二次函数与商品利润
二次函数与商品最大利润问题
y 20 x 2 100 x 6000 （其中， 0 x 20 ）
抛物线的顶点坐标是： （ 2.5，6125 ） ，对称轴是： 直线 x＝2.5
降价 2.5元，即定价 57.5 元 所以，当x= 2.5 时，y最大，也就是说，在降价的情况下， 时，利润最大，最大利润是 6125 元。
2 化成一般形式为： y 20 x 100 x 6000 （其中， 0
x 20
）
抛物线的顶点坐标是：（ 2.5，6125 ），对称轴是： 直线 x＝5 所以，当x=2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双57.5元。
4
情境问题： 读九年级的李聪的爸爸是开鞋店的，现在店中有一种进价为每双40元 的球鞋，售价为每双60元，每星期可卖出300双。为了获取更大的利润， 李聪的爸爸让李聪去做个市场调查。李聪做了市场调查反映：如果这 种鞋子每涨价1元，每星期要少卖出10双；每降价1元，每星期可多卖 出20双。李聪的爸爸说：”你初中都快毕业了，能根据市场反映的信 息用你所学的知识帮忙算算这种鞋子定什么样的售价才能使我获得利 润最大？ 先思考下面问题，再与你的小组 同学交换一下你的想法。 1、调价前这种鞋子每星期的利润是
6000 好好思考， 相信你一 定行！
元。
2、这种鞋子的进价已成定局，要想提高利润可以改变什么？
3、是否售价提高了，总利润就提高？ P=300－10x 4、若设每双涨价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。 P=300＋20x 5、若设每双降价x元后，每星期售出p双，则p与x的关系是： 。
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综上所述可知，要想获得最大利润就要定价每双65元。
二次函数与商品利润问题
⼆次函数与商品利润问题《⼆次函数与商品利润问题》教学设计⼀、教材版本及内容分析本节课选⾃2011年⼈教版九年级上册第⼆⼗⼆章《⼆次函数》第三节《实际问题与⼆次函数》第⼆课时商品利润问题。
⼆次函数的应⽤本⾝是学习⼆次函数的图象与性质后，检验学⽣应⽤所学知识解决实际问题能⼒的⼀个综合考查。
新课标中要求学⽣能通过对实际问题的分析确定⼆次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。
⽽最值问题⼜是⽣活中利⽤⼆次函数知识解决最常见、最有实际应⽤价值的问题之⼀，它⽣活背景丰富，学⽣⽐较感兴趣，商品最⼤利润问题学⽣不易理解和接受，故⽽在这⼉做专题讲解。
⽬的在于让学⽣通过解决商品利润问题，学会⽤建模的思想去解决其它和⼆次函数有关的应⽤问题。
此部分内容既是学习⼀次函数及其应⽤后的巩固与延伸，⼜为⾼中乃⾄以后学习更多函数打下坚实的理论和思想⽅法基础。
⼆、学情分析对九年级学⽣来说，在学习了⼀次函数和⼆次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的⽅法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在⽐较复杂的实际问题中，还不能熟练的应⽤知识解决问题。
本节课正是为了弥补这⼀不⾜⽽设计的，⽬的是进⼀步培养学⽣利⽤所学知识构建数学模型，解决实际问题的能⼒，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
三、教学⽬标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会⽤⼆次函数的知识解决商品利润问题。
2、过程与⽅法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于⽣活，⼜服务于⽣活。
3、情感态度与价值观：培养学⽣的独⽴思考的能⼒和合作学习的精神，在⼩组交流过程中培养学⽣的交际能⼒和语⾔表达能⼒，促进学⽣综合素养的提升。
四、教学重点与难点1、教学重点：利⽤⼆次函数的知识对商品利润问题进⾏数学分析，即⽤数学的⽅式表⽰问题以及⽤数学的⽅法解决问题。
2、教学难点：从商品利润问题中建⽴⼆次函数模型。
五、教学⽅法与⼿段新课程标准强调⾃主探究与合作交流应该是学⽣学习数学的重要⽅式。
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
初中数学课件
二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
初中数学课件
二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
22.3 第2课时 二次函数与商品利润问题 课件(共20张PPT)
大家知道商家做这些广告的目的是什么吗？
如果你是商家，你该如何定价才能获得最大利润呢？
利润问题
一.几个量之间的关系.
