虚功原理(物理竞赛)
物理竞赛辅导功能原理
高中物理竞赛辅导讲义 功能原理【基础知识】1、虚功法所谓虚功，就是假想某一个力做了一个微功。
“虚功法”，也叫“元功法”。
在物体处于静平衡的状态下，物体所受的合外力为零，在保持平衡的前提下，物体所受各个力的虚功总和为零。
用虚功法可以处理某些平衡问题，并且颇为简单。
2．伯努利方程如图所示，以流管中的ab 段理想流体为研究对象，在极短时间Δt （Δt →0）内，该段流体移至aꞌbꞌ，等效于aaꞌ之间的流体转移至bbꞌ之间，转移的流体质量Δm =ρS 1v 1Δt =ρS 2v 2Δt ，外力对该段流体做的功W =p1S 1v 1Δt −p 2S 2v 2Δt −Δmg (h 2−h 1)。
根据动能定理，有W = 12Δm v 22 − 12Δm v 12 即p 1S 1v 1Δt −p 2S 2v 2Δt −ρS 1v 1Δtg (h 2−h 1) = 12ρS 1v 1Δt (v 22−v 12) 整理得p 1+ρgh 1+12ρv 12 = p 2+ρgh 2+12ρv 22 即p +ρgh +12ρv 2=恒量，此式即为伯努利方程。
它表明，在惯性参考系中，当理想流体做定常流动时，一定流线上（或细流管内）各点的量p +ρgh +12ρv 2为一恒量。
流体水平流动时，或者高度差不显著时（如气体的流动）伯努利方程可表达为p +12ρv 2=恒量。
显然，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v 较大的地方压强p 较小。
【习题选编】1．如图所示，一轻质三足支架每边长均为l ，每边与竖直线成同一角度θ，三足置于光滑水平面上，且恒成一正三角形。
现悬挂一重为G 的重物，用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线的夹角，试求绳中张力F T 。
2．如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面置于水平桌面上。
球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A ，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ。
求：（1）软绳A 端所受的水平拉力；（2）软绳所受球面的支持力；（3）软绳重心的位置。
第四章 虚功原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
v Cm
可直接用几何方法验证。 静力方法解决几何问题。
l1
l2
l3
结构力学
第4章 虚功原理
七、互等定理 虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理 1、虚功互等定理
Fk A
θmk
FNk
C
mm A B km C
εm γm
1
B
FQk Mk
k状态（静力） 虚功原理
s
m状态（ 位移） λ FQm 1 M m FNm = εm = γm = EA GA ρ m EI
D a
C
建立静力状态（k）
2、沿FRD 方向给以微小单位虚位移 km =1，建立位移状态（m）
D FR D
q=F/ 2a A E B
F
C
3、建立虚功方程，求未知力
FRD ×1 = 0
静力状态（k）
A E B C D' km=1 D
FRD = 0
可直接用平衡方程验证。
位移状态（m）
几何方法解决静力问题。
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
mk
（a）
A
B
mk
（b）
A
θ'km θ"km
虚功原理(物理竞赛)教学内容
虚功原理(物理竞赛)§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
虚功原理
√
2. 虚功原理(10/13)
2.4 虚功原理的不定乘子法
广义坐标法的缺陷：不能求解约束力不定乘子法的目的
是第 b 个约束对第 a 个质点的约束力，fb(x,y,z)=0 是 曲面方程， 表示约束力沿曲面法线方向 线性组合约束方程和虚功原理
√
2. 虚功原理(11/13)
例：长分别为 l1 和 l2 轻绳(AC 和 BC， ACB=90)，悬挂重量为 W 的重物， 求张力 T1 和 T2 的大小 虚功原理 ，未知坐标和不定乘子
不稳定约束情况：摆长随时间变化的单摆 实位移 虚位移
实位移不是虚位移中的一种 虚位移通过约束曲面的切面上
√
2. 虚功原理(3/13)
例：非自由质点组的虚位移
求点 A,B,C 的虚位移
推广：n 个质点组，有 k 个约束 自由度：s = 3n - k 个参量 广义坐标：q1, q2, …, qs 独立变分：dq1, dq2, …, dqs
例：非自由质点的虚位移
稳定约束情况：质点 M 受到固定曲面的约束 实位移：在某时刻 t，约束许可下，经 过无限小时间 ，质点真实的无限 小位移 虚位移：在某时刻 t，约束许可下， 无须经历时间，质点的设想位移
√
2. 虚功原理(2/13)
d 是变分符号，变分运算与微分一致 实位移是虚位移中的一种 虚位移通过约束曲面的切面上
虚位移：在某时刻 t，约束许可下，无须经历时间，质 点组的任意一组设想位移 广义虚位移：广义坐标的独立变分dq1, dq2, …, dqs 虚位移是广义虚位移的线性组合
√
虚功原理(微分形式的变分原理)
