演示文稿双曲线的简单几何性质第二课时
合集下载
《双曲线的简单几何性质(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
解：将9x2
−
16y2＝
2
− 144化为标准方程
9
−
2
＝1，
16
由此可得实半轴长a=3，虚半轴长b=4，半焦距 = 2 + 2 = 5．
所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8，焦点坐标为(0，−5)，(0，5)，
3
4
顶点坐标为(0，−3)，(0，3)，渐近线方程为y＝± x．
作图： ①画出 = ±4， = ±3，作出矩形；
2
等轴双曲线的一般方程为 2
−
2
2
=
2
1或 2
−
2
2
= 1(a＞0)；
等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝ 2．
➢ 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．
共轭双曲线有相同的渐近线；有相同的焦距；
离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1．
概念辨析
B． 14
A．2
5
x，则双曲线焦点F到渐近线l的距离为( D )
3
C．2 5
解: （1）由题意得b＝1，c＝ 3 ，所以a＝ 2 − 2 ＝ 2 ，
故双曲线的渐近线方程为y＝± x＝±
（2）该双曲线的渐近线方程为y＝±
3
2
x．故选C;
2
x＝±
5
x，故m＝5，
3
所以c＝ 2 + 2 ＝ 14 ，
2
∴所求双曲线方程为
9
3
2
= 且 = 3，∴ =
3
2
−
4 2
81
= 1;
−
2
人教B版高中数学选修2-1精品教学课件： 2.3.2 双曲线的几何性质(2课时)
有相同的渐近线y=± bx的双曲线可设为 x2 －y2=λ
a
a2 b2
(λ≠0,λ∈R),当λ>0时,焦点在x轴上,当λ<0时,焦
点在y轴上.
【自我总结】 1.对双曲线渐近线的四点说明 (1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线 接近,但永远没有交点. (2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确 定焦点位置.
(1)双曲线 x2 －y2 ＝1与 y2 －x2 ＝1 (a>0,b>0)的形状相同.
a2 b2
a2 b2
()
(2)双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1与
y2 a2
－
x b
2 2
＝1
(a>0,b>0)的渐近线相
同. ( )
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关. ()
(4)离心率是 2 的双曲线为等轴双曲线. ( )
4
3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆 x2 ＋y2
25 16
=1的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.4x±3y=0
B.3x±4y=0
C.4x±5y=0
D.5x±4y=0
【解析】选A.由已知得,双曲线焦点在x轴上,且 c=5,a=3,所以双曲线方程为 x2 －y2 ＝1.
9 16
_y____ab_x_
【思考】 思考下列问题: (1)椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样吗? 提示:不一样.椭圆离心率0<e<1,而双曲线的离心率e>1.
(2)若双曲线确定,则渐近线确定吗?反过来呢?
提示:当双曲线的方程确定后,其渐近线方程也就确定
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
= 上一点，F1，F2是其左
右焦点，且∠F1PF2=60°，则三角形ΔF1PF2的面积为________
练习2
已知点PQ是经过双曲线C： −
= 左焦点F1的一条
28
弦，且|PQ|=4，则三角形ΔF2PQ的周长为________
二、求双曲线方程
1.过两个已知点的双曲线的方程，可表示为___________
2.已知焦点和双曲线上一点A，则可计算____________
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法一】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法二】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
练习 求与双曲线
线方程
= ，则以A(2,1)为中点的弦所在直线
练习巩固
练习 已知双曲线 − = ，则以A(2,3)为中点的弦所在直
4x-3y+1=0
线的方程是________________
• 焦点三角形：S PF1F2
b2
tan
P
2
• 若PQ=m，则 CPQF1 4a 2m
F1 O
焦点位置
x轴
y轴
y
y
B2
图像
• F2
A2
•
F1 A1 O
A2
•
F2
x
B1
B2
B1 O
A1
x
• F1
焦点
F1(-c,0) F2(c,0)
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的性质课件(PPT 15页)
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
y C3C2 C1
O
x
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
Y x2 y2 1 a2 b2
B2
F1
A1
A2 F2 X B1
离心率对双曲线形状的影响
焦点在y轴上的双曲线图
像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
根据以上几何性质能够
根据以上几何性质能否
较准确地画出椭圆的图形？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
双曲线标准方程：y 2 x 2 1 双曲线性质： a 2 b2
Y
1、范围：y≥a或y≤-a
F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
A2
3、顶点 A1（0，-a），A2（0，a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2 B1
5、渐近线方程： y a x
o
b
6、离心率：e=c/a
A1
F2
B2 X
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
课件12：2.2.2 双曲线的简单几何性质
2
− 2 =(
−
2
=1共渐近线的双曲线方程可设为
2
≠ 0).
