邻接矩阵的应用1
物流配送中高等数学的经济学应用-V1
物流配送中高等数学的经济学应用-V1随着现代物流配送业的不断发展，物流配送在全球经济中的重要性越来越大。
配送的成本和效率直接影响到企业的盈利水平和市场竞争力。
然而在物流配送中，涉及到大量的数学知识和应用，其中高等数学在经济学中显得尤为重要。
一、线性代数在物流配送中的应用线性代数是数学的一个分支，其中的向量和矩阵广泛应用于物流配送中。
例如，在配送路线优化中，我们需要将城市视为节点，并将距离、时间、费用等信息抽象成节点间的边。
这样，我们就可以得到一张城市间的图。
将这张城市间的图视为一个邻接矩阵，便可以用广义和矩阵来处理城市与城市之间的距离和时间等信息。
通过对邻接矩阵进行变换和线性组合，我们可以得到各种情况下的最佳配送路线。
二、微积分在物流配送中的应用微积分是数学的另一个分支，在物流配送中也有广泛的应用。
例如，在货物存储的管理中，我们需要不断优化货物的堆放方式，使得货物能够充分利用储存空间。
这涉及到了优化问题，可以通过微积分的概念来解决。
通过对储存空间方案的求导，我们可以得出最佳的货物堆放方案，从而达到最优化的存储效果。
三、概率论与数理统计在物流配送中的应用概率论和数理统计是应用广泛的数学分支，在物流配送中也存在着许多应用场景。
例如，在货物追踪与监控中，我们需要统计货物运输过程中的周期和误差范围，以实现货物的安全可控。
这就需要应用概率论和数理统计的知识，通过统计学习和建立随机模型来进行预测和分析。
综上所述，高等数学在物流配送中有着广泛的应用价值。
随着物流行业的不断发展和创新，高等数学在物流供应链中的应用也将日益丰富和重要，深入掌握数学知识也将成为业务员提高职业竞争力的一大关键。
“数学是一面镜子，用来了解这个世界和我们自己”，在物流配送管理和优化过程中，科学的运用数学知识也能够为企业带来良好的经济效益和市场竞争力。
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
《数据结构》第八章习题参考答案 (1)
有向图的任意顶点的度=邻接表中顶点所对应边链表中结点个数+逆邻接表中顶点所对应边链表中结点个数；
4、课本P3928.3题
【解答】
n个顶点的无向连通图至少有n-1条边，n个பைடு நூலகம்点的无向强连通图至少有n(n-1)/2条边；n个顶点的有向连通图至少有n条边，n个顶点的有向强连通图至少有n(n-1)条边。
上面不正确的是（A）。
A．(1),(2),(3) B．(1) C．(1),(3) D．(2),(3)
5、下列说法不正确的是（C）。
A．图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次
B．遍历的基本算法有两种：深度遍历和广度遍历
C．图的深度遍历不适用于有向图
D．图的深度遍历是一个递归过程
三、填空题
1、判断一个无向图是一棵树的条件是_有n个顶点，n-1条边的无向连通图_。
注: 答案并不唯一
2、课本P3928.1题
【解答】
（1）不是强连通图
（2）简单路径如：D->B->C->F
（3）略
（4）邻接表见图，其他略
3、课本P3928.2题
【解答】
（1）邻接矩阵表示：无向图的边数为
矩阵中非零元素的个数/2;有向图的边数为矩阵中非零元素的个数。
邻接表表示时：无向图的边数为邻接表中边结点的个数/2；有向图的边数为邻接表中边结点的个数。
(2)(3)略
12、课本P3958.24题
【解答】
A->B : 10
A->B->D: 15
A->B->D->C : 17
A->B->D->E : 17
邻接矩阵求最短路径
邻接矩阵求最短路径
在图论中，求最短路径是一个非常重要的问题。
邻接矩阵是一种表示图的方式，它可以用矩阵的形式存储每个节点之间的连接关系和权重。
在邻接矩阵中，如果节点i和节点j之间存在一条边，则邻接矩阵的第i行第j列的元素为该边的权重；否则，该元素为0。
求最短路径的基本思想是从起点开始，依次遍历每个节点，并选择到达该节点的所有边中权重最小的边进行转移，直到到达终点为止。
在邻接矩阵中，我们可以使用动态规划的方法来实现这个算法。
具体来说，我们可以定义一个长度为n的数组dist，其中dist[i]表示从起点到节点i的最短路径长度。
初始时，dist[0]的值为0，其他元素的值均为无穷大。
然后，我们遍历从起点到每个节点的所有边，并更新dist数组的值。
对于每条边(i, j)，如果dist[i] + weight(i, j) < dist[j]，则更新dist[j]的值为dist[i] + weight(i, j)。
这样，当遍历完所有的边后，dist数组中的最小值即为从起点到终点的最短路径长度。
在实现时，我们还需要记录每个节点到达的最短路径所经过的节点。
这个信息可以用一个长度为n的数组prev来记录。
对于每个节点i，如果我们找到了从起点到节点i的最短路径，那么prev[i]的值就是该路径上节点i的前一个节点。
这个信息可以帮助我们在最后一步中反向追踪出最短路径。
在时间复杂度方面，由于我们只需要遍历一次所有的边，所以算法的时间复杂度为O(n^2)。
其中n为节点的数量。
使用邻接矩阵的prim算法
使用邻接矩阵的prim算法在图论中，Prim算法是一种用于寻找给定图的最小生成树的算法。
它基于贪婪策略，每次选择当前生成树中权重最小的边，将其加入到生成树中，直到生成树包含了所有的顶点。
Prim算法使用邻接矩阵来表示图，因此对于稀疏图和高维数据，它是一种非常有效的算法。
一、算法概述Prim算法从一个顶点开始，逐步构建最小生成树。
它通过不断选择当前生成树中权重最小的边，并将其加入到生成树中，直到生成树包含了所有的顶点。
这种算法对于稀疏图特别有效，因为它不需要存储大量的边信息，只需要使用邻接矩阵来表示图即可。
二、邻接矩阵表示法邻接矩阵是一种表示图的方法，其中矩阵的行和列表示图中的顶点，而矩阵中的元素表示顶点之间的边的存在和权重。
对于无向图，如果矩阵中第i行第j列的元素为正（或零），则表示顶点i和j之间存在一条边，且权重为邻接矩阵元素的值。