1 Fcos sin m sin 0 1 m 1g 1 2g 2 1 F cos m g sin 0 2 2 2 2
广义平衡方程
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:
2F tan 1 2 m m g 2 1 tan 2 F 2 m2 g
Q δq 0
1
s
Q δ q Q δ q Q δ q 0 1 1 2 2 s s
δ q 若 δ q 0 相互独立 1
Q q 0 1 1
δ q ,..., δ q 0 2 s
Q 1 0
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
同 , 若 理 δ q 0 1
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
一、虚功原理
受有理想约束[、 定常约束]的力学系统, 保持[静]平 衡的必要[充分]条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零. n Fi δri 0
i1
在直角坐标系中, 上式写成
( F δ x F δ y F δ z) 0
i 1 ix i iy i iz i n
i 1 i 1
对理想约束
0 0 n F r i δ i 0
i 1
§7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
充分条件的证明： 若系统的主动力虚功之和为零, 对于受有理想约束的系统
F ri 0 i δ 1 n i n F δ r F δ r 0 i i Ri i
应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求 的条件； (2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； (3)分析并图示系统受到的主动力； (4)通过坐标变换方程, 将虚功原理化成
虚功原理
10
FB | rA | cos FA | rB | sin ( )
6
7
8
tan
( P Q)l ( P Q) R l
2 2
9
cos( ) NA ( P Q) sin 2 cos( ) NB ( P Q) sin 2
AB 上的投影应相等，即
| rA | sin ( ) | rB | cos
可见 A，B 两点的虚位移 大小之比等于 根据虚位移原理的平 衡方程，有
W FA | rA | FB | rB | 0
| rA | cos | rB | sin ( )
4、求平衡构架内二力杆的内力。
4
【例】 曲柄连杆机构静止在如图所示位置上，已知角度φ和ψ。不计机 构自身重量，求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系。
A
r
O φ
B
FA
ψ
FB
5
【解】以 δrA 和 δrB 分别代
表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位
移，如图所示。
因 AB 是刚杆，两端位移在
对质点系： ( Fi Ni ) ri 0
理想约束下
Ni ri 0
Fi ri 0 与前题条件矛盾
故 Fi ri 0时质点系必处于平衡。
3
1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力；
∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。
Fi Ni 0
对质点Mi 的任一虚位移 ri ，有 ( Fi Ni ) ri 0
对整个质点系： ( Fi Ni ) ri 0
【高中物理竞赛+精品讲解】《静电场与物质相互作用》叶邦角教授
1 2
2
r
r 0 SU d (r
1)t
(r 1)t 0r S
r0 (r
2rd
1)tSU 2
(r 1)t2
W>0表示抽出介质板后，电容器储存的能量增加 了，这部分能量来自于抽出介质板时外力所做的 功，故在断开电源的条件下，抽出介质板时外力 所做的功为：
又
S 2R2 sin ,
E
q
4 0R2
F Fx
Fx
q2
16 0R2
/2 0
cos
sin
q2
32 0R2
/2
cos
s in
1
/2
sin
2(2 )
0
4 0
1 (cos 0 cos 2 ) 1
( r 1)0tSU [ rd ( r 1)t]d
Q<0表示抽出介质时，有电荷从电容器流向电 源，因此，也就伴有相应的能量WB从电容器流 向电源:
WB
(Q)U
( r [ r d
1)0tSU 2 (r 1)t]d
抽出介质后，电容器所储存的能量增量为：
Fix
We xi
q
Fiy
We yi
q
Fiz
We zi
q
• 绕某点转动，则：
A Li ,
则
Li
We
q
（3）非孤立带电体（U不变）
物理竞赛虚功原理
物理竞赛虚功原理小伙伴们！今天咱们来唠唠物理竞赛里超级有趣的虚功原理。
你知道吗？虚功原理就像是物理世界里的一个小魔法。
想象一下，有一个复杂的物理系统，各种物体相互作用着，就像一群小伙伴在打闹玩耍一样。
虚功原理呢，就像是一个超级聪明的小侦探，能在这个看似混乱的场景里找到一种特殊的平衡关系。
比如说，咱们常见的那些机械装置，像杠杆啊，滑轮组之类的。
在物理竞赛题里，它们可不会那么乖乖地让你轻松算出答案。
这时候，虚功原理就大显身手啦。
它就像是有一双特殊的眼睛，能看到那些隐藏在系统内部的微小变化。
