3同步发电机的基本方程
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《电力系统分析理论》课件第6章 同步发电机的基本方程
由于两个绕组的空间位置相 差120度，a相绕组的证磁通 交链到b相绕组就成了负磁 通，因此互感系数为负。
第六章 同步发电机的基本方程
用傅里叶系数表示，取基波：
LabLba[m0 m2co2s(a300)] LbcLcb[m0 m2co2s(a900)] LcaLac[m0 m2co2s(a1500)]
d q
i 0
32cso1iansa
coas(120)
sina(120)
1
coas(120)
sina(120)
1
ia ib ic
2
2
2
或缩记为：
id0 qPaibc
(61)7
第六章 同步发电机的基本方程
利用逆变换，可以得到：
coas coas(120)
sina sina(120)
电流的正方向与磁链的正方向符
a
dy
+
a
+
D
Q
D
ω
fQ
c +D +x
合右手螺旋定则，定子各绕组中 b
D
c
电流的正方向与磁链的正方向符
+z
b
合右手螺旋定则
q
第六章 同步发电机的基本方程
➢ 感应电势：与电流正方向 一致
➢ 定子电流：中性点流向机 v f 端
➢ 定子电压：电流流出端为 正
➢ 转子电压：提供正向电流 的励磁电压是正的
vf
f
Rf
0
0
if
00
D Q
0
0 0
RD 0
0 RQ
iD iQ
v为各绕组端电i为 压各 ；绕组电流；
(61)
第六章 同步发电机的基本方程
用傅里叶系数表示，取基波：
LabLba[m0 m2co2s(a300)] LbcLcb[m0 m2co2s(a900)] LcaLac[m0 m2co2s(a1500)]
d q
i 0
32cso1iansa
coas(120)
sina(120)
1
coas(120)
sina(120)
1
ia ib ic
2
2
2
或缩记为：
id0 qPaibc
(61)7
第六章 同步发电机的基本方程
利用逆变换，可以得到：
coas coas(120)
sina sina(120)
电流的正方向与磁链的正方向符
a
dy
+
a
+
D
Q
D
ω
fQ
c +D +x
合右手螺旋定则，定子各绕组中 b
D
c
电流的正方向与磁链的正方向符
+z
b
合右手螺旋定则
q
第六章 同步发电机的基本方程
➢ 感应电势：与电流正方向 一致
➢ 定子电流：中性点流向机 v f 端
➢ 定子电压：电流流出端为 正
➢ 转子电压：提供正向电流 的励磁电压是正的
vf
f
Rf
0
0
if
00
D Q
0
0 0
RD 0
0 RQ
iD iQ
v为各绕组端电i为 压各 ；绕组电流；
(61)
电力系统分析第七章 同步发电机的基本方程
maD 0 0
0 maQ 0
3 2maf LRS P 1 3 2maD 0
0 0 3 2maQ
0 0 0
16
郑州航空工业管理学院
• Park方程：磁链方程
L0 m0 3 l2 2 d 0 q 0 0 f 3 maf 2 D 3 m 2 aD Q 0
2017/4/16 郑州航空工业管理学院 12
一. 派克变换 4. 物理意义: 将观察者的立场由静止的定子转移 至旋转的转子，原来定子三个静绕组 abc由两个与转子同步旋转的dq绕组代 替，实现交直流变换。 结论：经派克变换后的同步发电机的原 始方程就是一组常系数微分方程。
二. dq0坐标下的同步发电机的 等效结构 d轴方向: d（定子）、f（励磁）、D q轴方向: q（定子）、Q d轴方向相当于一个三卷变； q轴方向相当于一个双卷变； 0轴方向相当于一个单匝线圈；
7
郑州航空工业管理学院
磁链方程可记为：
abc LSS fDQ RS
LSR iabc LRR i fDQ
LSS ：定子绕组间自感、互感系数矩阵
LRR ：转子绕组间自感、互感系数矩阵
LRS , LSR ：定转子绕组间互感系数矩阵
18
郑州航空工业管理学院
四. 电压方程的坐标变换
• Park方程：电压方程
vabc abc Rs v fDQ fDQ 0
vabc abc Rsiabc vdq 0 Pvabc P abc PRsiabc P abc Rsidq 0 dq 0 P P 1 dq 0 Rsidq 0
电机学第五版课件汤蕴璆编著 第6章3同步发电机的电压方程、相量图和等效电路
X
E
0
0
～
E
E
I
U
E
I Ra jI X
s
0
U
a
E E0 E
I
7
E U I R a jX
电机学
隐极同步发电机 相量图的求解方法
d
已知：U, I, φ, Ra, Xs 求：E0, δ
E
0
