最小值原理
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
pontryagin最小值原理
pontryagin最小值原理Pontryagin最小值原理是由苏联数学家L.S.Pontryagin于1956年提出的，是探讨最优控制问题的基本理论之一。
这个原理可以帮助人们解决一类非线性控制问题，它是在处理一般情况下的非线性最优控制问题时得出的。
这个理论的主要思想是通过寻找一条最优解曲线，使得在该曲线下行动的代价最小化。
下面我们来详细介绍Pontryagin最小值原理。
Pontryagin最小值原理是非线性最优控制领域中的重要理论，它是解决非线性最优控制问题的基本思想。
该原理的核心思想是最小化系统代价函数，获得最优解曲线。
系统的代价函数是指如果出现一定的行动，带来的代价或收益。
例如，在经济领域，代价函数可以是生产货物的成本；在机械控制技术，代价函数可以是能耗；在航天和飞行控制方面，代价函数可以是安全性和可靠性。
- “状态”是指操作过程中受控系统目前的状态，通常用$x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\x_2(t)\\.\\.\\x_n(t)\end{bmatrix}$ 表示；- “控制”是指要做的决策或行动，通常用$ u(t)=\begin{bmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\\.\\.\\u_m(t)\end{bmatrix}$ 表示；- “状态方程”用于描述系统的演化过程，它可以用一个常微分方程来表示。
常微分方程的形式如下：$$\dot{x}=f(x,u,t)$$ 其中$x$表示系统的状态，$u$表示控制，$\dot{x}$ 表示$x$对时间$t$的导数，$f(x,u,t)$表示系统状态的演化。
- 状态方程可以使用初始条件和末端条件来确定最优解。
使用这些术语，我们现在可以将Pontryagin最小值原理表述如下：假设我们有一个动态系统，它的状态是$x(t)$，控制是$u(t)$。
设$c(x(t),u(t),t)$是状态和控制在$t$时刻产生的代价函数，$f(x(t),u(t),t)$是状态的演化方程，则满足以下两个条件的控制$u^*(t)$在$t\in[0,T]$区间内为系统的最优控制：1. 给定了末端条件 $x(T)$，并且满足常微分方程 $\dot{x}=f(x,u,t)$;2. 在所给定的时间区间 $[0,T]$ 内所有可能的状态和控制组合 ($x(t)$ 和 $u(t)$)中，使得代价最小化的状态之和为$J=\int_0^T c(x(t),u(t),t)dt $。
Lecture 07 最小值原理
H (xf , λf ,u f ) = 0
若能知道λ (0)的值，就能根据协态方程解得最优控制
λ (t ) = exp(− AT t )λ0 , u * = − sgn( BT exp(− AT t )λ0 )
如果λ T b j ≠ 0, 可以确定最优控制 u * = − sgn(λ T b j ); j 如果λ T b j = 0, 则不能确定u *。 j 如果λ T b j = 0只在t的离散点上成立，则在这些点上u *作边界 j 值的切换； 如果λ T b j = 0在某一段时间间隔成立，这时无法确定u *j的值
5.1 最小值原理
系统运动方程 & x = f ( x, u, t ) 式中：x ∈ Rn − 状态变量；u ∈ Rm − 控制变量；t ∈[t0 , t f ] − 时间变量。 给定系统的初始时刻和初始状态 x(t0 ) = x0 系统的终端时刻和状态满足r个约束方程 n( x(t f ), t f ) = 0 控制变量满足若干不等式约束 g (u, t ) ≤ 0 最优控制问题的性能指标为 J = θ ( x(t f ), t f ) + ∫ φ ( x, u, t )dt