巩固训练
2
(1)求与椭圆
49
+
2
=1有相同焦点，且以
24
4
y=± x为渐近线的双曲线的方程.
3
2
(2)求与双曲线
3
的双曲线方程.
−
2
=1有共同渐近线，且过点(-1，2)
4
2
解：(1)椭圆
49
+
2
=1的焦点是F1(-5，0)，F2(5，0).
(2)若已知a，b，可直接利用e= 1 +
2
( )
得解.
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2+q·
ac+r·a2=0(p，q，
r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.
巩固训练
2 2
已知双曲线 + =1的离心率e∈(1，2)，则
4
m的取值范围是
(
)
−
2
2
= 1(a>0，b>0)，若矩形ABCD
的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且
2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________.
【解析】(1)由题意知圆心(1，2 2)在双曲线的渐近线
y= x上，则2
e= =3.
【答案】B
2= ，所以b2=8a2，即c2-a2=8a2，所以
2
3
=1的离心率e=2，渐近线方程为y=± x.
双曲线的简单几何性质课件
相交（一个交点）
得到一元二次方程
计算判别式
>0
=0
<0
相交 相切 相离
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
y a x b
1、“共渐近线”的双曲线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2 y2 （1）与椭圆 a2 b2 1(a b有共0)同焦点的双曲线方程表 示为
（2）与双曲线 程表示为
x2 a2
(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；
(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e 的不同．
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法 （1）联立方程组
（2）消去一个未知数
（3）∆<0
∆=0
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的
距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线
的离心率.
得到一元二次方程
计算判别式
>0
=0
<0
相交 相切 相离
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。 重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
y a x b
1、“共渐近线”的双曲线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2 y2 （1）与椭圆 a2 b2 1(a b有共0)同焦点的双曲线方程表 示为
（2）与双曲线 程表示为
x2 a2
(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；
(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e 的不同．
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法 （1）联立方程组
（2）消去一个未知数
（3）∆<0
∆=0
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的
距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线
的离心率.
双曲线的几何性质课件
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记为2c。
性质
焦距是双曲线几何量中最基本的量 之一，它决定了双曲线的形状和大 小。
计算
焦距2c可以通过半长轴a和半短轴b 计算得出，c = sqrt(a^2 + b^2)。
焦点距离公式
定义
焦点距离公式是指双曲线上的任 意一点P到两个焦点的距离之差
的绝对值等于常数2a。
离心率的计算公式
离心率 = 根号下(分母的 平方 - 分子) / 分母。
离心率的物理意义
离心率越大，双曲线开口 越大，反之则越小。
离心率与双曲线的关系
当离心率大于1时，双曲线的开口方向为水平方向；当离心率小于1时，双曲线的 开口方向为垂直方向。
离心率的大小决定了双曲线的形状和开口大小，是双曲线几何性质中非常重要的 一个参数。
实轴与虚轴
总结词
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，虚轴是双曲线与y轴的交点形成的线段 。
详细描述
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，长度为 $2a$。虚轴是双曲线与y轴的交 点形成的线段，长度为 $2b$。
渐近线
总结词
双曲线有两条渐近线，它们是连接顶点和原点的线段。
详细描述
双曲线的渐近线方程是 $y = pm frac{b}{a} x$。这些线是连接顶点和原点的线段 ，随着x的增大或减小，双曲线会逐渐接近这些线，但永远不会与其相交。
离心率的变化范围
对于给定的双曲线，离心率有一 个变化范围。这个范围取决于双
曲线的标准方程和焦点位置。
在标准方程下，离心率的变化范 围是大于0小于等于根号下2。
当离心率等于根号下2时，双曲 线成为一条直线；当离心率等于 0时，双曲线成为以原点为中心
3.2双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a 2 b2
12 8
或设 x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1
求得m2 12(30舍去)
12 8
法二：设双曲线方程为
x2 y2 1 16 k 4 k
16 k 0且4 k 0
9 16 ⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点(3 2 , 2)
16 4
例3.根据下列条件，求双曲线方程 : (1)与双曲线 x2 y2 1有共同渐近线, 且过点(3, 2 3);
9 16 解：⑴因为双曲线与 x2 y2 1有共同渐近线,故设双曲线方程为
9 16
x2 y2 ( 0)
可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是 x2 m2
c2
y2 m2
1.