1.总价、单价、数量的关系：总价=单价×数量
2.利润、售价、进价的关系：利润=售价－进价
3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润=单件利润×数量
二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
小组讨论
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，那么销售单价应控制
在什么范围内？
(2)y=－5x²+800x－27 500=－5(x－80)²+4 500,其中x≥50,
∵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5<0,∴当x=80时，y 最大 =4 500,即销售单价为80元时，
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
(2)先来讨论涨价的情况.
①设每件涨价x元，你能否用含x的式子表示单件的利润和销售数量?
【题型】二次函数与商品利润问题
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以
自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件商
品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间的
函数解析式为(
B)
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
二次函数与商品利润
第2课时二次函数与商品利润1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解:设销售单价为x元,销售利润为y元.根据题意,得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1 000-20x)=-20x2+ 1 400x-20 000,当x=-=35时,y最大值=4 500,这时,x-30=35-30=5.所以,销售单价提高5元时,才能在半月内获得最大利润4 500元.2.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售,对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研,结果如下:一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图(甲)),一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示,其中6月份本钱最高(如图(乙)).根据图象提供的信息解答下面问题:(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润=售价-本钱)(2)求出图(乙)中表示的一件商品的本钱Q(元)与时间t(月)之间的函数关系式;(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t(月)之间的函数关系式吗?假设该公司能在一个月内售出此种商品30 000件,请你计算该公司在一个月内最少获利多少元?解:(1)一件商品在3月份出售时利润为6-1=5(元).(2)由图象可知,一件商品的本钱Q(元)是时间t(月)的二次函数,由图象可知,抛物线的顶点为(6,4),∴可设Q=a(t-6)2+4.又∵图象过点(3,1),∴1=a(3-6)2+4,解得a=-.∴Q=-(t-6)2+4=-t2+4t-8,由题知t=3,4,5,6,7.(3)由图象可知,M(元)是t(月)的一次函数,∴可设M=kt+b.∵点(3,6),(6,8)在直线上,∴解得∴M=t+4,∴W=M-Q=t+4-(-t2+4t-8)=t2-t+12=(t-5)2+,其中t=3,4,5,6,7,∴当t=5时,W最小值=元,∴该公司在一个月内最少获利×30 000=110 000元.3.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y个.(1)求果园增种橙子树x(棵)与果园橙子总产量y(个)的函数关系式;(2)在上述问题中,果园要种多少棵橙子树,就可以使果园橙子的总产量为最多?(3)增种多少棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上?从计算结果和数学的角度看,你有什么感想(不超过30字)?解:(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(x+100)棵橙子树, ∵每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子,那么平均每棵树结(600-5x)个橙子.∴y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60 000.(2)∵y=-5x2+100x+60 000,∴当x=-=-=10时,y最大值=60 500.故当增种10棵橙子树时,橙子的总产量最多,为60 500个.(3)当y=-5x2+100x+60 000=60 420时,整理得x2-20x+84=0,(x-16)(x-4)=0,解得x1=16,x2=4,∵抛物线对称轴为直线x=10,∴增种5到15棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60 420个以上.通过以上计算可以发现,果园的果树棵数并不是越多越好,产量的多少取决于科学的计算果树的棵数.。
九年级数学上册第二十二章二次函数2实际问题与二次函数第2课时二次函数与商品利润作业课件新版新人教版
一、选择题(共8分) 8．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销 售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x，若该公 司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( D ) A．30万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
二、填空题(共8分) 9．【易错题】经调查，某超市在防治新型冠状病毒期间，进价为2元/千克 的某品种橙子每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y＝－20x ＋200，为了防止哄抬物价，物价部门限定售价不能超过5元/千克，则当售价 定为__5__元时，该品种橙子当天的销售利润到达最高，最高为_3_0_0_元．
(2)在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利第t天)
1 2 3 … 80
销售单价p/(元/kg) 49.5 49 48.5 … 10
解：(1)p＝－12 t＋50
(2)设每天获得的利润为 w 元，由题意得， w＝(2t＋100)(50－0.5t)－6(2t＋100)＝－t2＋38t＋4 400＝ －(t－19)2＋4 761，∵a＝－1＜0，∴当 t＝19 时，w 最大＝4 761， 答：第 19 天的日销售利润最大，最大利润是 4 761 元
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与商品利润
1．(4分)学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元) 之间的关系式为y＝－4(x－2)2＋50，则下列叙述正确的是(A ) A．当x＝2时，利润有最大值50元 B．当x＝－2时，利润有最大值50元 C．当x＝2时，利润有最小值50元 D．当x＝－2时，利润有最小值50元
(Ⅱ)当 30＜x≤50 时，w＝(80－40)×(－2x＋120)＝－80x＋4 800， ∵w 随 x 的增大而减小，∴当 x＝31 时，w 最大值＝2 320，
《实际问题与二次函数》(商品最大利润问题)
06
研究方法与展望
研究方法的优缺点分析
数学规划方法
数学规划是一种经典的优化方法，能够解决商品最大利润问题。优点是模型简单、易于理 解，缺点是求解速度较慢，且对某些复杂问题可能需要更多的计算资源。
人工智能方法
人工智能方法如神经网络、遗传算法等，能够自适应地求解问题。优点是求解速度较快， 缺点是模型复杂，不易于理解和调试。
构建二次函数模型
根据成本、售价和销量，利用二次函数构建 利润模型。
求最大利润
通过求导数，确定最大利润点，并求出最大 利润。
优化问题的提出与解决
• 优化问题：在商品利润问题中，如何调整售价、成本和销 量等因素，以最大化利润。
优化问题的提出与解决
解决步骤
1. 确定优化目标：明确要优化的目标，如最大化利润、最小化成本等。
混合方法
混合方法是将数学规划方法和人工智能方法结合起来，取长补短，综合利用各种方法的优 点。优点是求解速度快、精度高，缺点是需要更多的计算资源和时间。