c
0
U
I Ra
jI X
s
I
为了确定 ψ0，画出相量图，定义一个虚拟电动势： 与E0同相
d
EQ E0 j I
X
d
d
X
q
q
jI
d
d
X
d
X
q
U I Ra j I
X
d
jI
d
X
q
jI
X
d
X
q
E
U
E
Q
0
U I Ra j I q I
：
A
0
d
q
隐
11
极
凸
极
电机学
凸极同步发电机的电枢磁场
ψ0=90°
d轴 Fad Bad1 Bad Baq1 ψ0=0° q轴
3同步发电机的基本方程
基础知识
R ：磁阻
：磁导
F ：磁势
λ 1 R
Fa ωaia
Φ ：气隙磁通 Φ λF
R
G
V I GV
：磁链 Ψ Φ Li
uL
dΨ dt
dΦ
dt
L di dt
第三章同步发电机的基本方程
电枢反应：三相同步电机有两个旋转磁通势，一个是励磁旋转 磁通势（转子旋转磁通势），是机械方式形成的；一个是定子 旋转磁通势（电枢旋转磁通势），是电气方式形成的。气隙总 磁通势是这两者合成的。电枢电流不同，电枢旋转磁通势便会 不同，合成磁通势也不同。因此电枢旋转磁通势对合成旋转磁 通势的影响称为电枢反应。
aq
Fa
I ia
ib
ia I
I cos cos( 120
)
ic I cos( 120 )
d
id I cos( )
iq
ic
id
ib
iq
I
sin(
)
b
定子电流通用向量
c
第三章同步发电机的基本方程
三角恒等式：
cos( ) 2 [cos cos cos( 120 )cos( 120 ) cos( 120 )cos( 120 )]
0
3 d 2 dt 0 0
0
d 0
0 0
q 0
0
0 0
0 d q
0
q
d
0 0 0
变压器电势：
•
d
•
q
发电机电势： d
q
•
vdq0 ( dq0 S ) rsidq0
d
•
d
q
rid
•
q q d riq
第3章 同步发电机的基本方程_2014
Park变换的另一种推导方法
同理可对定子电压和磁链作同样的变换。
✓ 不同频率abc三相对称电流的dq0分量
➢ dq0坐标系下的发电机电势方程
✓ “伪静止”等效绕组
➢ dq0系统的磁链方程和电感系数
➢ 同步电机常用标幺制
✓ 同步电机标幺值方程
➢ 基本方程的拉氏运算式
✓ 同步电机的电抗
➢ 同步电机对称稳态运行：根据同步电机Park方程式，得 到用相量表示的稳态电势方程式，等值电路，相量图； 空载电势Eq和等值隐极机电势EQ的定义；
➢ 基本前提
同步电机基本回路图（理想同步电机假设、假定正方向）
➢ 同步电机原始方程
✓ 电势方程
✓ 磁链方程
✓ 电感系数
Review：磁路欧姆定律
➢ dq0坐标系的同步电机方程
坐标变换和dq0系统 ✓ 采用通用相量表示定子三相电流
✓ 通用相量的dq轴分量
✓ 用dq轴分量表示iabc
✓ Park变换—idq0 ---iabc
设想：将静止的abc三相定子绕组等效为随转子旋转的dd 和qq绕组。等效绕组中的电流id和iq产生的磁势对转子相对 静止，磁通磁路磁阻不变，因此电感系数为常数。
➢ 本节主要结论
✓ 磁链方程式中，同步电机许多电感系数随转子位置角 发生周期性变化，是时变系数；
✓ 将磁链方程代入同步电机电势方程，将得到一组时变 系数微分方程，不便于求解；
✓ 磁链方程式出现变系数的原因：（1）转子的旋转使 定转子绕组间产生相对运动，致使定转子绕组间的互 感系数发生相应的周期性变化；（2）转子在磁路上 只是分别对d轴和q轴对称，而不是随意对称，由此导 致定子各绕组的自感和互感发生周期性变化；
定子绕组自感系数—以a相为例
电力系统分析第二篇 同步发电机的基本方程
同步发电机的基本方程
主讲教师：徐 箭 所在单位：电气工程学院
内容提要 本章将根据理想同步发电机内部的各电
磁量的关系，建立同步发电机的较为精确而 完整的数学模型，为电力系统的暂态分析准 备必要的基础知识。
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
3－1 3－2 3－3 3－6
基本前提 同步发电机的原始方程 dq0坐标系的同步发电机方程 同步电机的对称稳态运行
LfD=LDf=常数； 纵轴和横轴阻尼绕组之间的互感系数为零（因为两
绕组相互垂直），即LfQ=LQf= LDQ=LQD=0 。
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
⒋ 定子绕组和转子绕组间的互感系数
无论是凸极机还是隐极机，这些互感系数都与定子绕
组和转子绕组的相对位置有关。下面以励磁绕组和定子a
=
w2
⎡⎢⎣λmσ
+
1 4
(λad