关于判别线性定常系统最优控制问题的正规性和奇异性， 有以下定理。 & 定理7-1 对于线性定常系统x=Ax+Bu 快速最优控制奇异的充要条件是，m个矩阵 Uj = [b j Ab j A2b j K An −1b j ], j = 1, 2,K , m 中，至少有一个是奇异的。 定理7-2 定理7-3ห้องสมุดไป่ตู้对于线性定常系统，快速最优控制正规的充要条件是： 对于正规快速最优控制问题，其最优控制律u*的每一个 m个矩阵Uj全部是非奇异的。
（1）快速最优控制的正规与奇异问题 定义7-1 若所有函数λ T b j 在时间间隔[0,tf ]上只存在有限个零点，则 对应的快速最优控制问题成为正规的。 定义7-2 如果对所有j=1,2, ,m，至少存在一个λ T b j函数在某一段时间 K 间隔[t1 ,t2 ]∈[0,tf ]上的取值为零，则对应的快速最优控制问题是奇异 的，并称时间间隔[t1 ,t2 ]为奇异段。 对于正规快速最优控制问题，完全能确定最优控制律u* ,即每个控制分量 u*均在边界值之间切换，且切换点就是λ T b j =0的时刻。这种控制方式成为 j “乒乒控制”。 对于奇异快速最优控制问题，在奇异段[t1 ,t2 ]上不能确定最优控制律，但 不表明最优控制u*不存在。因为在奇异段u*上，H函数与对应的u*无关，u* j j 可以取任意容许值，仍能满足最小值原理。此时快速最优控制不再具有 “乒乒控制”形式
基于最小值原理的壁面攀爬机器人时间最优控制
地面电机 Ａ 地 面电机 Ｂ 地 面电机
救援等作业的特殊要求 ， 我们提出一种特殊的机器 人组合系统 ， 使机器人本体能携带较大负载且能快 速到达着火点实施侦察 、 消防及救援工作。
图 １ 机 器 人 组 合 系统 原 理 示 意 图
维普资讯
２０ 年 ｌ 月 中国制造业信息化 ０６ １ 这样一来 ， 该系统简化模型（ 如图 ２ 所示 ） 的时
间最优 控制 问题 就 可 以看 成 是 一 个 非 对称 双 线 摆
第３卷 ５
第 ２ 期 １
优 控制 问题 的研 究 主要基 于两种 理论 ： 一种 是基 于
１２ 非对称 双线摆的数学模型 ．
本系统在两绳牵引力 Ｆ 和 Ｆ 的作用下有确 ｌ
定 的运 动速度 和轨 迹 ， 系统 自由度 为 ２ 如 图 ２ 示 。 所
摩擦力作用将该扭矩转化为其攀升的动力 ， 从而实
现 了通 过地 面 电机对 机器 人本 体壁 面 运动 的驱 动 。
响机 器人本 体 运动 的机 械 阻 力 ；９ 简 化 运 程 传 输 （）
系统 ， 将系统 模型简化成两 电机位 于两牵 引绳悬 点， 电机转绕牵引绳直接驱动机器人本体攀爬的非
中图分类 号 ： Ｐ ４ ． Ｔ ２ ２３ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ２ ６ ６ ２ ０ ）１—０ ３ —０ １ ７ —１ １ （０ ６ ２ ０７ ５
随着城市规模的不断扩大 ， 越来越多的高层建
筑如 雨后 春笋般 涌 现 出来 ， 们 在惊 叹现 代建 筑艺 人
的负载能力 ； 通过调节地面电机的转速就可 以有效
沿摆线运动的时间最优控制问题 了。
最大最小值定理
最大最小值定理最大最小值定理又称最小-最大定理，是指在约束条件下，某一约束优化问题的最优解是所有解的最大值或最小值。
其主要分为三种情况：1. 最小值原理：某一约束条件下的最优解是目标函数的最小值；2. 最大值原理：某一约束条件下的最优解是目标函数的最大值；3. 最小化最大值原理：存在某一约束条件下的最优解，它是满足某一约束条件下剩余约束函数的最大值最小化。
最大最小值定理是非常常用的一种优化算法，用于优化问题的最优解。
它包括构造约束条件、确定目标函数，以及实施算法求解等步骤，可以帮助我们快速求解给定优化问题的最优解。
有时候，由于约束条件的存在，我们无法直接求解优化问题的最优解。
