线性代数 线性相关性与秩

将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表 示，则r ≤ s. ⎛ β1 ⎞ ⎛β ⎞
a22 ar 2 b12 b22 bs 2
⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ a1n ⎞ β2 ⎟ ⎜ β2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ βs ⎟ → ⎜ βs ⎟ ⎜ C= ⎟ ⎜O⎟ ⎟ ⎜α ⎟ a rn ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ O⎟ α ⎜ b1n ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ b2 n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ O⎠ ⎝ ⎟ α ⎝ r⎠ ⎟ bsn ⎟ ⎠ ∴ r = r ( A) ≤ r (C ) ≤ s
证明：
⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ α 2 ⎟ ⎜ a 21 a 22 A=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜α ⎟ ⎜ a ⎝ m ⎠ ⎝ m1 a m 2 ⎛ β1 ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ a 21 a 22 B=⎜ = ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ β ⎟ ⎜a ⎝ m ⎠ ⎝ m1 a m 2
1 ⎛1 1 ⎜ A → ⎜0 −1 1 ⎜0 1 0 ⎜ ⎜0 2 − 2 ⎝
证明定理4. " ⇒": α1 , α 2 , , α m 线性相关, 由定理1知，必有某个向量（不 妨设α m )可由其余m − 1个 写成分量形式为 a mj = k1a1 j 对A作初等变换
向量线性表示为α m = k1α1 +
推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。
推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= Am × n 的秩r(A)=m。 推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n. 推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)<n. 定理5：若 m 个 r 维向量 α i = ( ai1 , ai 2 , , air ) (i = 1,2, , m ) 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 β i = ( ai1 , ai 2 , , air , ai , r +1 ) (i = 1,2, , m ) 也线性无关。 用语言叙述为： 线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。 推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。
考虑A的r+1阶子式
m
r ( A) = r < m, 不妨设 r > 0,且A的最左上角的 r阶子式Dr ≠ 0
a11 Dr +1 = a r1 a r +1,1
a1r a rr a r +1,r
a1, j a r, j a r +1, j
j = r + 1, r + 2,
,n
r ( A) = r ⇒ Dr +1 = 0
推论1：若向量组α1 , α 2 , , α r 可由向量组 β1 , β 2 , , β s 线 性表示，且r >s,则向量组 α1 , α 2 , , α r 线性相关。 推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个
数相等。 定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个 数相等。
向量组的秩
×
向量组 α1 ,
α m 中,α m不能由余下向量线性表示 ⇒ 该向量组线性无关
×
向量组 α1 , α m 线性相关,且α m不能由余下向量线性表示 ⇒ 向量组α1 , α m −1线性相关
含有零向量的向量组必线性相关
√
√
相关性的判定---利用定义方法
(1) 设 k1a1+…+ kmam=0,得到一向量方程 (2) 将向量方程转化为关于 k1,…, km的方程组,并求 解 (3) 根据解的情况判断向量组的线性相关性: k1=…= km=0, 线性无关; 否则, 线性相关
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。 推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。
定理4：m个n维向量αi = (ai1, ai2 , , ain ) (i =1,2, m)线性 相关的充要条件是由αi (i =1,2, m)构成的矩阵 a12 a1n ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ α2 ⎟ ⎜ a21 a22 a2n ⎟ A=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜α ⎟ ⎜ a ⎟ a a m2 mn ⎠ ⎝ m ⎠ ⎝ m1 的秩r( A) < m.
∴ r ( A) = 2 < 3 ⇒ α1 , α 2 , α 3线性相关。
= ( 4,1,−1) − 1⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎟→ ⎜ 0 − 7 3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ 3⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠
但α1 , α 2 线性无关， ∴ α1 , α 2是一个极大无关组； α1 , α 3也线性无关， ∴α1 , α 3也是一个极大无关组。
=n
, α s 与 β1 , β 2 , , βs , 若
a1s ⎞ ⎟ a2 s ⎟ ⎟ ⎟ a ss ⎟ ⎠
例2： 设有两个n维向量组 α1 , α 2 ,
α1 , α 2 ,
, α s 线性无关且
a12 a 22 as2 ⎛ a11 a12 a1s ⎞⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 a 2 s ⎟⎜ α 2 ⎟ K =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜ ⎟ a ss ⎠⎝ α s ⎠ ⎝ s1 a s 2
向量组的极大无关组
定义1：设 向量组 T 的部分向量组 α1 , α 2 , , α r 满足 (i ) α1 , α 2 , , α r 线性无关； (ii ) T 中向量均可由 α1 , α 2 , , α r 线性表示。 或T 中任一向量 α . α , α1 , α 2 , , α r 线性相关。 则称α1 , α 2 , , α r 是向量组 T 的一个极大线性 无关组，简称极大无关组。 极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.