+ λaq )⎤⎥⎦⎬⎫⎪⎪
( ) m2
=
1 2
w2
λad −λaq
⎪ ⎪⎭
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
Lab = Lba = −⎡⎣m0 + m2 cos2(α +30°)⎤⎦
定子各相绕组间的互感系数也是转子位置角的周期 函数，周期为π；
变化部分的幅值与自感系数的相等，即m2=l2； m0恒大于m2，因此定子绕组间的互感系数恒为负
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
3－1 基本前提 一、理想同步电机 二、假定正方向的选取
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
一、理想同步电机
不计磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，即假定电机的 导磁系数为常数；
主讲教师：徐 箭 所在单位：电气工程学院
内容提要 本章将根据理想同步发电机内部的各电
磁量的关系，建立同步发电机的较为精确而 完整的数学模型，为电力系统的暂态分析准 备必要的基础知识。
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
3－1 3－2 3－3 3－6
基本前提 同步发电机的原始方程 dq0坐标系的同步发电机方程 同步电机的对称稳态运行
LfD=LDf=常数； 纵轴和横轴阻尼绕组之间的互感系数为零（因为两
绕组相互垂直），即LfQ=LQf= LDQ=LQD=0 。
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
⒋ 定子绕组和转子绕组间的互感系数
无论是凸极机还是隐极机，这些互感系数都与定子绕
组和转子绕组的相对位置有关。下面以励磁绕组和定子a
=
w2
⎡⎢⎣λmσ
+
1 4
(λad
+ λaq )⎤⎥⎦⎬⎫⎪⎪
( ) m2
=
1 2
w2
λad −λaq
⎪ ⎪⎭
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
Lab = Lba = −⎡⎣m0 + m2 cos2(α +30°)⎤⎦
定子各相绕组间的互感系数也是转子位置角的周期 函数，周期为π；
变化部分的幅值与自感系数的相等，即m2=l2； m0恒大于m2，因此定子绕组间的互感系数恒为负
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
3－1 基本前提 一、理想同步电机 二、假定正方向的选取
《电力系统分析》 主讲人：电气工程学院 徐箭
一、理想同步电机
不计磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，即假定电机的 导磁系数为常数；
同步发电机的基本方程
3.1 基本前提
转子各绕组电流 的正方向
转子旋转的正方 向：逆时针
各相绕组轴线的 正方向
各绕组轴线正方向就是该相绕组磁链的正方向。
对本绕组产生正向磁链的电流为该绕组的正电流，定子电流正方向为末进首 出各相感应电动势的正方向与电流相同。
3.1 基本前提
三、参考方向的选取
1.定子电量参考方向的选取
ia
绕组a的自感系数
绕组a与绕 组b之间的 互感系数
Ψa
Ψb
Laa Lba
Lab Lbb
Lac Laf Lbc Lbf
LaD LbD
LaQ LbQ
ia ib
Ψc
Lca Lcb Lcc Lcf LcD LcQ
ic
2
Ψ
f
Lfa
Lfb
Lfc Lff
LfD
LfQifFra bibliotekΨD 同步发电机的基本方程
第3章 同步发电机的基本方程
3.1 基本前提 3.2 同步发电机的原始方程 3.3 d、q、0坐标系的同步电机方程 3.6 同步电机的对称稳态运行
3.1 基本前提
符
合
一、理想同步电机
以
上
几点假设：
假
设
1.磁路：忽略饱和、磁滞、涡流等的影响，认为导 条
磁系数为常数。叠加原理。
件
wa wb w
定子a、b相间的互感系数为：
Lab
Lba
ba ia
w2[m
1 4
(ad
aq
)
1 2
(ad
aq ) cos2(
30 )]
[m0 m2cos（2 30）]
m0
w 2[m
同步发电机的基本方程
VS
详细描述
同步发电机的电压方程是描述发电机端电 压与内部电势、电流和阻抗之间关系的数 学表达式。这个方程通常采用三相坐标系 或同步坐标系来表示。在三相坐标系中， 电压方程可以表示为三个一阶微分方程， 而在同步坐标系中，电压方程可以简化为 一个二阶微分方程。
