9.4向量应用-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
新教材苏教版必修第二册 第9章 9.2 9.2.2 向量的数乘 课件(51张)
释 疑
(1)|λa|＝__|λ_||_a_| _____；
层 作 业
难
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6
·
情
课
景
(2)若 a≠0，则当 λ＞0 时，λa 与 a 方向相__同__；当 λ＜0 时，λa 与 堂
导
小
学
结
探 a 方向_相_反__；当 a＝0 时，λa＝0_；当 λ＝0 时，λa＝_0_.
·
提
新
素
知
实数 λ 与向量 a 相乘的运算，叫作_向__量__的_数__乘___．
作
课
探 吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走 3 秒钟的位移对应的向 时
究
分
层
释 量又怎样表示？是－3a 吗？
作
疑
业
难
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5
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
1．向量的数乘定义
素
知
养
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是_一__个_向__量__，记作 λa，它的长度
合
作
课
探 和方向规定如下：
时
究
分
合 作
(3)对于非零向量 a，向量－6a 的模是向量 3a 的模的 2 倍． 课
探 究
时
( )分
层
释
作
疑 难
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
业
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11
·
情
课
景 导
2．5×(－4a)＝________.
堂 小
学
结
·
苏教版 高中数学必修第二册 向量应用 课件2
再见
3．在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，O→A＝(－3，1)，O→B＝(－ 2，k)，则实数 k＝________.
4 [如图所示，由于O→A＝(－3，1)，O→B＝(－2，k)，所以A→B＝O→B －O→A＝(1，k－1)．在矩形中，由O→A⊥A→B得O→A·A→B＝0，所以(－3， 1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得 k＝4.
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位 移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分 解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
知识小结 1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面 向量在物理中的应用． 2．要掌握平面向量的应用 (1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题； (2)平面向量在物理中的应用． (3)平面向量的综合应用．
牛刀小试
1．若 O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|O→B －O→C |＝|O→B ＋O→C －2O→A |，则 △ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【解析】选 B.因为|O→B －O→C |＝|C→B |＝|A→B －A→C |，|O→B ＋O→C －2O→A |＝|A→B ＋ A→C |，所以|A→B －A→C |＝|A→B ＋A→C |，则A→B ·A→C ＝0，所以∠BAC＝90°， 即△ ABC 是直角三角形．
]
4．如图，正方形 ABCD 的边长为 a，E，F 分别为 AB，BC 的中点，AF 与 DE 交于 点 M.求∠EMF.
向量坐标表示与运算高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册
是
答案 (2,-6)
,
(0,5)
,
(-4,0)
.
二、向量线性运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:
向量线
文字描述
符号表示
性运算
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应
加法
a+b= (x1+x2,y1+y2)
坐标的和
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应
减法
a-b= (x1-x2,y1-y2)
1 = 20, 2 = 2,
∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2).
方法二 设点 O 为坐标原点,则由=3, =2,可得 −
=3( − ), − =2( − ),
∴=3-2 , =2 − ,
∴=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
∴=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6).
设 M(x1,y1),N(x2,y2),
则=(x1+3,y1+4)=(3,24),=(x2+3,y2+4)=(12,6),
1 + 3 = 3, 2 + 3 = 12,
1 = 0, 2 = 9,
∴
解得
1 + 4 = 24, 2 + 4 = 6,
变式训练 1 已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,||=4√3,∠xOA=150°.
求向量的坐标.
解 设点 A(x,y),则 x=4√3cos 150°=-6,y=4√3sin 150°=2√3,
即 A(-6,2√3),=(-6,2√3).
探究二
向量线性运算的坐标表示
2019-2020学年苏教版必修4 2.5 向量的应用 课件(47张)
第2章 平面向量
向量在解析几何中的应用 已知 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)若使四边形 ABCD 是矩形，试确定点 C 的坐标，并求该矩 形的两对角线所成的锐角的余弦值．
栏目 导引
第2章 平面向量
【解】 (1)证明：因为 A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以A→B ＝(1，1)，A→D＝(－3，3)， 所以A→B·A→D＝1×(－3)＋1×3＝0，
解：(1)由已知可设A→B＝D→C＝a，B→E＝F→D＝b，故A→E＝A→B＋B→E ＝a＋b，F→C＝F→D＋D→C＝b＋a.又 a＋b＝b＋a，则A→E＝F→C， 即 AE，FC 平行且相等，故四边形 AECF 是平行四边形．故 填平行四边形． (2)证明：设D→C＝λA→B(λ＞0)， 因为P→Q＝A→Q－A→P＝A→B＋B→Q－A→P ＝A→B＋12(B→D－A→C)
而A→H＝O→H－O→A＝h－a＝b＋c， C→B＝O→B－O→C＝b－c， 所以A→H·C→B＝(b＋c)·(b－c)＝|b|2－|c|2＝0. 所以A→H⊥C→B.
栏目 导引
第2章 平面向量
(3)在△ABC 中，O 是外心，
∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，所以∠BOC＝120°，∠AOC
＝90°.
