答案(概率与概率分布作业 )

概率与概率分布作业

1、一家电器店想研究顾客对DVD 机的购买意愿与他们购买的TV 机种类的关系。下表为对随机选择的

（1）根据表中记录，求随机一位顾客的以下概率：

① 没有购买高清TV 的概率 考点：事件的逆事件

解：6.04.01)(1)(33=-=-=B P B P ② 同时购买平板TV 和DVD 机的概率 考点：事件的交或积

解：25.0100/25)(21==B A P ③ 购买平板TV 或DVD 机的概率

考点：事件的并或和；概率的加法法则

解：7.025.035.06.0)()()()(212121=-+=-+=⋃B A P B P A P B A P ④ 已经购买了高清TV ，还会购买DVD 机的概率 考点：条件概率 解：75.04

.03

.0)()()(33131===

B P B A P B A P

（2）顾客对DVD 机的购买意愿与他们购买的TV 机种类有统计学上的关系吗？（或者说，顾

客购买的TV 机种类影响购买DVD 机的概率吗？）

考点：事件的独立性

解：以高清TV 为例，3.0)(31=B A P ，24.04.06.0)()(31=⨯=B P A P

)()()(3131B P A P B A P ≠，同理，)()()(1111B P A P B A P ≠，)()()(2121B P A P B A P ≠

所以，顾客对DVD 机的购买意愿与他们购买的TV 机种类不是独立的。（或者说，顾客购买的TV 机种类影响购买DVD 机的概率。）

【注】一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立。此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(A)·P(B)。反过来，也可以用该公式验证两事件是否独立。

（3）另一份调查指出，买DVD 机的男性比率比不买DVD 机的男性比率多一倍。如果随机选择的第101位顾客是一位男性，他会买DVD 机的概率是多少？

考点：贝叶斯公式

解：设C 表示“顾客为男性”，已知P(A 1)=0.6, P(A 2)=0.4 据题意，)(2)(21A C P A C P = A 1和A 2为一个完备事件组且均大于0，所以根据贝叶斯公式有：

75

.04

.06.026

.02)()(2)(2)

()()(2)()

(2)()

()()()()

()()(2112221212211111=+⨯⨯=+=

+=

+=

A P A P A P A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P A C P A P C A P

2.

解:设被保险人死亡数＝X ，X ～B (20000，0.0005)。

（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。 （2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为： P(X >20)＝1－P(X ≤20)＝1－0.99842＝0.00158 （3）支付保险金额的均值＝50000×E (X )

＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X )

＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元）

解: （1）可以。当n 很大而p 很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，λ= np =20000×0.0005=10，即有X ～P (10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。 （2）也可以。尽管p 很小，但由于n 非常大，np 和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995， 即有X ～N (10,9.995)。相应的概率为： P (X ≤10.5)＝0.51995，P(X ≤20.5)＝0.853262。

可见误差比较大（这是由于P 太小，二项分布偏斜太严重）。

【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。

（3）由于p ＝0.0005，假如n =5000，则np ＝2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。

3、某年高考考分近似服从正态分布。高考平均分为500，标准差100。假设只要过了录取分数线都会录取，否则不能录取。

（1）若湛江师范学院的录取分数线为550，录取率是多少？ 解：μ=500，σ=100，高考分数X ～N(500，1002)

3085.0)5.0(1)100

500

550(

1)550(1)550(=Φ-=-Φ-=≤-=>X P X P

既录取率为30.85%

（2）若湛江师范学院打算设录取率为45%，你考了489分，你能被录取吗？

解：方法一：μ=500，σ=100，X ～N(500，1002)

45.05438.0)11.0()11.0(1)100

500

489(

1)489(1)489(>=Φ=-Φ-=-Φ-=≤-=>X P X P 所以你不能被录取

方法二：录取分数线为X

4895.512100125.050055.0>=⨯+=+=σμz X

所以你不能被录取

（3）若当年湛江有1万人参加高考，高考分在400至600之间的有多少人？ 解：μ=500，σ=100，X ～N(500，1002)

6827.01)1(2)1()1()100

500

400()100500600(

)600400(=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤≤X P

人）6827(0.682710000≈⨯