第三章 傅里叶变换 重要公式
傅里叶变换概念及公式推导
傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。
傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。
为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。
这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。
要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。
傅里叶变换公式范文
傅里叶变换公式范文傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将时域上的函数转换为频域上的函数。
它是以法国数学家傅立叶的名字命名的，经常被应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
傅里叶变换的公式是傅里叶变换的基础，下面将详细介绍傅里叶变换公式。
首先，我们来看连续傅里叶变换（CTFT）的公式。
对于一个连续时间域上的函数x(t)，其连续傅里叶变换为：X(f) = ∫[−∞,∞] x(t)e^(-j2πft) dt其中，X(f)表示频域上的函数，t表示时间，f表示频率，j表示虚数单位。
连续傅里叶变换的核心思想是将一个时域上的函数分解成多个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
类似地，对于离散时间域上的函数x[n]，其离散傅里叶变换为：X(k) = Σ[from n=0 to N-1] x(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)表示频域上的函数，n表示离散时间，k表示频率，N表示采样点数。
离散傅里叶变换通过将一个离散时间域上的函数分解成多个不同频率的离散正弦和余弦波的叠加，实现了信号在频域上的表示。
傅里叶逆变换公式是傅里叶变换的反向过程，可以将频域上的函数还原为时域上的函数。
连续傅里叶逆变换的公式为：x(t) = ∫[−∞,∞] X(f)e^(j2πft) df离散傅里叶逆变换的公式为：x(n) = 1/N Σ[from k=0 to N-1] X(k)e^(j2πkn/N)傅里叶逆变换的核心思想是将频域上的函数通过反向变换，还原到时域上的函数。
傅里叶变换的公式展示了时域和频域之间的转换关系。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，使得信号的频率特性更加明确。
同时，傅里叶逆变换也可以将频域上的函数还原为时域上的函数，实现信号的恢复和分析。
通过傅里叶变换公式，我们可以对信号进行频谱分析、滤波、降噪等操作，广泛应用于数字信号处理、通信系统等领域。
它不仅提供了一种数学工具，还为我们理解信号的频率特性和时域特性提供了一种数学框架。
傅里叶变换dft
傅里叶变换dft傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它是傅里叶级数在离散情况下的推广，可以将非周期性的离散信号分解为一系列的正弦和余弦函数。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、音频处理等领域中广泛应用。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，从而对信号的频谱特性进行分析。
傅里叶变换的基本思想是将一个信号表示为一系列复指数函数的线性组合，这些复指数函数具有不同的频率成分。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号中各个频率成分的幅值和相位信息。
傅里叶变换的基本公式为：X(k) = ∑[x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)]其中，x(n)是原始信号的离散样本，N是信号的长度，k是频域的索引。
公式中的exp(-j * 2π * k * n / N)表示复指数函数，包含了信号的频率信息。
傅里叶变换的过程包括两个步骤：正变换和逆变换。
正变换将时域信号转换为频域信号，逆变换则将频域信号恢复为时域信号。
正变换公式为：X(k) = ∑[x(n) * exp(-j * 2π * k * n / N)]逆变换公式为：x(n) = (1/N) * ∑[X(k) * exp(j * 2π * k * n / N)]傅里叶变换的一个重要性质是线性性。
即如果信号x1(n)和x2(n)的傅里叶变换分别为X1(k)和X2(k)，那么它们的线性组合a * x1(n) + b * x2(n)的傅里叶变换为a * X1(k) + b * X2(k)。
这个性质使得傅里叶变换在信号处理中非常有用，可以方便地对信号进行加权叠加和滤波处理。
傅里叶变换还有一个重要的性质是平移性。
即对于一个信号x(n)的傅里叶变换X(k)，如果将信号在时域上进行平移，那么其傅里叶变换的频域表示也会相应地发生平移。
这个性质使得在时域上对信号进行平移的操作可以通过频域上的相位调整来实现，从而减少了计算量。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。