同步发电机的电流方程
总结词
描述同步发电机内部电流与电压、磁链和阻 抗之间的关系。
工业领域
在工业领域中，同步发电机可用于驱动各种电动 机、压缩机、泵等设备。
交通领域
在交通领域中，同步发电机可用于驱动列车、地 铁、船舶和飞机等交通工具。
02
同步发电机的基本原理
同步发电机的电磁原理
总结词
描述同步发电机如何通过磁场和电流相互作用产生电力的过程。
详细描述
同步发电机的基本原理是利用磁场和电流的相互作用产生电能。在发电机中，磁场由励磁系统产生，而转子上的 导线则会在旋转过程中切割磁力线，从而产生感应电动势。这个电动势的大小与磁场强度、导线切割磁力线的速 度以及导线与磁场的相对角度有关。
详细描述
功率控制的主要目标是确保发电机输出的有功功率和 无功功率满足电网的需求，同时保持电网的稳定运行 。为实现这一目标，功率控制器需要监测电网的有功 功率和无功功率需求，以及发电机的输出功率，通过 调节发电机的励磁电流和气门开度等参数，实现有功 功率和无功功率的解耦控制。常用的功率控制策略包 括恒功率控制、恒压控制和下垂控制等。
详细描述
同步发电机的磁链方程是描述发电机内部磁链与电压、电流和极对数之间关系的数学表 达式。这个方程通常采用三相坐标系或同步坐标系来表示。在三相坐标系中，磁链方程 可以表示为三个一阶微分方程，而在同步坐标系中，磁链方程可以简化为一个二阶微分
第二章2.4同步发电机及其基本方程
派克变换及d,q,0坐标系统
原始方程中的定子绕组方程取空间静止不 动，转子各绕组电量取随转子旋转的d.q 两相坐标系统列写。 Park变换是一种坐标变换，它将静止的定 子abc绕组变换到旋转的dq0坐标系统，变 换后定子dd、qq绕组中的等效磁势相对与 转子静止，磁路磁阻不变，相应的电感系 数也就变为常数。
LSR iabc LRR i fDQ
ψ dq 0 P 0 ψ abc P 0 LSS ψ = ψ = 0 U L RS fDQ 0 U fDQ P 0 LSS = 0 U LRS PLSS P 1 = LRS P 1
1
2.4同步发电机及其基本方程
本节知识点：
认识同步发电机的结构 同步电机的电势方程和磁链方程 同步发电机的基本方程 稳态运行模型及相关参数 暂态运行模型及相关参数 同步发电机的序参数
同步发电机的分类
1 隐极机 定子； 转子可以认为各向磁阻相同； 高速旋转的汽轮机。 2 凸轮机 定子同隐极机； 转子磁阻不再随意对称; 水轮机。
M af = maf cos α M bf = mbf cos( α 120 ) M cf = mcf cos( α + 120 )
定子和转子各相绕阻间的互感系数
定子绕组与直轴阻尼绕组间的互感系数
M aD = maD cos α M bD = mbD cos( α 120 ) M cD = mcD cos( α + 120 )
电磁基础
磁动势F = NI F l 磁通φ = ，其中Rm = 磁链ψ = Nφ = NI Rm s F 串联回路φ = Rm1 + Rm 2 E = j 4.44 fNφ
理想同步发电机
1、定子abc三相绕组结构完全相同，互相对称， 空间相隔120度电角度。 2、电机转子在结构上对于d轴与q轴完全对称。 3、定子、转子铁心同轴且表面光滑（忽略定、 转子上的齿槽），忽略齿谐波。 4、定子、转子绕组电流产生的磁动势在气隙中 是正弦分布的，忽略高次谐波。 5、磁路是线性的，无饱和，无磁滞和涡流损耗， 认为电机铁心部分导磁系数为常数，可应用迭 加原理。
第3章同步发电机的基本方程
a
f
f
x
ad
d a
a
ad
d
f a f x
maf wwf ad
f a f x d
ad
a d
(4)定子绕组和转子各绕组间的互感系数—abc--D
a
ad
a
D
D
x
aD wwD iD ad cos
L L m cos Da aD aD LbD LDb maD cos 120 L L m cos 120 Dc aD cD
绕组轴线正向示意图
3-3 dq0坐标系的同步电机方程
1. 坐标变换和 dq0坐标系 2. dq0坐标系下的电势方程
3. dq0坐标系下的磁链方程和电感系数
4. 同步电机标幺值基本方程
1. 坐标变换与dq0坐标系
（1）采用通用相量表示定子三相电流
F
a
I
定子三相对称电流可以用以同 步转速旋转的通用相量I表示；
if rf uf iD rD ec eD iQ rQ eQ rc ua ub uc ic ef ra ea eb rb ib ia
i
abc rS u abc ψ u ψ fDQ fDQ 0
0 i abc i rR fDQ
eQ
i
e
3-2 同步电机的原始方程式