对于有向图，情况有所不同，但基本的思路是相同的。
三、Prim算法实现以下是使用Python实现Prim算法的示例代码：```pythonimport sys # 导入系统模块def prim(graph):num_vertices = len(graph) # 获取顶点数selected_vertices = [0] # 初始只选择一个顶点selected_edges = [] # 存储选择的边for _ in range(num_vertices): # 初始化最小生成树为空集合selected_edges.append([])# 从第一个顶点开始选择，将当前生成树中所有权最小的边加入到结果集合中for i in range(num_vertices):min_weight = sys.maxsizefor j in range(num_vertices):if j not in selected_vertices and graph[j][i]< min_weight: # 如果边不在已选择的顶点中且权重小于当前最小值 min_weight = graph[j][i] # 更新最小权重值index = j # 保存该边的索引selected_edges[i].append((index, graph[index][i])) # 将该边加入到结果集合中selected_vertices.append(j) # 将已选择的顶点数加一# 继续选择剩余的顶点，直到所有顶点都被选择while len(selected_vertices) < num_vertices:min_weight = sys.maxsizefor i in range(num_vertices):for j in range(num_vertices):if j not in selected_vertices andgraph[j][i] < min_weight and graph[j][i] not inselected_edges[i]: # 如果边不在已选择的顶点中且权重小于当前最小值且不在已选择的边中min_weight = graph[j][i] # 更新最小权重值break # 终止外层循环以节约时间else: # 外层循环结束仍未找到合适的边时，说明所有边都已被考虑过，此时可以选择一个未被考虑过的顶点作为新的生成树的一部分continueindex = min(j for j in range(num_vertices) if j not in selected_vertices and graph[j][i] == min_weight) # 找到与当前顶点i连接的所有未被选择的顶点中的最小权重的边对应的索引jselected_edges.append([index, graph[index][i]]) # 将该边加入到结果集合中selected_vertices.append(index) # 将新的顶点加入到已选择的顶点列表中return selected_edges, selected_vertices # 返回生成树的结果集和所有已选择的顶点列表```上述代码中的邻接矩阵`graph`为一个二维列表（或数组），其中每个元素表示对应的顶点之间的边的存在和权重。
NOIP信息学竞赛初赛-图论算法基础-专题十一-1
专题十一：图论算法基础对于图论算法，NOIP初赛不要求会实现算法，但手工操作还是要会的，复赛是要求会代码实现的。
什么是图一个图是一个序偶<V, E>,记为G =<V, E> 。
V 为顶点集, E 为V 中结点之间的边的集合。
自环：一条边的两个端点是相同的。
重边：两个端点之间有两条以上的边，称他们是重边。
简单图：没有自环和重边的图。
无向边：边是双向的。
有向边：单向边，有箭头。
无向图：只有无向边的图。
有向图：只有有向边的图。
混合图：既有无向边又有有向边。
顶点的度：无向图中，一个顶点相连的边数称为该顶点的度；有向图中，从一个顶点出发的边数称为该顶点得出度；到达该顶点的边数称为它的入度。
图论基本定理：著名的握手定理。
无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。
有向图中结点入度的和等于出度的和等于边数。
通路：给定图G中结点和边交替出现的一个序列：v0 e1 v1 e2 v2 …ek vk，若每条边ei的两端点是vi-1 和vi ，那么称该序列是从v0到vk的一条通路。
基本通路(路径)：没有重复出现的结点的通路。
图的连通性：若一张无向图的任意两个结点之间都存在通路，那么称该图是连通的。
连通分量：图中连通的顶点与边的集合。
权和网：在图的边给出相关的数，成为权。
权可以表示一个顶点到另一个顶点的距离，耗费等。
带权图一般成为网。
最短路径：对于一张不带权的无向图来说，从s到t的最短路径就是所有从s到t的通路中长度最短的那一条(可能不唯一)，通路上的边数称为路径的长度。
完全图：任何两个顶点之间都有边（弧）相连称为完全图。
稀疏图、稠密图：边（弧）很少的图称为稀疏图，反之为稠密图。
图的存储：邻接矩阵在邻接矩阵表示中，除了存放顶点本身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。
若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G),则矩阵中第i行第j列元素值为1，否则为0 。
例如, 下面为两个无向图和有向图对应的邻接矩阵。
邻接矩阵和特征矩阵的对应关系
邻接矩阵和特征矩阵的对应关系邻接矩阵和特征矩阵是图论和线性代数中常见的概念，它们在多个领域中都有重要的应用。
邻接矩阵描述了图中节点之间的连接关系，而特征矩阵则用于表示节点的特征信息。
本文将介绍邻接矩阵和特征矩阵的对应关系以及它们在实际应用中的意义。
邻接矩阵是一个方阵，它的行和列分别对应于图中的节点。