F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做
F(ω)的象原函数。
F(ω)是f(t)的象。
f(t)是F(ω)原象。
①傅立叶变换
②傅立叶逆变换
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。
傅里叶变换求解
傅里叶变换公式
傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。
傅立叶变换表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和／或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
相关定义
1、傅里叶变换属于谐波分析。
2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解．在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
傅立叶变换公式
傅立叶变换公式
傅立叶变换公式是数学中的一项重要成果，它可以将一个连续时间的复杂信号分解成一系列简单的正弦函数。
这项公式的发现者是法国数学家傅立叶，他在19世纪初期提出了这个公式，为后来的信号处理、图像处理等领域的发展奠定了基础。
傅立叶变换公式的数学表达式为：
f(t) = ∫F(ω)e^(iωt) dω
其中，f(t)是一个连续时间的信号，F(ω)是这个信号在频域中的表示，e^(iωt)是正弦函数，ω代表频率。
这个公式的核心思想是将一个信号分解成一系列正弦函数的和，每一个正弦函数都有不同的频率和振幅，这样就可以更好地理解信号的特征和结构。
傅立叶变换公式在信号处理中有着广泛的应用。
例如，我们可以将音频信号通过傅立叶变换转换成频域信号，这样就可以更好地分析音频信号的特征和结构，从而对其进行处理和优化。
又比如，在图像处理中，我们可以将一个图像通过傅立叶变换转换成频域信号，这样就可以更好地分析图像的特征和结构，从而对其进行滤波、增强等处理。
除了在信号处理领域，傅立叶变换公式在物理学、工程学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，傅立叶变换被用来描述波函数的变化；在电路分析中，傅立叶变换被用来分析电路的频率响应；在计算机科学中，傅立叶变换被用来进行数字信号处
理等。
总之，傅立叶变换公式是一项非常重要的数学成果，它为我们理解和处理信号提供了强有力的工具。
在今后的学习和工作中，我们应该深入学习和理解这个公式，将其应用到实际问题中，为科学和技术的发展做出贡献。
傅立叶定律公式
傅立叶定律公式傅立叶定律公式是一个重要的数学公式，它描述了一个函数在频域中的分解情况。
傅立叶定律公式的应用非常广泛，涉及到信号处理、图像处理、电子通信等领域。
在信号处理中，傅立叶变换是一种将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
傅立叶变换可以将一个函数从时域转换到频域，从而可以分析信号的频谱特性。
傅立叶变换的公式如下：F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx其中，F(k)表示函数f(x)在频域中的频谱，k表示频率，x表示时间。
公式中的e^(-2πikx)表示复指数函数，它描述了不同频率成分的相位关系。
傅立叶变换的逆变换公式如下：f(x) = ∫F(k)e^(2πikx)dk逆变换公式可以将频域中的频谱恢复到时域中的函数。
通过傅立叶变换和逆变换，我们可以在时域和频域之间进行转换，从而更好地理解信号的特性。
傅立叶定律公式的应用非常广泛。
在图像处理中，傅立叶变换可以将图像转换到频域中，通过分析图像的频谱特性，可以进行图像增强、去噪等处理。
在音频处理和音乐分析中，傅立叶变换可以用来提取音频信号的频谱特征，实现声音的压缩、降噪和音频分析等功能。
在电子通信中，傅立叶变换被广泛应用于调制和解调技术。
通过将信号转换到频域中，可以更好地进行信号传输和处理。
傅立叶变换还在信号处理、控制系统等领域有着重要的应用。
除了傅立叶变换外，傅立叶级数也是傅立叶定律的重要内容之一。
傅立叶级数可以将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
傅立叶级数的公式如下：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中，a0、an、bn分别表示函数f(x)的系数，n表示正弦和余弦函数的频率。
通过计算傅立叶级数的系数，可以得到函数的频谱特性。
傅立叶级数和傅立叶变换是傅立叶定律的两个不同的表达形式，它们描述了不同情况下的信号分解方法。
傅立叶级数适用于周期函数的分解，而傅立叶变换适用于非周期函数的分解。
三角函数傅立叶变换常用公式大全
三角函数傅立叶变换常用公式大全
傅立叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的和。
常用的三角函数傅立叶变换的公式包括：
1. 傅立叶级数公式：
f(x) = a/2 + Σ [a_ncos(nωx) + b_nsin(nωx)]
其中，a和b是系数，n是正整数，ω是基本频率，f(x)是要进行傅立叶级数展开的函数。
2. 傅立叶变换公式：
F(ω) = ∫[f(x)e^(-iωx)]dx.
