勾股定理证法11种

证法1
一种借助面积完成的演绎证明（愚草提供），双击右侧图片可以清楚阅读：
另附：《对勾股定理及其逆定理教育价值的深层挖掘》[3]一文。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b；，斜边长为c.；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.
化简后便可得：a^2 +b^2 =c^2；亦Βιβλιοθήκη ：c=(a2 +b2 )1/2
证法8
达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
∴；∠ABC +；∠CBE = 90°
∵ RtΔABC；≌ RtΔEBD，
∴；∠ABC =；∠EBD.
∴；∠EBD +；∠CBE = 90°
即；∠CBD= 90°
又∵；∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB =；∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB；≌ RtΔCFD；，
同理，RtΔABG；≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB；≌ RtΔCFD；≌ RtΔABG；≌ RtΔADE
∴∠ABG =；∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
=(a^2+b^2）/c^2=1
所以a^2+b^2=c^2
得证。
证法11
大家参考证法7，不难发现，这非常麻烦。
图示
注意右图，在AE上做点I，使AI=a。连接CI，FI，将EG延伸至H，GH=a
连接CH，FH。
把FAI旋转至FHG，CBI旋转至DCH。
一个简单.易懂,优美的方法
∠FAB =；∠GAD，
∴；ΔFAB；≌；ΔGAD，
∵；ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴；矩形ADLM的面积=.
同理可证，矩形MLEB的面积=.
∵；正方形ADEB的面积
=；矩形ADLM的面积+；矩形MLEB的面积
∴；即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
∵ D、E、F在一条直线上，；且RtΔGEF；≌ RtΔEBD，
∴；∠EGF =；∠BED，
∵；∠EGF +；∠GEF = 90°，
∴；∠BED +；∠GEF = 90°，
∴；∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
证明：
第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
因为S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
角三角形。
（简化）2ab + 2b^2= c^2 + b^2- a^2+ 2ab
2b^2- b^2 + a^2 = c^2;
a2 + b2 = c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
证法10
在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。
令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d
1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c
∵；∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴；∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴；∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵；∠QBM +；∠MBA =；∠QBA = 90°，
∠ABC +；∠MBA =；∠MBC = 90°，
∴；∠QBM =；∠ABC，
又∵；∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因为E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2
勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b ( a + b )= 1/2 c^2 + ab + 1/2 (b + a)(b - a)
矩形面积=（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直
设多边形GHCBE的面积为S，则
A+B=C
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c.；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
证法6
图1
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
通过证明三角形相似则有射影定理如下：
⑴（BD）^2=AD·DC，
⑵（AB）^2=AD·AC；，
⑶（BC）^2=CD·AC。
由公式⑵+⑶得：（AB）^2+（BC）^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）^2，
∴ RtΔBMQ；≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF；≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）；，斜边长为c.；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
图1即；（AB）^2+（BC）^2=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。
证法7
赵爽弦图
青朱出入图
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）^2 =c^2；
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A；和G；都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为AB；和BD；分别等于FB；和BC，所以△ABD；必须相等于△FBC。因为A；与K；和L是线性对应的，所以四方形BDLK；必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK；必须有相同的面积BAGF = AB^2。同理可证，四边形CKLE；必须有相同的面积ACIH = AC^2。把这两个结果相加，AB^2+ AC^2= BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC；由于CBDE是个正方形，因此AB^2+ AC^2= BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）；三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
A2+B2=C2。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结