矩阵的元素表示了两个节点之间的连接关系，通常用0和1表示。
当节点i和节点j之间存在连接时，邻接矩阵的第i行第j列的元素为1；否则，为0。
邻接矩阵的对角线上的元素通常表示节点的自连接关系。
特征矩阵是一个矩阵，它的行对应于图中的节点，列对应于节点的特征。
特征矩阵的元素可以是节点的各种属性，比如节点的度、介数中心性、聚类系数等。
特征矩阵可以用于描述节点的结构和属性信息，从而帮助我们理解图的性质和特征。
邻接矩阵和特征矩阵之间存在一种对应关系，即特征矩阵可以通过邻接矩阵来构建。
具体来说，特征矩阵的每一列对应于邻接矩阵的一列，表示该节点与其他节点之间的连接关系。
通过对邻接矩阵进行一系列的线性变换和特征提取操作，我们可以得到特征矩阵。
这种对应关系可以帮助我们从图的结构中提取有用的信息，并用于图的分析和处理。
邻接矩阵和特征矩阵在实际应用中有广泛的应用。
在社交网络分析中，邻接矩阵可以用于描述用户之间的关注关系，而特征矩阵可以用于表示用户的兴趣偏好、社交行为等。
通过对邻接矩阵和特征矩阵进行分析，我们可以挖掘社交网络中的社区结构、影响力传播等重要信息。
在推荐系统中，邻接矩阵可以用于描述用户和物品之间的交互关系，而特征矩阵可以用于表示物品的属性信息。
通过对邻接矩阵和特征矩阵进行分析，我们可以为用户推荐个性化的物品，提高推荐系统的准确性和用户满意度。
在生物信息学中，邻接矩阵可以用于表示蛋白质之间的相互作用关系，而特征矩阵可以用于表示蛋白质的结构和功能信息。
通过对邻接矩阵和特征矩阵进行分析，我们可以预测蛋白质的结构和功能，从而帮助研究人员理解生物系统的运作机制。
数据结构第七章课后习题答案 (1)
7_1对于图题7.1（P235）的无向图，给出：（1）表示该图的邻接矩阵。
（2）表示该图的邻接表。
（3）图中每个顶点的度。
解：（1）邻接矩阵：0111000100110010010101110111010100100110010001110（2）邻接表：1：2----3----4----NULL;2: 1----4----5----NULL;3: 1----4----6----NULL;4: 1----2----3----5----6----7----NULL;5: 2----4----7----NULL;6: 3----4----7----NULL;7: 4----5----6----NULL;（3）图中每个顶点的度分别为：3，3，3，6，3，3，3。
7_2对于图题7.1的无向图，给出：（1）从顶点1出发，按深度优先搜索法遍历图时所得到的顶点序（2）从顶点1出发，按广度优先法搜索法遍历图时所得到的顶点序列。
（1）DFS法：存储结构：本题采用邻接表作为图的存储结构，邻接表中的各个链表的结点形式由类型L_NODE规定，而各个链表的头指针存放在数组head中。
数组e中的元素e[0],e[1],…..,e[m-1]给出图中的m条边，e中结点形式由类型E_NODE规定。
visit[i]数组用来表示顶点i是否被访问过。
遍历前置visit各元素为0，若顶点i被访问过,则置visit[i]为1.算法分析：首先访问出发顶点v.接着，选择一个与v相邻接且未被访问过的的顶点w访问之，再从w 开始进行深度优先搜索。
每当到达一个其所有相邻接的顶点都被访问过的顶点，就从最后访问的顶点开始，依次退回到尚有邻接顶点未曾访问过的顶点u,并从u开始进行深度优先搜索。
这个过程进行到所有顶点都被访问过，或从任何一个已访问过的顶点出发，再也无法到达未曾访问过的顶点，则搜索过程就结束。
另一方面，先建立一个相应的具有n个顶点,m条边的无向图的邻接表。
邻接矩阵和邻接表
邻接矩阵和邻接表邻接矩阵与邻接表都是建立在图结构中的逻辑关系，用于存储图中相邻节点之间的连接关系，是用来表示网络的重要的数据结构，大量应用于无权图或带权图的表示、存储和操作。
一、邻接矩阵1.概念：邻接矩阵（Adjacency Matrix）是一种用来存储图G中顶点之间的关系的结构，它是由一个二维数组来表示的，数组中的每一行和每一列都代表一个顶点，而数组元素之间的值有一定含义，这些值代表了两个顶点之间是否存在连接，也就是说，只有存在边才能够表示值，否则以无穷大表示。
2.特点：（1）存储空间大：邻接矩阵是一个矩形数组，其中的每一行和每一列都代表一个顶点，那么它所占用的空间一定是与节点的度数有关的，因此在稀疏图结构中使用邻接矩阵对空间也会非常消耗；（2）查找方便：邻接矩阵存储的是节点两两之间的连接关系，只要矩阵中相应位置上的值不为无穷大，就能判断这两个节点之间是否存在连接，因此在查找图中某两节点之间连接关系的时候，邻接矩阵的效率会比较高。
二、邻接表1.概念：邻接表也是一种非常常用的表示图的数据结构，它采用的是链表的形式来存储顶点的相邻的结点的关系，也就是说，每个顶点都会有一个链表来存储它周围的结点。
它能够比较好的展示出图中各个顶点之间的关系，以及图中结点的孤立情况。
2.特点：（1）存储空间小：由于邻接表使用链表的方式存储节点，它可以精确的表示两个节点的距离，而非像邻接矩阵一样，数组中的每一行和每一列都代表一个节点，因此，它所占用的空间会比邻接矩阵小些，在内存空间中有比较大的空间优势；（2）查找速度略低：虽然邻接表能精确的表示两个节点之间的距离，而且只需要占用少量内存，但是查找两点之间连接关系所花费的时间会略大于邻接矩阵。
第五章-1 交通网络分析技术
9
0 0 0 0 0 1 0 1 0
4
7
5
8
抽象的网络图
6
9
邻接矩阵
二、边编目表
该法将网络中的E条边任意编排，每 条边都对应一个顺序号，计算机根据
顺序号及每条边的起讫节号存储网络。
三、权矩阵
点与点之间的数量关系通过权矩阵（D）来反 应。权矩阵的元素d（i，j）的就确定：
0 — — — —i j d (i, j ) — — — —两节点之间无边连接 给定权 — —两节点之间有边连接
1 4
7
2 5
8
抽象的网络图
3
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
j