栏目 导引
第2章 平面向量
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和 风向标，测得风向为东偏南 30°，风速为 4 m/s，这时气象台 报告实际风速为 2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．
栏目 导引
第2章 平面向量
【解】 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度 为 v 车地，风对车的速度为 v 风车，风对地的速度为 v 风地．风对地 的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即 v 风地＝v 风车＋v ， 车地 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量 v 风地的有向线段A→D是平行四边形 ACDB 的对角线．
苏教版高中数学必修四向量的应用课件
名师点睛 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在平面几何中的具体应用 向量方法可应用于证明有关直线平行、垂直、线段相等及点 共线等问题，其主要应用有： (1)要证明两线段相等，如 AB＝CD，则可转化为证明：A→B2 ＝C→D2，或A→B＝C→D； (2)要证明两线段平行，如 AB∥CD，则只要证明：存在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D成立； (3)要证明两线段垂直，如 AB⊥CD，则只要证明：数量积A→B·C→D ＝0；
解 设 A、B 所受的力分别为 f1、f2，10 N 的重力用 f 表示， 则 f1＋f2＝f，以重力的作用点 C 为 f1、f2、f 的始点，作右图，使C→E ＝f1，C→F＝f2，C→G＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180° －120°＝60°.
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3. |C→F|＝|C→G|·cos 60°＝10×12＝5. 所以，A 处所受的力为 5 3 N，B 处所受的力为 5 N.
题型一 向量在物理中的应用 【例 1】 如图所示，两根绳子把重 1 kg 的物体 W 吊在水平杆 子 AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求 A 和 B 处所受力的 大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．
[思路探索] 属于力的合成与分解问题，即借助向量的平行四 边形法则处理．
证明 D→E＝A→E－A→D＝12A→C－12A→B＝12(A→C－A→B)＝12B→C，∴DE 綉12BC.
想一想：若向量A→B与C→D共线，能说明直线 AB∥CD 吗？ 提示 不能直接得结论 AB∥CD，若向量A→B与C→D共线，则直 线 AB 与 CD 可能重合．即 A、B、C、D 四点共线，也可能平行．需 结合图形说明直线 AB 与 CD 不重合或无交点，则得 AB∥CD.
9.3.1平面向量基本定理-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景 导
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
堂 小
学
结
探
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底． ( ) 提
·
新 知
(2)0 能与另外一个向量 a 构成基底．
素
( )养
合
(3)平面向量的基底不是唯一的．
()
作
课
探 究
时
[解析] 平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2) 分
探
养逻辑推理与
课 时
究 释
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的 数学运算素
分 层 作
疑
难 综合问题．(难点)
养.
业
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3
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导 学
火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的
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·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
A [平面 α 内任一向量都可写成 e1 与 e2 的线性组合形式，而不 提
高中数学苏教版必修二《平面向量》课件
4
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处3编.相辑等母向版文量本:长样度式相等且方向相同的向量.
• 第二级
• 第三级
向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两
• 向第四量级 a 与 b 相等,记为 a b . • 第五级
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
• 单击此（处c）编有辑母限版个文向本量样a式1，a2，...an相加, 可以从点O出发, • 第•二第逐级三一级 作向量OA1 a1 , A1 A2 a2 , ...An1 An an ,则向量 O•A第n四•为级第这五级些向量的和,即 a1+a2 +...+an =OA1 A1 A2 ... An1 An (向量加法的多边形法则) 当An和O重合时(即上述折线OA1 A2 ...An 成封闭折线时), 则和向量为零向量. 注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若 干个向量和的情势,是解决向量问题的关键.
21
单击此处编辑母版标题样式
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四设级 两个非零向量 a 与 b 不共线， • (第1五)若级 A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)． 求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
22
单击此处编辑母版标题样式
• 第五级
使b＝λa.
• 向量的加、减、数乘运算 统称为向量的线性运算．
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单击此处编辑母版标题样式
• 单击此四处．编辑运母算版律文本样式
• 第二级
• 第•••三aa第级、＋四• 级第bb、＝五级c为任意；向(量a＋，bλ)＋、cu＝、u1、u2为任意实；数
高一数学苏教版2019必修第二册同步课件931+平面向量基本定理
4
量的运算法则，我们很容易作出平面内一个新的向量 + 。
a
探究新知
如图，在平面内任取一点O，作 = 1 ， = 2 ， = 。过点C
作平行于OB的直线，交直线OA于点M；过点C作平行于OA的直线，
交直线OB于点N，则有且只有一对实数1 ，2 使得 = 1 1 ，
中点，所以 = = − ，
因为点E是BD的中点，
所以 =
+ =
+
=
−
+
− =
−
.
重点探究
例2：如图，∆中，点D是AC的中点，点E是BD的中点
，设 = ， = ；
（2）若点F在AC上，且 =
+ ，求AF:CF
【解析】（2）设 = ，
所以 = + = + = + − = − + .
又 = + ，所以 = ，
所以 = ，
所以AF:CF=4:1.
