经济数学基础讲义 第1章 函数

第1章 函数1.1 函数概念1.1.1 函数的定义同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S =πr 2考虑半径r 可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1 设x , y 是两个变量，x 的变域为D ，如果存在一个对应规则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与x 对应，则这个对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =，称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域． 集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系． 例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域．解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x ．由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ．由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x ． 综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ． 例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F求)20(,)8(,)3(F F F ．解：⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m Fm 用3替代，由第一个关系式表示，得到4)3(=F ，同样可以得到4)8(=F ．m 用20替代，由第二个关系式表示，得到7)20(=F 1.1.2 有关函数的几点解释 1.函数的表示法如何表示函数关系是需要我们不断研究和发现的．常用的方法有三种：一种是用一个数学公式来表示，叫做解析法；一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图示法；还有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法．一般经常使用的就是这三种方法． 2.函数的记号在考虑一个问题的过程中，f 表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f 自始至终表示同样的对应关系．比如53)(2-+=x x x f ，它反映的就是这样一种对应关系：5)(3)()(2-⨯+=f ，等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算．如：15131)1(2-=-⨯+=f ，又如：535)(3)()(242222-+=-⨯+=x x x x x f无论左端带入什么，都对它进行同样的运算. 1.1.3 函数的基本性质下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．当一个变量增加时另一个变量也跟着增加， 这样的函数就叫做单调增加的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x 在增加的时候，它所对应的纵坐标y 也在增加，这样的函数是单调增加的． 单调减少是相反的，随着x 的增加相对应的y 在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当x 在增加的时候，它所对应的y 不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．例1 判断函数f (x )＝x 2当x >0时的单调性．分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x 1 > x 2，有f (x 1) >f (x 2)． 解：当x >0时，对任意的x 2 >0，有2221x x >（当x 1 > x 2 >0时，在不等式x 1 > x 2两端同乘以x 1或x 2，显然有2121x x x >，2221x x x >，由不等式的传递性就得到2221x x >．）由定义可知f (x )＝x 2当x >0时是单调增加的．一个函数的图形如果关于y 轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分析，曲线上任一点关于y 轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝f (x )，f (x )就叫做偶函数．一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有f (－x )＝－f (x )，f (x )就叫做奇函数． 例2 判断下列函数的奇偶性：（1）y ＝x 3－1 （2）y ＝x cos x解：（1）取 x ＝1，－1，f (1)＝0，f (－1)＝－2，显然f (1) ≠－f (－1)， 由此可知y ＝x 3－1 不是奇函数．又显然f (1) ≠f (－1)，由此可知y ＝x 3－1 不是偶函数． （2）因为y ＝x 是奇函数， y ＝cos x 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数． 所以y ＝x sin x 是奇函数如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有－M ≤ f (x ) ≤ M ，这条曲线所反映的函数就是有界函数．如果存在一个正数T ，对任意的自变量x ，有f (x + T )＝f (x )，这样的函数就叫做周期函数． 从图形上反映，这个函数在相隔为T 的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T 为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的．1.2 几类基本初等函数我们在中学的学习中已经认识了一些函数， 这些函数是非常基本的，有这样几类： 1. 常数函数：y = c ．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．2. 幂函数：y = x α，(α∈R )．以x 为底，指数是一个常数． 当α = 1时就是y = x ，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当α=2时就是y = x 2，它的图形是过原点且开口向上的抛物 线；当α=3时就是y = x 3，它的图形是过原点的立方曲线．3. 指数函数：y = a x ，( a >0，a ≠1)．底数是常数，指数是变量．例如y = e x ，y = 2 x ，y = (21) x． 所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a >1时，函数单调增加，当a <1时，函数单调减少．4. 对数函数： y = log a x ，( a >0，a ≠1)．以a 为底的x 的对 数．例如 y = ln x ，y = log 2x ，y =x21log．所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a >1时，函数单调增加；当a <1时，函数单调减少． 5. 三角函数：正弦函数：y = sin x ．余弦函数：y = cos x ． 例1 判断下列函数中，哪些不是基本初等函数： （1） y ＝521x； （2） y ＝(21)x ； （3） y ＝lg(－x )；（4） y ＝53； （5） y ＝2x ； （6） y ＝e 2x ．分析：依据基本初等函数的表达式来判断．解： 直接观察可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由52521-==xxy ，y ＝e 2x＝(e 2)x可知（1）与（6）中的函数是基本初等函数．（3）与（5）中的函数不是基本初等函数1.3 函数的运算函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了．在这里我们主要将函数的复合运算．所谓复合运算，就是指如果y 是u 的函数，u 是x 的函数，y 通过u 作为中间媒介就成为x 的函数，这就是函数的复合运算．