1.7简单几何体的再认识教学内容
简单几何体的再认识课件-2024届高三数学一轮复习
通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再
相加即得所求几何体体积．
(2)补形法：
通过补形构造出一个规则几何体，然后进行计算．
(3)等体积法：
三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都
可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶
点和底面进行转换，以方便求解．
A.1∶1
B.1∶ 2
C.1∶ 3
D.1∶2
（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，
则该棱台的侧面积为（ B ）
A.80
B.240
C.320
D.640
（3）《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.
问：积几何？答曰：四万六千五百尺”.所谓堑堵，就是两底面为直角三角形的直棱柱，
2π
例4（1）某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为 的扇形，
3
则此圆锥的母线长为
3
，体积为
2 2π
3
.
<3> 台体（圆台、棱台）的体积
例5 圆台的母线长为12 cm，上、下底面的面积分别为4π cm2和25π cm2.
（1）求此圆台的体积；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.
<3> 台体（圆台、棱台）的体积
B.3倍
C.4倍
D.5倍
（4）圆台的上、下底面中心分别为1，2，过直线12的截面是上、下
底边长分别为2和4，且高为 3的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（ C ）
A.3π
B.3 3π
C.6π
D.6 3π
（5）在Rt△ 中，∠＝90°，＝3，＝4，以所在直线为轴
《认识几何体》大班数学教案
《认识几何体》大班数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：让幼儿能够识别和命名四种常见的几何体（正方体、长方体、圆柱体、球体），并了解它们的特点。
2. 过程与方法：通过观察、触摸、比较等方法，培养幼儿的观察能力和空间想象力。
3. 情感态度与价值观：激发幼儿对数学和几何体的兴趣，培养他们的逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 正方体：介绍正方体的特征，如六个面都是正方形，十二条边等。
2. 长方体：介绍长方体的特征，如六个面都是长方形，十二条边等。
3. 圆柱体：介绍圆柱体的特征，如两个底面都是圆，一条高等。
4. 球体：介绍球体的特征，如一个圆形底面，无边等。
三、教学准备：1. 教具：正方体、长方体、圆柱体、球体模型各一个。
2. 学具：每个幼儿发放一个几何体模型，以便触摸和观察。
四、教学过程：1. 导入：教师向幼儿展示四种几何体模型，引导幼儿观察并提问：“你们看到了什么？它们有什么特点？”2. 讲解：教师分别讲解正方体、长方体、圆柱体、球体的特征，让幼儿理解和记忆。
3. 实践：幼儿分组进行实践活动，触摸和比较不同几何体的特点，巩固所学知识。
4. 总结：教师引导幼儿总结四种几何体的特点，并鼓励幼儿用自己的语言表达。
五、作业设计：1. 家庭作业：让幼儿在家中找到生活中的几何体，并拍摄照片，第二天分享给同学和老师。
2. 课后拓展：鼓励幼儿发挥想象力，用几何体进行创意拼图或搭建活动。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察幼儿在课堂上的参与程度，是否积极回答问题和参与实践活动。
2. 作业完成情况：检查幼儿的家庭作业，了解他们对于几何体知识的掌握程度。
3. 课后拓展活动：观察幼儿在课后拓展活动中的表现，是否能够灵活运用所学知识。
七、教学策略：1. 直观展示：通过展示实物几何体模型，让幼儿直观地了解几何体的形状和特征。
2. 互动提问：教师通过提问引导幼儿思考，激发他们的学习兴趣和探究欲望。
3. 小组合作：通过小组实践活动，培养幼儿的合作意识和团队精神。
小学美术《学习简单的几何体》教案
-通过展示各种几何体模型，让学生观察并描述其特征，如正方体的六个面都是正方形，长方体有两个不同的面等。
-引导学生通过实际操作，如折叠、组合几何体，加深对几何体空间形态的理解。
2.教学难点
-空间想象力的培养：学生对几何体的组合和变换需要具备一定的空间想象力，这是难点之一。
-几何特征的准确描述：如何用准确的几何语言描述几何体的面、线、角等特征，对部分学生来说是一个挑战。
-实践操作中的问题解决：在组合创作过程中，学生可能会遇到比例、布局等方面的问题，需要指导他们如何解决。
举例解释：
-通过提供具体的情境和任务，如设计一个小房子，引导学生运用几何体进行创作，逐步培养空间想象力。
-教师提供描述几何特征的词汇表，帮助学生准确表达所观察到的几何体的特点。
-在学生进行组合创作时，教师巡回指导，针对遇到的问题提供及时的反馈和解决方案，如如何调整几何体的大小比例，如何布局才能使作品更平衡等。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释几何体的概念和特点，并通过案例分析让学生们看到几何体在实际中的应用。我觉得这一点对于帮助他们理解几何体的意义很有帮助。
然而，我也注意到在教学难点方面，尤其是空间想象力方面，部分学生仍然感到困惑。在实践活动和小组讨论中，我意识到需要更多地引导学生去观察、思考和动手操作。在未来的教学中，我打算增加一些更具操作性的环节，如让学生动手制作简单的几何体模型，以提高他们的空间想象力。
小学美术《学习简单的几何体》教案
一、教学内容
本节课选自小学美术教材《快乐美术》三年级上册第七章《奇妙的几何世界》，主要教学内容包括：
1.认识简单的几何体：正方体、长方体、圆柱体、球体等；
2.学会观察几何体的特征，如面、线、角等；
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.7.1 简单几何体的再认识课件 北师大版必修
(2)若一个圆台的主视图和左视图都是一个上底长为4,下底长为
10,高等于4的等腰梯形,则该圆台的侧面积等于
.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长, 求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)由三视图获知该圆台的 上、下底面半径和高,求出母线长然后套用公式可求侧面积.
