2021年专升本数学分析精选三试卷及答案

《数学分析》――参照答案及评分原则一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.求函数11(,)f x y y x=在点(0,0)处二次极限与二重极限. 解：11(,)f x y y x==，因而二重极限为0.……(4分)由于011x y x →+与011y y x→+均不存在， 故二次极限均不存在。

……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所拟定隐函数,其中f 和F 分别具备持续导数和偏导数,求dzdx. 解： 对两方程分别关于x 求偏导:， ……(4分)。

解此方程组并整顿得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++. ……(9分)3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22y x y x y w ze μν+-=== （假设浮现导数皆持续）. 解：z 当作是,x y 复合函数如下：()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dxdy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。

……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整顿得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。

……(9分)4. 要做一种容积为31m 有盖圆桶,什么样尺寸才干使用料最省?解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目的函数在约束条件下最小值，其中目的函数：222S rh r ππ=+表,约束条件：21r h π=。

……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 22420,20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ ……(6分) 解得2h r =，故有r h == 由题意知问题最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。

……(9分)5. 设322()y x yy F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分求导公式332222322222()32y y x y x y x yx yx y x y y yyF y e dx x e dx y eye----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……(5分)327522232y x y y y yx e dx y e ye ---=-+-⎰375222751222y y y x yy y e ye e dx y ---=--⎰。

……(9分)6. 求曲线222222x y xyab c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围面积，其中常数,,0a b c >.解：运用坐标变换cos ,sin .x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩ 由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从而可以运用对称性，只需求第一象限内面积。

(),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。

……(3分) 则(,)2(,)x y V d d ρθρθΩ∂=∂⎰⎰122sin cos 2002ab c d ab d πθθθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰……(6分)2222sin cos a b d c πθθθ=⎰2222a b c =.……(9分)7. 计算曲线积分352Lzdx xdy ydz +-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面3z y =+交线（为一椭圆），从z 轴正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面3z y =+上由曲线L 所围某些作为Stokes 公式中曲面∑，定向为上侧，则∑法向量为()cos ,cos ,cos 0,αβγ⎛= ⎝。

……(3分)由Stokes 公式得352Lzdx xdy ydz +-⎰cos cos cos 352dS x y z zxyαβγ∑∂∂∂=∂∂∂-⎰⎰dS ∑= ……(6分)221x y +≤=⎰⎰2π= ……(9分)8. 计算积分Syzdzdx ⎰⎰,S 为椭球2222221x y z a b c ++=上半某些下侧.解：椭球参数方程为sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ϕθϕθϕ===，其中02,0,2πθπϕ≤≤≤≤且2(,)sin sin (,)z x ac ϕθϕθ∂=∂。

……(3分)积分方向向下，取负号，因而，yzdzdx ∑=⎰⎰22322sin cos sin d bac d ππθϕϕθϕ-⎰⎰……(6分)2223200sin sin cos bac d d ππθθϕϕϕ=-⎰⎰24abcπ=-……(9分)二. 证明题（共3题，共28分）。

9.（9分） 讨论函数3222422,0()0,0xy x y x y f x x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处持续性、可偏导性和可微性.解：持续性：当220x y +≠时，2242424()022xy x y y yf x y x y x y +=⋅≤⋅=→++，当()(),0,0x y →， 从而函数在原点()0,0处持续。

……(3分) 可偏导性：()()()0,00,00,0lim0x x f x f f x ∆→+∆-==∆，()0,0y f ()()0,00,0lim0y f y f y∆→+∆-==∆，即函数在原点()0,0处可偏导。

……(5分)3f f x f y∆-∆-∆=不存在，从而函数在原点()0,0处不可微。

……(9分) 10.（9分）（9分）设(),F x y满足：（1）在(){}00,,D x y x x a y y b=-≤-≤上持续，（2）()00,0F x y=，（3）当x固定期，函数(),F x y是y严格单减函数。

试证：存在0δ>，使得在{}x x xδδI=-<上通过(),0F x y=定义了一种函数()y y x=，且()y y x=在δI上持续。

证明：（i）先证隐函数存在性。

由条件（3）知，(),F x y在[]00,y b y b-+上是y严格单减函数，而由条件（2）知()00,0F x y=，从而由函数(),F x y持续性得()00,0F x y b->，()00,0F x y b+<。

现考虑一元持续函数(),F x y b-。

由于()00,0F x y b->，则必存在1δ>使得(),0F x y b->，x∀∈01(,)O xδ。

同理，则必存在2δ>使得(),0F x y b+<，x∀∈02(,)O xδ。

取12min(,)δδδ=，则在邻域(,)O xδ内同步成立(),0F x y b->，(),0F x y b+<。

……(3分)于是，对邻域(,)O xδ内任意一点x，都成立(),0F x y b->，(),0F x y b+<。

固定此x ，考虑一元持续函数(),F x y 。

由上式和函数(),F x y 关于y 持续性可知，存在(),F x y 零点[]00,y y b y b ∈-+使得(),F x y ＝0。

而(),F x y 关于y 严格单减，从而使(),F x y ＝0y 是唯一。

再由x 任意性，证明了对:δI =0(,)O x δ内任意一点，总能从(),0F x y =找到唯一拟定y 与x 相相应，即存在函数关系:f x y →或()y f x =。

此证明了隐函数存在性。

……(6分)（ii ）下证隐函数()y f x =持续性。

设*x 是:δI =0(,)O x δ内任意一点，记()**:y f x =。

对任意给定0ε>，作两平行线*y y ε=-， *y y ε=+。

由上述证明知()**,0F x y ε->， ()**,0F x y ε+<。

由(),F x y 持续性，必存在*x 邻域*(,)O x δ使得()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<， *(,)x O x δ∀∈。

对任意*(,)x O x δ∈，固定此x 并考虑y 函数(),F x y ，它关于y 严格单减且()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<。

于是在()**,y y εε-+内存在唯一一种零点y 使(),0F x y =，即 对任意*(,)x O x δ∈，它相应函数值y 满足*y y ε-<。

这证明了函数()y f x =是持续。

……(9分) 11.（10分）判断积分1011sin dx x xα⎰在02α<<上与否一致收敛，并给出证明。

证明：此积分在02α<<上非一致收敛。

证明如下：作变量替代1x t=，则1201111sin sin dx tdt x x t αα+∞-=⎰⎰。

……(3分) 无论正整数n 多么大，当[]3,2,244t A A n n ππππ⎡⎤'''∈++⎢⎥⎣⎦时，恒有sin t ≥。

……(5分) 因而，2211sin 2A A A A tdt dt t tαα''''--''≥⎰⎰ ……(7分)A ''=≥2043424n αππ-≥→>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当2α→-时。

因而原积分在02α<<上非一致收敛。

……(10分) 注：不能用Dirichlet 鉴别法证明原积分是一致收敛。

因素如下： 尽管对任意1B >积分1sin Btdt ⎰一致有界，且函数21tα-关于x 单调，但是当x →+∞时，21tα-关于()0,2α∈并非一致趋于零。

事实上，取,t n = 相应地取12nα=-，则112111limlim10lim t n nnn t nnα-→∞→∞→∞===>，并非趋于零。