浙江大学2006年高等代数试题解答

浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题

考试科目：高等代数 科目代号：341

注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！

{}

,(,)0(,)0(,)0(,)0,0(,)

i i i A B B A B A A B rankA

rank A b xA x A b x A B x A b i xA rankA rank A B =⇒=⇔==⇔=∀⇔=⇒===：一、(15分)矩阵具有相同的行数，把的任意一列加到得到矩阵秩不变，证明:把的所有列同时加到上秩也不变.:

法一：取的列向量的极大线性无关组，那么知道的任何列都可以由这些向量线性表（行出，从而得结论。法二秩

列秩矩阵证的秩）

明而

11121212221211121212221.....................

(2)..................n n n n nn n n n x a x a x a x a x a x a x D a x

a x

a x

D a x a x a x a x a x a x D a ++++++=

+++++++++=+二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按的幂次排列的多项式

把行列式的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余 子式之和不变.)证明：

(1111212111

2212

212111212

111

1212111

2212

2121

11

2212

21111

212

1.....................

.................................n n n

n nn n n nn n

n

n n n n

n n nn n a x a x a x a a a a a a x a x

a x a a a a a a a a a x

x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++---=

++---------=+---111

212121112212211,111

212

1............

11...1..................

(),n n nn n n n ij

i j n

n n nn n

ij n n ij ij a a a a a a a a a a a a A x

A x

A a a a a a a A a A A a ≤≤⨯------=+=+---=∑

为中的代数余子式。

2111

2212212111

221221111212111121211112121

222:100 (011)

...

1

1

1

...

1

...1...............

......

............11...011...11............

......

1

n n

n n

n n nn n

n n nn n

n n Lemma a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=---------=1,1

2(895)

....ij i j n

n n nn

P A a a ≤≤∑

依第一列和第二行展开

参考中科大课本习题。

11121111212122221

22

21,1212(2)()1

...1

...0

11...1011 (1)

1 (1)

..................

...............1...1...ij n n ij n n i j n

n n nn n n nn

D D x a x a x a x a a a D a x a x a x a a a a x a x a x a a a ≤≤+++=+++=+++∑

只需说明的代数余子式之和与无关即可。

,得证。

**2*()()()()111det ()()'(det )1det 1det 'n n i ii i A ii A A A n A A A AA A I i ii AA I A A A A A ±===⋅⇒=⇒=⇒=±=⋅三、(15分)证明下面的和等价：矩阵是正交矩阵；

矩阵的行列式为；当时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当－时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.证明：对阶矩阵，设的伴随矩阵为，我们有，；且，也就是矩阵所有元素的代数余子式为其本*det ()()det det 1det 'det det ''n A ii i A A A A A A I A AA AA I A ⇒=±⇒=⋅⇒⋅=⋅⇒=⇒身乘以.

，由矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以，是正交矩阵.

2

2222,()0;0,2,0.()()(),()0

()0;,

00,k k k a b A A x a d x ad bc c d A k A A a

b

I A a d ad bc A c

d

A x a d x ad bc a b A c d A A x ϕλλϕλλλλϕλ⎛⎫=-++-= ⎪

⎝⎭

=>=--=-=

=-++-=---++-=⎛⎫

= ⎪⎝⎭

==四、(15分)(1)设矩阵则矩阵满足方程(2)二阶矩阵满足则：

(1)的特征多项式为:

又故满足方程(2)设矩阵也就是满足方程证明222()0,0,00.

k x a d x ad bc x a d ad bc A x A -++-⇒+=-===由(1)：由(1)，满足方程，也就是

1*1*2

322010232,101,2,223001011522900100,252,2740012252259

00274(9)(225A P B P A P E B P A B I B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

==--∴=-- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫ ⎪-=-=-- ⎪

⎪-⎝⎭

五、(15分)设矩阵求的特征值

和特征向量.

解：123933),9,3;02{|9}20,

110{|3}11V v Bv v F F V v Bv v F λλλ===-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

===-⊕ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪

===- ⎪ ⎪⎝⎭

特征值属于9的特征子空间为：属于3的特征子空间为：，

（特征向量为相应特征子空间的非零向量）。

121212

12121

2

12112,,,,

,.dim()dim dim dim(),1,2.

dim dim ,.

i i i W W W V W W W W W W W W W W W W W W W W W W i W W W W W W W W W W ⊆=+=+=+=+-===⊆⇒=六、(15分)设是向量空间的子空间，证明：

由维数定理而，故又证明