4. 求与椭圆 x2 y2 1有共同焦点，渐近线方程为 16 8
x 3 y 0的双曲线方程.
解： 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为F1(2 2,0), F2(2 2,0). 双曲线的焦点在x轴上，且c2 (2 2)2 8.
双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得
x2 a2
y2 b2
0
( x y )( x y ) 0 a ba b
x y 0或 x y 0. ab ab
y＝ b x a
结论：
双曲线
x2
2详细版.4双曲线的简单几何性质(第二课时)详细版.ppt
化简得 (c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 设c2－a2 =b2，
就可化为: b2x2－a2y2=a2b2 即
x2 y2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴精选长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的
距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
例题讲解
例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y
13 C
12
0
Ax
B′
精选
25 B
一、第二定义
引例：点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线
4
y
l
d
0
精选
解例：由3、已的设已知值点知：最A双(小a9曲=,2,4并)线,, 在求b1x=62曲这3,线y个92 c上最=15,求小,F点1值、eM.F，25是使它|的M左A |、y 右45 |焦M点F2.|
双曲线的右准线为l: x 16 4
5
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
精选
a2 x
c
a2 x
c
想一想：中心在原
相应于点上，焦焦点点F在(cy, 轴0)上的是上准线 的方双 程y 曲 是a线 怎2 的 样准的线？
c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y
c
精选
y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率。
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 b2 1 ,
准线为
a2 x
c
对于双曲线
y2 x2 a2 b2 1
准线为
a2 y
c
注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
顶点为焦点的双曲线的方程。
例题讲解
例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y13 C12来自0AxB′
25 B
一、第二定义
引例：点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
1、“共渐近线”的双曲线
与 x2 y2 1共渐近线的双曲线系方程为 x2 y2 ( 0，为参数)，
化简得 (c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 设c2－a2 =b2，
就可化为: b2x2－a2y2=a2b2 即
x2 y2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的
距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
a2 x
c
a2 x
c
想一想：中心在原
相应于点上，焦焦点点F在(cy, 轴0)上的是上准线 的方双 程y 曲 是a线 怎2 的 样准的线？
c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y
c
y
F
a2
y
cx
o
a2 y
c
F′
例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离
和 数它5 到定,直线求点l ：M的x 轨15迹6 .的距离的比是常
程表示为 x2 y2 1(b2 a2 )
a2 b2
复习练习：
1、求与椭圆 x2 y2 1有公共焦点，且离心率 49 24
e 5 的双曲线方程。 4
2. 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
3、求以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的 85
x a2 的距离比是常数 c (c>a>0)，求点M的轨迹.
解：c设点M(x,y)到l的距a离为d，则
| MF | c 即
da
( x c)2 y2 c
x a2
a
M
yl M
O
Fx
点M的轨c迹也包括双
a ( x c)2 y2曲线| a2的 左cx 支| .
a2 ( x2 2cx c2 y2 ) a4 2a2cx c2 x2
（优选）双曲线的简单几何性 质第二课时ppt讲解
图形
方程 范围
y
. B2
A1 F1 O
.
