运筹学_3 网络分析_31 图论与网络分析简介_
网络分析
（4 ）环 的两个端点相同， 若e的两个端点相同，即u＝v，则称为环。 的两个端点相同 ＝ ，则称为环。 （5）多重边 若连接两个端点的边多于一条以上， 若连接两个端点的边多于一条以上，则称为 多重边。 多重边。 （6）多重图 含有多重边的图，称为多重图。 含有多重边的图，称为多重图。 （7）简单图 无环、无多重边的图，称为简单图。 无环、无多重边的图，称为简单图。
（13）基础图 13）
从一个有向图D＝（ ， ） 从一个有向图 ＝（V，A）中去掉所有边上的箭头所 ＝（ 得到的无向图，就称为D 的基础图，记之为G（ ）。 得到的无向图，就称为 的基础图，记之为 （D）。
（14）截 14）
如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时， 如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时， 被移去的边的集合就称为截。 被移去的边的集合就称为截。
需要说明的是——图的定义只关注点之间是否 图的定义只关注点之间是否 需要说明的是 连通，而不关注点之间的连结方式。 连通，而不关注点之间的连结方式。对于任何一个 图的画法并不唯一。 图的画法并不唯一。
运筹学图与网络分析
网络分析
➢ 图的基本概念 ➢最小支撑树问题 ➢ 最短路径问题 ➢网络最大流问题
图论起源：哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发;走过七 座桥;且每座桥只走过一次;最后回到出发点
结论：每个结点关联的边数均为偶数
§1 图的基本概念
1图
由点和边组成;记作G=V;E;其中 V=v1;v2;……;vn为结点的集 合;E=e1;e2;……;em 为边的集合; 点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
例 ： G1为不连通图; G2为连通图
G1
G2
5 支撑子图
图G=V;E和G'=V ' ;E ';若V =V ' 且E ' E ;则 称G' 为
G的支撑子图;
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
e6 e7
e2
v3
e8 e9
两条以上的边都是权数最大的边;则任意去掉其 中一条： ③若所余下的图已不含圈;则计算结束;所余下的图 即为最小支撑树;否则;返问①;
例 求上例中的最小支撑树
v1
5
v2
7.5 4
5.5
3
v5
2
解：
v3 3.5 v4 v1
5
v2
75 4
55
3
v5
2
v3 3 5 v4
算法2避圈法：从某一点开始;把边按权从小到大 依次添入图中;若出现圈;则删去其中最大边;直至 填满n1条边为止n为结点数 ;
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学课件—网络分析
v3 : v2 ,lv3 v2 ,1
lv3 minlv2 , f32 min1,1 1
v3 vt : f3t 1 c3t
vt : v3 ,lvt v3 ,1
lvt minlv3 ,c3t f3t min1,1 1
二.调整
lvt 1
在u
上：f
s1
fs1 1 1 2
vi vk ,若fki 0,则v j不标号;若fki 0,则v j可标号
vk： vi ,lvk lvk minlvk , fki
.
.
. 可能结局：（1）标号中断，已得最大流
（2）v t 得到标号，得一条增广链
二. 调整过程：
. lvt 调整量
f ij
f ij f ij
vi ,v j u vi ,v j u
非零流
定义2：给定网络D (V , A,C ) 若将V V1 , V1 , Vs V1 , Vt V1
V1 V1 (空)，则称弧集（V1 , V1）为截集
定义3：截集（V1 , V1）所有弧容量之和为截量
C（V1 , V1）
C ij
(Vi ,Vj )(V1 ,V1 )
例1. V1 vs V1 v1,v2 ,v3 ,v4 ,vt
C （V1 , V1） C S1 C S2 5 3 8
2. V1 vs ,v1 ,v2 ,v3 ,v4V1 vt
C （V1 , V1） C4t C流量等于分离Vs ,Vt
的最小截量，则max( f ) minC(V1,V1 )
定理2：可行性f *是最大流，当且仅当不存
v2 (3,3)
(3,3)
vs
(1,1) (1,1)