其中，F(ω)是函数f(x)的傅立叶变换，i是虚数单位，ω是频率，f(x)是原始函数。
3. 逆傅立叶变换公式：
f(x) = (1/2π) ∫[F(ω)e^(iωx)]dω。
其中，f(x)是原始函数，F(ω)是函数f(x)的傅立叶变换。
4. 傅立叶变换的频谱密度公式：
S(ω) = |F(ω)|^2。
其中，S(ω)表示频率ω处的功率密度谱，|F(ω)|表示复
数F(ω)的模。
这些公式是傅立叶变换理论中的基本公式，它们在信号处理、
图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
通过这些公式，我们可以
将一个函数在时域和频域之间进行转换，从而分析函数的频率成分
和特征。
当然，在实际应用中，还会涉及到傅立叶变换的性质、频
谱分析、滤波等更加深入的内容。
希望这些公式能够对你有所帮助。
§3-5 傅里叶变换的性质
FT x ( t ) e jΩ 0 t ← ⎯→ X [ j ( Ω − Ω 0 )]
ℱ x ( t ) e jΩ 0 t
{
} = ∫ x (t ) e
−∞
∞
∞
jΩ 0 t
e − j Ω t dt =
−∞
∫
x ( t ) e − j ( Ω − Ω 0 ) t dt
19
设
X ( jΩ) = X ( jΩ) e jϕ( Ω ) = X R (Ω) + jX I (Ω)
X * ( jΩ) = X ( jΩ) e − jϕ( Ω ) = X R (Ω) − jX I (Ω)
于是
X * (− jΩ) = X (− jΩ) e − jϕ( − Ω ) = X R (−Ω) − jX I (−Ω)
jtx ( t ) e
− jΩ t
dt
dX ( j Ω ) tx ( t ) ← ⎯→ j dΩ
FT
例如： du ( t )
dt
= δ (t )
对应的傅里叶变换
jΩ 1 = j 0 ⋅ πδ ( Ω ) + =1 δ(t ) ←⎯→ jΩ[πδ(Ω) + ] jΩ jΩ
FT
再例如：
1 d [πδ ( Ω ) + ] 1 jΩ FT ′ = jπ δ ( Ω ) − 2 tu ( t ) ← ⎯→ j Ω dΩ
x(t )
1
τ −2 τ 2
τ
X ( jΩ )
t
2π τ
Ω
τ
X ( jt )
x (Ω )
2π
若x(t)是偶对称的，则
FT X ( jt ) ←⎯→ 2πx(Ω)
傅里叶变换常用公式
1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w
222、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1,实际上是一个低通滤波器a+jw
3、单位冲激函数F（w）=1,频带无限宽，是一个均匀谱
4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。
F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到
5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0),相当于是直流信号的移位。
F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))
F(sinw0t)=F((e
6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0
w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T
1、线性性傅里叶变换是积分运算，而积分运算是加法。
2、时移特性信号在时域的时移，相当于信号在频域的各频率分量相移，即
3、频移特性（调制定理）f(t-t0)--e-jwt0F(w) 傅里叶变换公式。
离散傅里叶变换(DFT)
k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量
for r=0:3;
K=3*r+1;
% 1,4,7,10
nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1);
%周期延拓后的时间向量 %周期延拓后的时间信号x
Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS
0
DFT的提出：
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角
§1、傅里叶级数
周期为N的序列 ~x(n) ~x(n rN), (r为整数)
j( 2 )n
基频序列为 e1(n) e N
k次谐波序列为
ek (n)
j( 2 )nk
e N
傅里叶变换的定义公式
傅里叶变换的定义公式傅里叶变换是一种数学工具，常用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
它的定义公式如下：傅里叶变换的定义公式为：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]其中，\( F(\omega) \) 是信号\( f(t) \) 的傅里叶变换，\( \omega \) 是频率，\( t \) 是时间。
傅里叶变换的本质是将一个函数在时域（时间域）中的表达转换为频域（频率域）中的表达。