F2 A2
F1(-c,0) B1 F2(c,0) x2 y2 1(a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 )
N A1
A
x
| MF2 | 5 | MN | 4
4 5
|
MF2
||
MN
|
o F2
|
MA
|
4 5
|
MF2
||
MA
|
|
MN
|
|
AA1
|
当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,
令y=2, 解得: x 4 13
2
即
M
4
13 3
, 2 ,
最小值是
29 . 5
归纳总结
1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
图形
相离
相切
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
4
y
l
d
0
解例：由3、已的设已知值点知：最A双(小a9曲=,2,4并)线,, 在求b1x=62曲这3,线y个92 c上最=15,求小,F点1值、eM.F，25是使它|的M左A |、y 右45 |焦M点F2.|
双曲线的右准线为l: x 16 4
5
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
M
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率.
x对 于a2双是曲相线应于ax22 右 by焦22 点1F类(c,似0)于的椭圆
y l′ l
c 右准线
M
x a2 是相应于左焦点F′(-c, 0)
c 的左准线
F′
x oF
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
a2 b2
a2 b2
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2
（1）与椭圆 a2
y2 b2
1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程表
示为
x2
a2
y2
b2
1(b2
a2 ).
（2）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)有共同焦点的双曲线方
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 b2 1 ,
准线为
a2 x
c
对于双曲线
y2 x2 a2 b2 1
准线为
a2 y
c
注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
顶点为焦点的双曲线的方程。
例题讲解
例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′
A′
y13 C12来自0AxB′
25 B
一、第二定义
引例：点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
1、“共渐近线”的双曲线
与 x2 y2 1共渐近线的双曲线系方程为 x2 y2 ( 0，为参数)，
化简得 (c2－a2)x2－ a2y2=a2 (c2 － a2) 设c2－a2 =b2，
就可化为: b2x2－a2y2=a2b2 即
x2 y2 a2 b2 1
(a>0,b>0)
故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的
距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
a2 x
c
a2 x
c
想一想：中心在原
相应于点上，焦焦点点F在(cy, 轴0)上的是上准线 的方双 程y 曲 是a线 怎2 的 样准的线？
c
相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y
c
y
F
a2
y
cx
o
a2 y
c
F′
例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离
和 数它5 到定,直线求点l ：M的x 轨15迹6 .的距离的比是常
程表示为 x2 y2 1(b2 a2 )
a2 b2
复习练习：
1、求与椭圆 x2 y2 1有公共焦点，且离心率 49 24
e 5 的双曲线方程。 4
2. 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
3、求以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的 85
x a2 的距离比是常数 c (c>a>0)，求点M的轨迹.
解：c设点M(x,y)到l的距a离为d，则
| MF | c 即
da
( x c)2 y2 c
x a2
a
M
yl M
O
Fx
点M的轨c迹也包括双
a ( x c)2 y2曲线| a2的 左cx 支| .
a2 ( x2 2cx c2 y2 ) a4 2a2cx c2 x2
（优选）双曲线的简单几何性 质第二课时ppt讲解
图形
方程 范围
y
. B2
A1 F1 O
.
F2 A2
F1(-c,0) B1 F2(c,0) x2 y2 1(a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 )
N A1
A
x
| MF2 | 5 | MN | 4
4 5
|
MF2
||
MN
|
o F2
|
MA
|
4 5
|
MF2
||
MA
|
|
MN
|
|
AA1
|
当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,
令y=2, 解得: x 4 13
2
即
M
4
13 3
, 2 ,
最小值是
29 . 5
归纳总结
1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
图形
相离
相切
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
4
y
l
d
0
解例：由3、已的设已知值点知：最A双(小a9曲=,2,4并)线,, 在求b1x=62曲这3,线y个92 c上最=15,求小,F点1值、eM.F，25是使它|的M左A |、y 右45 |焦M点F2.|
双曲线的右准线为l: x 16 4
5
作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
M
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率.
x对 于a2双是曲相线应于ax22 右 by焦22 点1F类(c,似0)于的椭圆
y l′ l
c 右准线
M
x a2 是相应于左焦点F′(-c, 0)
c 的左准线
F′
x oF
点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
a2 b2
a2 b2
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
x2
（1）与椭圆 a2
y2 b2
1(a b 0)有共同焦点的双曲线方程表
示为
x2
a2
y2
b2
1(b2
a2 ).
（2）与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)有共同焦点的双曲线方