高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 平面向量的线性运算例1：记max{x ，y}＝{x,x ≥y y,x <y ,min{x ，y}＝{y,x ≥yx,x <y 设a,b 为平面向量，则( ) A ．min{|a +b |,|a －b|}≤min{|a |,|b|} B ．min{|a +b |,|a －b|}≥min{|a |,|b|} C ．max {|a +b |2,|a －b|2}≤|a |2+|b |2 D ．max {|a +b |2,|a －b|2}≥|a |2+|b |2 【答案】：D 【解析】方法一：对于平面向量a,b,|a +b|与|a －b|表示以a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又|a +b |,|a －b|中的较大者与|a |,|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有max {|a +b |2,|a －b|2}≥|a |2+|b |2 ,故选项D 正确，选项C 错误． 方法二：若a,b 同向，令|a |＝2,|b|＝3，这时|a +b|＝5，|a －b|＝1，min{|a +b|，|a －b|}＝1，min{|a|，|b|}＝2；若令|a|＝2，|b|＝6，这时|a +b |＝8,|a －b|＝4,min{|a +b |,|a －b|}＝4，而min{|a |,|b|}＝2，显然对任意a,b ，min{|a +b|，|a －b|}与min{|a |,|b|}的大小关系不确定，即选项A 、B 均错．同理，若a,b 同向，取|a|＝1,|b|＝2，则|a +b |＝3,|a －b|＝1，这时max {|a +b |2,|a －b|2}=9，而|a |2+|b |2＝5，不可能有max {|a +b |2,|a －b|2}≥|a |2+|b |2，故选C 项错．【易错点】平面向量加减法线性运算性质。

【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对a,b 特殊化，从而得到|a +b |,|a －b|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用例1.△ABC 中,AB 边的高为CD ,若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b,a ·b ＝0,|a |＝1,|b |＝2,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b 【答案】 D【解析】方法一：∵a ·b ＝0,∴∠ACB ＝90°,∴AB ＝√5,CD ＝2√55.∴BD ＝√55,AD ＝4√55,∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝45(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝45a －45b.方法二：如图,以C 为原点，CA,CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由已知得A (2,0),B(0，1).又因为CD ⊥AB ，所以可求得D(25,45),于是AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−85,45),而a ＝(0,1),b ＝(2,0),若设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝xa +yb ，则有{2y =−85x =45即{x =45y =−45,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝45a －45b. 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；【思维点拨】根据题设条件确定出A 、B 、D 三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.例2. 若点M 是∆ABC 所在平面内一点,且满足: 设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . （1）求∆ABM 与∆ABC 的面积之比.（2）若N 为AB 中点,AM 与CN 交于点O ,设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x,y 的值. 【答案】 见解析；【解析】（1）由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知M 、B 、C 三点共线如图令BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； λ=14;S ∆ABM S ∆ABC=14.即面积之比为1：4（2）由BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yBN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线⇒{x +y2=1x4+y =1⇒{x =47y =67. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；【思维点拨】.利用共线性质得出AB 与AC 的线段长度之比，即可得到面积之比； 第二问中利用O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线性质进行解决即可；例3.设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A.B 两点,与双曲线的其中一个交点为P ,设坐标原点为O ,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),且mn =29,则该双曲线的渐近线为（ ） A ．y =±√34x B ．y =±√24x C ．y =±12x D ．y =±13x【答案】B【解析】由题意可知A(c,bc a ),B(c,−bca ),代入OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得P((m +n)c,(m −n)bc a),代入双曲线方程中,整理的4e 2mn =1；又因为mn =29,可得e =3√24,ba=√e 2−1=√24,所以该双曲线的渐近线为y =±√24x ，故B 为正确答案.【易错点】A 、B 、P 三点坐标的确定，离心率的概念。

【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性. 题型三 平面向量数量积的概念与计算例1.如图,正六边形ABCDEF 的边长为1,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（ ） A.√3 B.−√3 C.3 D.−3【答案】 D【解析】根据正六边形性质,有∠ADB ＝30°,于是向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为150°;且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos150°＝2×√3×(−√32)=−3,选D ． 【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点．例2.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,sin C2=√63,a =b =3,点P 是边AB 上的一个三等分点,则CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CB⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.0 B.6 C.9 D.12 【答案】 B【解析】过点C 作CO ⊥AB ,垂足为O ．如图所示,C(0,√3).∵,sin C2=√63,∴cos C 2=√1−sin 2C2=√33,∴CO =√3.∴AO =OB =√33−√32=√6.取点P 靠近点B 的三等分点．则P (√63,0).∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙2CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(√63,−√3)∙(0,−√3)=6． 同理取点P 靠近点A 的三等分点答案也是6．CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6． 【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；【思维点拨】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．