1. 电势方程
ua u b uc u f 0 0 a r b 0 c 0 f D Q 0 0 r 0 0 r 0 rf 0 0 0 0 rD 0 ia ib ic 0 i f 0 iD rQ iQ
同步发电机的基本方程
• 对通信线路的干扰ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ƒ2
U
U
o 电力系统暂态分析
2 3
8.1短路的基本概念
ƒ1
1
t
短路的后果举例 8.1短路的基本概念
2003年8月14日－美国大停电 • 美国东部，时间2003年8月14日16:11开始（北京时间8
月15日晨4:11），美国东北部和加拿大东部联合电网发 生了大面积停电事故 纽约: 交通瘫痪、公路堵塞、人困在电梯和隧道里、冒酷热 步行回家 • 停电影响 美国： 俄亥俄州、密歇根州、纽约州、
IdIq0,
q0,if(0)
Uf(0) rf
(0 )d (0 )f( d 0 ) x aid f(0 )
电力系统暂态分析
ψ
ψa
ψb
ψc
Ψa(0+) 0
8.3.1 无阻尼绕组同步发电机突然三相短路的分析 α
α0
定子各绕组磁链
a(0) (0)cos
b(0) (0)cos(120)0
c(0) (0)cos(120)0
电力系统暂态分析
3、短路功率
8.2.3 短路冲击电流及短路功率的计算
短路功率也称短路容量，等于短路电流有效值与短 路点处的正常工作电压（一般用平均额定压)的乘 积
t时刻的短路功率:
St 3UavIt
用标么值表示
S t3 U aIv t 3 U B IBIt
在短路电流的实用计算中，常用短路周期分量电 流的初始有效值来计算短路功率。
cos( 0
t
0 )e Ta
u(0) 2
xq xd xd xq
cos(2t
0
t
0 )e Ta
if E x q a (0)dxdx ax d d u x q(d 0)e T td u x (d 0)e T t c a o ts0()
同步发电机的基本方程
二、假定正向的选取
3-2 同步发电机的原始方程
一、电势方程和磁链方程
a r ϕ va v ϕb 0 b ϕ c 0 vc − − = f 0 ϕ −vf ϕ 0 D 0 Q 0 0 ϕ
f
maf = ww f λad
3-3 d-q-0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换和d-q-0系统
许多自感系数和互感系数是时间的周期函数：转子旋转导致自感磁 通和互感磁通的磁通路径发生周期性的变化 由于定子纵轴和横轴磁通路径对应的磁导是常数，因此在分析定子 磁势对转子绕组影响的时候，如果能将定子三相绕组的合成磁势分 解为纵轴分量和横轴分量（即d轴上的虚拟绕组dd和q轴上虚拟绕组 qq的磁势），则能避免出现周期性变化电感系数。 （1）定子abc绕组电流三相对称时
cosα cos(α - 1200 ) cos(α + 1200 ) i d i = 2 sinα sin(α - 1200 ) sin(α + 1200 ) q 3 12 12 12 i0
sinα 1 i d i a cosα o o i b = cos(α - 120 ) sin(α - 120 ) 1 i q ic cos(α + 120o ) sin(α + 120o ) 1 i 0
第三章 同步发电机的基本方程
3-1 基本前提 3-2 同步发电机的原始方程 3-3 d、q、0坐标系的同步电机方程 3-6 同步电机的对称稳态运行
3-1 基本前提
一、理想同步电机
忽略磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，假设电机铁心部分的导磁系 数为常数； 电机转子在结构上对于纵轴和横轴分别对称； 定子a、b、c三相绕组的空间位置互差120电角度，在结构上完全相 同，它们均在气隙中产生正弦分布的磁动势； 电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感应 的空载电势是时间的正弦函数； 定子和转子的槽和通风沟不影响定子和转子的电感，即认为电机的 定子和转子具有光滑的表面； 定子：a、b、c三个绕组 转子q轴：阻尼绕组Q 转子d轴：励磁绕组f和阻尼绕组D
第3章 同步发电机的基本方程
场有了相对运动，就会在这个鼠笼里产生感应电流，形成附加磁 场（起阻尼作用）。
第三章 同步发电机的基本方程
简化前提
一、理想同步电机的简化假设
为了方便分析，常采用以下假设（理想同步机）：