1 0 2 ∞ 2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
2 2 0 2 ∞ 2 ∞ ∞ ∞ ∞
3 ∞ 2 0 ∞ ∞ 2 ∞ ∞ ∞
4 2 ∞ ∞ 0 1 ∞ 2 ∞ ∞
5 ∞ 2 ∞ 1 0 1 ∞ 2 ∞
6 ∞ ∞ 2 ∞ 1 0 ∞ ∞ 2
7 ∞ ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 0 1 ∞
进口道延误d(i,j)的确定
当进口饱和度较小时，各进口上每辆车的平均延 误可根据修正的韦伯斯特公式计算 ：
T 1 2 x2 d (i, j ) 0.9 21 x 2Q1 x
2、其它交叉口延误计算 无控、环交、立交三类交叉口的延误，应根据交 通量的大小与信号交叉口延误对比分析，以增加各类 交叉口延误的可比性。
车道数 车道数修正系数r3 1 1 2 1.87 3 2.60 4 3.20
交叉口影响修正系数r4的确定
交叉口影响修正系数主要取决于交叉口控制方式 及交叉口间距
间距m 车道数 2 3 4 200 1258 1780 2310 300 1555 2208 2850 400 1762 2505 3250 500 1912 2720 3520 600 2060 2930 3800 700 2157 3060 3865 800 2240 3180 4130
数据结构_图_采用邻接矩阵存储，构造无向图
1.采用邻接矩阵（邻接表）存储，构造无向图（网）输入：顶点数、边数、顶点信息、边信息输出：图的顶点，图的边邻接矩阵（数组表示法）处理方法：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。
假设图G＝(V,E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n 的方阵，定义为：如果(vi,vj)属于边集，则edges[i][j]=1，否则edges[i][j]=0。
邻接表存储的处理方法：对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表），所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。
程序代码：#include<iostream>using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点个数#define OK 1typedef int Status;//图的数组（邻接矩阵）存储表示typedef struct ArcCell { // 弧的定义int adj; // VRType是顶点关系类型。
// 对无权图，用1或0表示相邻否；// 对带权图，则为权值类型。
int *info; // 该弧相关信息的指针} ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct { // 图的定义char vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数、弧数} MGraph;int LocateV ex(MGraph G, char v){int a;for (int i = 0; i <= G.vexnum; i++){if (G.vexs[i] == v)a= i;}return a;}Status CreateUDN(MGraph &G) { //采用邻接矩阵表示法，构造无向网Gint i, j, k, w;char v1, v2;cout <<"输入顶点数，边数："<< endl;cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//IncInfo为0,表示各弧无信息cout <<"各顶点分别为："<< endl;for (i = 0; i<G.vexnum; i++)cin >> G.vexs[i]; //构造顶点向量for (i = 0; i<G.vexnum; i++) //初始化邻接矩阵for (j = 0; j<G.vexnum; j++){G.arcs[i][j].adj =NULL;}cout <<"顶点信息、边信息："<< endl;for (k = 0; k<G.arcnum; k++) { //构造邻接矩阵cin >> v1 >> v2 >> w; //输入一条边依附的顶点及权值i = LocateV ex(G, v1); j = LocateV ex(G, v2);G.arcs[i][j].adj = w;G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];} return OK;} //CreateUDN (p162 算法7.2)Status printf1(MGraph G){cout <<"该图的顶点分别为：";for (int i = 0; i<G.vexnum; i++)cout << G.vexs[i] <<"";return OK;}Status printf2(MGraph G){cout <<"该图的边为：";for (int i = 1; i<G.vexnum; i++) //初始化邻接矩阵for (int j = 0; j<i; j++){if (G.arcs[i][j].adj !=NULL)cout << G.vexs[j]<< G.vexs[i] <<"," ;}return OK;}int main(){MGraph G;CreateUDN(G);printf1(G);cout << endl;printf2(G);cout << endl;system("pause");return 0;}。
无向图邻接矩阵
无向图邻接矩阵
无向图邻接矩阵能够用来表示无向图中节点间的相互关系。
无向图是一种用来表示非简单环路网络的图形抽象结构。