你看，当我们给这个系统一个小小的“想象中的位移”，也就是虚位移的时候，就好像在这个机械装置的小世界里轻轻推了一把，看看会发生什么奇妙的事情。
虚功原理的厉害之处在于，它不管这个系统有多复杂，是由多少个小零件组成的。
就像一个万能钥匙，能打开各种物理系统平衡的大门。
它可不像有些方法，遇到复杂的情况就开始犯晕。
比如说，有些系统里有好几个力在同时作用，而且这些力的方向啊、大小啊还都不一样，这时候用常规的方法去分析平衡，那可真是头疼得很。
但是虚功原理呢，它就很潇洒，只要按照它的规则来，把每个力在虚位移上做的功算一算，然后根据虚功之和为零这个神奇的规则，就能轻松搞定平衡的条件啦。
我记得有一道物理竞赛题，是一个超级复杂的组合机械，里面有各种角度的杠杆，还有不同大小的滑轮。
当时我一看到那题，脑袋都大了。
但是当我想到虚功原理的时候，就好像突然找到了方向。
我就想象着给这个复杂的家伙一个小小的虚位移，然后开始计算每个力做的虚功。
这个过程就像是在玩一个解谜游戏，每算出一个力的虚功，就感觉离答案更近了一步。
当我根据虚功之和为零算出结果的时候，那种成就感简直无法形容，就像是找到了宝藏一样。
而且啊，虚功原理还能让我们从一个全新的角度去理解物理中的能量和功。
它让我们明白，在一个平衡的系统里，能量的分配是多么巧妙。
那些力虽然各自为政，但是在虚功原理的指挥下，却能和谐地达到一种平衡状态。
虚功原理
虚功原理单力作功力学上，一力F在其方向上产生位移始作功。
例如，下图所示之力F，以位置向量r说明其在路径s上之位置。
若力沿路径移至新位置r ' = r + d r，其位移为d r，而功dU为一纯量，以点积(dot product)定义如下dU= F⋅d r因d r为一微小量，其大小以ds表示，乃沿路径之微小弧长。
若d r与F尾端间夹角为θ，如上图，依点积之定义，上述方程式可写为dU= Fds cosθ上式功的表示式可以用二种不同方式予以说明：即F与位移在力之方向分量ds cosθ之乘积；或位移与力在位移方向之分量F cosθ之乘积。
若0≤θ≤90︒，则力分量与位移方向相同，功为正值；若90︒≤θ≤180︒，则两向量方向相反，功为负值。
又力与位移垂直，因cos90︒= 0，则dU = 0，或力作用在固定点上，因ds = 0，则功亦为零。
功之基本单位是力及位移之组合单位。
在SI系统，一焦耳(J)相当于1牛顿力使物体移动1米之位移所作之功(1 J = 1 N⋅m)。
在FPS系统，则功之单位为ft⋅lb (呎．磅)。
力矩与功之单位相同；但是力矩与功之观念毫无相关。
力矩为一向量，而功为一纯量。
力偶作功当力偶绕一与其作用面垂直之轴旋转时，此力偶作功。
考虑上图(a)中一物体受到一大小M = Fr之力偶作用。
物体任意微小位移可视为平移与旋转之组合。
物体平移时，沿力作用线方向之位移分量为ds t，如上图(b)所示，一力作正功( Fds t )，而另一力作负功(-Fds t )，两者相互抵消。
物体绕一与力偶作用面垂直且交于O点之轴旋转一微小角度dθ，如上图(c)。
(亦可考虑作用面上任意点)，图中各力均在其方向产生位移dsθ= ( r /2) dθ。
因此，二力作功为或dU = Mdθ若M与dθ方向相同则作正功，反之则作负功。
如同力矩向量，dθ之方向乃遵照右手定则(right-hand rule)，即右手四指为旋转方向而姆指指向即为dθ之方向。
力学竞赛辅导五虚位移原理及其应用
1真实位形t 时刻δ力学竞赛辅导五 虚位移原理及其应用非自由质点系平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡，因此平衡方程中必然要反映出约束的性质。
处理静力学的两种出发点：当质点系平衡时，主动力和约束力之间存在一定的关系，据此可建立主动力和约束力的平衡方程，即刚体的平衡条件。
它是任意质点系平衡的必要而非充分条件。
——刚体静力学（矢量力学）当质点系平衡时，在主动力和约束所容许的位移之间，也存在一定的关系，利用这些关系，可建立任意质点系平衡的充要条件。
——分析力学 一、基本概念1、约束：质点系中常存在一些限制各质点自由运动的条件，称这些条件为约束。
约束通常表现为质点系中质点的坐标、速度和时间的方程。
若n 个质点所形成的质点系受有k 个限制其位置的约束，那就有k 个表示这种约束的方程，因此，这时n 3个坐标中就只有k n -3个是独立的。
定常约束与非定常约束：前者约束性质不随时间而变，约束方程不显含时间：后者反之 运动约束：质点系在运动时受到的对运动条件(速度)的限制条件。
双面定常的几何约束（完整约束）：0),,,,,,,,,(n n n 222111=z y x z y x z y x f 非定常几何约束： 0)t ,,,,,,,,,,(n n n 222111=z y x z y x z y x f单面约束与双面约束：由不等式表示的约束称为单面约束，只能在单方向限制质点的位移或反之。
2小位移，称为该质点或质点系的虚位移。
它具有：1）假想的无限小位移，不需经历时间过程； 2）不破坏约束，可以不止一个； 3）与是否发生实际的运动无关。
虚位移与(无限小)实位移的关系： •实位移需要时间过程d t ，而虚位移不需要； •两者都要满足约束方程；•约束定常，可利用求无限小实位移的方法来求虚位移；•约束非定常，对实位移，约束方程所显含的时间t 为自变量，而对虚位移，2t 为常参量。
•虚位移用变分符号δ，无限小实位移用微分符号d ，虽然概念不同但它们都具有无限小的意义，因此，在定常约束情况下它们具有相同的数学运算规则。