研究方法在其他领域的应用前景
生产计划
在生产计划中，如何优化资源配置、提高生产效率是一个核心问题。商品最大利润问题可以转化为生产计划问题，因此研究方法在其他领域的应用前景广阔。
2. 分析影响因素：分析对利润产生影响的因素，如售价、成本、销量等 。
优化问题的提出与解决
3. 构建优化模型
根据影响因素和目标，构建优化模型。
4. 求解最优解
利用数学方法求解最优解，如求导数、使用优化算法等。
5. 实施优化方案
根据最优解调整售价、成本和销量等因素，以实现最大利润。
04
商品利润问题的实例分析
顶点
二次函数图像的最高点或最低点，其 坐标为(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
22.3第2课时 二次函数与商品利润
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
侵权必究
练一练 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单
价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高 销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销 售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一 个月内获得最大利润？
侵权必究
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品 总利润为y元，填空：
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价 为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
侵权必究
当堂练习
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则 w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352. 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大， 最大利润为1352.
1、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部 门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量 会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式； （2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获 利润2 250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w最 大，最大值是多少？
二次函数与商品销售中利润问题
二次函数与商品销售中利润问题例１ 某商店经营一种成本为每千克４０元的水产品．据市场分析，若按每千克５０元销售，一个月能销售出５００千克；销售单价每涨１元，月销售量就减少１０千克．针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：（１）当销售单价定为每千克５５元时，计算月销售量和月销售利润；（２）设销售单价定为每千克ｘ元，月销售利润为ｙ元，求ｙ与ｘ之间的函数关系式（不必写出ｘ的取值范围）；（３）商店想在月销售成本不超过１００００元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？练习：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？练习 ：某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生的利润与电价是一次函数关系，经过测算工厂每千度电产生的利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：(1)当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生的利润是多少？(2)为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天 用电量m (千度)的函数关系为x ＝10m ＋500，且该工厂每天用电量不超过60千度．为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生的利润最大是多少元？x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 …例3某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从２月１日起的２００天内，西红柿市场售价Ｐ与上市时间ｔ的关系用图甲的一条线段表示；西红柿的种植成本Ｑ与上市时间ｔ的关系用图乙中的抛物线表示．（其中，市场售价和种植成本的单位为：元／１００千克，时间单位为：天） （１）写出图甲表示的市场售价Ｐ与时间ｔ的函数关系式； （２）写出图乙表示的种植成本Ｑ与时间ｔ的函数关系式； （３）如果市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大（可借助配方或草图观察）？｝，巩固提升：(2010年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，进入5 2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克,且y 与周数x 的变化情况满足二次函数c bx x y ++-=2201． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式； （2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2.141+=x m ，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为251+-=x m ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨%8.0a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．图甲 图乙。
22.3.2二次函数求商品利润最大问题教案
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。它在经济、工程等领域有着广泛的应用，尤其是在求解最值问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设某商品的成本为固定值，售价与销售量之间存在二次关系，我们将通过构建二次函数模型来求解最大利润。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对于二次函数在实际问题中的应用表现出较高的兴趣。他们能够积极参与课堂讨论，提出自己的想法，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到在一些环节还存在一些问题，需要我在今后的教学中加以改进。
在导入新课环节，我通过提问方式引发学生思考，大家发言积极，但个别学生对问题的理解还不够深入。在今后的教学中，我应适当增加一些引导性的问题，帮助学生更好地理解问题本质。
5.强化数学运算能力：在求解最大利润过程中，培养学生准确、快速地进行数学运算的能力。
本节课将围绕以上核心素养目标，结合教材内容，帮助学生将理论知识与实际应用相结合，全面提升学生的数学素养函数的一般形式及其图像特点，明确二次函数在实际问题中的应用。
举例：二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。图像特点为抛物线，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）。
3.提高学生的口头表达能力和逻辑思维能力，使他们能够更好地展示自己的观点。
4.鼓励学生独立思考，培养他们的问题解决能力。
在新课讲授环节，我发现大部分学生能够跟上课堂节奏，但仍有部分学生对二次函数的一般形式和求解最值方法掌握不够牢固。针对这个问题，我打算在接下来的课程中，增加一些例题和练习，让学生在实际操作中加深对知识点的理解。
人教版九年级上册数学二次函数与商品利润问题课件
解：(1) W＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋ 1600x－48 000； (2) W＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80)2＋16000， ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大 ，最大利润是16000元．
