一元二次方程(概念_一般形式_公开课)
一元二次方程的概念-PPT课件
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
《一元二次方程》PPT课件
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
一元二次方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 因为甲队对乙队旳比赛和乙队对甲队旳比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
x2 75x 350 0
x2 x 56
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程旳区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
分析:
设切去旳正方形旳边长为xcm, 则盒底旳长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm .
根据方盒旳底面积为3600cm2,
得 (100 2x)(50 2x) 3600
3600
100㎝
xcm 50㎝
即
x2 75x 350 0
问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛旳每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天 安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
0是一元二次方程吗？
一元二次方程旳一般形式
一般地,任何一种有关x 旳一元二次方程都能够
化为ax2 bx c 0 旳形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程旳一般形式。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可觉得零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
?
学习目旳
1.了解一元二次方程旳概念， 根据一元二 次方程旳一般 式，拟定各项系数
2.灵活应用一元二次方程概念 处理有关问题
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它旳四角各切去一种正方形,然后将四突出部
一元二次方程概念
把实际问题转化为一元二次方程模型.
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
课件展示：教师引导学生完成下列题目，复习一元一次方程的相关知识．
1．回顾一元一次方程的概念；一元一次方程中的“一元”是指？“一次”是指？
2．一元一次方程的一般形式是ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)．
3．什么是一元一次方程的解？如何判断一个数是不是一元一次方程的解？若已知x＝1是方程ax＋3＝0的解，则a＝－3.
A．ax2＋bx＋c＝0B．(m－3)x2－2x＝0
C．(a－1)xa2－1－x＋2＝0D．(m2＋1)x2＋2x－5＝0
2．已知b(b≠0)为方程x2＋ax－b＝0的一个根，则下列正确的是(A)
A．a＋b＝1B．a－b＝1
C．a＋b＝－1D．a－b＝－1
通过练习，可巩固和加深对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力.
(2)是一元二次方程？
解：(1)当k－5＝0且k＋2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5.
所以当k＝5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元一次方程．
(2)当k－5≠0时，方程为一元二次方程，即k≠5.
所以当k≠5时，方程(k－5)x2＋(k＋2)x＋5＝0为一元二次方程．
【变式训练】
1．下列方程中一定是一元二次方程的是(D)
(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．
①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③ ＝0.
问题2：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
师生共同小结(板书)：
一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
《一元二次方程》PPT课件
的值为多少?
?
解 :∵ x 0是方程的解 代入得m2 4 0 m 2,且m 2 0 m 2 2m2 4m 3 2 22 4 2 3 3 代数式的值为3.
பைடு நூலகம் 例例题题讲讲解解
(2)关于x的 一方元程二次方程
(m 2)2 x2 3m2x m2 4 0
有一根为0,则2m2 4m 3
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
1 x(x 1) 28 2
即:x2-x=56
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
X2-x 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 …
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解. 是否只有x=8是方程的根呢? X= -7呢?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
B. (x+7)(x+6)=0
C. x2－x+42=0
D. x2+x－42=0
练习
1)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为_X_=_
1
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为X_=_-_1
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
是 2 ___ ,等号两边是 整 __ 式。
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
21.1一元二次方程(教学课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
）
已知一元二次方程的解，求未知数的值（易错）
变式4-1 关于x的一元二次方程（a−1）x2＋x＋a2−1＝0的一个根是0，则
a的值为（
）
A．1或-1
B．1
C．-1
D．0
【详解】
把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，
5
x
m
2m 0 的常数项为0
【解析】∵关于x的一元二次方程
m2 0
∴ 2
，解得：m=0
m
2
m
0
一元二次方程组解的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
已知一元二次方程的解，求未知数的值
例4 若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（
程可能是（
A．3x+1=0
）
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
已知二次项系数、一次项系数、常数项，求一元二次方程
变式3-1 关于x的一元二次方程
则m的值为（
A．1
m 2 x
2
5x m 2m 0 的常数项为0，
2
）
B．2
C．0，2
D．0
2
2
m
2
x
情景导入
正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是
2 = 9
人教版中考数学专题课件：一元二次方程
皖考解读
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当堂检测
一元二次方程
利用因式分解法解一元二次方程时，当等号两边含有相 同的因式时，不能随便先约去这个因式，否则会出现失根的 错误，如：解方程 2(x－3)＝3x(x－3)．
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一元二次方程
变式题 [2012· 佛山] 用配方法解一元二次方程 x2－2x －3＝0 时， 方程变形正确的是 A．(x－1)2＝2 C．(x－2)2＝1 B．(x－1)2＝4 D．(x－2)2＝7 ( B )
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一元二次方程
考点2 一元二次方程的四种解法
直接开 适合于 x2＝a 或(x＋a)2＝b(b≥0)形式的方程． 平方法 ①化二次项系数为 1；②把常数项移到方程的另一边； ③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把 配方法 方程整理成(x＋a)2＝b 的形式； ⑤运用直接开平方法解 方程． 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，且 b2－4ac≥0 时，则 x
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一元二次方程
探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
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一元二次方程
例 3 [2013· 北京] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋ 2k－4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
－（－10）± 64 x＝ ，∴x1＝1，x2＝9. 2×1
皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程》(第2课时)优质课课件
( 7 ) mx 2 0 ( m 为不等于 0 的常数 )
一元二次方程解的概念
v方程解的定义是怎样的呢? 能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m ＋4=0有一根为2,求m. 分析:一根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.