1、忽略磁路饱和、磁滞、涡流等影响，假设电机铁心部分导磁系数为常数。 2、电机转子在结构上对于纵轴和横轴分别对称。 3、定子的abc三相绕组空间位置互差120度电角度，在结构上完全对称。 4、电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的词董事在定子绕组所感应的空 载电动势是时间的正弦函数。 5、定子和转子的槽和通风沟不影响转子和定子的电感，即认为定子和转子 有光滑的表面。
(3)机座和端盖等。 (1)转子铁心：
由整块铸（锻）钢制成。 2. 转子 (2)励磁绕组：
工作时施加直流励磁。 (3)阻尼绕组和转轴等。
阻尼绕组
5第.2 三三章相同同步步电机发的电基机本结的构基本方程
二、励磁方式
1. 直流励磁机励磁
励磁绕组由小型直流发电机供电。
2. 静止整流器励磁
交流励磁机→整流→直流电 电刷
第三章 同步发电机的基本方程
第三节 d、q、0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换 定子a,b,c三相绕组对转子的影响可考虑为其对转子
d,q轴的影响之效应和，为此我们引入一种数学变换，即： 著名的派克变换。从数学角度考虑，派克变换是一种线性 变换；从物理意义上理解，它将观察者的角度从静止的定 子绕组转移到随转子一同旋转的转子上，从而使得定子绕 组自、互感，定、转子绕组间互感变成常数，大大简化了 同步电机的原始方程。
第三章 同步发电机的基本方程
磁学有关公式
B d
dA
F
Rm
F iw
同步发电机的基本方程
b
α＝240° 定子绕组的互感
三、电势方程和磁链方程（续8）
（2）定子绕组间的互感
Lab Lba m0 m2 cos 2 30 Lbc Lcb m0 m2 cos 2 90 L L m m cos 2 150 ac 0 2 ca
三、电势方程和磁链方程（续9）
（3）转子各绕组的自感系数和互感系数
由于定子的内缘呈圆柱形，转子绕组电流产生的磁通路 径的磁阻不变，因此其自感系数为常数，可分别记为Lf、 LD、LQ。 同理，转子各绕组间的互感系数也为常数。两纵轴绕组 间的互感系数LfD＝LDf＝常数。转子纵轴与直轴垂直，互感 系数为0，即 LfQ＝LQf＝LDQ＝LQD＝0。
二、dq0坐标系下的同步机基本方程（续1）
其中
m af 0 0 m aD 0 0 0 m aQ 0
3 2 m af 3 m aD 2 0 0 0 3 m aQ 2 0 0 0
PLSR
LRS P 1
PLSS P 1
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M SR iabc i LRR fDQ
M aD M bD M cD M fD LDD M QD M aQ ia i M bQ b M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
x
d
a ×
·
x
α＝0
α＝90
a
a
三、电势方程和磁链方程（续4）
同步电机方程
2）磁链方程
Ld
0
0
maf
maD
0
d q 0 f D Q
3
2 3
2
0 0 m fa mDa
Lq 0 0 0
0 L0 0 0
0 0 Lf LDf
0 0 L fD LD
maQ 0 0 0
id iq i0 i f iD iQ
3
第三章 同步发电机的基本方程
第三节 d、q、0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换 定子a,b,c三相绕组对转子的影响可考虑为其对转子
d,q轴的影响之效应和，为此我们引入一种数学变换，即： 著名的派克变换。从数学角度考虑，派克变换是一种线性 变换；从物理意义上理解，它将观察者的角度从静止的定 子绕组转移到随转子一同旋转的转子上，从而使得定子绕 组自、互感，定、转子绕组间互感变成常数，大大简化了 同步电机的原始方程。
4）由于发电机一般带感性负载，规定 Vd，Id， Ed的实用 正向取为d轴反方向。
第三章 同步发电机的基本方程
q轴 Eq ,Vq , iq , iQ , q , Q
d轴
i f , iD , f , D , d
Ed ,Vd , id
各变量实用正向的选取
第三章 同步发电机的基本方程
采取实用正向时，同步电机电势方程和磁链方程：
0
2 mQa
0
0
0
LQ
第三章 同步发电机的基本方程
三、标么制下同步电机的磁链方程
由于定子三相合成磁势的幅值为一相磁势的3/2倍， 上述定子对转子的互感中出现了系数3/2，恰当选择标么 制系统的基值，磁链方程变为：
d
q
Ld
0
0 Lq
0 0
第3章 同步发电机的基本方程