重点探究
例3：已知 与 不共线， = + ， = +
4．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 CD 和 BC 边上的动点，连接 EF ，交 AC 于点 G ，若 AC AE AF ，其中， , R
新教材苏教版高中数学必修第二册课件平面向量基本定理
【例 3】 如图，在△ABC 中，点 M 是 BC 的中点，N 在 AC 上 且 AN＝2NC，AM 与 BN 交于点 P，求 AP∶PM 的值．
[思路点拨] 选取基底A→B，A→C→表示A→M，B→N→设A→P＝λA→M，B→P ＝μB→N→由A→B＝A→P＋P→B求 λ，μ 的值．
[解] 设A→B＝a，A→C＝b， 则A→M＝12(a＋b)，B→N＝－a＋23b. ∵A，P，M 共线，∴设A→P＝λA→M，∴A→P＝2λ(a＋b)． 同理设B→P＝μB→N，∴B→P＝－μa＋23μb.
法二：易得A→N＝13A→C＝13b，A→M＝12A→B＝12a， 由 N，E，B 三点共线知存在实数 m，满足 A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝13mb＋(1－m)a. 由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足 A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝12na＋(1－n)b.
所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b.
[解] 法一：由已知，在△ABC 中，A→M＝M→B，且A→N＝12N→C，已 知 BN 与 CM 交于点 E，过 N 作 AB 的平行线，交 CM 于 D，如图所 示．
在△ACM 中，CCNA＝ANMD＝23， 所以MNDB＝NEBE＝EDME＝23，
所以N→E＝25N→B， A→E＝A→N＋N→E＝13A→C＋25N→B ＝13A→C＋25(N→A＋A→B) ＝13A→C＋25－13A→C＋A→B ＝25A→B＋15A→C＝25a＋15b.
A [平面 α 内任一向量都可写成 e1 与 e2 的线性组合形式，而不 是空间内任一向量，故 B 不正确；对任意实数 λ1，λ2，向量 λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α 内，故 C 不正确；而对平面 α 内的任一向量 a，实数 λ1， λ2 是唯一的，故 D 不正确．]
9.1向量概念高一数学(苏教版必修第二册)课件
（2）存在， AF 是 OB 的相反向量
课堂小结
1.向量的概念：
向量的概念，向量的模，零向量，单位向量。
2.向量间的关系：
（1）平行向量（共线向量）；
（2）相反向量；
（3）向量间的夹角。
谢谢~
物理学中的，力、速度、加速度以及位移既有大小又有方
向，它们是向量。
在生活中的距离、身高、体重等一些量只有大小没有方向，
它们是数量而不是向量。
探究新知
核心知识点一： 向量的表示
向量常用一条有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小；箭头所指的方向表示向
量的方向。
如下图，以A为起点，B为终点的向量，可以表示为：。
故 a b 未必成立，所以 A 错误；
B：根据零向量的定义可判断 B 正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故 C 错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故 D 错误.
故选：B.
随堂练习
3．给出下列四个命题：①若 | a || b | ，则 a b ；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ AB DC ”是“四边
形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若 a b , b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是| a || b | 且 a / /b .其中正
确命题的序号是（
A．②③
A）
B．①②
C．③④
D．②④
【解析】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
向量也可以用小写
字母a、b、c来表示。
探究新知
核心知识点二： 向量的有关概念
向量 AB 的大小称为向量的长度，（或称为模），记为：AB
苏教版必修第二册91向量概念课件_4
2．(多选)如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A．A→B＝D→C C．A→B＞D→C
√B．A→B＝D→C √D．B→C∥A→D
解析：A→B与D→C显然方向不相同，故不是相等向量，故 A 错误； A→B与D→C表示等腰梯形两腰的长度，所以A→B＝D→C，故 B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故 C 错误； 等腰梯形的上底 BC 与下底 AD 平行，所以B→C∥A→D，故 D 正确．故选 BD．
解析：满足条件的向量有以下几类： 模长为 2 的向量有A→C，C→A，B→D，D→B. 模长为 3 的向量有A→D，D→A. 答案：A→C，C→A，B→D，D→B，A→D，D→A
探究点 1 向量的相关概念
下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③若向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；
1．下列说法错误的是( ) A．向量C→D与向量D→C长度相等
√B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动
解析：A．C→D和D→C长度相等，方向相反，故正确； B．单位向量长度都为 1，但方向不确定，故错误； C．向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D．向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行 移动，故正确．故选 B．
1．已知向量A→B与向量B→C共线，则下列关于向量A→C的说法中，正确的是
()
√ A．向量A→C与向量A→B一定同向 B．向量A→C，向量A→B，向量B→C一定共线
C．向量A→C与向量B→C一定相等 D．以上说法都不正确 解析：根据共线向量的定义，可知A→B，B→C，A→C这三个向量边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点． (1)写出与E→F共线的向量； (2)写出与E→F的模大小相等的向量； (3)写出与E→F相等的向量．
新教材苏教版必修第二册 第9章 9.1 向量概念 课件(55张)
层
释 疑
平行向量；
作 业
难
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18
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
(4)对于向量 a、b、c，若 a∥b，且 b∥c，则 a∥c；
提
新
素
知
(5)若非零向量A→B与C→D是平行向量，则直线 AB 与直线 CD 平行； 养
合
作
课
探 究
(6)非零向量A→B与B→A是模相等的平行向量．