它将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加，从而可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
在实际应用中，傅里叶变换常用于信号的频谱分析。
通过将信号转换到频域，我们可以得到信号的频率成分和幅度信息，从而可以对信号进行滤波、压缩、编码等操作。
例如，在音频信号处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解为不同频率的音调，从而可以实现音乐的音高识别、音频压缩等功能。
傅里叶变换还有许多重要的性质和应用。
其中，频谱平移性质是傅里叶变换的基本性质之一。
根据频谱平移性质，如果在时域中的函数发生平移，那么在频域中的函数也会相应地发生平移。
这个性质在信号处理中非常有用，可以用于时域信号的时移和频域信号的频移等操作。
另一个重要的性质是卷积定理。
根据卷积定理，两个函数的卷积在频域中对应着这两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质在信号处理中广泛应用，可以简化卷积运算的计算过程。
除了频谱分析和卷积运算，傅里叶变换还可以用于信号的滤波和去噪。
通过将信号转换到频域，我们可以选择性地去除频率成分较低或较高的部分，从而实现信号的滤波效果。
同时，傅里叶变换还可以通过滤波器的设计来实现信号的去噪，从而提高信号的质量和可靠性。
傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，广泛应用于各个领域。
它的定义公式为\( F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \)，通过将信号从时域转换到频域，我们可以更好地理解和分析信号的特性，并在信号处理和物理学等领域中应用傅里叶变换的各种性质和方法。
常见傅里叶变换公式
常见傅里叶变换公式
1. 傅里叶级数公式:
设函数 f(t) 周期为 T，可以表示为以下和式：
f(t) = a0 + ∑ [an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]
其中, ω = 2π/T，an 和 bn 是函数 f(t) 的傅里叶系数。
2. 离散傅里叶变换 (DFT) 公式:
函数 f(n) 可以通过以下公式表示为频域的离散复数表示：
F(k) = ∑ [f(n) * exp(-2πikn/N)]
F(k) 表示频域的复数系数，N 是离散样本的总数，k 表示频域的离散频率。
3. 反离散傅里叶变换 (IDFT) 公式:
若已知频域复数系数 F(k)，则原函数 f(n) 可以通过以下公式还原：
f(n) = (1/N) * ∑ [F(k) * exp(2πikn/N)]
N 表示离散样本的总数，n 表示时域的离散时间。
注意：上述公式描述了常见的傅里叶变换和反变换的原理，但并未提及具体的数学表达式符号。
第三章 傅里叶变换
τ τ
2 2
其傅里叶变换为 ：
F (Ω ) =
∫
∞
2E Ωτ = ∫ τ Ee dt = sin( ) −2 Ω 2 Ωτ sin( ) 2 = E τ Sa Ω τ = Eτ Ωτ 2 2
τ
2
−∞
f ( t ) e − j Ω t dt
− jΩ t
可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系： 可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系：
傅里叶的两个最主要的贡献—— 傅里叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和” 系的正弦信号的加权和”——傅里 傅里 叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的 加权积分来表示” 加权积分来表示”——傅里叶的第 傅里叶的第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换
E f (t) = 0 | t |<
f(t) E
τ
2 T 2
-T -τ
2
τ
< | t |<
0
τ
2
T
t
τ：脉冲宽度， E：幅度， T：重复周期。 ：脉冲宽度， ：幅度， ： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数： 这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数：
f (t ) =
n = −∞
π ϕ (Ω ) = 2 π − 2 Ω < 0 Ω > 0
-
-α
0
α
Ω
ϕ(Ω) π
2
π
2
Ω
４ 单位冲激函数
其傅里叶变换为： 其傅里叶变换为： ∞ F (Ω ) = ∫ δ (t )e − ∞ 根据冲激函数的定义， 根据冲激函数的定义，有
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
[EE261学习笔记]4.常用的几个傅里叶变换相关公式
![[EE261学习笔记]4.常用的几个傅里叶变换相关公式](https://img.taocdn.com/s3/m/fea366036fdb6f1aff00bed5b9f3f90f76c64df3.png)
[EE261学习笔记]4.常⽤的⼏个傅⾥叶变换相关公式在本⽂开始前，需要说明⼀点，以下推导出的各项公式，只是为了实际计算中⽅便，并不都有其对应的物理意义。