它是一个无序的由边连接的节点组成的集合，其中节点是图的数学对象，边则表示节点之间的关系。
对于节点的描述和空间位置没有明确的规定，可以用来描述任何网络结构。
无向图用邻接矩阵表示，这种方法又叫作矩阵表示法，是一种典型的表示图结构的常用方法。
无向图邻接矩阵是一个方阵，其行列数等于图中节点数，主对角线上的元素均为0，非对角线上的元素均非0，表示节点间是否有边。
无向图邻接矩阵在图的存储和处理中被广泛使用，他的优点在于可以直观的表示无向图的关系，这可以有效降低存储和处理数据的难度。
无向图邻接矩阵也有一些特殊的应用，例如用于图计算问题，比如可以用来求解最短路径问题，最小生成树问题等。
此外，通过无向图邻接矩阵来表示图的连通性也是一种重要的应用，可以用来确定图的连通分量，以及可以表达节点之间的行为关系，例如说入射网络中的服务关系，这些关系可以用来进行控制和求解各种优化问题。
最后，利用无向图邻接矩阵可以实现快速算法，用于图中节点的搜索、遍历、排序等操作，以及根据邻接矩阵计算图中节点间距离和路径，这些技术可用于多种实际应用，例如信息查询、社交网络中的用户关联等。
总之，无向图邻接矩阵具有极强的实用性，在无向图的存储和处理中可被广泛应用，可用于求解距离、路径、搜索、遍历等问题，也可以表达入射网络之间的服务关系，可以被用来进行系统的控制和优化。
因此，无向图邻接矩阵被广泛应用于算法和数据结构的实际编程中，可以用来优化现有算法，从而提高算法的效率。
信息学奥数1-17届问题求解题解析
历届“问题求解”解析（2011竞赛辅导）问题求解是信息学竞赛初赛中常见题型，它共两题，每题5分，共10分，十六届增加了比重，有三题，占15分。
诸如寻找假币、博弈原理、抽屉原理、容斥问题、排列组合、逻辑推理、递推关系等问题出现在问题求解中。
（相关问题的具体讲解根据需要考虑发讲义） 第一届（逻辑推理问题）1. 有标号为A 、B 、C 、D 和1、2、3、4的8个球，每两个球装一盒，分装4盒。
标号为字母的球与标号为数字的球有着某种一一对应的关系（称为匹配），并已知如下条件： ① 匹配的两个球不能在一个盒子内。
② 2号匹配的球与1号球在一个盒子里。
③ A 号和2号球在一个盒子里。
④ B 匹配的球和C 号球在一个盒子里。
⑤ 3号匹配的球与A 号匹配的球在一个盒子里。
⑥ 4号是A 或B 号球的匹配球。
⑦ D 号与1号或2号球匹配。
请写出这四对球匹配的情况。
第四届（递推、树、图）1. 已知一个数列U 1，U 2，U 3，…，U N ，… 往往可以找到一个最小的K 值和K 个数a 1，a 2，…,a n 使得数列从某项开始都满足： U N+K =a 1U N+K-1+a 2U N+K-2+……+a k U N (A)例如对斐波拉契数列1，1，2，3，5，…可以发现：当K=2，a 1 =1，a 2 =1时，从第3项起（即N>=1）都满足U n+2 =U n+1+U n 。
试对数列13，23，33，…，n 3,…求K 和a 1,a 2, …,a K 使得（A ）式成立。
当K= 4，a 1,a 2,…,a k 为a 1=4, a 2=6, a 3=4，a 4=-1对数列132333,…,n 3,…（A ）成立。
2．给出一棵二叉树的中序遍历：DBGEACHFI 与后序遍历：DGEBHIFCA 画出此二叉树。
3．用邻接矩阵表示下面的无向图：表示该无向图的邻接矩阵为0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0第五届（递推）将Ln 定义为求在一个平面中用n 条直线所能确定的最大区域数目。
数据结构树图测试题（1）
数据结构树图测试题（1）⼀、填空题1. ⼀完全⼆叉树共有500个结点，则在该⼆叉树中有个度为2的结点。
2. 设某⼆叉树的前序遍历序列为:ABCDEFGHI ，中序遍历序列为:BCAEDGHFI ，则该⼆叉树的后序遍历序列是。
3. 对于⼀个稀疏图，在求该图对应的最⼩⽣成树时，Prim 算法和kruskal 算法哪⼀个算法效率更⾼。
4. 对于⼀个n 个结点的满⼆叉树，假设该树有m 个树叶，深度为h ，则 h= 。
5. 设⾼度为h 的⼆叉树上只有度为0和度为2的结点，则此类⼆叉树中所包含的结点数⾄少为，⾄多为。
6. ⼀棵有n 个结点的满⼆叉树有_ _ 个叶⼦，该满⼆叉树的深度为_ __。
7. 设F 是由T1,T2,T3三棵树组成的森林,与F 对应的⼆叉树为B,已知T1,T2,T3的结点数分别为n1,n2和n3则⼆叉树B 的左⼦树中有__ _个结点。
8. ⼀颗含有101个结点的完全⼆叉树存储在数组A[1..101]中，若A[k]为叶⼦结点，则k 的最⼩值是。
9. ⼀颗深度为h 的完全⼆叉树上的结点总数最⼩值为，最⼤值为。
⼆、选择题1. 设树T 的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1，则T 中的叶⼦数为（）。
A ．5B ．6C ．7D ．81. 在有向图G 的拓扑序列中，若顶点Vi 在顶点Vj 之前，则下列情形不可能出现的是（）。
A ．G 中有弧B ．G 中有⼀条从Vi 到Vj 的路径C ．G 中没有弧D ．G 中有⼀条从Vj 到Vi 的路径 1. 若完全⼆叉树的结点总数为偶数，则度为1的结点有( )个。
A. 0B. 1C. 2D. 不确定1. 已知⼀棵⼆叉树的前序遍历结果为ABCDEF, 中序遍历结果为CBAEDF, 则后序遍历的结果为（）。
A ．CBEFDAB ． FEDCBAC ． CBEDFAD ．不定 1. 下述编码中哪⼀个不是前缀码（）。
A ．（00，01，10，11）B ．（0，1，00，11）C ．（0，10，110，111）D ．（1，01，000，001） 1. n 个顶点的有向图G 最多有( )条弧。
数据结构第7章-答案
一、单选题C01、在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的倍。