(5,1)
v1 (2,2)
运筹学课件 第六章图与网络分析
v 若 eij i , v j ，称 vi , v j 是边 eij 的端 点，反之，称边 eij 为点 v i 或 v j 的关联边。 若点 vi , v j 与同一条边关联，称点 vi v j 相邻； 若边 和 具有公共的端点，称 ei ei ej 和 相邻
e3 e13 v1, v3 v3 , v1 e31
2013-12-3
18
图中有些点和边的交替顺序 0 , e1 , v1 ,...,ek , vk v ，若其中各边 e1 , e2 ,...,ek 互不相同，且对 任意 vt 1 和 vt (2 t k ) 均相邻，称为 链。 上图中 1 v5 , e8 , v3, e3, v1, e2 , v2 , e4 , v3, e7 , v4
27
解
因要使上述村镇全部通上电，村镇之间必 须连通，又图中必不存在圈，否则从图中去掉一 条边图仍连通，就一定不是最短路线，故架设长 度最短的路线就是从上图中寻找一棵最小树。
2013-12-3
28
用避圈法时，先从图中任选一点 S , 令 S V ，其余点 V , V 与 V 间的最 短边为（ S , A) ，将该边加粗，标志它是最小 树内的边。再令 V A V ,V V A 重复上述步骤，一直到所有点连通为止。过程 如下：
如果用点表示研究的对象，用边表示这些 对象之间的联系，则图G可以定义为点与边的集 合，记作 G , E V
V v1 , v2 ,...,vn
E e1 , e2 ,..,em
式V是点的集合，E是边的集合。
2013-12-3 13
注意，上面定义的图G区别于几何学中的图。 几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等都 十分重要，而这里只关心图中有多少个点以及哪 些点之间有线相连。 如果给图中的点和边以具体的含义和权数 （如距离、费用、容量等）。把这样的图称为网 络图，记作N。 图和网络分析的方法已广泛应用于物理、化 学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等 各领域。
图论与网络分析
图论是数学的一个分支，研究图的性质和特点，而网络分析是应用图论于实际问题中，通过分析网络结构和关系来揭示其潜在的规律和模式。
图论和网络分析在现代科学、技术和社会的各个领域都有广泛的应用，如社交网络、交通网络、生物网络等。
本文将以图论与网络分析为题，探讨其重要性和应用范围。
首先，图论和网络分析对于社交网络的研究具有重要意义。
社交网络是人们日常生活中相互联系和交流的重要方式，通过图论和网络分析可以分析社交网络中的人际关系和信息传播。
例如，研究一个社交网络中的节点（人）的连接和交流模式，可以找出核心节点、社区结构以及信息传播路径，从而帮助我们理解人们之间的联系及其对社会的影响。
其次，图论和网络分析在交通网络中的应用也非常重要。
交通网络是现代社会运行的重要基础，图论和网络分析可以帮助我们优化交通规划和管理。
例如，研究交通网络中的节点（道路和交通枢纽）之间的连接和交通流量可以帮助我们找出瓶颈节点和拥堵原因，从而设计更有效的交通流管理策略，提高交通运输的效率和便利性。
此外，图论和网络分析在生物网络研究中也占据重要地位。
生物网络是研究生物学和医学的重要工具，可以帮助我们理解生物体的复杂系统和相互作用。
例如，研究蛋白质相互作用网络，可以发现重要节点和模式，从而帮助我们预测蛋白质的功能和相互作用方式，为疾病诊断和药物设计提供重要依据。
最后，图论和网络分析在计算机科学中的应用也不可忽视。
计算机网络是现代信息科技的基础，而图论和网络分析可以帮助我们研究和设计高效的网络结构和优化算法。
例如，研究互联网中的路由器和通信节点之间的连接方式和流量分配可以帮助我们提高网络的性能和吞吐量，保证网络的可靠性和安全性。
综上所述，图论与网络分析在社交网络、交通网络、生物网络和计算机网络等领域的应用都是十分重要的。
通过图论和网络分析的方法，我们可以从整体和局部的角度来研究和理解不同领域中的网络结构和关系，揭示其内在的规律和模式。
图论与网络分析的发展将为我们提供更多解决实际问题的方法和思路，推动科学、技术和社会的进步。
运筹学课件-第六章图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
运筹学图与网络分析.pptx
{a26,a46 } φ