时 分
层
释
作
疑
业
难
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合 作
不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)．
课
探
时
究
2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平
分 层
释
作
疑 难
均出手角度 θ＝43.242°，平均出手速度大小为 v＝28.35 m/s(如图乙)． 业
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5
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
合 作
甲
乙
课
探
时
究
问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中，我们接 分
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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向量的概念
情
课
景
堂
导
【例 1】 判断下列命题是否正确，并说明理由．
向量的坐标运算【新教材】苏教版高中数学必修第二册课件
情
课
景 导
第9章 平面向量
堂 小
学
结
·
探
提
新 知
9.3 向量基本定理及坐标表示
素 养
合 作
9.3.2 向量坐标表示与运算
课
探
时
究 释
第1课时 向量的坐标运算
分 层 作
疑
业
难
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2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.掌握向量的坐标表示．(重点)
堂 小
学
1.通过向量的坐标表示的学习， 结
·
探 2．掌握两个向量和、差及数乘向
业
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6
·
情 景
思考 1：如图，向量 i，j 是两个互相垂直的单位向量，向量 a 与
课 堂
导
小
学 i 的夹角是 30°，且|a|＝4，以向量 i，j 为基底，如何表示向量 a?
·
结
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
释
提示：a＝2 3i＋2j.
层 作
疑
业
难
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情
思考 2：在平面直角坐标系内，给定点 A 的坐标为 A(1，1)，则 课
合 作
_单_位__向__量__i，j 作为基底，对于平面内的向量 a，由平面向量的基本定
课
探
时
究
理可知，有__且__只__有__一对有序实数(x，y)，使得 a＝_x_i＋__y_j_.我们把有
分 层
释
2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件 9-4向量应用 课件(34张)
【解析】
(1)∵B→E＝(－1，2)，C→F＝(－2，－1)．
→→
→→
∴BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE⊥CF，即 BE⊥CF.
(2)设点 P 坐标为(x，y)，
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力 F 对质点所做的功为－102 J.
类型二、向量在平面几何中的应用
【例 2】 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点， 求证：AF⊥DE.
→→ [思路点拨] 法一：选取基底，并证明DE·AF＝0.
→ W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． ∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
【接上页】
→
→
(2)W＝F ·AB＝(F 1＋F 2)·AB
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
→
→
→→
则FP＝(x，y－1)，FC＝(2，1)，∵FP∥FC，
∴x＝2(y－1)，即 x＝2y－2，
(2)向量的坐标运算法 建立适当的坐标系 → 把相关量坐标向量化 → 利用向量的坐标运算找相应关系 → 把向量问题几何化 但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．
【变式2】
已知在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 的中点，BE，CF 交于点 P.
求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．
9.4 向量应用-2024-2025学年高中数学新教材高一下苏教版必修第二册PPT课件
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示). 解 ∵E 为 CD 的中点，∴ En4，m4 . 设 F(x，0)，则A→E＝n4，－34m，A→F＝(x，－m). ∵A，E，F 三点共线，∴A→F＝λA→E. 即(x，－m)＝λn4，－34m， 则－x＝mn4＝λ，－34mλ，
思维升华
索引
【训练1】 试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等 于其各边平方的和. 证明 如图所示，在▱OACB 中，设O→A＝a，O→B＝b， 则O→C＝a＋b，B→A＝a－b. 由于O→C2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，B→A2＝|a|2－2a·b＋|b|2， 所以 OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2. 由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|， 所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2， 即平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和.
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课堂小结
一、牢记2个知识点 1.平面几何中的向量方法. 2.向量在物理中的应用. 二、掌握2种数学方法
化归转化，数形结合. 三、注意2个易错点 1.注意选取恰当的基底. 2.建立坐标系，准确求出点的坐标.
索引
3
分层训练
素养提升
基础达标
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一、选择题
1.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
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7.已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则A→C·C→B＝ __－__52____.