A)1/2 B)1 C)2 D)4B02、在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的倍。
A)1/2 B)1 C)2 D)4B03、有8个结点的无向图最多有条边。
A)14 B)28 C)56 D)112C04、有8个结点的无向连通图最少有条边。
A)5 B)6 C)7 D)8C05、有8个结点的有向完全图有条边。
A)14 B)28 C)56 D)112B06、用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。
A)栈B)队列C)树D)图A07、用邻接表表示图进行深度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。
A)栈B)队列C)树D)图A08、一个含n个顶点和e条弧的有向图以邻接矩阵表示法为存储结构，则计算该有向图中某个顶点出度的时间复杂度为。
A)O(n) B)O(e) C)O(n+e) D)O(n2)C09、已知图的邻接矩阵，根据算法思想，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是。
A)0 2 4 3 1 5 6 B)0 1 3 6 5 4 2 C)0 1 3 4 2 5 6 D)0 3 6 1 5 4 2B10、已知图的邻接矩阵同上题，根据算法，则从顶点0出发，按广度优先遍历的结点序列是。
A)0 2 4 3 6 5 1 B)0 1 2 3 4 6 5 C)0 4 2 3 1 5 6 D)0 1 3 4 2 5 6D11、已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是。
A)0 1 3 2 B)0 2 3 1 C)0 3 2 1 D)0 1 2 3A12、已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出发按广度优先遍历的结点序列是。
A)0 3 2 1 B)0 1 2 3 C)0 1 3 2 D)0 3 1 2A13、图的深度优先遍历类似于二叉树的。
A)先序遍历B)中序遍历C)后序遍历D)层次遍历D14、图的广度优先遍历类似于二叉树的。
关于图乘法的一种特殊情况
关于图乘法的一种特殊情况【摘要】本文主要探讨了图乘法中的一个特殊情况。
首先介绍了图乘法的定义及其应用，包括点乘法、边乘法、邻接矩阵乘法和邻接表乘法等形式。
接着详细讨论了稠密图与稀疏图的乘法规则，并总结了这种特殊情况在实际应用中的重要性。
最后展望了图乘法在未来的发展前景，探讨了可能的改进和扩展方向。
通过深入研究这一特殊情况，可以更好地理解图乘法的复杂性及其在各领域的应用潜力，为未来的学术研究和工程实践提供重要参考。
【关键词】图乘法, 点乘法, 边乘法, 邻接矩阵乘法, 邻接表乘法, 稠密图, 稀疏图, 特殊情况, 发展前景, 应用, 定义, 总结, 关键词1. 引言1.1 图乘法的定义图乘法是指两个图形之间的一种特殊运算，通过该运算可以得到一个新的图形。
在图论中，图乘法通常用于分析图形之间的关系，研究图形的性质和特征。
在图乘法中，两个图形可以是有向图或无向图，以及带权图或无权图。
对于两个有向图的乘法操作，可以分为点乘法和边乘法两种情况。
点乘法指的是将两个图中的节点进行配对组合，形成新的节点对，而边乘法则是将两个图中的边进行配对组合，形成新的边。
对于两个无向图的乘法操作，可以通过邻接矩阵乘法和邻接表乘法两种方式进行。
邻接矩阵乘法是将两个图的邻接矩阵进行矩阵乘法运算得到新的邻接矩阵，而邻接表乘法则是将两个图的邻接表中的元素进行组合操作，形成新的邻接表。
稀疏图和稠密图在乘法运算中也会有不同的表现。
稠密图指的是边的数量接近于节点数量的图，而稀疏图则是边的数量远小于节点数量的图。
在稠密图和稀疏图的乘法运算中，稠密图通常会需要更多的计算资源和时间。
图乘法是图论中一个重要且有趣的研究课题，在图形分析、数据处理和网络建模等方面起着重要作用。
通过对图乘法的研究，可以更好地理解图形之间的关系，揭示图形的内在规律性，为相关领域的发展和应用提供支持和指导。
1.2 图乘法的应用图乘法是图论中一个重要的概念，在实际应用中有着广泛的应用。
《数据结构》第二版严蔚敏课后习题作业参考答案(1-7章)
第1章4．答案：（1）顺序存储结构顺序存储结构是借助元素在存储器中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系，通常借助程序设计语言的数组类型来描述。
（2）链式存储结构顺序存储结构要求所有的元素依次存放在一片连续的存储空间中，而链式存储结构，无需占用一整块存储空间。
但为了表示结点之间的关系，需要给每个结点附加指针字段，用于存放后继元素的存储地址。
所以链式存储结构通常借助于程序设计语言的指针类型来描述。
5. 选择题(1)~(6)：CCBDDA\6．（1）O(1) （2）O(m*n) （3）O(n2)（4）O(log3n) （5）O(n2) （6）O(n)（第2章1．选择题（1）~（5）：BABAD （6）~（10）： BCABD （11）~（15）：CDDAC\2．算法设计题（1）将两个递增的有序链表合并为一个递增的有序链表。
要求结果链表仍使用原来两个链表的存储空间, 不另外占用其它的存储空间。
表中不允许有重复的数据。
[题目分析]合并后的新表使用头指针Lc指向，pa和pb分别是链表La和Lb的工作指针,初始化为相应链表的第一个结点，从第一个结点开始进行比较，当两个链表La和Lb均为到达表尾结点时，依次摘取其中较小者重新链接在Lc表的最后。
如果两个表中的元素相等，只摘取La表中的元素，删除Lb表中的元素，这样确保合并后表中无重复的元素。
当一个表到达表尾结点，为空时，将非空表的剩余元素直接链接在Lc表的最后。
void MergeList(LinkList &La,LinkList &Lb,LinkList &Lc){法设计题（1）将编号为0和1的两个栈存放于一个数组空间V[m]中，栈底分别处于数组的两端。