练习
1．教材P51 习题22.3第2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个
售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内
每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润
，则应该降价( A )
A．5元
B．10元
C．15元
D．20元
3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关
提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获 取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多 少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需 付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大 利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多 卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品 时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有 最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？
解：(1) y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)； (2) 由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数 量大于1 200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于 500小于1 200份时，乙印刷厂费用少．
二次函数和商品利润(新)
答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
问题4.已知某商品的进价为每件40元。
现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价 格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10 件；每降价一元，每星期可多卖出20 件。如何定价才能使利润最大？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元）
售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？ （注：销售利润=销售收入－购进成本）
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x） , y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） （2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） 配方得y=－100（x－3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元. 即降价为3元时，利润最大. 所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元. 答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
商品利润问题与二次函数典型例题解析
商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习：1某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克•经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克•现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克应涨价 x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利 _________________ 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克；问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元？根据题意列方程得：解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。
答：。
2、 二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=y=3、 函数y=x 2+2x-3(-2 w x w 2)的最大值和最小值分别是 新知解析：例1、某商品现在的售价为每件 35元，每天可卖出50件。
市场调查发现：如果调整价格，每降价 1元，那么每天可多卖出两件。
请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销 售额是多少？解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：2y= ( 35-x ) (50+2x ) =-2x +20x+1750b 20 x=-=-=52a 2 X ( 2)因为 0<5<35 且 a=-2<0 所以 y=(35-5)(50+10)=1800答：当降价5元时 销售额最大为1800元。
此类习题注意要点：1、 根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为 x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。
2、 判断顶点横坐标是否在取值范围内。
因为函数的最值不一定是实际问题的最值3、 根据题意求最值。
写出正确答案。
例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要， 开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费 10元时， 床位可全部租出， 若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了 10张床位租出，如果每张床位每天以 2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是 多少钱？x o解：设当张价 X 元时租金为y 元，根据题意得：y= ( 100-10 X ) (10+x ) =-5x +50x+1000250=5因为5是奇数，不合题意。
九年级数学： 22.3第2课时二次函数与商品利润教案
第2课时 二次函数与商品利润能根据商品利润问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．阅读教材第50页，自学“探究2”，清楚求商品利润问题中的最值与二次函数最值之间的关系．自学反馈学生独立完成后集体订正：某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．(1)试求y 与x 之间的函数解析式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？(1)根据数量关系列出函数解析式；(2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值．注意自变量需符合实际意义．活动1 小组讨论例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y 与x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．解：(1)45＋260－24010×7.5＝60(吨)． (2)y ＝(x －100)(45＋260－x 10×7.5)． 化简，得y ＝－34x 2＋315x －24 000. (3)y ＝－34x 2＋315x －24 000＝－34(x －210)2＋9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．(4)我认为，小静说得不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而月销售额W ＝x(45＋260－x 10×7.5)＝－34(x －160)2＋19 200. 当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的．∴小静说得不对．要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x 元(x 为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】自学反馈(1)y＝－10 000 x＋80 000.(2)利润w＝(－10 000x＋80 000)(x－4)＝－10 000(x－6)2＋40 000.当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元．【合作探究】活动2跟踪训练(1)y＝50－x10(0≤x≤160，且x为10的正整数倍)．(2)w＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x2＋34x＋8 000.(3)w＝－110(x－170)2＋10 890.∵x≤340－180＝160，∴当x＝160时，w max＝10 880.即一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元．。