虚功原理(物理竞赛)
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
第36届物理竞赛复赛模拟题(第16套)_解析
（满分：200分）一、两个半球（ 分）如图，一个匀质球，质量为M，半径为R，沿过其球心的平面将其剖为两半。
再用轻绳沿着半腰捆起来放在光滑水平面上（绳与球间无摩擦）。
1）求匀质半球的质心与球心的距离x c；2）求绳中张力。
解答：1）直接积分可得：xc =xdmm=πR2−z2dzR23πR3=38R2）由虚功原理，有2×2TRδθ+Mgxcδ−sinθ=04TR−Mgx cδθ=0T=3Mg 32二、螺旋缩进（ 分）如图，在上半平面有均匀磁场，磁感应强度B沿z轴。
一个电荷量为q质量为m的粒子从原点沿y轴正向以速度v0入射上半平面。
粒子运动中同时受到一阻力作用，f=−αv，忽略重力的作用。
1) 若α能使粒子始终在上半平面运动，则其最小值αm应满足怎样的方程？2) 若α>αm，则粒子最终将趋近于上半平面的一点A，求其坐标。
解答：1) 粒子的运动方程为m dvdt =qv×B−αv全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第十六套参考答案mv∙dvdt=qv∙(v×B)−αv21 2mdv2dt=−αv2v(t)=v0e−αm t令v t=v tτt, τ=1，有m dvdt=mdvdtτ+mvdτdt=qvBτ×k−αvτdτdt=qBmτ×kv t=v tτt=v t sinωt i+cosωt jω=qB mr t=mv0e−αm tα2+qB2−αsinωt−qB cosωt i+qB sinωt−αcosωt j+mv0(qBi+αj)α2+qB2易知，ωt=3π2时，r最接近x轴，从而αmqB=e−3π2αmqB2)令t⟶∞，得r=mv0(qBi+αj)α2+qB2三、导热管（28分）如图一个长圆柱形的均匀导热管，内半径和外半径分别为a,b。
初始时，铝、管的温度为T0，处处均匀。
将导热管置于一个环形热源环境中，热源对管施加一个径向向内的均匀能流，能流密度（单位时间内通过单位面积的热量）为J。
虚功原理
虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的， 必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到 的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲， 的两个方面 ， 力和位移并不是随意的 。 对于力来讲 ， 它必须 是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲， 是在位移过程中处于平衡的力系 ； 对于位移来讲 ， 虽然是虚 位移，但并不是可以任意发生的。 位移 ， 但并不是可以任意发生的 。 它必须是和约束条件相符 合的微小的刚体位移。 合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时， 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约 束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。 束力方向的位移应为零 ， 因而该约束力所作的虚功也应为零 。 这时该约束力叫做被动力 如图1 被动力。 由于支点C 这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力Rc ，由于支点C 没有位移， 所作的虚功对于零) 反之，如图1 没有位移，故 Rc 所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的
虚功原理及虚功方程
PA
A
Rc
C B
PB
图 1-8a 示一平衡的杠杆 ， 对 C 点写力矩平衡方程： 点写力矩平衡方程：
(a)
P b A = P a B
B
图 1-8b 表示杠杆绕支点 C 转动 表示杠杆绕支点C 时的刚体位移图： 时的刚体位移图： ∆ b
b
a
∆A
综合可得： 综合可得：
=
a
A'
∆A
P b ∆B A = = P a ∆A B
虚功原理---虚功原理----用于弹性体的情况
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 式中{δ *}T 是{δ *} 的转置矩阵。 的转置矩阵。
虚 功 原 理
设质点组在主动力和约束反力的作用下 处于平衡状态，第i个质点在平衡的条件是：
Fi + Ni = 0
(i=1,2,...,n)
Fi · ri + Ni · ri = 0 (i=1,2,...,n) ∑Fi · ri + ∑Ni · ri = 0
m1 Fi mi Ni
m2 ri
Fi —主动力 Ni—约束反力 ri—虚位移
一组，而不能是可能位移之外的其他位移。
（3）虚位移
质点或质点系任意两个可能位移之差定义为虚位移. 它是在给定瞬时，
为约束所允许的无限小位移.记为
ri
(i 1, 2,
n)
虚功原理
虚位移的特征：
y
A
1）虚位移是假定约束
M
不改变而设想的位移；
2）虚位移不是任何随
便的位移，它是约束所允 O
许的位移；
3）虚位移是一个假想
虚功原理
这些主动力 Fi 可以用势能对坐标的偏导数表 示，即
Fi
(V xi
i V yi
