电磁场与电磁波第二章 5恒定电场

? 面电流密度矢量 Js（单位 A/m）为垂直穿过单位 线段的电流。
数值为
Js ?
dI dl?
A/m，方向为电流的方向。
通过任意曲线 l 的电流
的电流为
? I ? S J S ?dl
dl
JS
bupt 2012
4
3 欧姆定律
欧姆定理微分式：
导体任一点上电流密度与电场强度成正比。 J ? ? E
描述媒质的导电特性，理想导体σ为趋于无穷大。
? 是媒质的电导率，单位 1/欧.米 (1 / ? ?m )
?
?
1
?
(?
?m )
?? ? 欧姆定理的推导：I ? J ?d S S
? JS ? ?ES
U
?
El
?
I
?S
?l ?
I
?l
?S
?
IR
SJ
?
l
E
U ? IR
J ??E
5
? 电流密度与电荷平均速度的关系：
dt时间内流过S面的电量及电流分别为：
dq ? ?Svdt I ? ?Sv J ? ?v
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静电场和恒定电场： ?静电场一般指绝缘介质中的静电场；恒定电场是导 体中的静电场。二者本质相同。 ?媒质对静电场的影响主要通过介质的极化；媒质对 恒定电场的影响主要通过电流。 ?维持静电场不需要外部能量；要维持恒定电场，必 须维持恒定电流，有焦耳损耗。
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（2） 恒定电场的无旋性
在导体内部电荷分布保持恒定, 电场分布也为恒定。 不变电荷 产生的稳恒场，所以恒定电场与静电场相同。
??SJ ?d S ? 0
?? ?? ?? J S1
1
?d
S1
?
J
S2
2
?d
S2
?
J
S3
3
?d S3
?
0
? I1 ? I2 ? I3 ? 0
J2 J3
9
3. 导电媒质中的恒定电场
（1） 均匀导电媒质中恒定电场的无散性
? ? 恒定电流连ur 续性方程的ur微分u形r 式 ? ?J ? 0 ?? ? E ? ??? E ? E ??? ? 0
I ? lim ? q ? dq ? t? 0 ? t dt
2 电流密度：描述电流的空间分布。
?单位时间内垂直穿过的单位
ur J
?
lim
lim
?q/
?t
n?
面积的电量。安/米2（A/m2）
? S ?s? 0 ? t? 0
电流强度是电流密度的通量：
ur ur
I ? ??S J ?d S
电流密度：体电流密度矢量J（单位 A/m2）、面电流密度
解 (1) 在导体内部只存在Et。
?Et ?dl ?Etl ? IR
Et
?
IR l
?
20 ? 1 ? 100
0.2
V/m
?
或者：
E
?
J
?
?
I
?S
,
R
?
l
?S
,
E ? IR ? 0.2 l
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(2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是
En
?
Dn
?0
?
?s ?0
?
5 ? 10?12 8.85 ? 10?12
S vJ
v dt ?
6
二、 恒定电流场方程
1 电流连续性方程 2 基尔霍夫电流定律
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1 电流连续性方程：
电荷守恒定理：在单位时间从任意闭和曲面流出的电
量等于此闭和曲面包围体积中电荷的减少率。
?S?J
?d
S
?
?
?q ?t
?
?
? ?t
??V??dV
?S?J ?d S ? ??V???J dV
??V?(?
?J
?
??
?t
)dV
?
0
? ?J ? ?? ? 0
电流连续性方程：
?t
恒定电流场，驻立电荷的空间分布不随时间变化。
??
?0
?t
? 电流连续性方程： ? ?J ? 0
??SJ ?d S ? 0
恒定电场没有散度源，电流无头无尾，自行闭合。 8
2 基尔霍夫电流定律：
J1
设电路中一节点为a，在它
a
周围作一个小的闭和曲面：
Js（单位 A/m），线电流密度等情况。
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2
体电流密度
? 体电流密度矢量 J 为垂直穿过单位Baidu Nhomakorabea积的电流。
数值为 J ? dI A/m2，方向为电流的方向。 dS?
通过任意曲面的电流为：
vv
I ? ?S J ?dS
dS
J
线电流密度 : 即是线电流本身。
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3
面电流密度
电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。
? ? ? ? 电源内部： J ? ? E ? E'
J
?
?
E ? E'
?l ?J
dl
?
?Edl
l
?
?E' dl
l
基尔霍夫电压定律
?l ?ISdl
?
?Edl
l
?
?E' dl
l
?
?E' dl
l
电动势
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(4) 导电媒质中的能量损耗（课本 2.11.5节）
自由电子的碰撞产生能量损失，由外电场做功补充能量。
P
?
dW
?
ur r dqE ?dl
?
ur r I E ?dl
?
ur ur J ?Edl ?S
ur udr t
dt
? J ?EdV
单位体积功率损耗： p ? J ?E
P ? pSl ? SJ ?lE ? IU ? I 2R ? U 2 / R
焦耳定律
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例 4.1 直径为2mm的导线, 每100 m长的电阻为1 Ω, 当导线中通过 电流20 A时, 试求导线中的电场强度。如果导线中除有上述电流通 过外, 导线表面还均匀分布着面电荷密度为 ρs=5×10-12 (C/m2)的 电荷, 导线周围的介质为空气 , 试求导线表面上的场强大小和方向 。
? ?E?0
恒定电场也是位场。
?E ?d l ? 0 l
这个特性只在电源外的导体中满足。
在电源内部, 不仅有电荷产生的电场（库仑场）, 还有其它局外 电场（非静电力，非库仑场) 。
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(3) 均匀介质中恒定电场的电位
在电源外的导体内： ? ?J ? 0, ? ?E ? 0
J ??E
? ?E ? ? ?(?? ? ) ? ?? 2? ? 0
2-9 恒定电流场
静电场中的导体： E ? D ? ? ? 0 ? ? C
? 1 电流和电流密度
? 4恒定电流场和静电场
? 2 恒定电流场方程
? 5恒定电流场的能量
? 3 恒定电流场边界条件
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一、 电流和电流密度
电流：电荷的定向移动形成电流，方向为正电荷运动的方
向。 分传导电流及位移电流。
1. 电流强度：单位时间流过某 横截面的电荷量。安培（A）
?
0.565
导体表面上总的场强为
均匀媒质： ?? ? 0
? ?E ? 0
在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷（静电荷） 只能分布在导体的表面上。
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导体中的恒定电场分析
?
EE?
J
在静电场中的导体：
若内部无恒定电流，导体表面产生感应电荷，感应电 荷激发的感应电场抵消原电场，内部总电场为零。
若内部有恒定电流，导体表面的感应电荷激发的感应 电场无法抵消原电场，内部电场不为零，这种由恒定 电流引发的电场称为恒定电场。