2019届人大附中12月月考试题理科试题(答案)
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中国人民大学附属中学2016届12月月考
数学试题（理科）
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个
是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第1—8题的相应位置上．） （1）定积分
1
21
x dx -=⎰
（ B ）
（A ）0 （B ）
2
3
（C ）1 （D ）2
（2）已知全集U R =，集合M={|R}y y x ∈，1
{2
1,}x N x x R -=≥∈，则
()U M N ⋂=ð（ B ）
（A ）[2,2]- （B ）[)0,1 （C ）[)2,1- （D ）[1,4] （3）抛物线2
2x y =-的准线方程为（ B ）
（A ）12x =
（B ）18x = （C ）18x =- （D ）1
2
x =- （4）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222
112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（D ）
（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4 （5）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是（ C ）.
（A ）
8π （B ）4
π
（C ）
38π （D ）
2
π
（6）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，31
()(1)e x f x x e +=+-.那么函数()
f x 的极值点的个数是（ A ）
（A ）2
（B ）3
（C ）4
（D ）5
（7）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（A ）
（A ）甲 （B ） 乙 （C ）丙 （D ）丁
（8）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点（含顶点），则满足1
1PA PC u u u r u u u u r
?-的
点P 的个数为（ C ）
（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）24
1
C 1
A 1
B 1
D
C
A
P
21111+2412=4PA PC PO PO PA PC PA PC C A
u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ìï=-ï拮íï-=ïïî 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将填空题的答案写在答题纸上相应位置．)
（9）函数1
2y x x
=+
的值域为_______________。()
,22,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣
（10）已知点(,)P x y 的坐标满足4160404x y x y x +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，O 为坐标原点，记PO 的最大值为m ，最小值为n ，
则双曲线22221x y m n
-=的离心率为 33
5 . （11）设正数a ，b 满足23log log a b =，给出下列五个结论，其中不可能．．．
成立的结论的序号是______． ①1a b <<； ②01b a <<<； ③a b =； ④1b a <<； ⑤01a b <<<． ④⑤；
（12）已知两点(1
0)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为 等边三角形，则b =_________ . 5或13
-
（13）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为______.
5
1 【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体
111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133
111326A A B D V a a
-=⨯=
，故剩余几何体体积为3
331566
a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的
比值为5
1，
（14）记11210
011......n n n n n n n m
a a a a a a a m a m a m ----=+⨯++⨯+⨯，其中n≤m ，m 、n 均为正整数，
{0,1,2,...,1}(0,1,2,...,)k a m k n ∈-=且0n a ≠；
O 1C 1
A 1
B 1
D
C
P 正视图 左视图
俯视图
A
D
1
C 1
B 1
1
（1）计算7
2016= ________________；699
（2）设集合{
}1210
(,)...n n n m
A m n x x a a a a a --==，则(,)A m n 中所有元素之和为________.
()()
1
112
n n n n m
m m m +++--
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题满分13分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）已知a=2，设函数，当x B =时，()f x 取最大值，求△ABC
的面积．
解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，
由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =