
jω
6、 Gτ
第三章 傅里叶变换
重要概念与重要公式
一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t ) n=1
傅里叶系数：
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
∫
)
←→
π 2j
δ
(ω
+
ω0
)
−
δ
(ω
−
ω0
)
+
ω0 ω02 − ω
2
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 15、= δT (t )
δ (t − nT1 ) ←→ω1 δ (ω= − nω1 )
e− jnωT1
n= −∞
n= −∞
n= −∞
（ ω1
=
2π T1
）
16、 f∆ (=t )
1
−
2 τ
t
u
t
+
τ 2
−
u
−
jbn
)
( ) = F−n
F−n e= − jϕn
1 2
an + jbn
= Fn
F= −n
12= cn
12= dn
1 2
an2 + bn2
Fn + F−n = cn
Fn + F−n = an
= bn j ( Fn − F−n )
cn2 = dn2 = an2 + bn2 = 4Fn F−n
二、周期信号的平均功率
若 f (t ) ←→ F (ω )
a 和 t0 为实常数，但 a ≠ 0 ，则
f
(at − t0 ) ←→
1 a
F
ω a
−
e
j
t0 a
ω
6、频移特性
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 f (t ) e jω0t ←→ F (ω − ω0 )
f
(t
)
cos
(ω0t
)
←→
1 2
F
(ω
+
ω0
)
t
−
τ 2
←→
τ 2
S
2a
ωτ 4
17、 t ←→ j2πδ ' (ω )
t
←→ −
2 ω2
4
1 ←→ − jπ Sgn (ω )
t
tu
(t
)
←→
jπδ
'
(ω
)
−
1 ω2
tn
←→
2π
(
j )n
dn dωn
δ
(ω )
（三）傅里叶变换的性质 1、对称性
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 F (t ) ←→ 2π f (−ω )
周期信号 f (t ) 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成，这些冲激位于信号的
谐频（0， ± ω1， ± 2ω1 ， ）处，每个冲激的强度等于 f (t ) 的傅里叶级数相应
系数 Fn 的 2π 倍。
Fn 还可按下式求得
( ) Fn
=
1 T1
F0
ω
ω =nω1
六、抽样信号的傅里叶变换 1、什么叫信号的抽样？
= F (ω )
R2
(ω
)
+
X
2
(ω
)
，ϕ
(ω
)
=
arctan
X R
(ω ) (ω )
则 （1） f (t ) 是实函数
R (ω=) R (−ω ) ， X (ω ) =−X (−ω )
F (−ω ) = F∗ (ω )
F (ω ) 是偶函数，ϕ (ω ) 是奇函数。
若 f (t ) 是实偶函数，则 F (ω ) 必为ω 的实偶函数。
“抽样”就是利用抽样脉冲序列 p(t) 从连续信号 f (t) 中“抽取”一系列离散
样本值的过程。这样得到的离散信号称为抽样信号，以 fs (t) 表示。抽样脉冲序
8
列 p(t) 也称为开关函数。如果其各脉冲间隔的时间相同，均为Ts ，就称为均匀抽
样。 抽样的系统模型：
f (t)
×
fs (t) = f (t)p(t)
频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率 ω1 的整数倍的频率上，频谱中不
可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。即是说：各谱线等距离分布， 相邻谱线的距离等于基波频率。
（3）收敛性 各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而 逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。
∑ ∑ 则
1 ωs
∞ n= −∞
f
t
−
2π n ωs
∞
←→
n= −∞
F
(ω )δ
(ω
−
nωs
)
五、周期信号的傅里叶变换
周期信号 f (t ) 的傅里叶变换为
∞
f (t ) ←→ 2π ∑ Fnδ (ω − nω1 ) n= −∞
∫ ( ) 其中
Fn
=
1 T1
T1
f 2
− T1 2
t
e− jnω1t dt
2
以各次谐波的相位ϕn 为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高 低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。