4 (m 1 ) 6 5 m 4 0
m6
练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
3²+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a9 4
例：关于x的一元二次方程（m-1)x²+x+m²-1=0的一
个根为0，求m的值.
当有一个根为0时，常数项 c 为0；
当有一个根为1时，二次项系数、一次项系数、常数
项的和为0，即 a+b+c =0 ；
当有一个根为-1时，一次项系数等于二次项系数与
常数项的和，即 a+b+c =0 。
（1）若c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0,必有 一解为 0
（2）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0, 必有一解为 1
D.(a2一 样个 的人 人所 才受 有的 学教 问育 。超
过 了 自 己 的 智 力 ，
You made my day!
我们，还在路上……
A. a>1 B. a<1 C.a=1 D.a≠1
(1) x 2 x 1
看谁眼力好！
一元二次方程复习课公开课
的对边a,b,c，已知a=3，b和c是关于 x的方程
1 x mx 2 m 0 2
2
的两个实数
根，求 ABC 的周长
返回
小结： 本节课你学到了
什么？
作业：必做
选做
补充习题 伴你学
谢谢！
2
当二次项系数不为 1的时候，先将系 数化为1，然后方 程两边同加上一 次项系数一半的 b b 2 4ac 平方
2a
2 4ac≥0时，x= 当b-
1、提取公因式法 2、完全平方、平方差 公式 3、十字相乘
知识回顾 对应练习2： 1.一元二次方程3x2=2x的解是
2 x1=0,x2= . 3
知识回顾
对应练习4：
1. 方程x2-4x+4=0根的情况是（ B ） (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)只有一个实数根 (D)没有实数根 1 2.已知方程3x2+2x-6 = 0 ,则它的两根的倒数和为 3 . 3.已知方程x2-bx+22=0的一根为5- 3 ,则另一根为 5 3 ,
一元二次方程复习课
第一课时
赣榆汇文双语学校 石远鑫
人生如同一道复杂的方程题，只有用心解， 才能有美丽灿烂人生
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程与其他知识结合
一 元 二 次 方 程 复 习
知识回顾
一、一元二次方程的概念 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
返回
知识回顾
三、一元二次方程根的判别式
b2-4ac＞0
b2-4ac＝0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
一元二次方程解法复习公开课112
当堂检测
1、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若x2=4，则x=2； （2）方程x2=x的根为x=1； （3）方程(x-1)2 = 1的两根互为相反数．• 其中答案完全正确的题目个数为（ A ） A． 0个 B．1个 C．2个 D．3个 2 2、用配方法解方程 x 2 x 5 0 时，原方程 应变形为（ B ）
热烈欢迎各位老师莅临指导！
概念及 一般形式
ax bx c 0a 0
2
一元二次方程 方程的解法
直接开平方法
因式分解法
配方法 公式法
b b2 4ac 2 x b 4ac 0 2a
练习 1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x -3x+4=x -7 (2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 x 20
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程，则 （ C ）
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
• １、用直接开平方法：(x+2)2=９
例:解下列方程
∴ x=-2±3
解:两边开平方,得: x+2= ±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x1=1, x2=-5
① x2 + 2x - 195 = 0 ; ② 2x2 = x;
③ 2x(x-2) + x = 2 ;
⑤ (x+2)2 + x2 = 10 ⑦ x2 – 2x + 1 = 25
④ (x - 1)2 = 5
⑥ 3x(2x +1) = 4x+2 ⑧
x 3x 3 0
2022年华师大版《一元二次方程》公开课教案
22.1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别以下选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A 、B 、D ，应选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x |k －1|＋kx ＋1＝0是一元二次方程，那么k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1. ∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将以下方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各局部的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2021·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下局部面积为m 2.床单的长是2m ，m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，那么由图可知剩下局部的长为(2－2x )m ，剩下局部的宽为(1.4－2x )m.∵m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6. 方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x 2－2x ＝0的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，那么m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.第2课时用科学记数法表示较小的数1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)2．能将用科学记数法表示的数复原为原数．一、情境导入同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数2021年6月18日中商网报道，一种重量为千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人用科学记数法可表示为()A×10－4×10－5×10－5D．106×10－6解析：×10－4.应选A.方法总结：绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，其中1≤a<10，n为正整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数前面的0的个数所决定．【类型二】将用科学记数法表示的数复原为原数用小数表示以下各数：(1)2×10－7; ×10－5；×10－3; ×10－1.解析：小数点向左移动相应的位数即可．解：(1)2×10－7×10－5＝0.0000314；×10－3＝0.00708；×10－1＝0.217.方法总结：将科学记数法表示的数a×10－n复原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．三、板书设计用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a<10，n是负整数．从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活泼，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量。