从数学角度考虑，派克变换是一种线性变换；从物理意义上 理解，它将观察者的角度从静止的定子绕组转移到随转子一 同旋转的转子上，从而使得定子绕组自、互感，定、转子绕 组间互感变成常数，大大简化了同步电机的原始方程。 同步电机稳态对称运行时， 电枢磁势幅值不变，转速恒 定，对于转子相对静止。它 可以用一个以同步转速旋转 & 的矢量 Fa来表示。如果定子 电流用一个同步旋转的通用 & & 相量 I 表示,那么,相量 Fa与 & 相量 I 在任何时刻都同相位， 而且在数值上成比例，如图 所示。
式中：& = dψ / dt ψ
& v abc ψ abc rs v = − ψ − fDQ & fDQ 0 0 iabc rR i fDQ
ψ a ψ b ψ c L ψ f ψ D ψ Q
Laa = l 0 + l 2 cos 2α
Lbb = l 0 + l 2 cos 2(α − 120 0 ) Lcc = l 0 + l 2 cos 2(α + 120 0 )
由此可见，定子绕组的自感系数是转子位置角α的 周期函数，其变化周期为π。
2. 定子绕组间的互感 以a相与b相之间的互感系数Lab为例
i abc = P −1 i dq 0
由此可见，当三相电流不平衡时，每相电流中都含有相同的零 轴分量i0。由于定子三相绕组完全对称，在空间互相位移 120°电角度，三相零轴电流在气隙中的合成磁势为零，故不 产生与转子绕组相交链的磁通。它只产生与定子绕组交链的磁 通，其值与转子的位置无关。
二、d、q、0系统的电势方程
第三节
d、q、0坐标系的同步电机方程
第2章同步发电机的基本方程
0 0 0
0
于是得到d、q、0轴分量表示的电势方程式
v dq0 (ψdq0 S ) RS idq0
vd d q Rid
vq
q
d
Riq
v0 0 Ri0
3．d、q、0系统的磁链方程和电感系数
左乘以P
ψabc LSS iabc LSR i fDQ
ψfDQ LRS iabc LRR i fDQ
q
d
ad f
dd
fd
Xi dd
E q
X
d
i d
v X i
d
q
式中，Eq fd X ad i f
v d
d
q
Ri d
v q
q
d
Ri q
d
X i dd
Xi ad f
X ad iD
X i X i
Q X aqiq X QiQ
vd d q Rid
vq
q
d
Riq
v0 0 Ri0 v f f R f i f
0 D RDiD 0 Q RQiQ
d Ld id maf i f maDiD
q Lqiq maQiQ
0 L0i0
120 )
• 通过这种变换，将三相电流ia、ib、ic变换成了
等效的两相电流id和iq。
•可以设想：这两个电流是定子的两个等效绕组dd 和qq中的电流。这组等效的定子绕组dd和qq不像实 际的a、b、c三相绕组那样在空间静止不动，而是 随着转子一起旋转。等效绕组中的电流产生的磁势 对转子相对静止，它所遇到的磁路磁阻恒定不变， 相应的电感系数也就变为常数了。
iq
i0
2 3
cos
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a
dy
+ Q
a
+
D
cq
D
ω
f D
+z
+D +x Q
c b
二、参考正方向的选取
a
dy
+ Q
a
+
D
cq
➢ d轴超前q轴90度，绕组磁链正 向与绕组轴线的正方向相同
➢ 电流空间正向：转子各绕组中 电流的正方向与磁链的正方向 符合右手螺旋定则，定子各绕 组中电流的正方向与磁链的正 方向符合右手螺旋定则
➢ 感应电势：与电流正方向一致 u f
气隙大，电感小
2.定子各绕组间的互感
互感，由环绕（链匝）两相绕组的磁通所经磁路作分析
取基波项，得
M a b M b a m 0 m 2 c o s 2 ( 3 0 ) M b c M c b m 0 m 2 c o s 2 ( 9 0 ) M c a M a c m 0 m 2 c o s 2 ( 1 5 0 )
一、电势方程和磁链方程
➢ 定子
u a e a iaR d d ta iaR a a iaR a
ub bibRb uc cicRc
uf
if R f
ef
L ff
L aa
ea
R a R b L bb
a ib
b
正电流产生正磁链 e d
dt
iD R D
L ac
Rc
ic c
➢ 转子
励磁绕组
uf f ifRf
q轴阻尼绕组和励磁绕组、d轴阻尼绕组正交，互感系数为零 M fQ M Q f M D Q M Q D 0
4.定子绕组和转子绕组间的互感系数
无论是凸极机还是隐极机，这些互感系数都与定子绕 组和转子绕组的相对位置有关。
现以励磁绕组与定子a相绕组间的互感为例
a
a
a a
d
d
d
0