此时，可以通过最大最小值定理来求解，即在约束条件下求解最优解，那么最优解就可以由于最大最小值定理而得出。
同时也可以将最大最小值定理和其他优化算法结合起来使用，从而加快求解速度，提高求解精度。
此外，最大最小值定理还可用于多维优化问题的求解。
因此，最大最小值定理是解决优化问题的重要方法，为优化问题的求解提供了有效的理论支持。
使用最大最小值定理来求解优化问题时，在确定约束条件、目标函数等步骤完成后，需要考虑算法复杂度、收敛速率等问题，以便选择合适的方法。
例如，可以考虑使用梯度下降法、遗传算法、变分法等方法来求解最优解。
此外，还可以对最大最小值定理的约束条件和目标函数进行有效的优化，以便提高求解精度。
为此，可以利用不同的方法，如凸优化技术、多约束技术、约束优化技术等，来优化约束条件和目标函数。
总之，最大最小值定理是一个非常有用的解决优化问题的算法，它能够帮助我们快速求解复杂优化问题，可以有效提高求解精度。
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
un模型求最大最小数原理
UN模型求最大最小数原理是一种基于数据挖掘的经典算法，主要用于聚类和分类问题中。
该方法的主要思想是建立一棵树，选择每个属性的最大和最小值作为分割点，递归地将数据集分成子集，直到无法再分割为止。
在这个过程中，最大最小的含义是指选取每个属性的最大值和最小值作为分割点，进行分组。
这种方法可以有效地识别出数据集中不同的属性值，并将它们分成更小的子集，从而提高聚类和分类的准确性和效率。
UN模型求最大最小数的原理可以应用于许多领域，例如可以作为数据预处理的一种方法，去除掉离群数据或噪声数据，提高聚类和分类的准确性；可以应用于多类别的分类问题中，将数据按照最大最小的特征划分到不同的分类中；还可以结合其他方法如PCA、SVM等算法进行多特征数据的分类分析。
证明最小数原理
证明最小数原理
最小数原理是数学中的常用原理，其证明如下：
假设存在一个集合A，其中包含若干个正整数。
我们要证明的是，在A中一定存在一个最小的数。
首先，我们选择A中的任意一个元素作为一个初选的最小值，假设这个最小值为x。
然后，我们遍历集合A中的每一个元素，与初选的最小值x
进行比较。
如果某个元素y小于x，则我们更新最小值为y。
这样一直持续下去，直到A中的所有元素都被遍历完。
最后，我们得到的最小值x一定满足以下两个条件：1）x是
集合A中的一个元素；2）对于集合A中的每一个元素y，y ≥ x。
因此，我们可以得出结论：在集合A中一定存在一个最小的数。
以上就是最小数原理的证明过程，其中没有包含任何标题相同的文字。
最小值求法-概述说明以及解释
最小值求法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述最小值求法是数学和计算机科学中一个重要的概念，用于寻找给定数据集或函数中的最小值。
在实际问题的解决过程中，我们经常需要找到最小值来确定最优的解或最佳的选择。
最小值的定义很直观，它表示某个数据集或函数中具有最小数值的元素或点。
最小值求法是通过系统性的方法或算法来寻找最小值的过程，常用于数据分析、优化问题和机器学习等领域。
本篇文章将介绍最小值的定义和意义，并探讨常见的最小值求法，旨在使读者对最小值求法有一个全面的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
接下来的章节将详细介绍最小值的定义和意义，以及常见的最小值求法，同时对最小值求法的应用做一总结，并展望其未来的发展。
通过阅读本文，读者将能够深入了解最小值求法的核心概念和应用场景，进而在实际问题中运用它们解决难题。
在第1.2部分中，我们将详细介绍文章的结构，以帮助读者理解文章的整体框架和逻辑。
在第1.3部分，我们将强调本文的目的，以确保读者能够明确阅读本文的收获和目标。
