含绝对值的一元一次方程的解法

含绝对值的一元一次方程的解法 【小故事】

银条

一位银矿勘探员无力预付3月份的房租。他有一根长31英寸（英制长度单位。1英寸合2.54厘米）的纯银条，如图5-3所示，因此他和女房东达成如下协议。他说，他将把银条切成小段。3月份的第一天，他给女房东1英雨的一段，然后每天给她增加1英寸，以此作为抵押。勘探员预期到3月份的最后一天，他能全数付清租金，而届时女房东将把银条小段全部还给他。

3月份有31天，一种方法是把银条切成31段，每段长1英寸。可是晕得花很多的功夫。 勘探员希望既履行协义，又能使银条的分段数目尽量减少。例如，他可以第一天给女房东1英寸的一段，第二天再给1英寸的一段，第三天他取回这两段1英寸的而给她3英寸的一段。 假设银条的各段是按照这种方式来回倒换的，看看你能不能回答这样一个问题：勘探员至少需要把他的银条切成多少段？

为了信守协议，勘探员可以把31英寸的银条只切成5段，它们的长度分别为1英寸、2英寸、4英寸、8英寸和16英寸。

第一天，他女房东1英寸的一小段银条；第二天，给她2英寸的一段，取回1英寸的那两段，第三天，再给她1英寸的一段；第四天，取回1英寸和2英寸的那两段，给她4英寸的一段。按照这样的方式来回倒换，在3月份全月的31天中，他就能每天给房东增加1英寸银条。

【知识要点】

解绝对值方程和不等式的关键，就是根据绝对值的定义或性质，去掉绝对值符号，代为一般的方程和不等式，从而解决问题！

1．不等式的基本性质主要有：

（1）0a b -> a b >；0a b -< a b <；

（2）a b > b a <；a b b a <⇔>；

（3）,a b b c a c >>⇔>；

（4）a b a c b c >⇔+>+；

（5）,0a b c ac bc >>⇔>；

,0a b c ac bc ><⇔<；

（6）0,0a b c d ac bd >>>>⇔>。

2．一元一次不等式的一般形式为ax b <，它的解分为三种情况：

（1）当0a >时，解集为b x a

<； （2）当0a <时，解集为b x a

>； （3）当0a =时，若0b >，则解集包括所有数；若0b ≤，则这个不等式无解。

3．常用不等式：

（1）a b a b +≥+ （当且仅当,a b 同号时，a b a b +=+）

（2）a b a b +≥-

（3）222a b ab +≥ （0,0a b >>）

4．表示不等关系的式子，叫做不等式。如：a>b ，<，≥，≤，≠。

5．等式的性质：①不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不发生改变。②不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向发生改变。

6．二元一次不等式：可化为含有一个未知数，并且未知数的次数为1，系数不为0的不等式叫做一元一次不等式。

7．一元一次不等式的解法与步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；

（5）把未知数的系数化为1。

8．解一元一次不等式组的步骤：一元一次不等式组的解集是这个不等式中各个不等的解集的公共部分。步骤如下：

（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式的解集。

【典型例题】

例1 解下列方程：

321x +=- 例2 110x x x +++-=

例3 45x -= 例4

2132

x x x ---≥

例5 x a ≥ ()0a >

【巩固练习】

1．240x -= 2．4812x +=

3．458x -= 4．3612x +=

5．若a>b ，且c 为实数，则（ ）。

A ．ac>bc

B ．ac

C ．ac 2>bc 2

D ．ac 2≥bc 2

6．x>y ，用“>”或“<”号填空：

（1）2a x - 2

a y - （2）1x -+ 1y -+ （3）2(1)a x + 2(1)a y + （4）3(2)y -+ 3(2)x -+

7．下列等式中一定成立的是（ ）。

A ．4m>3m

B ．3－x<4－x

C ．－m>－2m

D ．

3m >2m

8．如果a>b ，那么（1）5a+1 5b+1；

（2）1－2a 1－2b ；

（3）23b - 23

a - （4）－2a －2b

9．如果m>n ，那么m －n 0；如果m<0，当n 时，mn>0；如果m>－n ，当a 0时，am>－an ；如果－x>y 且x>0，y<0，那么 。

10．x a < ()0a > 11．4329x x +=+

12．324x x -+= 13．设0a >

14．x a ≤ 15．5332x x --=

16．4835x x +-= 17． 45x ->

18．若,a b a b +>-则a 、b 应满足什么条件？

19．已知22430y ax y x -+--=，问a 为何值时，x 为负值？

20．解不等式：124816

x x x x x +

+++>的解。

21．满足不等式22123x x +-≥的所有非负整数的乘积是多少？

22．x 取何整数时，代数式[]32(2)x x --的值大于代数式3(3)x x --的值。

23．解不等式37235x +-≤

<，并把解集表示在数轴上。

24．已知0a <，10b -<<试比较a 、ab 、2ab 之间的大小关系。

25．解下列不等式： 1.88 1.3350.41.220.3

x x x ---->

26． 某人上午10时以每小时5㎞的速度从甲地出发步行去乙地，在离乙地3㎞的地方，他发现已经过了下午1点，但不到1点40分，求甲、乙两地之间的距离范围？

27．某校在一次课外活动中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人，若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人：求预定每组学生的人数？