j V zi
k)
(i 1, 2,
, n)
（2）用势能表示的虚功原理
将上式代入虚功yi
V zi
zi )
虚功原理
WF
( V xi
xi
V yi
yi
V zi
zi
)
b
FA
B(x2, y2)
F
FB
虚功原理
因为 1 和 2 是线性独立的，所以
解得
虚功原理
解法二：计算广义力
确定系统的自由度：S=2。
选取直角坐标系如右图所示，
选取广义坐标为：1 、 2
高中物理竞赛经典讲义 虚位移原理
第15章 虚位移原理15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。
作用线平分ABC ∠。
设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。
解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。
将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有)902cos(δ)90cos(δ︒-=-︒θθB C r r即 θcos 21δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ θsin δδN F F r r C B = （2） 将式（1）代入（2）得 θtan 2N F F =15-3 挖土机挖掘部分示意如图。
支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。
当︒==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。
不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。
解：由虚功原理： 0δδcos 1=-⋅ϕθM r F A （1）式中 a r B δδ=ϕ （2）A 、B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r =2tan δδθB A r r = （3）式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=⋅-⋅⋅a r M r F B B θθ Fa M Fa M 21,sin ,30221==︒==θθθ15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。
已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。
求机构平衡时F 2与F 1的关系。
解：用解析法解，选取ϕ为广义坐标，则滑块A 的约束方程ϕtan l y A =ϕϕδsecδ2l y A = （1） 由虚位称原理 0δδ)(21=+-A y F a F ϕ （2）把式（1）代入（2）得 0δsec δ221=+-ϕϕϕl F a F因 0δ≠ϕ，于是有 0sec 221=+-ϕl F a F故 ϕ221cos a l F F =15-7 图示滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动杆CD 在铅直滑道上滑动，已知︒=0θ时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m 。
高中物理竞赛第八阶段 第2讲 电容 电介质 电能(有答案)
电容的定义是：找到两块金属板（等势面），令其中一块带上 +Q ，一块带 -Q ，这时候两极板电势差为U ，电容 C = Q 。
如果只说某个物体的电容，一般把大地当作另一个极板。
这也就形成了我们 U 求电容的一般思路：给定电势求电荷；给定电荷求电势。
注意：讲电容的时候，我们总要求一个极板 上发出的电场线回到另一个极板，这也就保证了两个极板上电荷大小相等。
常见的几种电容例如平行板电容、球型电容、同心圆柱电容、同心球电容等是基本知识点，应当 熟练掌握。
【例1】 两块正方形的极板，边长为 L ，相对放置，间距为 d 构成电容器，d << L 。
各充电 ±Q 之后保 持绝缘。
求做如下操作之后两个极板之间的电势差。
a) 将极板沿着一条边错动小距离 ∆Lb) 将一个极板绕着一条边转动一个小角度θ ，并使得 θ L << dc) 一个小金属球，半径为 r << d ，质量为 m （重力可以忽略）。
开始位于一个极板负极内侧，由于静电感应作用，带上负电，然后受到电场力作用飞向正极板，发生非完全弹性碰撞并重新达到经典平衡。
经过时间 t 之后，求两极板之间的电势差。
两个极板间的被放上其他电荷，电荷的受力为 F = Eq 。
如果考虑极板自己的受力，则 F = Eq 。
2我们知道，在考虑一个电荷受力时，不能算自己的电场，所以在考虑某极板的受力时，只能算另一极 板产生的电场，刚好为两极板间电场的一半。
同时由高斯定理易得，无穷大板产生的电场为 E = 2π k σ 。
通过电流做功的定义，很容易得出，电容器储存能量的公式为：E = 1CU 2 = 1 Q2 2 C 还有另一种理解电容器储存能量的方式：电荷之间并不是直接相互作用，而是通过电场相互作用； 这样也就理所当然不存在电荷间相互作用能，作用能包含在空间的电场中。
在这样的观点中，我们可电容里的受力与能量电容电压电荷知识点睛高二物理竞赛第2讲电容、电介质、电能2以得到相互作用能在空间中分布的密度度：即能量由电场携带。