通过阅读本文，读者将能够深入了解最小值求法，并为自己在数学和计算机科学领域中的学习和研究提供一个坚实的基础。
无论是在学术研究还是实际问题的解决中，最小值求法都将起到重要的作用，为我们提供了一种方法来寻找最优解或最佳的选择。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍最小值的定义和意义，为读者提供对最小值求法的基本了解。
其次，将详细探讨常见的最小值求法，包括数值计算、算法和统计学等方面的方法。
最后，笔者将总结最小值求法的应用领域，并展望其未来发展趋势。
在引言中，我们会概述本文的主要内容和目的，为读者提供一个整体的认识。
接下来的正文中，我们将系统性地介绍最小值的定义和意义，以帮助读者理解最小值求法的重要性。
在这一部分，我们将从理论角度出发，深入解释最小值的概念和其在实际问题中的应用价值。
随后，我们将详细探讨常见的最小值求法。
这一部分将涵盖数值计算、算法和统计学等多个领域的方法。
最优控制最小值原理
2-1 连续系统的最小值原理
问题 2-1 设系统的状态方程是
x f [x(t),u(t),t]
(2-1)
其中 f 是 n 维连续可微的向量函数；状态 x(t) Rn，其初态已
知是
x(t0 ) x0
终态应满足边界条件
(2-2)
[x(t f ),t f ] 0 其中 是 r 维连续可微的向量函数，r n；
tf t0
{L(x,
w,t)
T[
f
(x,
w,t)
x]
T[g(x,
w,t)
z2]}dt
(2-8)
的极值。
为 简 便 计 ， 令
H(x,,w ,t)L(x,w ,t)Tf(x,w ,t)
(2-9)
(x,x,w,w ,z,z,,,t) H(x,,w ,t)TxT[g(x,w ,t)z2]
(2-10)
8
于 是 (2-8)式 可 写 成
J(u) [x(tf)t,f]vT[x(tf)t,f]
tt0f (x,x ,w ,w ,z,z,,,t)dt
(2-11)
现 在 求 广 义 性 能 指 标 (2-11)的 一 阶 变 分 ：
JJtfJxJwJz
(2-12)
式 中 Jtf， Jx， Jw， Jz分 别 是 由 于tf ， x ， w和z的 微 变
tf t0
(x,x,w,w ,z,z,,,t)d
=0
分步积分
J w
t f
t0
(wT
w
w T
w )dt
wT
(t
)
w
t
t
f
t f wT t0
d dt
w
dt
最小数原理
例 7 证明方程
x3+ 2y3- 4z 3= 0
( 1)
没有正 整数解 x , y, z .
证 假设方程( 1) 有正整数解, 设 x = x 1 , y = y 1 ,
z = z1 是方程 ( 1) 的 所有 正整 数 解中 x 最 小 的一 组 解. 由于
x 1 3 + 2y 1 3- 4 z1 3 = 0, 所 以 x 1 3 是偶数, 故 x 1 是偶数. 设 x 1 = 2x 2, 则
由于 n & 20, 故 数 20 在 上 述数 列 中 出 现, 于 是 B1 , B 2, %, Bn 中 有人恰好有 20 个熟人.
例 3 在平面 上任 给 2 n 个 点, 其中 任意 三点 不 共线, 并把其中 n 个点染成红色, n 个点染成蓝色. 求 证: 可以一红一蓝地把 它们连 成 n 条线 段, 使这些 线 段互不 相交.
x 2 3 + 2y 2 3- 4 z2 3 = 0.
所 以 x = x 2 , y = y 2 , z = z2 , 也是( 1) 的 一组正 整
数解, 且 x 2 =
x1 2
<
x 1 , 矛盾. 故方程( 1) 没有正整数解
x,y, z.
下 例的解法与无穷递降法有某些类似之处.
例 8 在某个星 系的每一个 星球上, 都有一 位天
( p i - 1) 2 + ( p j + 1) 2 - ( p i 2 + p j 2 ) = 2> 0,
而平方和 中其它 项不变, 故平 方和严 格增大. 这 与平
方和已取得最大值矛盾.