即ϕn ~ ω 的关系，称为信号的相位谱。
3、周期信号频谱特点 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。 （1）离散性 周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。这样的频 谱称为离散频谱或不连续频谱。即是说：谱线沿频率轴离散分布。 （2）谐波性
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
即 cn ~ ω （或 Fn ~ ω ）的关系，称为信号的幅度谱。
Ts
∞
F (ω
n=−∞
−
nω s
)
9
（2）频域冲激抽样
设 f (t ) ←→ F (ω )
∞
频域冲激抽样 F(ω)δω (ω) = F(ω) ∑δ (ω − nω1 ) n=−∞
（ ω1
=
2π T1
）
时域中以 1 为周期地重复 T1
频域中以间隔ω1 冲激抽样
∑ ∑ 1
ω1
∞ n=−∞
f
(t
−
nT1
f ∗ (−t ) ←→ F ∗ (ω )
4、尺度变换特性
若 f (t ) ←→ F (ω )
则
f
(at ) ←→
1 a
F
ω a
5、时移特性
若 f (t ) ←→ F (ω )
（ a 为非零的实常数）
则 f (t − t0 ) ←→ F ( )ω e− jωt0
如果信号既有时移又有尺度变换则有：
2、线性
若 fi (t ) ←→ Fi (ω ) （ i = 1, 2,, n ）
n
n
则 ∑ ai fi (t ) ←→ ∑ aiFi (ω )
=i 1=i 1
其中 ai 为常数，为 n 正整数。 3、奇偶虚实性
若 f (t ) ←→ F (ω )
且设 F= (ω ) F (ω ) e= jϕ(ω) R (ω ) + jX (ω )
+
F
(ω
−
ω0
)
f
(t
)
sin
(ω0t
)
←→
j 2
F
(ω
+
ω0
)
−
F
(ω
−
ω0
)
7、时域微分和积分特性
时域微分
6
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 df (t ) ←→ jωF (ω )
dt
d
nf dt
(t
n
)
←→
(
jω
)n
F
(ω
)
时域积分
若 f (t ) ←→ F (ω )
则
t
∫−∞
f
(τ
∞
但是，冲激函数序列δT (t) = ∑δ (t − nT1 ) 的频谱不满足收敛性。 n=−∞
四、傅里叶变换
（一）傅里叶变换的定义
傅里叶正变换
∫ = F (ω ) F= f (t )
( ) ∞
f
t e− jωt d
t
−∞
傅里叶逆变换
∫ = f (t)
F= −1 F (ω )
1 2π
∞ F (ω )e jωtdω
1, 2,3,
2、虚指数形式的傅里叶级数
∞
∑ f (t) =
Fne jnω1t
n= −∞
1
傅里叶系数：
∫ ( ) Fn
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t e− jnω1t dt
n = 0, ±1, ±2,
Fn 与其它系数有如下关系：
F=0 c=0 d=0 a0
= Fn
Fn = e jϕn
1 2
( an
1 2π
F1 (ω ) ∗ F2
(ω )
11、时域冲激抽样
若 f (t ) ←→ F (ω )
∑ ∑ = 则 fs (t ) = f (t )δT (t )
f
∞
(t) δ (t − n
n= −∞
sT)
←→
1 Ts
∞
F (ω − nωs )
n= −∞
（ ωs
=
2π Ts
）
12、频域冲激抽样
若 f (t ) ←→ F (ω )
若 f (t ) 是实奇函数，则 F (ω ) 必为ω 的虚奇函数。
（2） f (t ) 是虚函数
5
R (ω ) =−R (−ω ) ， X (ω=) X (−ω )
F (ω ) 是偶函数，ϕ (ω ) 是奇函数。
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 f (−t ) ←→ F (−ω )
f ∗ (t ) ←→ F ∗ (−ω )
an
T2= 1 tt00 +T1 f (t ) cos (nω1t ) dt n 1, 2, 3,
∫
bn
T2= 1 tt00 +T1 f (t ) sin (nω1t ) dt n 1, 2, 3,
其中 ω1
=
2π T1
∞
∑ （2） f (t) = c0 + cn cos (nω1t + ϕn ) n=1
F
(Ω)dΩ
9Байду номын сангаас时域卷积定理
若 f1 (t ) ←→ F1 (ω )
f2 (t ) ←→ F2 (ω )
则 f1 (t ) ∗ f2 (t ) ←→ F1 (ω ) F2 (ω )
10、频域卷积定理
若 f1 (t ) ←→ F1 (ω )
f2 (t ) ←→ F2 (ω )
7
则
f1 (t )
f2
(t ) ←→