二次函数的实际应用利润问题
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)
即 y10x210x06000
精选ppt
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y10x210x06000 (0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大？（为了便于计 算，要求每箱的价格为整数）
精选ppt
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有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 6 0 x3 010 x8 43 0 010 x8
1x2 8 6x0 60(0≤0 x≤200 )
当 答x：定2价ba为5358时1 ， y元最时大，利18润最53大2，6最0大53 利6润0为060605005元0 3
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
精选ppt
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某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
数学人教版九年级上册二次函数与商品利润问题
2.（云南中考）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水 果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓， 规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40 元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合 一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的 利润为W元，求W的最大值．
例1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件定价x元，每星期总利润为y元 2 则y=(x-40)[300-l0（x-60）]= -l0x +1300x-36 000 2 = - 10（x-65） +6250 ∵900-l0x≥0且x≥0 ∴60≤x≤90． ∴当x=65时，y最大是6250． 答：商品定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．
1、选择恰当的自变量，根据题意列出函数解析式； 2、由实际情况的条件，求出自变量的取值范围；
3、根据自变量的取值范围和二次函数性质，求出函 数的最大最小值。
：已知某商品的进价为每件40元，售价是 每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反 映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖 出20件。设该商品每件降价x元,商场销售该商 品每周总利润为y元，则： 20-x 该商品每件利润为_____________ 元； 300+20x 该商品的销量为_______________ 件； 商场销售该商品每周总利润 2 y=___________________________________ (20-x)(300+20x)=-20x +100x+6000 0≤x≤20 ； 自变量的取值范围是_______________.
22.3 实际问题与二次函数第2课时 二次函数与商品利润PPT课件(人教版)
(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月可 获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李 明想要每月获得利润不低于3000元，那么政府每个月为他承担的总 差价最少为多少元？
时，y有最大值2500，∴将售价定为125元，销售利润最大，最
大销售利润是2500元
8．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租 出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出；若每床每晚 收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( 46 )
解：(1)当x＝20时，y＝－10x＋500＝300，∴政府这个月为他承 担的总差价为300×(12－10)＝600(元)
(2)依题意，得w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10(x－30)2＋4000. ∵a＝－10＜0，∴当x＝30时，w有最大值4000.即当销售单价定 为30元时，每月可获得最大利润4000元 (3)由题意，得－10x2＋600x－5000＝3000，解得x1＝20，x2＝40， 结合图象可知，当20≤x≤40时，w≥3000，又∵x≤25，∴当20≤x≤25 时 ， w≥3000. 设 政 府 每 个 月 为 他 承 担 的 总 差 价 为 P 元 ， ∴ P ＝ (12 － 10)(－10x＋500)＝－20x＋1000.∵－20＜0，P随着x的增大而减小， ∴当x＝25时，P有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月 为他承担的总差价最少为500元
11．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的 时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)， y值越大，表示接受能力越强．
九年级数学人教版(上册)第2课时 二次函数与商品利润
(2)在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为 了增大 B 型水杯的销售量，超市决定对 B 型水杯进行降价销售，当 销售价为 44 元时，每天可以售出 20 个，每降价 1 元，每天将多售 出 5 个．请问超市将 B 型水杯降价多少元时，每天售出 B 型水杯的 利润达到最大？最大利润是多少？
∴当 x＝32 时，W 取最大值，W 最大＝2 880；
当 32＜x≤40 时，W＝(x－8)y＝120(x－8)＝120x－960. ∵120＞0，∴W 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝40 时，W 最大＝3 840. ∵3 840＞2 880， ∴最大利润为 3 840 元．
类型 2 “每……每……”的销售利润问题 4．将进货价为 70 元/件的某种商品按零售价 100 元/件出售时， 每天能卖出 20 件．已知这种商品的零售价在一定范围内每降低 1 元， 其日销售量就增加 1 件，为了促销，决定对其降价 x 元销售，则每 件的利润为 (30－x) 元，每日的销售量为 (20＋x) 件，每日的利润 y ＝ －x2＋10x＋600(0≤x≤30，且x为整数) 写出自变量的取值范 围)，所以当每件降价 5 元时，每日获得的利润最大，为 625 元．
解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，由题意，得 226400＝ ＝2380kk＋ ＋bb， ，解得kb＝ ＝－ 5401.0， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－10x＋540.