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+3,0+2,0+5}=2= l1+W13 min{l1+W12, l1+W13, l3+W34}= min{0+3,0+5,2+1}=3= l1+W12, l3+W34 min{l2+W26, l4+W46}= min{3+7,3+5}=8= l4+W46
{ a57,a68 }
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+2,0+6,0+3}=2= l1+W12 min{l1+W13, l1+W14, l2+W23, l2+W26}= min{0+6,0+3,2+3, 2+7}=3= l1+W14 min{l1+W13,l2+W23, l2+W26, l4+W45}= min{0+6,2+3,2+7,3+6}=5= l2+W23 min{l2+W26, l3+W35, l3+W36, l4+W45}= min{2+7,5+3,5+7,3+6}=8= l3+W35 min{l2+W26, l3+W36, l5+W56, l5+W57}= min{2+7,5+7,8+1,8+6}=9= l2+W26, l5+W56 min{ l5+W57, l6+W68}= min{8+6,9+4}=13= l6+W68
图论与网络
h
b
x
c
w
Euler型定理
定理2 设G是连通圈，则G是Euler型的充要 条件是G没有奇次数的顶点。
推论1 设G是一个连通图，则G有Euler链当 且仅当G最多有两个奇数次数的顶点。
连通性
图G称为连通的，如果在G的任意两个顶点u 和v中存在一条(u,v)路。
两点顶点u和v等价当且仅当u和v中存在一条(u,v)路。 不连通图至少有两个连通分支。 ω表示G的连通分支数。
网络规划概述
网络规划(Network Programming )是图论与 线性规划的交叉学科，具有广泛的应用背景， 比如，最短路问题、最小树问题、最大流问题、 最优匹配问题等。
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
M (G) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
d (v2 ) 3
d (v3 ) 3
0 0 0 1 1 2 0 d (v4 ) 4
2 22 2 222
4+3+3+4=14=2×7
e1
v1
e2
v2
e5
e7
e3
e6
v4
e4
v3
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元 素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所 有顶点的度之和，又等于边数的2倍。
定理 设G是一个图，则
d(v) 2
vV (G)
运筹学第三之图与网络分析
e4 e7
v3 ,v4 v3 ,v5
,e5 ,e8
v1 , v3 v5 ,v6
,e6 ,e9
v3 , v5 v6 ,v6
, e9 v6
e10 v 1 ,v6
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5
图1
e7 v3
两个点u,v属于V ,如果边(u,v)属于E，则称u,v两点相邻.
S1 {v1, e1, v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 }
无向图G中，连结vi0 与vik的一条链,当vi0 与vik 是同一个点时, 称此链为圈.圈中既无重复点也无重复边者为初等圈.
v2
e4
v4
e1
v1
e2
e3
e5 e7
e9
e8
v6
e10v3e6v5图3v2
v1 e1 e7 e6
v3
图4
e2
v4 e3
e8 e9 e10 v6
e4 e5 v5
图3中, S {v1, e1, v2 , e3 , v3 , e5 , v4 , e7 , v5 , e8 , v4 , e4 , v2 }
以vi为终点的边数称为点vi的入次,用d (vi )表示,
vi点的出次与入次之和就是该点的次.
有向图中,所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和
图G (V , E),若E是E的子集,V 是V的子集,且E中的边仅 与V 中的顶点相关联,则称G (V , E)是G的一个子图. 特别地,若V V ,则G称为G的生成子图(支撑子图).