一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( D )
9.4《向量应用》讲义（学生版+教师版）-2021-2022学年高一数学苏教版（2019）必修第二册
编号：009 课题:§9.4 向量的应用目标要求1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．4、理解并掌握向量在物理中的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量在平面几何计算问题中的应用； 难点：向量在物理中的应用．教学过程基础知识点1.用向量方法解决平面几何问题 (1)“三步曲”:①建立平面几何与向量的联系,用____________表示问题中涉及的几何元素,将平面几 何问题转化为_________________;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如__________、___________等问题; ③把运算结果“翻译”成_______________.(2)本质:向量具有明确的几何背景(即有向线段),利用向量解决平面几何问题.(3)应用(其中1122(,),(,)a x y b x y ==):①证明线段平行或点共线问题,常用向量共线定理:1221//(0)0a b a b b a x y x y λ⇔=≠⇔=-=; ②证明垂直问题,常用数量积的运算性质:121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=; ③求夹角问题,用夹角公式:121222221122cos x a b a bx y x yθ⋅==+⋅+θ为a 与b 的夹角);④计算线段长度,常用模长公式:222121()()AB AB x x y y ==-+-【思考】 联系向量的两种表示方法(几何表示和坐标表示),想一想利用向量解决平面几何问题有哪些思路?【课前小题演练】题1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N题2．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形题3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 C ．(3，2) D ．(1，3)题4．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 3 m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是北偏东________．题5．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M.求∠EMF.【当堂巩固训练】题6．在四边形ABCD 中，若AC → ＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10题7．一条河的宽度为d ，水流的速度为v 2，一船从岸边A 处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B 处，船在静水中的速度是v 1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( ) A ．|v 1|B ．|v 1|2＋|v 2|2C ．|v 1|2－|v 2|2D ．|v 1|－|v 2|题8．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → ＋OC → －2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形题9．若O 是△ABC 内一点，OA → ＋OB → ＋OC →＝0，则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心题10．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N ，则合力的大小约为(精确到0.1 N)( ) A ．20.6 N B ．18.8 N C ．20.8 N D ．36.8 N题11．在平面直角坐标系中，力F ＝(2，3)作用一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F 对物体做的功为________．题12．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则cos ∠DOE＝________．题13．河水的流速为5 m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为______m/s.题14．如图所示，两根绳子把质量为1 kg 的物体吊在水平杆AB 上(绳子的质量忽略不计，g ＝10 m/s 2)，绳子在A ，B 处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC 和BC 的拉力大小分别为______，________．题15．已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n.若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12 AB.题16．如图，用两根分别长5 2 米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【综合突破拔高】题17．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8题18．已知△ABC 满足AB 2＝AB → ·AC → ＋BA → ·BC → ＋CA → ·CB → ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形题19．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C 在第一象限内，∠AOC＝π6 ，且OC ＝2.若OC → ＝λOA → ＋μOB →，则λ＋μ的值是( ) A ． 2 B ． 2 ＋1 C ． 3 D ． 3 ＋1题20．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则a 与b 的关系有可能是( ) A ．b ＝aB ．b ＝a 3＋1aC ．b ＝a 3－1aD ．b ＝a 3－1题21．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，∠BAC＝60°，则 |OA →|＝______．题22．已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围为______．题23．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑至底部，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝ 9.8 m/s 2).题24．如图所示，已知O 为坐标原点，点A(3，0)，B(4，4)，C(2，1)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．题25．一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A ，C 两地相距 2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．题26．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．编号：009 课题:§9.4 向量的应用目标要求1、理解并掌握向量方法解决平面几何问题以及物理问题．2、理解并掌握向量在平面几何证明问题中的应用．3、理解并掌握向量在平面几何计算问题中的应用．4、理解并掌握向量在物理中的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量在平面几何计算问题中的应用； 难点：向量在物理中的应用．教学过程基础知识点1．用向量方法解决平面几何问题①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量mv 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与位移s 的数量积． 【课前小题演练】题1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【解析】选B.如图可知|F 1|＝|F|cos 60°＝5(N).题2．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形【解析】选A.由题意得AB → ＝(3，3)，DC → ＝(2，2)，所以AB → ∥DC → ，|AB →|≠ |DC →|，所以四边形为梯形．题3．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC → ＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 C ．(3，2) D ．(1，3)【解析】选A.设D(x ，y)，则BC → ＝(4，3)，AD → ＝(x ，y －2)，由BC → ＝2AD → 得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x 3＝2（y －2） ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝72．