于是, 在 p i = i - 1( i = 1, 2, %, 10) 时, 10 p i 2 最 i= 1
离散系统的最小值原理
So the first variation becomes
tf
J (u * (t ), u(t )) [ H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )]dt
t0
The necessary condition for the optimal control u(t) to minimize J is that the first variation
So the first variation becomes
tf
J (u * (t ), u (t ))
t0
(
H )' u (t )dt u
This means that by definition
H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t ) ( )' u (t ) u H ( x * (t ), u * (t ) u (t ), * (t ), t ) H ( x * (t ), u * (t ), * (t ), t )
x(t 0 ) x0 ; x(t f ) is free and t f is free
H H ( x* (t ), u * (t ), * (t),t ) V ( x* (t ), u * (t ), t ) *' (t) f ( x* (t ), u * (t ), t )
L
x
)' | * tf
x f 0
L L(x * (t ), x (t ), u * (t ), (t), t )
* * H H ( x ( t ), u (t ), * (t),t ) S S * * * V ( x (t ), u (t ), t ) ( )' x (t ) ( ) * V ( x* (t ), u* (t ), t ) *' (t) f ( x* (t ), u* (t ), t ) x t
零点分段法求最小值-概述说明以及解释
零点分段法求最小值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述零点分段法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数的最小值。
通过将函数在一定范围内进行零点分段，然后对各个小段进行逼近，最终得到函数的最小值。
本文将介绍零点分段法的基本原理和应用方法，通过具体的例子说明如何利用零点分段法求解函数的最小值。
同时，分析零点分段法在实际问题中的优缺点，并展望其在未来的应用前景。
通过本文的介绍，读者将了解到零点分段法在数值计算中的重要性和实用性。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将会对零点分段法求最小值的背景和意义进行概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将详细介绍零点分段法的基本原理，探讨如何利用零点分段法求解最小值的过程，并介绍零点分段法在求最小值中的具体应用。
在结论部分，将对本文进行总结，分析零点分段法在求最小值中的优缺点，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的：本文的主要目的是介绍零点分段法在求解函数最小值时的应用。
通过分析和讨论零点分段法的原理和优势，使读者了解如何利用这种方法来寻找函数的最小值。
同时，通过对零点分段法的优缺点进行分析，可以更全面地评估这种方法在实际问题中的适用性。
最终，希望读者能够通过本文了解并掌握零点分段法求解最小值的方法，从而在求解实际问题时得到有效的帮助和指导。
2.正文2.1 零点分段法介绍:零点分段法，又称割线法，是一种数值计算方法，用于求解函数在特定区间内的零点（即函数与x 轴的交点）。
在求解函数的最小值时，我们可以利用零点分段法来逼近最小值所在的位置。
该方法的基本思想是通过连接函数上两点的直线（割线）来逐步逼近最小值点的过程。
具体步骤如下：1. 选择一个初始区间[a, b]，使得函数在该区间内存在最小值。
2. 在区间[a, b] 内选择一个中点c，计算函数在c 点的导数值。
3. 如果导数值为零或趋于零，则说明c 点可能是最小值所在点，可以将该点作为新的a 或b，并缩小区间范围。
第5章 最小值原理
第5章 最小值原理
最小值原理（又称最大值原理）是庞特里亚金在20 世纪50年代末提出来的。有的文献中又称其为最大值原 理，这是由在求解控制问题中哈密顿函数是求最大值还 是最小值而异。 最小值原理给出了求解控制变量受不等式约束的最 优控制问题的一个必要条件，用它替换了古典变分法中 的控制方程 H 0，是古典变分法求泛函极值的扩充， u 又称为现代变分法，它能够处理更为广泛的最优控制问 题。