⾸先，我们写出符号 ，显然，对于奇函数⽽⾔，；对于偶函数⽽⾔，。
根据前⽂，我们知道由式，我们有我们再令 式中的 ，得到由 、，我们得到再来看另⼀个变换运⽤换元法，令，我们有：f (t )=−f (−t )f =−−f f =−f F f (s )=e f (t )dt ∫−∞+∞−2πist (1)F g (t )=−1e g (s )ds ∫−∞+∞2πist (2)(1)(F f )(s )=F f (−s )−=e f (t )dt ∫−∞−2πi (−s )t =e f (t )dt ∫−∞+∞2πist (3)(2)s =t ,t =s F g (s )=−1e g (t )dt ∫−∞+∞2πist (4)(3)(4)(F f )=−F f −1(5)F (f )(s )−=e f (t )dt ∫−∞−2πist −=e f (−t )dt∫−∞+∞−2πist u =−t要注意，等式左边的 中的 仅表⽰该式是关于 的函数，因此不⽤改写为 因此我们有：接下来我们计算 ，根据式，我们有：同样地，运⽤换元法，令，我们可以得到注意，傅⾥叶变换满⾜性质：因此，由 式，我们可以对 式的等号两端同时进⾏傅⾥叶变换，得到以下结论：即，对⼀个函数进⾏两次傅⾥叶变换的结果，等于原函数取反⼩结⼀下本⽂，并给出⼀个实际应⽤：我们主要得到了以下⼏个傅⾥叶变换的实⽤公式：F (f )(u )−=e f (u )d (−u )∫+∞−2πi (−u )t =e f (u )du∫−∞+∞2πiut =F f (u )−1F (f )(u )−(u )u −uF (f )=−F f −1(6)F (f )−1−(2)F f (t )−1−=e f (s )ds ∫−∞2πist −=e f (−s )ds∫−∞+∞2πist u =−s F f (u )−1−=e f (u )d (−u )∫+∞2πi (−u )t =e f (u )du∫−∞+∞−2πiut =F f (u )(7)FF f =−1F F f =−1f(8)(8)(7)FF f =f −其中 。
傅里叶变换公式及知识点笔记
傅里叶变换公式及知识点笔记
●时移时域的部分少，复指数符号和时移部分相同
●频移频域部分少，指数符号和频域移动的符号不同，注意就是w前面的系数，别搞错了
●一个域的共轭对应于一个域的翻转后共轭，所以实信号x(t)=x*(t)可以推出x(jw)=x*(-jw);实偶信号是x(t)=x*(t)=x(-t)它的傅里叶变换也是实偶对称函数，实奇函数
x(t)=x*(t)=-x(-t)，傅里叶变换是纯虚奇函数
●可以联想一下S域和Z域，积分器和微分器那一部分
●
●tj导时域乘以t频域乘以j然后就是频域的微分
●
●
●可以用来进行们函数推导出Sa(t)函数，
●
●时域相乘频域卷积，不要遗漏2Π
●不要遗漏2Π。
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∞
F (ω
n=−∞
−
nω s
)
9
（2）频域冲激抽样
设 f (t ) ←→ F (ω )
∞
频域冲激抽样 F(ω)δω (ω) = F(ω) ∑δ (ω − nω1 ) n=−∞
（ ω1
=
2π T1
）
时域中以 1 为周期地重复 T1
频域中以间隔ω1 冲激抽样
∑ ∑ 1
ω1
∞ n=−∞
f
(t
−
nT1
第三章 傅里叶变换
重要概念与重要公式
一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t ) n=1
傅里叶系数：
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
∫
cn
c0 = a0 =an2 + bn2
n = 1, 2,3,
ϕn
= − arctan bn an
n
= 1, 2,3,
∞
∑ （3） f (t) = d0 + dn sin (nω1t +θn ) n=1
d
n
d0 = a0 =an2 + bn2
n =1, 2,3,
= θn
a= rctan an n bn
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
即 cn ~ ω （或 Fn ~ ω ）的关系，称为信号的幅度谱。
频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率 ω1 的整数倍的频率上，频谱中不
可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。即是说：各谱线等距离分布， 相邻谱线的距离等于基波频率。
（3）收敛性 各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而 逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。
2
以各次谐波的相位ϕn 为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高 低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。
即ϕn ~ ω 的关系，称为信号的相位谱。
3、周期信号频谱特点 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。 （1）离散性 周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。这样的频 谱称为离散频谱或不连续频谱。即是说：谱线沿频率轴离散分布。 （2）谐波性