所以顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 .题4．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 3 m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是北偏东________． 【解析】如图所示，此人的位移是OB → ＝OA → ＋AB → ，且OA → ⊥AB → ， 则|OB → |＝|OA →|2＋|AB →|2＝60(m)，tan ∠BOA＝|AB →||OA →|＝ 3 ，所以∠BOA＝60°.所以OB →方向为北偏东30°. 答案：60 30°题5．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M.求∠EMF.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为a ， 所以A(0，0)，D(0，a)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2 ，AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2 ，DE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，因为AF → ·DE → ＝a22 －a 22 ＝0，所以AF → ⊥DE →， 即AF⊥DE. 所以∠EMF＝90°. 【当堂巩固训练】题6．在四边形ABCD 中，若AC → ＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A ． 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 【解析】选C.因为AC → ·BD →＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD 的面积S ＝12 |AC → ||BD →|＝12× 5 ×2 5 ＝5.题7．一条河的宽度为d ，水流的速度为v 2，一船从岸边A 处出发，垂直于河岸线航行到河的正对岸的B 处，船在静水中的速度是v 1，则在航行过程中，船的实际速度的大小为( ) A ．|v 1|B ．|v 1|2＋|v 2|2C ．|v 1|2－|v 2|2D ．|v 1|－|v 2|【解析】选C.画出船过河的简图(图略)可知，实际速度是v 1与v 2的和，由勾股定理知选C.题8．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB → －OC → |＝|OB → ＋OC → －2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【解析】选B.因为|OB → －OC → |＝|CB → |＝|AB → －AC → |，|OB → ＋OC → －2OA → |＝|AB → ＋AC → |，所以|AB → －AC →|＝|AB → ＋AC → |，则AB → ·AC →＝0，所以∠BAC＝90°， 即△ABC 是直角三角形．题9．若O 是△ABC 内一点，OA → ＋OB → ＋OC →＝0，则O 为△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 【解析】选D.如图，取AB 的中点E ，连接OE ，则OA → ＋OB → ＝2OE → .又OA → ＋OB → ＋OC →＝0， 所以OC → ＝－2OE →.又O 为公共点， 所以O ，C ，E 三点共线，且|OC → |＝2|OE →|. 所以O 为△ABC 的重心．题10．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N ，则合力的大小约为(精确到0.1 N)( ) A ．20.6 N B ．18.8 N C ．20.8 N D ．36.8 N【解析】选C.设两条绳索的拉力F 1，F 2的合力为F 合．如图所示，则|AB → |＝| AD → |＝12，F 合＝AC →，连接BD 交AC 于M ，∠BAM＝30°，所以|F 合|＝ 2|AM →|＝2×12cos 30°＝12 3 ≈20.8(N).题11．在平面直角坐标系中，力F ＝(2，3)作用一物体，使物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F 对物体做的功为________．【解析】根据题意，力F 对物体做的功为W ＝F·AB →＝(2，3)·(4－2，0－0)＝2×2＋3×0＝4. 答案：4题12．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则cos ∠DOE＝________． 【解析】以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知：OD → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ，OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，故cos ∠DOE＝OD →·OE →|OD →||OE →| ＝1×12＋12×152×52 ＝45 .答案：45题13．河水的流速为5 m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为______m/s.【解析】设小船在静水中的速度为v 1，河水的流速为v 2，v 1与v 2的合速度为v.因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v 1斜向上游方向，河水速度v 2平行于河岸，合速度v 指向对岸，所以静水速度|v 1|＝|v|2＋|v 2|2＝122＋52＝13(m/s). 答案：13题14．如图所示，两根绳子把质量为1 kg 的物体吊在水平杆AB 上(绳子的质量忽略不计，g ＝10 m/s 2)，绳子在A ，B 处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC 和BC 的拉力大小分别为______，________．【解析】设绳子AC 和BC 的拉力分别为f 1，f 2，物体的重力用f 表示，则|f|＝10 N ，f 1＋f 2＝－f ，如图，以C 为起点，CE → ＝－f 1，CF → ＝－f 2，CG →＝f ，则∠ECG＝30°，∠FCG＝60°，所以|CE → |＝|CG → |cos 30°＝10×32 ＝5 3 ，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5，所以绳子AC 的拉力大小为5 3 N ，绳子BC 的拉力大小为5 N.答案：5 3 N 5 N题15．已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n.若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12 AB.【证明】以C 为坐标原点，边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意得，A(0，m)，B(n ，0)，则AB →＝(n ，－m)， 因为D 为AB 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2 ，CD → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，m 2 . 所以|CD → |＝12 n 2＋m 2 ，|AB → |＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12 |AB → |，即CD ＝12AB.题16．如图，用两根分别长5 2 米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).【解析】如图，由已知条件可知AG 与铅垂方向成45°角，BG 与铅垂方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ， 因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G|＝100，① 且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°，② 由①②解得|F a |＝150 2 －50 6 ，所以A 处所受力的大小为(150 2 －50 6 )N. 【综合突破拔高】题17．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【解析】选B.因为|v|＝12＋22 ＝ 5 ，|AB → |＝（7－4）2＋（12－6）2＝45 ， 所以时间t ＝455＝3. 题18．已知△ABC 满足A B 2＝AB → ·AC → ＋BA → ·BC → ＋CA → ·CB → ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【解析】选C.由题意得，AB → 2＝AB → ·AC → ＋AB → ·CB → ＋CA → ·CB → ＝AB → ·(AC → ＋CB → )＋CA → ·CB → ＝AB → 2＋CA → ·CB → ，所以CA → ·CB →＝0，所以CA → ⊥CB →，即CA⊥CB，所以△ABC 是直角三角形．题19．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C 在第一象限内，∠AO C ＝π6 ，且OC ＝2.