当第0号栈的栈顶指针top[0]等于-1时该栈为空，当第1号栈的栈顶指针top[1]等于m时该栈为空。
两个栈均从两端向中间增长。
试编写双栈初始化，判断栈空、栈满、进栈和出栈等算法的函数。
多重边名词解释
多重边名词解释多重边是指一个图中两个顶点之间存在多条边的情况。
多重边通常不常见，但在一些特定的图中可能会出现。
下面是关于多重边的一些相关解释和应用场景。
一、多重边的解释1. 什么是多重边？多重边是指同一张图中两个顶点之间存在多条边的情况。
多重边在现实中不太常见，但在一些特定的情况下可能会出现。
2. 多重边对图的性质有什么影响？多重边会影响图的一些性质，比如度数、路径长度等。
在处理图的时候，需要特别处理多重边的情况，以确保算法的正确性。
二、多重边在实际应用中的应用1. 网路流问题在网络流问题中，存在多重边的情况。
例如，一个有向图中的两个顶点之间存在多条边，每条边的容量不同。
这时我们需要通过一些特定的算法来解决多重边的问题。
2. 计算机网络在计算机网络中，多重边也是很常见的。
例如，多个路由器之间可能会有多条链路相连，这些链路的带宽大小也可能不同。
在这种情况下，我们需要处理多重边的情况，以便更好地设计网络拓扑结构。
3. 社交网络分析在进行社交网络分析时，也可能会遇到多重边的情况。
例如，同一个人可能和不同的人之间存在多条关系（比如朋友、家人等），而这些关系的强度也可能不同。
在分析社交网络时，需要特别注意多重边的情况，以确保分析结果的准确性。
三、多重边的处理方法1. 邻接矩阵邻接矩阵表现了图中每个点之间的关系，其元素可以是0、1或者其他权值。
在处理多重边时，可以将邻接矩阵中对应元素的值相加。
2. 邻接表邻接表是一个基本的数据结构，用于描述无向图和有向图中每个点的关系。
在处理多重边时，可以通过链式存储的方式，为每一个点的邻居节点维护一个链表，并在每个邻居节点的信息中记录边的权值。
3. 其他算法除了邻接矩阵和邻接表之外，还可以通过其他算法来处理多重边。
例如，使用哈希表存储每个点的邻居节点及其权值，或者使用堆等数据结构来处理多重边的权值。
选择合适的算法可以有效地提高处理效率，提高算法的正确性。
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求一个连通图的生成树有一个简单算法，这个算法就是在一个连通图中破掉所有的回路，剩下不含回路的连通图就是原图一个生成树，这个算法叫做“破圈法”．
环和多重边若边的两个端点同属一个节点,则称该边为环；若两个端点之间多于一条边，则称多重边.
多重图和简单图含有多重边的图称为多重图；无环无多重边的图称为简单图.
次以点 为端点的边数称为这个点的次，记作 .
零图一条边也没有的图.
子图在研究和描述图的性质和图的局部结构中，子图的概念占有重要地位。
对于图 ， ，若 ，则称为 为 的子图.
对一个较复杂的图,用邻接矩阵生成 序列是一件容易的事.我们称 是 或 的左、右关联顶,第一个被访问的顶称出发顶 .基本步骤如下 :
①、构造图的邻接矩阵 .
②、将所有相关边或弧依“ 或 ”法则串连成一个或多个“非闭合”的边或弧线性表,直至串接的边或弧数为 .
③、出发顶与右关联顶顺序连接为 序列.
例如生成 图（9）的 序列.
性质4 给定一个对称的元素0和1的 阶矩阵，则必可构造一个图 ,使 的邻接矩阵就是所给的.
性质5 零图的邻接矩阵为零矩阵.
例如图所示的图（3）和图（4）.请写出其所对应的邻接矩阵
则：图（3）的邻接矩阵为:
;
图（4）的邻接矩阵为:
4.
4
与无向图对应，有向图也有类似的表示：
定义 ：设 是有向图 的结点，称矩阵 为 的邻接矩阵，其中 是以 为始点， 为终点的边的条数 .
深度优先遍历 ,假设初始态是图中所有顶点未曾被访问,从图中某个顶点 出发,访问此顶点,然后依次从 的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和 有路径相通的顶点都被访问到;若此时图中还有未被访问的顶点,则从一个未被访问的顶点开始,重复上述过程,直至图中所有顶点都被访问为止.显然,这是一个复杂的递归过程 .
本文通过运用邻接矩阵和关联矩阵的特征，把图的运算转化称矩阵运算，运用图的一些性质，转化为矩阵，进而判断图是否具有其他性质，这就包括用邻接矩阵判断图的回路.
邻接矩阵能够简便和直观地表示一些实际意义的相应信息，在数学建模中有着非常广泛的应用. 在数学建模的过程中，经常会遇到一些可以借助图和图的邻接矩阵来处理的数学模型.用邻接矩阵来表示图具有简单、直观的特点，而且邻接矩阵能够表示图的一些实际意义的相应信息.
邻接矩阵是图的一种常用的存储结构,具有描述简单、直观的特点,在图的运算中,有许多算法通常是采用邻接矩阵作为存储结构来处理的.对邻接矩阵的探讨，无疑会给图论和现实生活中许多问题的研究带来方便.
本文主要介绍了邻接矩阵的求法及其应用.首先，给出了邻接矩阵的基础定义及相关定理，并对其中定义给出解释，定理做出解释；接着，有前面的基础，探讨出邻接矩阵的求法，最后，总结邻接矩阵的应用，系统地给出它的应用的多个方面，列出实例来充分说明，这是本文的主要特色.
1.
1736年瑞士数学家L.欧拉发表图论的第一篇论文,解决了著名的哥尼斯堡七桥问题,因此通常认为欧拉是图论的创始人.流经东普鲁士的柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥，将河中的岛和河岸连接起来（图1）.长期以来人们在议论能否从A、B、C、D这四块陆地中的任何一块开始,经过所有的桥一次且仅一次，最后回到原来出发的这块陆地.当时，欧拉将每块陆地用一个点来代替，将每座桥用连接相应的两个点的一条边来代替,从而得到了一个“图”
我们再来看一个简单有向图 如图（5）：
有向图 的邻接矩阵为：
；
4由Biblioteka 义知，有向图 的邻接矩阵 具有以下性质 .
性质1简单图的邻接矩阵是一个0，1的矩阵：对角线元素为0，但不一定对称.