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学的研究中，虚功原理是一个基本概念，它在解决力学问题时起着重要的作用。
本文将介绍力学中的虚功原理，并探讨其应用。
1. 虚功的概念和定义虚功是力学中的一个重要概念，它用于描述一个力对物体的作用所做的功，但物体实际上并未发生位移。
虚功可以通过以下公式计算：虚功 = 力 ×虚位移其中，力是作用在物体上的力，虚位移是物体在力的作用下所产生的虚拟位移。
虚位移是一个想象出来的位移，用于计算力对物体的作用所做的功。
虚功是一个标量，它的单位是焦耳（J）。
2. 虚功原理的表述虚功原理是力学中的一个基本原理，它描述了一个力对物体的作用所做的虚功等于零。
换句话说，当物体处于平衡状态时，力对物体的作用所做的虚功总和等于零。
虚功原理可以通过以下公式表述：Σ虚功 = 0其中，Σ虚功表示所有力对物体的作用所做的虚功的总和。
根据虚功原理，当物体处于平衡状态时，所有作用在物体上的力对物体所做的虚功总和为零。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：3.1 弹簧的伸缩虚功原理可以用于分析弹簧的伸缩问题。
当一个物体施加一个力使弹簧伸长或缩短时，虚功原理可以帮助我们计算弹簧对物体所做的虚功。
根据虚功原理，弹簧对物体所做的虚功等于零，即力与虚位移的乘积为零。
通过这个原理，我们可以求解弹簧的伸长或缩短距离。
3.2 斜面上的物体虚功原理还可以应用于斜面上的物体。
当一个物体沿着斜面上升或下降时，虚功原理可以帮助我们计算斜面对物体所做的虚功。
根据虚功原理，斜面对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在斜面上的运动状态。
3.3 摩擦力的分析虚功原理还可以用于分析摩擦力的作用。
当一个物体在受到摩擦力的作用下运动时，虚功原理可以帮助我们计算摩擦力对物体所做的虚功。
根据虚功原理，摩擦力对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在摩擦力作用下的运动状态。
全国中学生物理竞赛内容提要(俗称竞赛大纲)2017年版
说明：1、2016版和2013版相比较，新增了一些内容，比如☆科里奥利力，※质心参考系☆虚功原理，☆连续性方程☆伯努利方程☆熵、熵增。
另一方面，也略有删减，比如※矢量的标积和矢积，※平行力的合成重心，物体平衡的种类。
有的说法更严谨，比如反冲运动及火箭改为反冲运动※变质量体系的运动，※质点和质点组的角动量定理(不引入转动惯量) 改为质点和质点组的角动量定理和转动定理，并且删去了对不引入转动惯量的限制，声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声增加限制（前3项均不要求定量计算）。
2、知识点顺序有调整。
比如刚体的平动和绕定轴的转动2013版在一、运动学的最后，2016版独立为一个新单元，---很早以前的版本也如此。
3、2013年开始实行的“内容提要”中，凡用※号标出的内容，仅限于复赛和决赛。
2016年开始实行的进一步细化，其中标☆仅为决赛内容，※为复赛和决赛内容，如不说明，一般要求考查定量分析能力。
全国中学生物理竞赛内容提要(2015年4月修订，2016年开始实行)说明：按照中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会第9次全体会议(1990年)的建议，由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会常务委员会根据《全国中学生物理竞赛章程》中关于命题原则的规定，结合我国中学生的实际情况，制定了《全国中学生物理竞赛内容提要》，作为今后物理竞赛预赛、复赛和决赛命题的依据。
它包括理论基础、实验、其他方面等部分。
1991年2月20日经全国中学生物理竞赛委员会常务委员会扩大会议讨论通过并开始试行。
1991年9月11日在南宁经全国中学生物理竞赛委员会第10次全体会议通过，开始实施。
经2000年全国中学生物理竞赛委员会第19次全体会议原则同意，对《全国中学生物理竞赛内容提要》做适当的调整和补充。
考虑到适当控制预赛试题难度的精神，《内容提要》中新补充的内容用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容，预赛试题仍沿用原规定的《内容提要》，不增加修改补充后的内容。
45虚功原理
l MT (x)d
M (x)d
l
l FS (x)d
i1
虚外力 力状态
虚内力
实际位移
虚功方程表示位移
位移状态 实际变形 状态的变形协调方程
【例题】
试求图示桁架各杆的内力。设三杆的横截面面积相等，材料相同，且是线性的。
解：设 O 点有虚位移 v
Δl1 v Δl2 Δl3 v cos
虚功原理
2 13
B
dW dWs dWi dWs 0
dW dWi
d(l )
d
d
q( x)dx
d
FS ( x) FN ( x)
FS ( x) dFS ( x) FN ( x) dFN ( x)
M ( x) dM ( x)
M ( x) MT( x) MT( x) dMT( x)
微段虚功 微段刚体虚功 微段变形虚功
Fv FN1Δl1 FN2Δl2 FN3Δl3 v cos
Fv FN1v FN2v cos FN3v cos
v O
l FN3 FN1 FN2
O
F FN1 FN2 cos FN3 cos (1)