若OC → ＝λOA → ＋μOB →，则λ＋μ的值是( ) A ． 2 B ． 2 ＋1 C ． 3 D ． 3 ＋1【解析】选D.由题意，知OA → ＝(1，0)，OB → ＝(0，1).设C(x ，y)，则OC →＝(x ，y). 因为OC → ＝λOA → ＋μOB → ，所以(x ，y)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ).所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝μ.又因为∠AOC＝π6，OC ＝2，所以λ＝x ＝2cos π6 ＝ 3 ，μ＝y ＝2sin π6 ＝1，所以λ＋μ＝ 3 ＋1.题20．已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3).若△OAB 为直角三角形，则a 与b 的关系有可能是( ) A ．b ＝aB ．b ＝a 3＋1aC ．b ＝a 3－1aD ．b ＝a 3－1【解析】选B.由题意，知OA → ＝(0，b)，OB → ＝(a ，a 3)，AB → ＝(a ，a 3－b).因为△OAB 为直角三角形，所以①若OA → ⊥OB → ，则OA → ·OB → ＝0，即a 3b ＝0，当b ＝0时，点O 与点A 重合；当a ＝0时，点O 与点B 重合，故a 3b≠0，即OA 与OB 不垂直． ②若OA → ⊥AB → ，则OA → ·AB →＝0， 即b(a 3－b)＝0，又b≠0，故b ＝a 3.③若OB → ⊥AB → ，则OB → ·AB → ＝0，即a 2＋a 3(a 3－b)＝0，又a≠0，故a 3＋1a －b ＝0，即b ＝a 3＋1a .故当△OAB 为直角三角形时，有b ＝a 3或b ＝a 3＋1a.只有B 符合题意．题21．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，∠BAC＝60°，则 |OA →|＝______．【解析】根据题意，O 为BC 的中点，所以AO → ＝12 (AB → ＋AC → )，|OA → |2＝14 (AB → 2＋2AB → ·AC → ＋AC → 2)＝14 (12＋2×1×3×cos 60°＋32)＝134 ，所以|OA →|＝132. 答案：132题22．已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i⊥j，则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围为______． 【解析】由i⊥j 得i·j＝0，又i ，j 为单位向量， 则|i ＋j|＝i 2＋j 2＋2i·j ＝ 2 ，则(i ＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i ＋j)·k＋k 2＝(i ＋j)·k＋1＝|i ＋j|cos 〈i ＋j ，k 〉＋1＝2 cos 〈i ＋j ，k 〉＋1，由－1≤c os 〈i ＋j ，k 〉≤1，得(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－ 2 ，1＋ 2 ]. 答案：[1－ 2 ，1＋ 2 ]题23．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°≈0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑至底部，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝ 9.8 m/s 2).【解析】物体m 的位移大小为|s|＝2sin 37° ≈103 (m)，则支持力对物体m 所做的功为W 1＝F·s＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s＝ |G||s|·sin 37°≈5×9.8×103 ×0.6＝98(J).答案：0 98题24．如图所示，已知O 为坐标原点，点A(3，0)，B(4，4)，C(2，1)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．【解析】设OP → ＝tOB →＝t(4，4)＝(4t ，4t)，则AP → ＝OP → －OA → ＝(4t －3，4t)，AC →＝(2，1)－(3，0)＝(－1，1). 由AP → ，AC →共线，得(4t －3)×1－4t×(－1)＝0， 解得t ＝38 .所以OP → ＝(4t ，4t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 ， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 题25．一架飞机从A 地向北偏西60°方向飞行1 000 km 到达B 地，因大雾无法降落，故转向C 地飞行，若C 地在A 地的南偏西60°方向，并且A ，C 两地相距 2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．【解析】方法一：由题意得|AB →|＝1 000 km ， |AC →|＝2 000 km ，∠BAC＝60°，所以|BC → |2＝|AC → －AB → |2＝|AC → |2＋|AB → |2－2|AC → |·|AB → |·cos 60°＝2 0002＋ 1 0002－2×2 000×1 000×12＝3×106，所以|BC →|＝1 000 3 km ，所以|AB → |2＋|BC → |2＝|AC → |2，所以∠ABC＝90°. 取AC 的中点D ，由|AC → |＝2|AB →|且∠BAD＝60°， 知BD →的方向为正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°. 方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，并取a ＝500，则AB → ＝(2a cos 150°，2a sin 150°)＝(－ 3 a ，a)，AC →＝ (4a cos 210°，4a sin 210°)＝(－2 3 a ，－2a)， 所以BC → ＝(－ 3 a ，－3a)，|BC →|＝2 3 a ， 即|BC →|＝1 000 3 (km).又cos ∠ACB＝AC →·BC →|AC →||BC →| ＝6a 2＋6a 24a×23a ＝32 ，所以∠ACB＝30°.结合图形可知BC →的方向为南偏西30°，所以飞机从B 地到C 地的位移的大小为1 000 3 km ，方向为南偏西30°.题26．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设A(2a ，0)，B(0，2a)，则D(a ，0)，C(0，a)，所以AC → ＝(－2a ，a)，BD → ＝(a ，－2a)，不妨设AC → ，BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝（－2a ，a ）·（a ，－2a ）5a ·5a＝－4a 25a 2 ＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.。
9.时 向量的加法-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册精品课件
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9.2.1第1课时 向量的加法-【新教材】苏教版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件
情 景 导 学
探
新 知
合
合作
探究
释疑
难
作
探
究
释 疑 难
9.2.1第1课时 向量的加法-【新教材】苏教版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件
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课 堂 小 结 提 素 养
课 时 分 层 作 业
·
结 提
新 知
强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，
素 养
合 而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
作
课
探 究
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行
时 分
释
四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则
层 作
疑
难 作出的图形的一半．
9.2.1第1课时 向量的加法-【新教材】苏教版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件
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情
课
景
堂
导 学
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
小 结
·
探
提
新 知
(1)在平面内任取一点
O，作O→A＝a，O→B＝b；(2)作平行四边形
素 养
合 作 探
AOBC，则O→C＝a＋b；(3)再作向量O→D＝c；(4)作▱CODE，则O→E＝O→C
·
探
提
新 知
平行四边形．
素 养
合
作
课
探
时
究
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[解] 如图，作平行四边形 OACB，使∠AOC＝30°，
情
课
景 ∠BOC＝60°.