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,
侧棱长为4,因此其侧面积S1=3×2×4=24,其两个底面的面积
S2=2×
3 4
×22=2
3 ,于是其表面积S=S1+S2=24+2
3 ,故选C.
(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成
Rt△POE.
的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.
答案:A
12345
4.长方体的对角线长为 2 14,长、宽、高的比为 3∶2∶1,那么它的
表面积为
.
解析:设长,宽,高分别为 3x,2x,x,则对角线长为 9������2 + 4������2 + ������2 =
14x=2 14,∴x=2.
∴表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
A.4
B.4 5
22 + 12 = 5,
C.4( 5+1) D.8 1 2×2× 5
4.几何体的表面积 几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧 面积与其底面的面积之和,也称为全面积.
做一做3 一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)教学案 理
第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)一、知识梳理1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13S 底h台 体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)．(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)．二、教材衍化1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________．解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， 所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：2 cm 2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.答案：1∶47 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积；(2)考虑不周忽视分类讨论；(3)几何体的截面性质理解有误；(4)混淆球的表面积公式和体积公式．1．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为 3 m．故该四棱锥的体积V＝1 3×2×1×3＝2(m3)．答案：22．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________．解析：因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.答案：12π4．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________． 解析：设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π.答案：323π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )A ．4＋4 2B ．4＋43C ．12D ．8＋42(2)(2020·四川泸州一诊)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．(5＋2)πB ．(4＋2)πC ．(5＋22)πD ．(3＋2)π【解析】 (1)连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B＝30°.又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝22，BC ＝ 2.又AB ⊥BC ，则AB ＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42，故选A.(2)因为在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，所以将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB ＝1，高为BC －AD ＝2－1＝1的圆锥，所以该几何体的表面积S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.故选A.【答案】 (1)A (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 1．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．答案：2 600π2．已知一几何体的三视图如图所示，它的主视图与左视图相同，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S＝1 2×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16.答案：12π＋16空间几何体的体积(多维探究)角度一直接利用公式求体积(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A．13.25立方丈B．26.5立方丈C．53立方丈D．106立方丈【解析】 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.【答案】 B角度二 割补法求体积《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，可将原几何体切割成三棱柱EHG FNM ，四棱锥E ADHG 和四棱锥F MBCN ，易知三棱柱的体积为12×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为13×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.故选B.【答案】 B角度三 等体积法求体积(2020·贵州部分重点中学联考)如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18【解析】 设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1AEF＝V F A 1AE .又V F A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD A 1B 1C 1D 1，所以V ABCD A 1B 1C 1D 1＝6V A 1AEF ＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.【答案】 A(1)处理体积问题的思路①“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；②“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；③“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法．(2)求空间几何体的体积的常用方法①公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；②割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；③等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．1．(2020·江西上饶二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为( )A ．π＋23B ．π＋13C ．π＋43D ．π＋34解析：选C.几何体为半圆柱与四棱锥的组合体(如图)，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面为边长为2的正方形，高为1，故几何体的体积V ＝12×π×12×2＋13×22×1＝π＋43.故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V四棱锥O EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球与空间几何体的接、切问题(多维探究) 角度一 外接球(1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π4(2)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】 (1)设圆柱的底面圆半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】 (1)B (2)36π角度二 内切球(1)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，表面积为S 1，球O 的体积为V 2，表面积为S 2，则V 1V 2的值是__________，S 1S 2＝________. (2)已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为________．【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.S 1S 2＝2πR ·2R ＋2πR 24πR 2＝32. (2)正四面体的表面积为S 1＝4×34×a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【答案】 (1)32 32 (2)63π解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：1.