线性代数总结

线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]

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线性代数总结

一、课程特点

特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。

特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

复习线代时，要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；

“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中为矩阵的特征值）。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）

还具有两种形式：

（Ⅰ）矩阵形式，其中

，，

（Ⅱ）向量形式，其中

,

向量就这样被引入了。

1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的极大线性无关组中有个向量，即线性无关，也即等式只有零解。所以，经过

“秩→ 线性相关\无关→ 线性方程组解的判定”

的逻辑链条，由就可以判定齐次方程组只有零解。当时，的列向量组线性相关，此时齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。

3）非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量组线性表示，即使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。当非齐次线性方程组满足时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。

性质1.对于方阵有：

方阵可逆ó

ó 的行\列向量组均线性无关ó

ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，

而仅有零解

对于一般矩阵则有：

ó 的列向量组线性无关

ó 仅有零解，有唯一解（如果有解）

性质2．齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。

应记住的一些性质与结论

1．向量组线性相关的有关结论：

1）向量组线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余个向量线性表出。

2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

3）若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示法唯一。2．向量组线性表示与等价的有关结论：

1）一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。

2）如果向量组可由向量组线性表示，则有

3）等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；

4）任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。

3．常见的线性无关组：

1）齐次线性方程组的一个基础解系；

2）、、这样的单位向量组；

3）不同特征值对应的特征向量。

4．关于秩的一些结论：

1）；

2）；

3）；

4）；

5）若有、满足，则；

6）若是可逆矩阵则有；

7）若可逆则有；

8）。

4．线性方程组的解：

1）非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解；

2）若有无穷多解则有非零解；

3）若有两个不同的解则有非零解；

4）若是矩阵而则一定有解，而且当时有唯一解，当时有无穷多解；5）若则没有解或有唯一解。

四、特征值与特征向量