互感最大
变化周期为2π
MDQ
iD
LQQ iQ
分块矩阵形式
afD bcQLLR SSS
LSRiabc LRRifDQ
已知电压可求电流,但须要求解变系数的微分方程
二、电感系数
电感反比于磁阻，磁阻正比于气隙宽度,气隙宽度小， 电感系数大； 气隙宽度大，电感系数小。
1.定子各绕组的自感 自感，由环绕本绕组的磁通所经的磁路分析。
d d
d d
3.转子上各绕组的自感系数和互感系数
由于定子的内缘呈圆柱形，不管转子位置如何，凸极
机和隐极机一样，对于转子绕组电流产生的磁通，其磁路
的磁阻总是不变的，因此转子各绕组的自感系数是常数，
令
L fL ff,L DL D D ,L Q = L Q Q
励磁绕组和d轴阻尼绕组的互感系数是常数 M fDM D f M f
磁链方程
a L a a i a M a b i b M a c i c M a f i f M a D i D M a Q i Q b M b a i a L b b i b M b c i c M b f i f M b D i D M b Q i Q c M c a i a M c b i b L c c i c M c f i f M c D i D M c Q i Q f M f a i a M f b i b M f c i c L f f i f M f D i D M f Q i Q
1.理想同步机的绕组
同步发电机有6个有磁耦合关系的线圈。 ➢ 在定子上有静止的三个相绕组a、b、c ➢ 转子方面有一个励磁绕组f ，
等值直轴阻尼绕组D和等值交轴阻尼绕组Q 凸极机的闭合短路环或隐极机转子铁心中的涡流为阻尼绕组
2.理想同步机的假设条件
➢ 线性化
忽略磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，假设电 机铁心部分的导磁系数为常数
第三章 同步发电机的基本方程
a
同步发电机的运行特性对电力系统 的运行状态起决定性的影响。因此需要 建立同步电机的比较精确而完整的数学
dy
+ Q
a
+
D
cq
模型，分析同步发电机内部的各电磁量 的关系，为电力系统的暂态研究准备必 a
要的基础知识。
3-1基本前提
b
一、理想同步机
D
ω
f D
+z
+D +x Q
c b
D绕组 uD0 DiD R D
LDD iQ R Q
LQQ
ua ub uc
Q绕组 uQ0 QiQRQ
矩阵形式的电压方程
ua a R
ub
b
R
ia
ibHale Waihona Puke uc ufcf
R Rf
ic if
0
D
RD
iD
0 Q
RQ iQ
分块形式
u uafD bcQ faD bcQRS RRiifaD bcQ
b
Mba
cf
Mca Mfa
D
MDa
Q MQa
Mab Lbb Mcb Mfb MDb MQc
Mac Mbc Lcc Mfc MDc MQc
Maf Mbf Mcf Lff MDf MQf
MaD MbD McD MfD LDD MQD
MaQ ia
MbQ
ib
McQ MfQ
ic if
➢ 结构对称
a
✓ 电机转子在结构上对于纵轴和横轴分别对称
✓ 电机定子的a、b、c三相绕组的空间位置互
差120°在结构上完全相同
b
➢ 适当简化
✓ 定子和转子的槽和通风沟不影响定子和转子的 电感，即认为电机的定子和转子具有光滑的表 面
✓ 电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动 势在定子绕组所感应的空载电势是时间的正弦 函数
a
a
a a
d
d
d
d
0
气隙小，电感大 变化周期为π
90
180
气隙大，电感小 气隙小，电感大
L a a l0 l2 c o s 2 l4 c o s 4
略去4次及以上高次项
Laa l0 l2 cos2 Lbb l0 l2 cos2( 120) Lcc l0 l2 cos2( 120)
270
➢ 定子电流：中性点流向机端
➢ 定子电压：电流流出端为正
➢ 转子电压：提供正向电流的励 磁电压是正的
D
aω
f
+D +x
b
Q
D
c
+z
b
if R f
L aa L ff
iD R D
L cc
LDD iQ R Q
ea
R a R b L bb Rc
ua ub
ia a
ib b
ic c uc
LQQ
3-2 同步发电机的原始方程
D M D a i a M D b i b M D c i c M D f i f L D D i D M D Q i Q
Q M Q a i a M Q b i b M Q c i c M Q f i f M Q D i D L Q Q i Q
磁链方程的矩阵形式
a Laa