⎛ β1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ a 21 ⎜ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜β ⎟ ⎝ s⎠ ⎜ ⎝ a s1
证明 : 若r ( K ) = s，则β1 , β 2 ,
例 设向量组α1 , α s与α1 , α s , γ 都是线性无关的.但α1 , α s , β 线性相关 证明: α1 , α s , γ − β 线性无关.
例 设A为n阶方阵,向量组ξ1 , ξt 线性无关,满足Aξi = 0, i = 1 t. 且存在向量ηi 使Aηi = ξi , i = 1, t. 证明: ξ1 , ξt ,η1 , ηt 线性无关.
α3 = （2， 3， 2， 2， 5），α 4 = （1， 3， − 1， 1，λ）线性相关？
解： ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ α2 ⎟ ⎜2 ⎜ A= =⎜ ⎜α ⎟ 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝α 4 ⎠ ⎜ ⎝1
1 2 ⎞ ⎛1 1 ⎟ ⎜ 1 3 2 3 ⎟ ⎜0 −1 1 → 0 3 2 2 5 ⎟ ⎜0 1 ⎜ ⎟ ⎜0 2 − 2 3 −1 1 λ ⎟ ⎠ ⎝
一个向量组只要含有非零向量,则一定有 极大线性无关组 极大线性无关组一般不唯一,但是它们所含 向量个数是否相等
极大无关组的性质 定理1：设有两个n维向量组
( I ) α1 , α 2 , , α r , ( II )
β1 , β 2 ,
, βs ,
证：设 ⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 a12
⎜ ⎟ ⎜ ⎜ α 2 ⎟ ⎜ a 21 A=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎜α ⎟ ⎟ ⎜ ⎜a ⎝ r ⎠ ⎝ r1 ⎛ β1 ⎞ ⎛ b11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ b21 B=⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎜β ⎟ ⎟ ⎜ ⎜b ⎝ s ⎠ ⎝ s1
∴ β1 , β 2 , , β m 线性无关。
a1r ⎞ ⎟ a2 r ⎟ ⎟ ⎟ a mr ⎟ ⎠ a1r a1, r +1 ⎞ ⎟ a 2 r a 2, r +1 ⎟ ⎟ ⎟ a mr a m, r +1 ⎟ ⎠
⇒ m = r ( A) ≤ r ( B ) ≤ m ⇒ r ( B ) = m
Ex
例1：讨论α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 = ( 4,1,−1)的相关性。
解： ⎛ α 1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 3 ⎟ → ⎜ 0 − 7 3 ⎟ ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎜ 0 − 7 3 ⎟ ⎜0 0 ⎟ 0 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ∴ r ( A) = 2 < 3 ⇒ α1 , α 2 , α 3线性相关。 例2：λ为何值时，向量组α1 = （1， 1， 1， 1， 2），α 2 = （2， 1， 3， 2， 3），
+ k m −1α m −1 + k 2 a 2 j + + k m −1a m −1, j
(j=1,2, …,n)
"⇐":
a12 a1n ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ A=⎜ ⎟ α m −1 a m −1,1 a m −1,2 a m −1,n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ α ⎟ ⎜ a ⎟ a a m2 mn ⎠ ⎝ m ⎠ ⎝ m1 a12 a1n ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ →⎜ ⇒ r ( A) < ⎟ a m −1,1 a m −1,2 a m −1,n ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 ⎝ ⎠
定义：向量组α1 , α 2 , , α m 的极大无关组所含向量的个数，
推论：等价的向量组有相同的秩。
例1：设向量组 e1 , e2 , 求 r (α1 , α 2 ,
你能举一个 必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。 反例吗？
, en 可由向量组α1 , α 2 , , α n 线性表示, , α n )0 1 ⎟ ⎟ 0 λ − 2⎟ ⎠
2 ⎞ 2 ⎞ ⎛1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ 0 −1 ⎟ ⎜0 −1 1 0 −1 ⎟ →⎜ ⎟ ⎟ 0 1 0 0 1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 λ − 4⎟ 0 λ − 2⎠ ⎠ ⎝ ⇒ λ = 4 时，r ( A) = 3 < 4, α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性相关。 1