用分式方程解决实际问题

数学学科导学案（第—次课）教师:_ 学生:—年级:八日期: ___________ 星期: _____ 时段: ____

乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道?

例：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付

乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的2 ,厂家需付甲、丙两队共5500

3

元.

⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.

分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量•对于工期，一般情况下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为X天，y天，Z天，可列出分式方程组.

练习1:某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.

(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 ___________ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；

(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5万元，甲工程队至少要单独施工

多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超

过64万元？

练习2:某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款 1.5万元,

乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。试问：在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。

拓展：某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10

天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共

2

9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的匚，厂家需付甲、

根据题意，得 6⅛+⅛=8700, U0(⅛+c) = 9500, 5(c÷^) = 5500. z >

由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队.

此工程由甲队单独完成需花钱 山-：川…元；此工程由乙队单独完成需花钱 「二元.

所以，由甲队单独完成此工程花钱最少.

O I - 800,

*、b =

650*

]]]

总结升华：在求解时，把.：，「’，二分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解. 举一反三： 【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日 期三天完成•现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多 少天？ 【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 X 天，

那么乙单独完成工程所需的天数就是(X + 3)天.

1 1

设工程总量为1甲的工作效率就是二，乙的工作效率是.「」，依题意，得

√1 1 ^-2 I 2 — + ------ H ------- -- 1

-

χ+?丿χ+弓,解得 I = O .

即规定日期是6天.

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错， 2640名学生的成绩数据分别由两位教师

向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致•已知教师甲的输入速度是教师乙的 2倍，结 果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

【答案】设教师乙每分钟能输入X 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩，

依题意，得：

经检验，X = 11是原方程的解，且当X = 11时，2x = 22，符合题意.

即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入 11名学生的成绩.

2■营销问题

1. 商品利润=商品售价一商品成本价;

3. 商品销售额=商品销售价×商品销售量；

4. 商品的销售利润=(销售价一成本价)×销售量.

例：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲 种原料每0.5kg 少3元，比乙种原料每0.5kg 多1元，问混合后的单价每0.5kg 是多少元？ 例：某书店老板去图书批发市场购买某种图书•第一次用

1200元购书若干本，并按该书定价7元出售,

很快售完•由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了

20%,他用1500元所购

该书数量比第一次多10本•当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的 4折售完剩余的书•试问 该老板这两次售

2640 2x

≡-60x2

解得X = 11

商品利润率=

2.

商品利润

商品成本价

xlOO%

书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、禾U润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解•同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式•随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题.

练习：A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同•其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

3■行程问题

速度=蹩时间=蟹

1.路程=速度×时间，：，• 工二；

2.在航行冋题中，其中数量关系是：

顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度;

3.航空问题类似于航行问题.

例：甲、乙两地相距828km, 一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度.

分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度×时间, 应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等.

思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度× 时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系.