最小值原理

第2章 最小值原理
2.1 连续系统的最小值原理
考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制 方程（2-1），可写成另一种形式（2-2）：
H = 0 (2 1) u * H [ x (t ), λ (t ), u * (t ), t ]最优控制中的变分法 (t ), u (t ), t ] (2 2) = min H [ x* (t ), λ 第1章
作业2-1：继续推导，完成本题
第2章 最小值原理
x 0 例2-2： x t = x t u t ： 1 试求： 试求： J = [x (t ) + u (t )] = min dt
(
)
()
( ) ( )= 5
时的 ，t
f
0.5 ≤ u (t ) ≤ 1
∫
0
u*
f
，
解：定常系统、积分型 定常系统、
u在边界值上使指标最优时， 控制方程不一定是必要条件 H在 u ( t ) ∈ U 的闭集内可能 不存在极点。 而（2-2）总是成立的。
H
U
u
第2章 最小值原理
庞特里亚金最小值原理 与古典变分法中条件极值定理的主要区别在于： 容许控制u(t)受有界闭集限制
u (t ) ∈ U ∈ R m
控制方程变为极值条件（证明略）
第1章 最优控制中的变分法
u ( t )∈U
分析：
本章主要内容：
1.1 变分的基本概念
1.2 无约束条件的最优化问题 （1）在控制函数 u不受约束的情况，（2-1）与（2-2)等价 1.4 应用变分法求解最优控制问题 （2） 在u受闭集性约束的情况下，（2-1）未必是求解最优控制的必要 条件之一，例如： 1.3 具有等式约束条件的最优化问题
H = L + λf (3) u = x + λ ( x + u ) 2 1 = (1 λ ) x + (λ )u 2
λ (t f ) =
1 u * (t ) = sgn(λ (t ) ) (4) 2 由协态方程求解 λ (t ) H λ= = λ 1 (5) x T
φ ξ + v λ (1) = 0 x(t f ) x(t f ) (6)
第2章 最小值原理
（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符 合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断： 数学证明 根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号 ，即可应用最小值原理来求解。 （4）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达 形式。
H = x + u + λ ( x u ) = x(1 + λ ) + (1 λ )u
J
固定， 固定，x
自由， (t ) 自由，u
x
*
受约束
1 * u (t ) = 0.5
λ >1
λ <1
第2章 最小值原理
由协态方程
(t ) = H = (1 + λ ) λ x
t
λ (t ) = ce 1 λ (1) = ce 1 1 = 0
第2章 最小值原理
第2章 最小值原理
本章主要内容：
2.1 连续系统的最小值原理 2.2 最小值原理的应用示例 原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控 制的成果，在1956-1958年间逐步创立了“最大值原理”。 通常称为“最小值原理”—当控制作用的大小限制在一定范围内时 ，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值 。
第2章 最小值原理
λ (t )
u*
1.72
1
1
0 0.307 1
0.5
t
百度文库12.3
0
0.307
1
t
x* (t )
6.44
5
0
0.307
1
t
第2章 最小值原理
第2章 要点
庞特里亚金最小值原理的表述和简单应用
c=e
切换点： 切换点：
λ ( t ) = e1t 1
λ (t s ) = e1t 1 = 1
s
λ ( ts ) 1 = 0
ts = 0.307
∴
1 * u (t ) = 0.5
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
第2章 最小值原理
x (t ) 1 x (t ) = x (t ) 0 . 5
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1 0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
c1e t + 1 x(t ) = t c2 e + 0.5
根据边界条件继续求出：
4e + 1 x = t 4.37e + 0.5
t *
0 ≤ t < 0.307 0.307 ≤ t ≤ 1
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2.2 最小值原理的应用示例
例2-1 系统状态方程为 其始端状态和终端状态分别为
x = x + u
(1)
x(0) = 1, x(1)自由，且 u (t ) ≤ 1 求最优控制u*(t)，使如下性能指标最小。 J = 1 ( x 1u )dt (2) ∫0 2
解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值 原理求解。 为使H达到最小，控制函数应为：
(2 3)
H [ x* (t ), λ (t ), u * (t ), t ] = min H [ x* (t ), λ (t ), u (t ), t ] (2 4)
u ( t )∈U
说明： （1）最小值原理是对古典变分法的发展 放宽了应用条件（L的可微性、控制约束） 使性能指标获得全局最小(H为全局最小） 使古典变分法中条件极值定理成为最小值原理的一个特例。