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题
图论与网络分析简介
引言图论与网络分析简介¢图论(Graph Theory)是运筹学的一个分支，是建立和处理离散数学模型的一个重要工具，其起源最早可追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文，现已广泛应用在物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、计算机等各个领域中。
¢网络分析（Network Analysis）作为图论的一个重要内容，已成为对各种系统进行分析、研究和管理的重要工具，包括：最小支撑树问题、最短路问题、最大流问题，以及网络计划评审与优化问题等。
¢哥尼斯堡城有一条河叫普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。
一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到出发地。
尽管试验者很多，但是都没有成功。
A B¢为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成下图所示的一笔画问题。
即能否从某一点开始不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。
¢欧拉在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
¢图论中的图，是反映现实世界中具体事物及其相互关系的一种抽象工具，它比地图、分子结构图、电路图等更抽象。
¢图的定义：简单的说，一个图是由一些点(Vertices)及点间的连线(Edges)所组成的。
点可以作为现实世界中事物的抽象，而点间的连线表示事物间的关系。
例2：有A、B、C、D四支篮球队，进行单循环比赛，比赛情况如表1所示。
试用一个图表示各队之间的胜负关系。
比赛球队获胜球队A——B AA——C AA——D DB——C BB——D DC——D C表1图2图301,,k i i i v v v V∈ 1,k j j e e E ∈ 1(,)t t t j i i e v v -=(1,2,,)t k = ，0112,,,,,,k ki j i j j i v e v e e v μ= 0i v k i v 01ki i i v v v μ=0ki i v v =0ki i v v =1475678v v v v v v μ=图444768754v v v v v v v μ=245768v v v v v μ=3456874v v v v v v μ=图5图622412v v v v μ=12143v v v v μ= 图61(,)t t t j i i a v v -=(1,2,,)t k = 0i v k i v 01ki i i v v v μ= 0i v ki v 0112,,,,,,k ki j i j j i v a v a a v μ=32143v v v v μ=42412v v v v μ=12413v v v v μ=24134v v v v μ= 图6(,)ij i j v v ωω=ij ω,()i j v v1.产销平衡问题¢当总产量等于总销量，即：时，称为产销平衡的运输问题，简称平衡问题。
图论与网络知识点
图论与网络知识点一、引言近年来，随着互联网的普及和快速发展，图论与网络知识成为计算机科学中重要的研究领域之一。
图论是一门研究图和网络结构的学科，而网络知识则是应用图论来研究和解决网络中的各种问题。
本文将介绍一些图论与网络的基本概念、算法和应用。
二、图论基础知识1. 图的定义图是由节点和连接节点的边构成的一种数据结构，通常用G = (V, E)表示，其中V表示节点的集合，E表示连接节点的边的集合。
2. 图的分类根据图中边的特性，图可以分为有向图和无向图。
在有向图中，边是有方向性的，而在无向图中，边是没有方向性的。
3. 图的表示方法图可以通过邻接矩阵或邻接链表进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中节点之间的连接关系；邻接链表是一种链表的形式，用于存储每个节点的相邻节点信息。
三、图论算法1. 最短路径算法最短路径算法用于找到两个节点之间最短路径的方法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
2. 拓扑排序拓扑排序用于对有向无环图中的节点进行排序。
拓扑排序算法常用于任务调度、依赖关系分析等场景。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于找到一棵树，使得树中所有边的权重和最小。
常用的算法包括Prim算法和Kruskal算法。
4. 最大流算法最大流算法用于找到网络中从源节点到目标节点的最大流量。
Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法是常用的最大流算法。
四、网络知识点1. 网络拓扑结构网络拓扑结构指的是网络中节点之间连接的方式，常见的网络拓扑结构有星型结构、环型结构、总线结构、网状结构等。
2. 网络协议网络协议是计算机网络中用来进行数据交换的约定和规则。
常见的网络协议有TCP/IP协议、HTTP协议、FTP协议等。
3. 网络安全网络安全是指保护计算机网络和网络资源不受未经授权的访问、使用、披露、破坏、干扰等威胁的技术、方法和措施。
网络安全涉及到防火墙、入侵检测系统、数据加密等方面。
精选运筹学课件第八章图与网络分析资料
运筹学教程
v2
v6
e3
v3 e7
v5
运筹学教程
V= （ v1， v2，…... v6） E= （ e1， e2，…... e8） （e1）= （v1， v2） （e2）= （v1， v2） （e7）= （v3， v5） （e8）= （v4， v4） (e8)= (v4， v4),称为自回路(环)； v6是孤立点，v5为悬挂点，e7为悬挂边，顶点v3的次为 4，顶点v4的次为4。
2l23+ 2l36+ l69+ l98+ l23+ 2l87+ 2l74+ l41+ l12=51
运筹学教程
第二步：调整可行方案，使重复边最多为一次
重复边 的总长：
v3
l69+ l98+ l41+ l12=21
5
v2
第三步：检查每个初等圈是否 5
v1
定理条件2，如果不满足，进行
2 v6 4 v9
例：求解网络的中国邮路问题
运筹学教程
v3
5
v2
5
v1
2 v6 4 v9
3
3
6 v5 4 v8
4
4
9
v4 4 v7
v3
5
v2
5
v1
2 v6 4 v9
3
3
6
v5 4 v8
4
4
9
v4 4 v7
第一步：确定初始可行方案
先检查图中是否有奇点，如果无奇点，为欧拉图；如果
有奇点，图中的奇点的个数比为偶数个，所以可以两两 配对，构造二重边。图中有4个奇点，v2,v4,v6,v8,配对 v2-v4,v6-v8，构造二重边。重复边 的总长：
精选运筹学——图与网络分析资料
4:比较所有具有T标号的点,把最小者改为P标号.