(2)设遮阳伞每天的销售利润为 w(元)，当销售单价定为多少元时， 才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
7．(2021·怀化)某超市从厂家购进 A，B 两种型号的水杯，两次
购进水杯的情况如表：
进货批次 A 型水杯/个 B 型水杯/个 总费用/元
商品利润问题与二次函数典型例题解析
商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习：1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利元；问题二：涨价后日销售量减少千克；问题三：涨价后每天的销售量是千克；问题四：涨价后每天盈利元？根据题意列方程得：解方程得：因为商家涨价的目的是 ；所以符合题意。
答：。
2、二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是新知解析：例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。
市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。
请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-)2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0所以y=(35-5)(50+10)=1800答：当降价5元时 销售额最大为1800元。
此类习题注意要点：1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。
2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。
因为函数的最值不一定是实际问题的最值3、根据题意求最值。
写出正确答案。
例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是多少钱？解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10×2x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_(×250=5因为5是奇数，不合题意。
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二次函数与商品利润练习题
基础题
知识点销售中的最大利润
1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为() A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为() A．5元B．10元
C．0元D．6元
3．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
4．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系
为：每投入x万元，可获得利润P＝－
1
100(x－60)
2＋41(万元)．每年最多可投入100万元的销售投资，则5
年所获利润的最大值是________．
5．天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；
(2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
6．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图．
(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
中档题
7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是() A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月
8．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的售价应为________元．
9．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
10．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．
(1)求y2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获的利润最大？最大利润是多少？
综合题
11．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x(元/件)(x>0即售价上涨，x<0即售价下降)，每月饰品销售量为y(件)，月利润为w(元)．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
(3)为了使每月利润不少于6 000元应如何控制销售价格？
参考答案
基础题
1.B
2.A
3.3
4.205万元
5.(1)由题意得：y ＝(x －8)[20－4(x －9)]，化简得：y ＝－4x 2＋88x －448(9≤x ≤14)．
(2)y ＝－4x 2＋88x －448＝－4(x －11)2＋36.所以当x ＝11时，y 最大＝36.答：每件售价定为11元时，一天所得的利润最大，最大利润是36元．
6.(1)y ＝ax 2＋bx －75图象过点(5，0)，(7，16)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20.∴y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25.∴当x ＝10时，y 最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
(2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下，∴当7≤x ≤13时，y ≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
中档题
7.C 8.25 9.22
10.(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩
⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638
(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.
∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)．∴当x ＝3时，w 取最大值214
.答：第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214
元/千克． 综合题
11.(1)由题可知：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧300－10x （0≤x ≤30），300－20x （－20≤x<0）. (2)w ＝⎩⎪⎨⎪⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30），（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x<0）.化简得：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋100x ＋6 000（0≤x ≤30），－20x 2－100x ＋6 000（－20≤x<0）.即：w ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－10（x －5）2＋6 250（0≤x ≤30），－20（x ＋52）2＋6 125（－20≤x<0）.①当0≤x ≤30，x ＝5时，w 最大值为6 250；②当－20≤x<0，x ＝－52
时，w 最大值为6 125.由题意知x 应取整数，故当x ＝－2或－3时，w<6 125<6 250.故当销售价格为65
元时，月利润最大，最大月利润为6 250元．
(3)由题意知：w≥6 000，如图，令w＝6 000，得x1＝－5，x2＝0，x3＝10，∴－5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6 000元．。