例3.如图,BC,DE 是半径为1的圆O 的两条直径, BF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（ ）A ．−34B ．−89C ．−14D ．−49【答案】 B【解析】∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,r =1,∴|FO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13,FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(FO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )∙(FO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=FO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13)2+0−1=−89.故选B.【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.O.C,D.O.E 共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题； 题型四 平面向量的夹角与模的计算 例1.若非零向量a,b 满足|a|＝2√23|b|,且(a －b)⊥(3a +2b),则a 与b 的夹角为( )A.π4 B. π2 C. 3π4 D ．π【答案】 A【解析】设|b |＝x,〈a,b 〉＝θ，则|a |＝2√23x,a ∙b =2√23x 2cosθ. ∵(a －b)⊥(3a ＋2b)，∴(a －b)·(3a ＋2b)＝0，∴3a 2+2a ·b －3a ·b －2b 2＝0,即3×89x 2－2√23x 2cosθ－2x 2＝0,∴2√23cosθ=23,∴cosθ=√22，∵θ∈[0,π],∴θ=π4.故选A.【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；【思维点拨】利用垂直得出a,b 的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决; 题型五 平面向量中的范围、最值问题例1.在边长为2的等边三角形∆ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 【答案】见解析；【解析】由题意可得，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°，D 是AB 的中点，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x , ∴EB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )∙AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AE⃗⃗⃗⃗⃗ +|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2−32x +x 2; 由于E 为线段AC 上的一动点，故0≤x ≤2，令f(x)= 2−32x +x 2=(x −34)2+2316;∴当x =34时，f(x)min =2316；当x =2时, f(x)max =3，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[2316,3) 【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；【思维点拨】将EB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性. 例2.已知向量a,b,c 满足: |a |=4,|b |=2√2,a 与b 的夹角为π4, (c −a )∙(c −b )=−1,则|c −a|的最大值为（ ） A.√2+12 B. 2+√22C.√2+12D. √2+1【答案】 D【解析】设OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ;以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立空间直角坐标系, ∵|a |=4,|b |=2√2,a 与b 的夹角为π4,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),∵(c −a )∙(c −b )=−1,∴x 2+y 2−6x −2y +9=0,即(x −3)2+(y −1)2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,|c −a|表示点AC 的距离，即圆上的点与点A(4,0)的距离；∵圆心到B 的距离为：√(4−3)2+(0−1)2=√2, ∴|c −a|的最大值为√2+1，故选:D ．【易错点】题干条件的转化，几何意义的应用；【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化.例3. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t )OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |在t 0时取得最小值,当0<t 0<15时,夹角θ的取值范围为（ ） A.(0,π3) B. (π3,π2) C. (π2,2π3) D. (0,2π3)【答案】 D【解析】由题意知, OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×cosθ=2cosθ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t )OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(1−t )2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+t 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2t (1−t )OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t )2+4t 2−4t(1−t)cosθ; (5+4cosθ)t 2+(−2−4cosθ)t +1; 由二次函数图像及其性质知,当上式取得最小值时, t 0=1+2cosθ5+4cosθ. 由题意可得,0<1+2cosθ5+4cosθ<15，求得−12<cosθ<0,所以π2<cosθ<2π3，故应选C.【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.例4.已知a =(λ,2),b =(−3,5),且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 【答案】 λ<103且λ≠−65【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,∴a ∙b >0,且a 与b 不共线同向,由a ∙b >0⇒−3λ+10>0,解得λ<103,当向量a 与b 共线时,得5λ=−6,得λ=−65,因此λ的取值范围是λ<103且λ≠−65．【易错点】忽略夹角为锐角的条件及其需要满足的条件；【思维点拨】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,π],而三角形内角范围是(0,π),向量夹角是锐角,则cosθ>0且cosθ≠1,而三角形内角为锐角,则cosθ>0． 题型六 平面向量在三角函数中的应用 例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =(√22,−√22),n ＝(sinx,cos x );x ∈(0,π2).①若m ⊥n ，求tanx 的值； ②若m 与n 的夹角为π3,求x 的值. 【答案】 见解析；【解析】①∵m =(√22,−√22)，n ＝(sinx,cos x )，m ⊥n .∴m ·n =√22sinx −√22cos x =0，即sinx ＝cosx ，∴tanx =sinx cosx=1.②由题意知，|m |＝√(√22)2+(−√22)2=1，|n |＝√(sinx )2+(cosx )2＝1，m ·n =√22sinx −√22cos x =sin (x −π4).而m ·n ＝|m|·|n|·cos 〈m ，n 〉＝cos π3＝12.∴sin (x −π4)＝12， 又∵x ∈(0,π2)，x −π4∈(−π4,π4)，∴x −π4=π6，∴x =5π12. 【易错点】运算出错，角度范围不明确；【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。