P(vi
)
min
T
(vi
)
当存在两个以上最小值时,可同时改为P标号.
若全部改为P标号,则停止.否则转回(2).
OR3
15
用Dijkstra算法求图中v1到v8的最短路
OR3
16
最短路问题的算法：Bellman算法
适用范围：有向图，且图中有wij﹤0。
,
v
)
j
min
v v w d ( , )
s
i
ij
i
OR3
17
基本思路：
用逐次逼近来求网络中的最短路：每次求出从始 点到网络中其余各点有限制的最短路。
若第一次逼近即得最短路，则限制其最短路只有
一条弧，其路长记为
d
(1) sj
；
若第二次逼近即得最短路，则限制其最短路不超
过两条弧，其路长记为
d
1、令 d w (1)
1j
1j
，其中，若v1与vj间没弧，则记
w1j=+∞。
d min d w 2、
(t)
1j
( (t1) )
1i
ij
i
当计算到第k步时，若有
d d (k)
(k 1)
1j
1j
成立，则
停止计算。
d
(k 1j
)
即为从v1到各点的最短路。
OR3
20
举例：求v1到各点的最短路
2、掌握基本定理8及其证明 3、掌握求最大流的标号法
OR3
25
引例：如下输水网络，南水北调工程， 从vs到vt送水，弧旁数字前者为管道容量， 后者为现行流量，如何调运输水最多？
运筹学图与网络分析
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
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图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
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注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学图与网络分析
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总造价=1+4+9+3+17+23=57
避圈法：开始选一条权最小的边，以后每一步中， 总从未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选 边不构成圈的边。
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某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着已知长 度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度 最短。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城 市，Pregei河把该城分成两部分，河中有两个小 岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥， 当时人们提出这样的问题：有没有办法从某处 （如A）出发，经过各桥一次且仅一次最后回到 原地呢？
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得出第二次就座方案是（1，3，5，7， 2，4，6，1），那么第三次就座方案就不 允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中 删去这些边。
图论与网络分析
图论与网络分析随着互联网的普及和人们在网络上的活动不断增加，网络分析这一学科得到了越来越广泛的关注。
作为网络分析的基础，图论也成为了热门话题之一。
本文将介绍图论的一些基本概念和应用，并探讨网络分析对于实际问题的解决带来了哪些影响。
一、图论：从节点到边的科学图（Graph）是一种数学结构，它由一组节点（Node）和一组边（Edge）组成，被用于描述各种现实世界中的关系。
在图中，节点通常代表某种对象（例如人、物、事件等），而边则代表这些对象之间的关系（例如友谊、交易、传递等）。
图可以用数学的方式表示，例如矩阵或向量。
图论则是一门研究图形结构的学科，主要研究图的性质、结构和算法。
图论最早起源于著名的柏林七桥问题。
18世纪末，欧拉因为想了解柏林市中所有的桥（现在有无数座，但那时只有七座），是通过哪些路径相连通的，而开始着手研究这个问题。
欧拉在分析过程中创立了一些新的方法和概念，例如欧拉回路、欧拉图等。
这些概念和方法成为了图论的基础，也为其他领域的研究者提供了有益的工具和思路。
二、应用范围：从社交网络到交通网络图论在现代科学技术中得到了广泛的应用。
以下是一些经典的应用场景：（1）社交网络分析：在社交网络中，节点代表用户，而边则代表用户之间的关系，例如人际关系、信息传播等。
社交网络可以用来研究人群的规律、社会流动性等问题。
（2）交通网络分析：在交通网络中，节点代表交通枢纽（例如机场、港口、车站等），而边则代表交通线路，例如高速公路、铁路等。
交通网络可以用来研究交通拥堵状况、路径规划等问题。
（3）生物网络分析：在生物网络中，节点代表生命体的各个组成部分（例如蛋白质、基因等），而边则代表它们之间的生物学关系，例如相互作用关系、代谢途径等。
生物网络可以用来研究生物系统的稳定性、演化规律等问题。
（4）信息网络分析：在信息网络中，节点代表信息源或目标，而边则代表信息流动的路径。
信息网络可以用来研究网络盛行病学、信息过滤等问题。