性质2矩阵的各行和是相应顶点的出度，各个列和是相应顶点的入度.所有元素相加的和与边数相等.
性质3矩阵 的 位置元素为由 到 的长度等于 的通路的数目，而 位置的元素为 到自身的回路的数目.
论的基本元素是节点和边（也称线、弧、枝），用节点表示所研究的对象，用
边表示研究对象之间的某种特定关系.因此，图论可用节点和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、分析和解决各种实际问题，诸如物理学、化学、生物学、管理科学、计算方法和工程技术等领域的有关问题。图论与组合数学、线性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数学分支有密切的关系.本文章所涉及的只是图论中的一些基本概念和理论，在方法上应用矩阵来研究的一些性质.用矩阵表示一个图的各种关系，不仅是给出图的一种表示方法，而且可以充分利用矩阵代数中的各种运算，来研究图的结构特征即性质，且便于计算机处理.用矩阵表示图，必须首先将图的顶点、边等分别按照某种顺序排列，然后并按照这种顺序依次给定唯一的标号，使其称为标号图，最后给出其矩阵表示 .
连通图如果图 的任意两点至少有一条通路连接起来，则图 称为连通图，否则称为不连通图.
树与图的生成树若一个连通图中不存在任何回路，则称为树．由树的定义，直接得下列性质：
（1）树中任意两节点之间至多只有一条边：
（2）树中边数比节点数少1；
（3）树中任意去掉一条边，就变为不连通图；
（4）树中任意添加一条边，就会构成一个回路．
练习：分别画出给出的邻接矩阵 和 所对应的无向图 和有向图 .
: ;
图分别为:
5
再观察4.1节图（5）：
在图(5)中，我们可以计算出 , , 如下：
； ；
观察各矩阵不难看出， 中 到 长度为1,2,3,4的通路为别为0,12条。 到自身长度为1,2,3,4的回路分别为1,2,3,5条，其中有复杂回路。 中长度小于或等于4的通路有53条.
“图论”是数学的一个分支,它以图为研究对象.图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系.
图论是一门极有兴趣的学问，其广阔的应用领域涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、电信领域等等.严格地讲，图论是组合数学的一个分支，例如，它交叉运用了拓扑学、群论和数论.图论就是研究一些事物及它们之间关系的学科，现实世界中的许多事物能用图来表示其拓扑结构，把实际问题的研究转化为图的研究，利用图论的相关结论
欧拉对于一般的图提出了一个普遍的判别法则：要从图中一点出发，经过所有的边一次且仅一次，能回到原来的出发点，则这个图必须是连通的，且每个点都必须与偶数条边相关联.显然,图(1)中的各点都是连通的，但每个点都不是与偶数条边相连接，因此七桥问题不可能有解.1845年，德国物理学家G.R.基尔霍夫为了解决一类线性联立方程组而创建“树”理论.他把电网络和其中的电阻、电容和电感等抽象化，用一个只有点和边组成的组合结构来代替电网络，而不指明每条边所代表的电器元件种类,这样就可以方便地对方程组进行求解 .1852年F.格思里在对地图着色时发现,无论多么复杂的地图,只要用四种颜色就能将相邻区域区分开来。这就是所谓“四色猜想” 经过百余年的努力，直到1976年才由K.阿佩尔和W.赫肯借助电子计算机证明了四色定理.1856年，W.R.哈密顿在给 R.L.格雷夫斯的信中提出一个游戏：用正十二面体上20个顶点表示20个城市，要求游戏者沿着各边行走，走遍每个城市一次且仅一次，最后回到原出发城市。这个游戏促使人们研究如何判断一个图有无这一性质，如果有，则又如何确定这样的路径。这是一个至今尚未完全解决的问题.
对这些问题作分析或判断 .
图论是近二十年来发展十分迅速、应用比较广泛的一个新兴的数学分支，在许多领域，诸如物理学、化学、运筹学、信息论、控制论、计算机等方面甚至在生产生活中都有广泛的应用.因此受到全世界越来越广泛的重视。图论的内容十分丰富，涉及面也比较广.
研究节点和边组成的图形的数学理论和方法，为运筹学的一个分支。图
2．
图图论中所研究的图就是节点和边的集合，记作 ,其中 表示非空的节点集合， 表示边的集合 .
在图论的研究中常用到的概念有 :
节点数和边数集合V的元素个数称为图 的节点数;集合 的元素的个数称为图 的边数.
端点和关联边若 ,则称点 和 是e的端点，而称e是点 和 的关联边.
相邻点和相邻边若 和 与同一条边相关联,则 与 是相邻点；若 与 有一个共同端点,则若 与 为相邻边.
前言
图论最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题．这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意．在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想和汉米尔顿（环游世界）数学难题．
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博奕论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用．在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一，因此越来越受到数学家和实际工作者的喜爱．我们所学的这一章只是介绍一些基本概念、原理以及一些典型的应用实例，目的是在今后对工程技术有关学科的学习研究时，可以把图论的基本知识、方法作为工具 ．
用邻接矩阵生成 序列的基本步骤如下 :
①、构造图的邻接矩阵 .
从上述分析可得下面定理:
定理 设 为有向图 的邻接矩阵, ,则 中从顶点 走一步到 由归纳假设从 到 长为 的道路条数为 中的 行 列元素.
证：对 用数学归纳法.
时.显然结论成立：假设 时定理成立，考虑 的情形.
记 的 行 列元素为 ， ，因为 ，所以
而从 到 长 的道路为非是从 经 步到某项 ， ，在从 走一步到到 .由归纳假设从 到 长为 的道路总计 条，而从 到 长为1的道路为 条，所以长为k+1的从 经 步到 再走一步到 的道路总数共有 条，故从 经k+1步到 的路径共有 .
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