(2020·四川成都一诊)如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1.现分别沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π C.163π D ．83π 解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为23× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝33.因为三棱柱的高为BC ＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＋12＝233，所以三棱柱外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π3.故选C.2．(2020·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)在底面是边长为2的正方形的四棱锥P ABCD 中，点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2.若四棱锥P ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则r R＝( ) A.23B ．25 C.12D ．13解析：选B.如图，取E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接EF ，PE ，PF .由题意知，P ABCD 为正四棱锥，底面边长为2.因为BC ∥AD ，所以∠PBC 即为异面直线PB 与AD 所成的角．因为∠PBC 的正切值为2，所以四棱锥的斜高为2，所以△PEF 为等边三角形，则正四棱锥P ABCD 的内切球的半径r 即为△PEF 的内切圆的半径，为33. 设O 为正四棱锥外接球的球心，连接OA ，AH .由题可得AH ＝2，PH ＝ 3.在Rt △OHA 中，R 2＝(2)2＋(3－R )2，解得R ＝536， 所以r R ＝25. 确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一 由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A．16π B．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C.【答案】C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A. 2 B．6 2C.112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D 两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1 212＋12＋22＝62.故选B.【答案】B方法三由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．【解析】如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝ 3.在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝(3－OD)2＋1，解得OD＝23 3，故球O的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎪⎫2332＝163π.【答案】163π[基础题组练]1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πSD ．233πS 解析：选A.由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是S π，故侧面展开图的边长为2π·S π＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A. 2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( ) A ．5B ．5C ．9D ．3解析：选B.因为圆锥的底面半径R ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πRl ＝20π.设球的半径为r ，则4πr 2＝20π，所以r ＝5，故选B.3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )A.12B ．1 C.32D ．3 解析：选B.由主视图可得如图的四棱锥P ABCD ，其中平面ABCD ⊥平面PCD .由主视图和俯视图可知AD ＝1，CD ＝2，P 到平面ABCD 的距离为32. 所以四棱锥P ABCD 的体积为V ＝13×S 长方形ABCD ×h ＝13×1×2×32＝1.故选B.4．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5π3B ．4π3 C.π3D ．2π3 解析：选D.几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，由题意可知几何体的体积为：12×12·π×2－13×12×12·π×2＝2π3.故选D. 5．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，D 1B 与DC 所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．42π解析：选A.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为DC ∥AB ，所以相交直线D 1B 与AB 所成的角是异面直线D 1B 与DC 所成的角．连接AD 1，由AB ⊥平面ADD 1A 1，得AB ⊥AD 1，所以在Rt △ABD 1中，∠ABD 1就是D 1B 与DC 所成的角，即∠ABD 1＝60°，又AB ＝2，AB ＝BD 1cos 60°，所以BD 1＝AB cos 60°＝4，设长方体ABCD A 1B 1C 1D 1外接球的半径为R ，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得4R 2＝D 1B 2＝16，则R ＝2，所以长方体外接球的表面积是4πR 2＝16π.故选A.6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图，由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2， 取正方形的中心O ，AD 的中点E ，连接PO ，OE ，PE ，可知PO 为正四棱锥的高，△PEO 为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的侧面积S ＝4×12×2×5＝4 5. 答案：457.已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．解析：设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r 2，高为h 2， 所以V 圆锥SO ＝13πr 2h ，V 圆柱PO ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 2＝πr 2h 8，所以V 圆柱PO V 圆锥SO ＝38. 答案：388．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE ，因为△ABC 是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．因为AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2.所以S 表＝3×12×23×2＋33＝36＋3 3. 因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝13×33×1＝ 3. 设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r ＝3336＋33＝2－1. 答案：2－19．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段的中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.10.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC 平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC＝32x ，GB ＝GD ＝x 2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥E ACD 的体积V 三棱锥E ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.[综合题组练])1.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A.3π4 B ．2π C.3π2D ．9π4解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A 1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C.2．(2020·江西萍乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.236 B ．72C.76D ．4解析：选A.由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱ABB 1DCC 1，挖去一个三棱锥E FCG 所形成的，故所求几何体的体积为12×(2×2)×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝236. 