1
第5章 最小值原理
5.1 最小值原理 5.2 快速最优控制
2
第5章 最小值原理
5.1
一、最小值原理
最小值原理
给定系统运动方程
x = f ( x, u, t )
（1）
式中：x R n
— 状态变量
u Rm
— 控制变量
t [t0 , t f ] — 时间变量
给定系统初始时刻和初始状态 x(t0 ) x0 （2）
b (t ) 在某一段
i 1 ij j
n
(或几段）时间区间 t1 , t2 0, t f 上取零值，则此种最
优控制问题为奇异情况。此时，无法应用最小值原
理确定奇异区间内u*(t)与x*(t)，λ*(t)的关系。关于奇
异情况的快速最优控制问题参阅5.3节。
18
第5章 最小值原理
制称为最短时间控制或快速最优控制。由于求
非线性系统和任意终端状态的快速最优控制的 解析解十分困难，因此这里仅考虑线性定常系 统且终端状态固定为状态空间原点的快速最优 控制问题。
14
第5章 最小值原理 设已知线性定常系统的状态方程为 （1） x = Ax + Bu 式中：x(t)是n维状态变量，u(t)是m维控制向量。 初始状态和终端状态为
第五章 最小值原理
第五章 最小值原理5.1 已知一阶系统、端点状态及性能指标为u x x+-= ；1)0(=x ，0)(=f t x ；⎰++=f tt d x u a J 022)( 其中 a 为给定的正常数，t f 自由。
求u *，使性能指标J 最小。
解：题中对控制量未加限制，允许使用控制方程条件。
u x x u a H λλ+-++=22； 最小值原理(控制方程) }{m in 22u u u uUu *∈***+=+λλ，得到 **-=λ5.0u ；正则方程组 λλ+-=x 2 ，λ5.0--=x x ；得二阶微分方程02=-x x。
正则方程解 t t c c x 2221e e -+=；边界条件 121=+c c ；0e e 2221=+-ff t t c c ；02=++f f f u u a λ；)ee (22221fft t f f c c xu --== ；有 ffft t t c 2221eee -=--，ffft t t c 2222e e e--=-；fft t f ee u 2222-=-；022=-=++f f f f u a u u a λ；a u f -=；22)(22=--f f tte e a ；a a a a ef t/)22(22++=；计算得；2/}ln )22{ln(2a a a a t f -++=；5.04225.01-+=a c ，4225.05.12+-=a c ；结论： tte c ec x 2221-*+=；tte c ec u 2221)12()12(-*--+=；5.2 已知系统方程及性能指标，u x x+-=3 ；1)0(=x ；⎰+=1022)(21t d u x J ； 求最优控制u *，使J 取最小值。
解：哈密尔顿函数u x u x H λλ+-+=3225.05.0；最小值原理(控制方程)**-=λu ； 协态方程 23x x λλ+-= ；5233x x x x ---= λ； 状态方程 λ--=3x x ；23x x x --=λ； 边界条件1)0(=x ，0)1(=λ； 得到 x x x +=53→ x x x x x x 2625+= → c x x x ++=262 → c x x x ++=26 需要计算⎰⎰=++-t d x d c x x2/126)(。
ps最小值的原理
PS的最小值命令是在图像处理中应用的一种技术，其原理基于像素的RGB值进行计算，具体表现为取该区域中RGB 值最小的那个像素。
这个命令的操作方式是将指定的像素区域中的所有像素的RGB值进行比较，然后选择其中最小的RGB值作为结果。
这个过程可以在图像的任何区域中进行，包括整个图像、某个图层或蒙版。
最小值命令在图像处理中有多种应用，比如可以用来消除图片中的噪点、去除背景颜色、创建透明效果等。
需要注意的是，最小值命令在处理过程中会保持原始图像的色彩信息，只是通过调整RGB值来改变图像的外观。
同时，如果使用不当，也可能会导致图像的细节损失或产生不自然的过渡效果。
因此，在使用最小值命令时，需要根据具体情况进行参数调整和效果预览，以达到最佳的处理效果。
庞特里亚金极小值原理
庞特里亚金极小值原理
1 关于庞特里亚金极小值原理
庞特里亚金极小值原理又称为“最小值原则”，是由意大利数学家庞特里亚金于1844年提出的一种数学原理。
该原理被称为“微积分中的重要定理”，用数学推理来解释这一原理后，一些实际应用也可以从中获益。
该原理指出，如果一个函数的积分（即曲线的面积）是最小的，那么每段积分的梯度（斜率）都相等。
也就是说，一个函数若取得极小值，其对应的一段积分区间内，梯度都是相等的。