如下面这个例子表示的：u y ln = x u sin = x y sin ln =这里y 是u 的函数，u 是x 的函数，y 通过u 作为中间媒介就成为x 的函数，这就是函数的复合运算．下面把这个复合的步骤以及它们的变域联系起来仔细地介绍一下：y 是u 的函数，这个函数用 f 来表示．u 是x 的函数，这个函数用φ来表示．φ的值域正好落在函数 f 的定义域里，经过u 作为媒介y 就成为x 的函数，这个复合函数的定义域是这样一个（红色）区域，它的值域就缩小成为这样一个（绿色）区域了． 这是为什么呢？因为x 在它的定义域内变化时，u 仅在这样一个（黄色）区域取到值，相应的y 的取值范围就缩小成为这样一个（绿色）区域．复合函数的记号就记为y = f (φ(x )) ．这种运算就叫做函数的复合运算．这样我们把函数分一下类：由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函数． 这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数．我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子．例1 已知函数y = f (x )的定义域为[0, 1]，求函数y = f (e x )的 定义域．分析：要使函数u = e x 的值域包含于函数y = f (x )的定义域中，由这个约束条件重新确定x 的取值范围．解：设u = e x ，它的值域要包含于y = f (x )的定义域中，即0 ≤e x ≤1由此得－∞ ＜x ≤0，由此可知复合函数y = f (e x)的定义域是(－∞, 0]．（附：已知函数ln t 是单调增加的，显然有1ln e ln ln lim 0≤<+→xt t ，由此得－∞ ＜x ≤0 ） 例2 将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复 合运算： （1）2)2sin(e +=x y （2）x y x 2cos ln 2=分析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得到的．具体解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，如有，则对每一个运算项进行分析，看其是否为复合函数，如是，则选择适当的中间变量将其化为基本初等函数．依此步骤反复进行．解：（1）uy e =，v u sin =，2w v =，2+=x w其中y , u , v 分别作为中间变量u , v , w 的函数都是基本初等函数．而w 是幂函数x 与常数函数2的和．（2）u y xln 2=，2v u =，x v cos =y = f (ϕ(x ))其中y 是指数函数2x与对数数函ln u 的乘积．而中间变量u , v 分别作为v , x 的函数都是基本初等函数．1.5 经济分析中常见的函数 1.5.1 需求函数与供给函数这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来， 我们把经济分析中最最常见的5种函数介绍给大家（这节课只介绍前两个）．同时我们希望通过这一节的学习能够使大家感受到数学工具在经济分析中的应用．首先我们介绍需求函数和供给函数． 大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少，价格便宜，买的人就多．需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢？我们可以把它简化为一种函数关系．我们先不考虑其它因素，简单地认为价格定了需求量就随之确定，这样需求量就是价格的函数．供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少．我们也可以把它简化为一种函数关系．需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数．现在我们讨论一种最简单的情况，认为需求函数和供给函数都是线性函数（一次函数），在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质．)0,0(<>+=b a bap q dd q 表示需求量，p 表示价格，b a ,表示常数．)0,0(1111><+=b a b p a q ss q 表示需求量，p 表示价格，11,b a 表示常数．我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，所以0<a ，当然0>b ．而供给量应随着价格的增加而增加，所以01>a ，01<b ，因为当价格为零时，不会有供给量． 从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线．我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为0p 时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡．这一点称为供需平衡点． 价格超过0p 时，供过于求；价格低于0p 时，供不应求．在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量．例1 某种商品的供给函数和需求函数分别为：1025-=p q s ，p q d 5200-=， 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由市场均衡条件：s d q q =，得到：p p 52001025-=-解出：70=p ，1650=q 1.5.2 成本函数我们再介绍经济分析中常见的三种函数：第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第三种叫做利润函数．我们先介绍成本函数．一种产品的成本可以分为两部分：固定成本C 0，比如，生产过程中的设备投资，或使用的工具，不管生产产品与否，这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定成本．变动成本C １， 比如每一件产品的原材料，这些费用依赖于产品的数量，这种成本称为变动成本．总成本就是固定成本加上变动成本：C = C 0 + C １ 成本应与产品的产量有关，这种函数表示为C (q ) = c 0 + C １(q )这就是成本函数．其中总成本C (q )是产量q 的函数，c 0与产量无关，变动成本C １(q )也是产量q 的函数．我们在引入平均成本的概念qq C C )(=，总成本除以产量q ，就是产量为q 时的平均成本，用C 来表示．例1 生产某商品的总成本是 q q C 2500)(+=，求生产50件商品时的总成本和平均成本． 解：成本q q C 2500)(+=平均成本25002500)()(+=+==qqqqq C q C600502500)50(=⨯+=C ，12250500)50(=+=C1.5.3 收入函数下面我们来讲收入函数．一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应该是价格乘以产量．但价格与产量之间也有一定的关系，这样就得到R = q p (q ) 其中p (q )是价格与产量之间的函数关系．相应地有平均收入函数qq R R )(=现在我们来研究一种最简单的情况，把收入看作产量的线性函数（价格不随产量而变化），也就是R = pq ，它的图形就是下面这样图形说明销售数量越多收入越多，这是一条单调增加的直线．还有一个函数就是利润函数，利润函数大家也容易理解，因为在收入中减去成本得到的就是利润． 既然成本是产量q 的函数，收入也是q 的函数，那么利润也是q 的函数．即 L (q ) = R (q ) − C (q )qq L L )(=（1） L (q ) > 0 盈利（2） L (q ) < 0 亏损（3） L (q ) = 0 盈亏平衡满足L (q ) = 0的q 0称为盈亏平衡点（又称保本点）． 在假设成本函数和收入函数都是线性函数的情况下来做一些分析： C = c 0 + c １q ，R = pq 它们的图形是两条直线的交点表示收入与成本相等，q 0就是盈亏平衡点． 如果两条直线出现了下面这种情况此时两条直线没有交点，也就是没有盈亏平衡点．为了找到盈亏平衡点，我们可以采取两种手段，一种是提高价格；另一种是降低变动成本c 1．这两种手段都可以重新找到盈亏平衡点.从几何上看，增加直线R 的斜率或减小直线C 的斜率都可以使两条直线重新相交．从以上分析可以看出数学工具在经济分析中的作用．例2 某商品的成本函数与收入函数分别为：q C 521+=，q R 8=求该商品的盈亏平衡点．解： q q C 521)(+=，q q R 8)(=，)()(q R q C =q q 8521=+，7=q。