周期信号 f (t ) 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成，这些冲激位于信号的
谐频（0， ± ω1， ± 2ω1 ， ）处，每个冲激的强度等于 f (t ) 的傅里叶级数相应
系数 Fn 的 2π 倍。
Fn 还可按下式求得
( ) Fn
=
1 T1
F0
ω
ω =nω1
六、抽样信号的傅里叶变换 1、什么叫信号的抽样？
2、线性
若 fi (t ) ←→ Fi (ω ) （ i = 1, 2,, n ）
n
n
则 ∑ ai fi (t ) ←→ ∑ aiFi (ω )
=i 1=i 1
其中 ai 为常数，为 n 正整数。 3、奇偶虚实性
若 f (t ) ←→ F (ω )
且设 F= (ω ) F (ω ) e= jϕ(ω) R (ω ) + jX (ω )
11、 cos (ω0t ) ←→π δ (ω + ω0 ) + δ (ω − ω0 )
12、 sin (ω0t ) ←→ jπ δ (ω + ω0 ) − δ (ω − ω0 )
13、
cos
(ω0t
)
u
(t
)
←→
π 2
δ
(ω
+
ω0
)
+
δ
(ω
− ω0
)
+
ω02
jω − ω2
14、
s
in
(ω0t
)
u
(t
不会使形状发生变化。 2、抽样的分类 根据抽样脉冲序列 p(t) 的不同，抽样分为“矩形脉冲抽样（自然抽样）”和
“冲激抽样（理想抽样）”。 若抽样脉冲序列 p(t) 为矩形脉冲序列，则这种抽样称为“矩形脉冲抽样”或
“自然抽样”；若抽样脉冲序列 p(t) 为冲激序列，则这种抽样称为“冲激抽样”
或“理想抽样”。 （1）时域冲激抽样
∞
但是，冲激函数序列δT (t) = ∑δ (t − nT1 ) 的频谱不满足收敛性。 n=−∞
四、傅里叶变换
（一）傅里叶变换的定义
傅里叶正变换
∫ = F (ω ) F= f (t )
( ) ∞
f
t e− jωt d
t
−∞
傅里叶逆变换
∫ = f (t)
F= −1 F (ω )
1 2π
∞ F (ω )e jωtdω
−
jbn
)
( ) = F−n
F−n e= − jϕn
1 2
an + jbn
= Fn
F= −n
12= cn
12= dn
1 2
an2 + bn2
Fn + F−n = cn
Fn + F−n = an
= bn j ( Fn − F−n )
cn2 = dn2 = an2 + bn2 = 4Fn F−n
二、周期信号的平均功率
an
T2= 1 tt00 +T1 f (t ) cos (nω1t ) dt n 1, 2, 3,
∫
bn
T2= 1 tt00 +T1 f (t ) sin (nω1t ) dt n 1, 2, 3,
其中 ω1
=
2π T1
∞
∑ （2） f (t) = c0 + cn cos (nω1t + ϕn ) n=1
∑ ∑ 则
1 ωs
∞ n= −∞
f
t
−
2π n ωs
∞
←→
n= −∞
F
(ω )δ
(ω
−
nωs
)
五、周期信号的傅里叶变换
周期信号 f (t ) 的傅里叶变换为
∞
f (t ) ←→ 2π ∑ Fnδ (ω − nω1 ) n= −∞
∫ ( ) 其中
Fn
=
1 T1
T1
f 2
− T1 2
t
e− jnω1t dt
+
F
(ω
−
ω0
)
f
(t
)
sin
(ω0t
)
←→
j 2
F
(ω
+
ω0
)
−
F
(ω
−
ω0
)
7、时域微分和积分特性
时域微分
6
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 df (t ) ←→ jωF (ω )
dt
d
nf dt
(t
n
)
←→
(
jω
)n
F
(ω
)
时域积分
若 f (t ) ←→ F (ω )
则
t
∫−∞
f
(τ
( ) ∫ ( ) ∑( ) ∑ ∑ P = f 2 t
=1 T1
T1 0
f
2
t
dt
= a02
+1 2
∞ n=1
a
2 n
+ bn2
=
c02
+
1 2
∞
c
2 n
n=1
=
∞
Fn
n=−∞
2
周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。也就
是说，时域和频域的能量是守恒的。
三、周期信号的频谱
1、周期信号可分解为直流、基波（ω1 ）和各次谐波（ nω1 ：基波角频率的
)←→
∞
F(ω) δ
n=−∞
(ω
−
nω1
)
（3）时域矩形脉冲抽样
) dτ
←→
F (ω)
jω
+π
F
(0)δ
(ω )
8、频域微分和积分特性 频域微分
若 f (t ) ←→ F (ω )
则 (− jt ) f (t ) ←→ dF (ω )
dω
(− jt )n
f
(
t
)
←→
d
nF (ω
dωn
)
频域积分
若 f (t ) ←→ F (ω )
−
f
(t)
jt
+π
f
(0)δ
∫ (t ) ←→ ω −∞
)
←→
π 2j
δ
(ω
+
ω0
)
−
δ
(ω
−
ω0
)
+
ω0 ω02 − ω
2
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 15、= δT (t )
δ (t − nT1 ) ←→ω1 δ (ω= − nω1 )
e− jnωT1
n= −∞
n= −∞
n= −∞
（ ω1
=
2π T1