庞特里亚金极小值原理用数学描述如下：
设函数f(x)在区间[a,b]内有定义，若存在某一常数c，使f(x)在[a,b]上的积分的最小值为f(c)，则此时积分f(x)在区间[a,b]内任一点x处的斜率（梯度）均相等。
由庞特里亚金极小值原理得出的关系表达式是：f'(c)=0。
庞特里亚金极小值原理有许多实际应用，它可以用于解决工程、经济学和证券投资等领域中可能出现的最优化问题。
例如，庞特里亚金极小值原理可以帮助企业开发最优的产品或运输方式，也可以帮助经济学家开发最优的产品结构，或投资者开发最有市场竞争力的投资方案。
另外，该原理还可以使用来帮助解决微分方程，求解最小值与最大值问题，甚至可以用于求解曲线上的泰勒级数和极限等问题。
由此可见，庞特里亚金极小值原理是一个重要的数学理论，其实际应用也广泛。
由于它以庞特里亚金的名字而得名，因此也是一个伟大的缅怀。
can物理最小值定义
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在物理规律中，最小值原理是指某些物理量在满足一定条件下会达到最小值的状态。
例如，在物体受三个力作用而平衡的情境中，其中一个力是恒力，第二个力的方向保持不变，当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小。
在杠杆平衡问题中，当其他力及其力臂恒定时，当某个力的力臂最大时，对应的这个力也是最小的。
此外，当除重力外其他力对物体做功为零时，机械能可以是最小；电场力不做功时电势能也许是最小。
以上内容仅供参考，建议查阅关于最小值的书籍或咨询物理学家以获取更准确的信息。
在水平面上已知质量物体做匀速运动的拉力最小值
在水平面上已知质量物体做匀速运动的拉力最小值在水平面上，已知质量物体做匀速运动的拉力最小值是指在满足匀速运动的情况下，对物体施加的力所需的最小值。
为了理解这个问题，我们首先需要了解一些相关的物理概念和定律。
首先是牛顿第一定律，也被称为惯性定律。
它表明一个物体在没有外力作用的情况下，会保持静止或匀速直线运动。
也就是说，如果一个物体的速度保持不变，那么它的加速度就为零，从而根据牛顿第二定律F = ma可以得出物体所受的合力为零。
在水平面上的匀速运动，除非有外力作用于物体，否则物体将保持匀速运动。
这意味着物体所受的合力必须为零。
我们假设物体受到三种力的作用：重力、摩擦力和拉力。
首先是重力。
根据牛顿的万有引力定律，任何两个物体之间都有万有引力的作用。
在地球上，重力是垂直向下的，其大小与物体的质量成正比。
重力可以用公式F = mg来表示，其中F表示重力的大小，m表示物体的质量，g表示重力加速度，通常在地球上取9.8 m/s^2。
其次是摩擦力。
当物体在水平面上运动时，与物体接触的表面会施加一个与运动方向相反的摩擦力。
摩擦力的大小与物体与表面之间的接触面积和物体的表面粗糙程度有关。
根据摩擦力的性质，它的大小可以用公式f = μN来表示，其中f表示摩擦力的大小，μ表示动摩擦系数，N表示物体与表面之间的法向压力。
最后是拉力。
当物体在水平面上做匀速运动时，必须有一个拉力施加于物体上，以维持它的运动状态。
拉力的方向与物体的运动方向相同。
要确定拉力的最小值，我们需要考虑摩擦力和重力的作用。
在一般情况下，当物体受到地球重力时，必须施加一个与重力相等大小、方向相反的拉力才能保持物体的静止状态。
这是因为物体静止时，摩擦力的大小为静摩擦力，其取决于物体与表面之间的摩擦系数和法向压力。
根据公式f = μN，静摩擦力的大小可以表示为fs =μsN，其中fs表示静摩擦力的大小，μs表示静摩擦系数。
由于物体处于静止状态，所以重力与静摩擦力的合力必须为零，即Fg - fs = 0，从而可以得出物体与表面之间的法向压力N = mg，代入静摩擦力的公式中可以得到fs = μsmg。
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第2章 最小值原理
2.2 最小值原理的应用示例
例2-1 系统状态方程为 其始端状态和终端状态分别为
x = x + u
(1)
x(0) = 1, x(1)自由，且 u (t ) ≤ 1 求最优控制u*(t)，使如下性能指标最小。 J = 1 ( x 1u )dt (2) ∫0 2
解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值 原理求解。 为使H达到最小，控制函数应为：
第2章 最小值原理
2.1 连续系统的最小值原理
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（2-1），可写成另一种形式（2-2）：