堂
导
小
学 探
在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝
·
结 提
新
素
知 合
90°.|O→A|＝|O→C|cos 30°＝300× 23＝150
3(N)，|O→B|＝
养
作
课
探 究
→ |OC|sin
30°＝12×300＝150(N)．
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3
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情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情景
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b 的夹角为 θ. 证明线线平行、 提
·
新
素
知 点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量 养
合 作
的哪些知识？
景
堂
导 学
(2)向量在物理中的应用
小 结
·
探
提
新
①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加 素
知
养
减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
合
作课探ຫໍສະໝຸດ ②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位 时
究
分
层
释 移的乘积，它的实质是向量的数量积．
作
疑
业
难
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·
究
课 时 分
释
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
层 作
疑
业
难
∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
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·
情 景 导
(2)W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B
课 堂 小
学
结
·
探
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
提
新
素
知
＝(9，－1)·(－13，－15)
养
合
作
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
探
课 时
究
＝－117＋15＝－102(J)．
分 层
释
作
疑
难
∴合力 F 对质点所做的功为－102 J.
业
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向量在平面几何中的应用
情
课
景
堂
导
【例 2】 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 小
小 结
·
探 新
拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅
提 素
知
养
垂线的夹角分别为 30°，60°，求当整个系统处于
合
作 探
平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
课 时
究
分
层
释 疑
[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解 作 业
难
决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．
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分 层
释
作
疑 难
数量积的公式和性质．
业
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·
情
景
导
学
探
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
新
知
(1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0．
合
作
探 究
(2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行．
释
疑
(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．
难
8
课 堂 小 结 提 素 养
究
时 分
层
释 疑
(2)求 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功．
作 业
难
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情 景
[解] (1)A→B＝(－13，－15)，
课 堂
导
小
学 探
W1＝F1·A→B＝(3，4)·(－13，－15)
·
结 提
新
素
知
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
养
合
作 探
W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15)
第9章 平面向量
9.4 向量应用
2
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情
课
景
堂
导 学
学习目标
核心素养
小 结
·
探
1.会用向量方法解决简单的物理 通过学习向量的应
提
新
素
知
问题及其他的一些实际问题.
用，提升学生的数学
养
合
作
2.会用向量方法解决某些简单的 建模和数学运算核心
探
课 时
究 释
几何问题．(重点、难点)
素养.
分 层 作
疑
业
难
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时 分 层
释
作
疑 难
故与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60° 业
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角的绳子的拉力是 150 N.
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情
课
景
堂
导
小
学
结
探
1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加 提
·
新
素
知 法的平行四边形法则对力进行分解和合成．
养
合 作
2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位， 课
()
课 时
( )分 层 作
( )业
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情
课
景 导
[解析] (1)可能A→C·C→B＝0 或B→A·A→C＝0，故错误．
堂 小
学
结
·
探 新
(2)A→B∥C→D，AB，CD 亦可能在一条直线上，故错误．
提 素
知
养
合
(3)W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，故错误．
作
课
探
时
究
[答案] (1)× (2)× (3)×
探
时
究 借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
分 层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导 学
[跟进训练]
小 结
·
探
提
新
1．已知两恒力 F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之 素
知
养
由点 A(20，15)移动到点 B(7，0)．
合
作
课
探
(1)求 F1，F2 分别对质点所做的功；
分 层
释
作
疑
业
难
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情 景 导
2．已知△ACB，A→B＝a，A→C＝b，且 a·b＜0，则△ABC 的形状为(
课
)
堂 小
学
结
探
A．钝角三角形
B．直角三角形
·
提
新
素
知
C．锐角三角形
D．不能确定
养
合
作
课
探
[答案] A
究
时 分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景 导
3．已知 F＝(2，3)作用一物体，使物体从 A(2，0)移动到 B(4，
堂 小
学
结
·
探 0)，则力 F 对物体作的功为________．
提
新
素
知
养
[答案] 4
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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情
课
景
堂
导
小
学
结
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探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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向量在物理中的应用
情
课
景
堂
导 学
【例 1】 如图所示，在重 300 N 的物体上
课
探
时
究
2. 物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？
分 层
释
作
疑 难
物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？
业
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情
课
景 导
向量的应用
堂 小
学
结
探
(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
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提
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素
知
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合
作
课
探
时