F
F
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F FN1 FN2 cos FN3 cos (1)
材料力学
Mechanics of Materials
虚功原理
一、虚位移与虚功
虚位移 满足约束条件和连续条件任意可能的微小位移
A B
实虚际位位移移
A B
实虚际位位移移
虚功
作用力沿虚位移所作的功，即力作功的位移不是由该力引起的
二、虚功原理
A x dx
虚功原理在竞赛中的妙用
ｙ＝ 量 ｃ常
—
故 ｙ 、 ＋
２
对 点 矩 衡 ｃ ＝（ ） 力 平 ：。
对 铰链Ａ： 竖 直方 向受 力平 衡 ： ｃ ＋ ｉ ＝ ｏ ｏ ｓ ｃ ＝ 常量
水 平 方 向 受 力 平 衡 ： ｓ ＋ ｚ ｎ ＝ ３ｏ￣ ｎ ｉ Ｆｓ ￣ Ｆｃｓ ｉｏ ｏ
力 。即 ， 铰链 受 力左 右对 称 ， 为平 衡 。故作 用力 Ｑ处 又
只有 水平 分量 ， 即 。其余 各 力如 图 ５所 示 。
手 ｓ 一Ｖ（ ｆ２ｕ 手＋ ＋ ２・ｌ ｃ 一ｃｃ ＼＼ 。 ／ 一） ／
因 ｘ ０时 ｙ ０， 有 ： — ＝ ＝ 故 ｃ ＝
所曲方为 一－一 ＼ 以线程： ［／手 ］ 【 ＺＪ ２ 、（ １ Ｖ＼ １ ／
此方 法较 烦琐 ． 且用 到 高等 数学 的知 识 。
解 法二 ： 功原 理 虚
Ｐ
约束 为 理想 约束 ， 动力 为 重力 ， 主 由虚 功 原理 ， 位 虚
移 中主 动力 做功 为零 ， 即
ＰＳ ｃ Ｏ ｙ＝
对 ＡＱ杆 ：
沿杆 方 向受 力平 衡 ：４ ｎ ＝ ２ Ｆｓ ￣ Ｆ ｉ
一
力功 ） （ ＝ 内力 功 ） 。 力系 是平 衡 的 。
虚功原理在竞赛中的妙用
◇ 深 圳 中学 姚 学林 肖相 如 熊兆 熙
虚 功 原理 是 指 物体 在 力 系作 用 下处 于平 衡 状态 ， 若 物体 由于 其 他 原 因 产生 符合 约 束 条 件 的微 小 连 续 虚 位
［ 物理教学探讨 ・ 高中学生版 ］５ ７
由虚功 原 理得 ：２ ＢＡＰ ＝ － Ｔｘ＋￣ｅ０
将 ＆ 代 人 可得 ： Ｐ ，
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§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i Fδ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F有多大？求F=？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。
我们从图上很容易得出：αcos l x B =,αsin 2l C y =。
则αδαδsin l x -=，对C y 变分则有：αδαδcos 2l C y =，将它们代入①式就可得到：0]cos sin [21=-αδααδαmgl Fl →0)cos sin (21=-δαααmgl Fl ，∵δα是独立的，可以使它不等于零。
∴δα之前的乘数应该等零，故有：0cos sin 21=-ααmgl Fl 。
于是就可解得题目所要求的结果为：αmgctg F 21=。
对于这个问题，如果按位移的实际方向与力的方向确定虚功正负的话，将会得出这样的结果，设想杆子在F 的作用下向里有一虚位移，∵F的方向与虚位移方向相同，∴F 是作正功的，应该为正的。
而重力m g的方向与力的作用点的位移δy C 的方向相反，∴重力的功是负的，于是得到的结果：0=-C B y mg x F δδ是错的。
对这个简单例子的求解主要是说明了应用虚功原理的解题步骤。
由上面的求解过程可以看出，应用虚功原理解题的步骤一般是：第一步先找出所要考虑的质点组或者刚体，也就是1、找出所要研究的系统。
2、找出系统所受的主动力。
3、列出虚功方程。
列出的虚功方程中的虚位移里的坐标不一定要独立，虚功的正负号很重要，要正确判断。
我们还是以所选坐标的正方向为标准，也就是上面解题时所采用的方法。
另外还得注意：计算虚功的参考系必须是静止的。
4、虚功方程列出之后，要把方程中的虚位移化成独立的变量。
其方法有两种：一种是先找出坐标间的关系，再微分得出，这种方法就叫分析法，我们上面的例子采用的就是这种方法。
另外一种是观察法，根据观察直接找出虚位移之间的关系。
这种方法只在某些简单的情况下可行。
5、最后就是将找出的虚位移之间的关系代入虚功方程求解出最后的结果。
应用虚功原理解题的步骤一般来说大致是这样的。
当然对具体的题目要作具体的处理，并不一定要这样呆板，可灵活地去做，对我们初学者来说，有据可依总是有益处的。
当然这个例子也可以用牛顿力学中的静力平衡方程很容易地解出……。
下面我再举一个应用虚功原理求约束力的例子。
例2、如图中所示的框架，它是由四根重量和长度都相同的杆子光滑铰接而成的四边形框架，中间B 、D 两端又光滑铰接一轻杆，A 端是挂在天花板上的，已知框架上每一根秆子的重量为p ，长度为 ，试求平衡时此轻杆所受之力？解：可见这个例子要我们求的是轻杆两头所受的力。
为此我们可以把B 、D 撤消，撤消杆子也就等于撤消约束。
（在框架的B 、D 两）将约束去掉而代之的是作用在框架B 、D 两处向外的作用力T (如下图所示)并使系统仍处于原来的平衡状态，这里的系统自然是指这个平行四边形框架。
此时我们就可以将去掉的约束而代之的两个作用力T 看作为系统所受的主动力，而其他的约束仍然是理想的。
于是就可应用虚功原理求出这两个力。
