高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 平面向量的线性运算

例1：记max{x ，y}＝{x,x ≥y y,x

x,x

}≤|a |2+|b |2 D ．max {|a +b |2,|a －b|2

}≥|a |2+|b |2 【答案】：D 【解析】

方法一：对于平面向量a,b,|a +b|与|a －b|表示以a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又|a +b |,|a －b|中的较大者与|a |,|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有max {|a +b |2,|a －b|2}≥|a |2+|b |2 ,故选项D 正确，选项C 错误． 方法二：若a,b 同向，令|a |＝2,|b|＝3，这时

|a +b|＝5，|a －b|＝1，min{|a +b|，|a －b|}＝1，min{|a|，|b|}＝2；若令|a|＝2，|b|＝6，这时|a +b |

＝8,|a －b|＝4,min{|a +b |,|a －b|}＝4，而min{|a |,|b|}＝2，显然对任意a,b ，min{|a +b|，|a －b|}与

min{|a |,|b|}的大小关系不确定，即选项A 、B 均错．同理，若a,b 同向，取|a|＝1,|b|＝2，则|a +b |＝3,|a －b|

＝1，这时max {|a +b |2,|a －b|2}=9，而|a |2+|b |2＝5，不可能有max {|a +b |2,|a －b|2

}≥|a |2+|b |2，

故选C 项错．

【易错点】平面向量加减法线性运算性质。

【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对a,b 特殊化，从而得到|a +b |,|a －b|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．

题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用

例1.△ABC 中,AB 边的高为CD ,若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b,a ·b ＝0,|a |＝1,|b |＝2,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A.1

3a －1

3b B.2

3a －2

3b C.3

5a －3

5b D.4

5a －4

5b 【答案】 D

【解析】方法一：∵a ·b ＝0,∴∠ACB ＝90°,∴AB ＝√5,CD ＝

2√55

.

∴BD ＝

√5

5,AD ＝4√55,∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4

5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝45(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝45a －45

b.

方法二：如图,以C 为原点，CA,CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由已知得A (2,0),B(0，1).

又因为CD ⊥AB ，所以可求得D(25,45

),于是AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−85,4

5

),而a ＝(0,1),b ＝(2,0),若设AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝xa +yb ，则有

{2y =−85x =

45

即{

x =4

5y =−45

,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝45a －4

5b. 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；

【思维点拨】根据题设条件确定出A 、B 、D 三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.

例2. 若点M 是∆ABC 所在平面内一点,且满足: 设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3

4

AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +14

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . （1）求∆ABM 与∆ABC 的面积之比.

（2）若N 为AB 中点,AM 与CN 交于点O ,设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x,y 的值. 【答案】 见解析；

【解析】（1）由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3

4

AB

⃗⃗⃗⃗⃗ +14

AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知M 、B 、C 三点共线

如图令BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； λ=14;

S ∆ABM S ∆ABC

=1

4

.即面积之比为1：4

（2）由BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2

BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x

4

BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yBN

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线⇒{x +y

2

=1

x

4+y =1⇒{x =

4

7

y =67

. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

【思维点拨】.利用共线性质得出AB 与AC 的线段长度之比，即可得到面积之比； 第二问中利用O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线性质进行解决即可；