H = 0 (2 1) u * H [ x (t ), λ (t ), u * (t ), t ]最优控制中的变分法 (t ), u (t ), t ] (2 2) = min H [ x* (t ), λ 第1章
H = x + u + λ ( x u ) = x(1 + λ ) + (1 λ )u
J
固定， 固定，x
自由， (t ) 自由，u
x
*
受约束
1 * u (t ) = 0.5
λ >1
λ <1
第2章 最小值原理
由协态方程
(t ) = H = (1 + λ ) λ x
t
λ (t ) = ce 1 λ (1) = ce 1 1 = 0
第2章 最小值原理
第2章 最小值原理
本章主要内容：
2.1 连续系统的最小值原理 2.2 最小值原理的应用示例 原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控 制的成果，在1956-1958年间逐步创立了“最大值原理”。 通常称为“最小值原理”—当控制作用的大小限制在一定范围内时 ，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值 。
u在边界值上使指标最优时， 控制方程不一定是必要条件 H在 u ( t ) ∈ U 的闭集内可能 不存在极点。 而（2-2）总是成立的。
H
U
u
第2章 最小值原理
庞特里亚金最小值原理 与古典变分法中条件极值定理的主要区别在于： 容许控制u(t)受有界闭集限制
u (t ) ∈ U ∈ R m
控制方程变为极值条件（证明略）
(2 3)
H [ x* (t ), λ (t ), u * (t ), t ] = min H [ x* (t ), λ (t ), u (t ), t ] (2 4)
u ( t )∈U
说明： （1）最小值原理是对古典变分法的发展 放宽了应用条件（L的可微性、控制约束） 使性能指标获得全局最小(H为全局最小） 使古典变分法中条件极值定理成为最小值原理的一个特例。
c=e
切换点： 切换点：
λ ( t ) = e1t 1
λ (t s ) = e1t 1 = 1
sλ Βιβλιοθήκη ts ) 1 = 0ts = 0.307
∴
1 * u (t ) = 0.5
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
第2章 最小值原理
x (t ) 1 x (t ) = x (t ) 0 . 5
第1章 最优控制中的变分法
u ( t )∈U
分析：
本章主要内容：
1.1 变分的基本概念
1.2 无约束条件的最优化问题 （1）在控制函数 u不受约束的情况，（2-1）与（2-2)等价 1.4 应用变分法求解最优控制问题 （2） 在u受闭集性约束的情况下，（2-1）未必是求解最优控制的必要 条件之一，例如： 1.3 具有等式约束条件的最优化问题
H = L + λf (3) u = x + λ ( x + u ) 2 1 = (1 λ ) x + (λ )u 2
λ (t f ) =
1 u * (t ) = sgn(λ (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 λ (t ) H λ= = λ 1 (5) x T
φ ξ + v λ (1) = 0 x(t f ) x(t f ) (6)
第2章 最小值原理
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： 数学证明 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。
作业2-1：继续推导，完成本题
第2章 最小值原理
x 0 例2-2： x t = x t u t ： 1 试求： 试求： J = [x (t ) + u (t )] = min dt
(
)
()
( ) ( )= 5
时的 ，t
f
0.5 ≤ u (t ) ≤ 1
∫
0
u*
f
，
解：定常系统、积分型 定常系统、
第2章 最小值原理
λ (t )
u*
1.72
1
1
0 0.307 1
0.5
t
12.3
0
0.307
1
t
x* (t )
6.44
5
0
0.307
1
t
第2章 最小值原理
第2章 要点
庞特里亚金最小值原理的表述和简单应用
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1 0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
c1e t + 1 x(t ) = t c2 e + 0.5
根据边界条件继续求出：
4e + 1 x = t 4.37e + 0.5
t *
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1