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
适用于可以因式分解的一元二次方程。
因式分解可能不唯一，需要选择正确的因 式分解方式。
04 一元二次方程的应用
生活中的一元二次方程
投资回报
在投资中，一元二次方程可以用 来计算投资回报率，例如计算复
利。
贷款还款
贷款的月供、年供等可以通过一元 二次方程来计算。
购物优惠
在购物时，商家经常会提供一些优 惠活动，例如满减、折扣等，这些 优惠可以通过一元二次方程来计算 最优解。
数学中的一元二次方程
01
02
03
几何学
在几何学中，一元二次方 程可以用来解决一些与面 积、体积、角度等有关的 问题。
三角函数
在三角函数中，一元二次 方程可以用来求解一些与 角度、边长等有关的问题 。
数列
在数列中，一元二次方程 可以用来求解一些与数列 的通项公式、前n项和等 有关的问题。
科学中的一元二次方程
物理学
在物理学中，一元二次方 程可以用来解决一些与力 学、电磁学、光学等有关 的问题。
化学
在化学中，一元二次方程 可以用来解决一些与化学 反应速率、化学平衡等有 关的问题。
天来解决一些与行 星运动、恒星演化等有关 的问题。
THANKS
特点
方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且 a≠0。
方程的一般形式
01
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c为常数，且a≠0。
02
特殊情况：当b=0时，方程退化 为一元一次方程；当a=0时，方 程变为线性方程。
方程的解
解的定义
满足方程的未知数的值称为方程的解 。
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x2 x 0
x2 2 0
2x2 19x 24 0
x2 2x 0.44 0
x2 x 0
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0) x2 4 ( x 2)2 是一元二次方程吗？
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
x2＋2x=0.44.
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯
子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。
解：设梯子滑动的距离是X米。根 据题意得
(4 x)2 (3 x)2 52
整理，得 x2 x 0
根据题意，得 x(19 2x) 24
整理，得 2x2 19x 24
问题情境
（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计
到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增
长率. 析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是
万册；
明年年底的图书数是
万册.
可列得方程
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
23.1 一元二次方程
问题情境
（1）正方形桌面的面积是2m2，
m2
求它的边长？ 解：设正方形桌面的边长是 x m
根据题意得：
x2 2
问题情境
（2）矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏 的总长度是19米。如果花园的面积是24m2，求花 园的长和宽？
解：设花园的宽是 x m ,则花园
的长是(19-2x)m.
2x(x 1) 3(x 5) 4
4、关于x的一元二次方程(m 3)x2 (m 1)x m 0 ，则二次项系数是_______，一次项系数是______， 常数项是__________
5、关于x的方程，kx2 x 1 2x2是一元二次 方程，则k的取值范围是 _________
一元二次方程的一般形式
二次项系数
一次项系数
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
a x 2 又叫二次项 b x叫一次项
(aa、xb、2c+为常b 数x且+a例c≠ 0=题) 0讲二 一 常解次 次 数项 项 项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
• [例1] 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
• 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
关于x的方程，kx2 x -1 2x2一定是一元二次 方程吗？
例题讲解
• [例2] 若方程 (m例题3讲)x解m27 mx 10
是关于x的一元二次方程，求m的值。
• 解：由题意得：
3x(x 1) 5(x 2)
解：
二次项： .其系数为
.
一次项： ，其系数为
常数项为
课堂练习
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项。
(1)x2 0
二次项系数 一次项系数 常数项
(2)4x 1 x2
(3) 2x2 3x 1 (4) x(x 3) 2
做一做，看看你是否真的掌握了
1.下列是一元二次方程的是（ ）
A.x2 3x 2 C.x2 2 3x
B.x2 3x 2 x2ຫໍສະໝຸດ D.x2 x3 4 0
2.写出一个一元二次方程，使它的各项系
数之和为6，则方程可以是________.
3.将下列方程化为一般形式，并分别指出 它们的二次项系数、一次项系数和常数项
1.判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方 程 x2 - 2=x 的根.
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解(或根)
已知关于x的方程x2 ax a 0的 一个根是3，求a的值.
解：把x 3代入方程，得：
32 3a a 0 解得：a 9
• （5）一项工程甲单独做需要10天， 乙单独做需要15天，二人合作需要几 天完成？
• 解：设甲乙合作需X天完成，
•
1 1 =1
10 15 x
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
一元二次方程的概念
• 像特这点样: 的①等都号是两整式边方都程是; 整式, 只含有 一个未知②数只(含一一元个)未，知并数;且未知数的最 高次数是③2未(二知数次的)的最高方次程数叫是做2. 一元二次 方程(quadratic equation in one unknown)
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知识回顾 Knowledge Review
下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？
1）3x 2 5x 3 2)4 y2 5 y
11 3) x2 x 2 0 4)x2 y 2
把下列一元二次方程化简为右边为0的形式
x2 2
2x2 19x 24
x2＋2x=0.44
x2 x 0
x2 2 0
k为何值时，关于x 的方程
（k 2 1)x2 2(k 1)x 3(k 1) 0是 1）一元二次方程 2）一元一次方程
已知关于x的一元二次方程
(a 1)x2 x a2 1 0的一根是0
则a =
什么是方程的根?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根