这两个力其实就是杆子对框架的约束压力，求出了它当然也就求出了杆子所受的力。
现在我们对所讨论的问题和系统都已明确，于是就可着手找出系统的主动力。
对框架这个系统除了受到T 这两个主动力之外，还有作用于各杆上的四个重力，这四个重力的合力可用作用在框架对称中心E 点的4P 代替。
在这里坐标就取垂直对称轴向下为Y 轴的正向，A 为坐标原点，水平向右为x 轴的正方向。
根据对称性可以直接写出系统的虚功方程为：042=+E D y P x T δδ,由图可得：αsin l x D =,αcos l y E =,∴αδαδcos l x D =,αδαδsin l y E -=.代入虚功方程中去，得：0)sin 4cos 2(=-δαααpl Tl ，∴αptg T 2=。
这种把约束去掉，代之以力而求约束力的方法是一种重要的方法，我们必须要掌握。
上面我们所举的两个例子，所考虑的系统都是刚性系统，如果我们碰到要考虑的系统不是刚性时，不要忘了计算主动内力所作的虚功。
例如：将一弹簧圈放在光滑的球面上，求弹簧圈静止时的位置，此时弹簧圈就不是一个刚体，它内力的虚功不等于零。
此时必须要把内主动力的虚功计算进去[如果把弹簧圈割开使内力暴露出来而转化为外力，割开后的弹簧圈可看作刚体处理] 。
§3、达朗伯----拉格朗日方程以上我们所研究的是分析静力学问题，现在我们就开始转到对分析动力学问题的研究。
研究分析动力学的出发点仍然是牛顿第二运动定律。
达朗伯原理从牛顿第二定律可以直接推出达朗伯原理，而达朗伯原理与虚功原理相结合就可得到分析动力学的普遍方程即——达朗伯--拉格朗日方程。
现在我们就按这条路径来走。
假设由n 个质点组成的力学体系，根据牛顿第二定律可得，质点组中的第i 个质点的动力学方程就是i i i i a m R F=+,i=1,2……n ，将i a m 移到等式的左边成为：0=-+i i i i a m R F……*，这样的形式。
这样移一下项得出来的方程式有什么意义呢？在数学上看来，是没有多大意义的，只不过是进行了一次移项手续而已，但在我们物理学上来看物理意义就大不相同了。
∵移项前它是个动力学方程，而移项后，如果把-m i a 也看作力，那么它就成了一个平衡方程，其实-m i a正是我们已经熟悉的惯性力。
于是这个方程也就表明了作用在一质点组中每个质点上的主动力，约束力和惯性力三者保持平衡，这种平衡关系人们就称它为达朗伯原理。
要注意达朗伯原理的坐标系是选在与质点没有相对运动上的，引入达朗伯原理的意义在于选择与质点无相对运动的坐标系以后，只要加上惯性力，使得原来的动力学的问题就可变成静力学问题，这种方法也就叫作动静法。
将动力学问题变成静力学问题，它不仅为我们多提供了一条解决动力学问题的途径。
而且一般来讲，静力学问题要比动力学问题简单，因此将动力学问题变成静力学问题还会给解题带来方便。
工程上特别喜欢用静力学方法……我们由达朗伯原理的方程式可以得到两个推论：①∵作用在质点组中任一质点上的主动力，约束力和惯性力互成平衡，因此将这几个等式相加后仍然等于零，即：0=-++∑∑∑ii ii i i i a m R F，其次，由质点对任一固定点的位矢i r 叉乘*式的两边，并将n 个方程相加，就可得到：0)()()(=⨯-⨯+⨯∑∑∑ii i i i ii i ii r m r R r F r。
这些力对任一点的力矩的总和也等于零。
下面利用达朗伯原理来解下面的题目。
例：一直角形刚性杆件AOB 的质量可以忽略不计，直角的顶点O 用光滑铰链连到垂直轴Z 上，使它既能在铅垂面内绕O 点转动，同时又能绕Z 轴转动。
在A 、B 两端固结着两个质量为m 1和m 2的小球，已知：OA=a, OB=b ，求：当OA 和Z 轴为α角而这个α角稳定不变时，他们绕Z 轴转动的角速度ω=？解：∵稳定为α角，∴ω=0。
我们以两个质点和直角杆件组成的系统为研究系统。
因为整个研究系统都以同样的角速度ω作匀速转动，将坐标系就取在所研究的系统上，随系统一起转动。
则系统所受的力有重力↓m 1g 1, ↓m 2g 2和惯性力m 2ω2bcos α和m 1ω2asin α,除此之外还有O 处的约束力。
为了消去未知的约束力，我们可以对O 点应用力矩的平衡方程。
要想用力矩的平衡方程，还得先规定力矩的正方向，在这里我们就规定：力矩的逆时针方向为正，并对O 点取矩。
则有：m 2ω2bcos αbsin α-m 2gbcos α-m 1ω2asin αacos α+m 1gasin α=0解此方程很快可以得到：ααααωcos sin )()sin m -cos (212212a m b m g a b m -=。
由此可见，应用了达朗伯原理之后，这个题目只要一个平衡方程就解出了它的结果。
如果不采用达朗伯原理去解，而是采用动力学的方法去解的话，此题目是很难解的。
因此它充分地显示了应用达朗伯原理解题的优越性。
朗伯——拉格朗日方程：既然达朗伯原理的关系式：0=⋅-+i i i i a m R F是一种平衡方程，当然也可以用虚功原理的形式表示出来。
我们用虚位移i rδ标乘上面这个平衡方程，并对i求和则有：0)(=⋅+⋅-∑∑i ii ii i i i r N r a m Fδδ。
如果体系受到的是理想约束，∵在理想约束的情况下：约束力的虚功之和必等于零：0=⋅∑i i r Rδ，则上式就可写成为：0)(=⋅-∑ii i i i r a m Fδ，显然，它在形式上完全类似于虚功原理，这个方程就叫做达朗伯——拉格朗日方程。
给出这个达朗伯—拉格朗日方程干什么用呢？一方面当然可以应用它来求解动静法的问题。