故选A.3．(2020·福建厦门外国语学校模拟)已知等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝2，点D 是斜边AB 上一点(不同于点A ，B )．沿线段CD 折起形成一个三棱锥A CDB ，则三棱锥A CDB 体积的最大值是( )A ．1B ．12C.13D ．16解析：选D.设AD ＝x ，将△ACD 折起使得平面ACD ⊥平面BCD .在△ACD 中，由面积公式得12CD ·h 1＝12AD ·1(h 1为点A 到直线CD 的距离)，则h 1＝x1＋（x －1）2.由题易知h 1为点A 到平面BCD 的距离，故三棱锥A CDB 体积为V ＝13S △BCD ·h 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD ·1·h 1＝16·2x －x 2x 2－2x ＋2，x ∈(0，2)．令t ＝x 2－2x ＋2，则t ∈[1，2)，故V ＝16·2－t 2t ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －t .由于2t －t 是减函数，故当t ＝1时，V取得最大值为16×(2－1)＝16.故选D.4．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．183C ．24 3D ．543解析：选B.如图，E 是AC 的中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B. 5.如图所示，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1ABC 1的体积为________．解析：三棱锥B 1ABC 1的体积等于三棱锥A B 1BC 1的体积，三棱锥A B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.答案：3126．已知半球O 的半径r ＝2，正三棱柱ABC A 1B 1C 1内接于半球O ，其中底面ABC 在半球O 的大圆面内，点A 1，B 1，C 1在半球O 的球面上．若正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面积为63，则其侧棱的长是________．解析：依题意O 是正三角形ABC 的中心，设AB ＝a ，分析计算易得0<a <23，AO ＝33a ，在Rt △AOA 1中，A ′O ＝r ＝2，则AA 1＝r 2－AO 2＝4－a 23，所以正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面积S ＝3a ·AA 1＝3a4－a 23＝3－a 43＋4a 2＝63，整理得a 4－12a 2＋36＝0，解得a 2＝6，即a ＝6，此时侧棱AA 1＝ 2.答案：27.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 边的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为S ，当CQ ＝1时，S 的面积为________．解析：当CQ ＝1时，Q 与C 1重合．如图，取A 1D 1，AD 的中点分别为F ，G .连接AF ，AP ，PC 1，C 1F ，PG ，D 1G ，AC 1，PF .因为F 为A 1D 1的中点，P 为BC 的中点，G 为AD 的中点， 所以AF ＝FC 1＝AP ＝PC 1＝52，PG 綊CD ，AF 綊D 1G .由题意易知CD 綊C 1D 1，所以PG 綊C 1D 1，所以四边形C 1D 1GP 为平行四边形， 所以PC 1綊D 1G ，所以PC 1綊AF ， 所以A ，P ，C 1，F 四点共面， 所以四边形APC 1F 为菱形．因为AC 1＝3，PF ＝2，过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面S 为菱形APC 1F ，所以其面积为12AC 1·PF ＝12×3×2＝62.答案：628．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π。
高中数学第一章立体几何初步7简单几何体的再认识第3课时球获奖公开课优质课件
2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为
A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
()
4．(福州高一检测)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积 为322，底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径的 球的表面积为________．
5．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的 球(如图所示)，则球的半径是________cm.
讲一讲 1．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的 距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求 球面面积与球的体积． [尝试解答] 如图所示，设球心为 O，截面圆圆 心 O1，球半径为 R， 连接 OO1，则 OO1 是球心到截面的距离．
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就 要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关 系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．
第3课时 球
[核心必知]
1．球的表面积公பைடு நூலகம்：S球面＝
.
2．球的体积公式：V球＝
.
[问题思考] 用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几 何量与球的半径之间有什么关系？ 提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球 的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示． 若球的半径为R， 截面圆的半径为r， OO′＝d. 在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2， 即R2＝r2＋d2.
6．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)： (1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．
由题知π•CA2＝49π，∴CA＝7 cm. π•BD2＝400π，∴BD＝20 cm. 设球半径为R，则有 (CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2， 即(9＋x)2＋72＝x2＋202， ∴x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.
高中数学第1章立体几何初步7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积数学教案
§7简单几何体的再认识7．1 柱、锥、台的侧面展开与面积学习目标核心素养1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．(重点)3．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．(难点)1.通过对简单几何体侧面展开图的探究，提升直观想象素养．2．通过对简单几何体侧面积的计算，培养数学运算素养.1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧＝2πrl r为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧＝πrl r为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝ch c为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧＝12ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′c ′为上底面周长c 为下底面周长 h ′为斜高，即侧面 等腰梯形的高思考1：怎样计算柱、锥、台的表面积？提示：柱、锥、台的表面积S 表等于该几何体的侧面积S 侧与底面积S 底的和，即S 表＝S 侧＋S 底．思考2：求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶4D ．4∶1 B [S 1＝2π·1·2＝4π，S 2＝2π·2·1＝4π，∴S 1＝S 2.]2．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是( )A ．2B ．2.5C ．5D ．10C [S侧＝π(r 1＋r 2)l ＝2(πr 21＋πr 22)，∴l ＝2(12＋32)1＋3＝5.] 3．已知正三棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的体积为________． 339 [∵正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5， ∴底面的正三角形的面积为：S ＝12×6×62－⎝⎛⎭⎫622＝93，故底面的正三角形高为33，其外接圆半径为23，∴三棱锥的高为h ＝52－(23)2＝13，∴体积为V ＝13×93×13＝339.]4．若一个正六棱柱的底面边长为a ，侧面对角线的长为2a ，则它的表面积为________． 93a 2[正六棱柱的底面边长为a ，所以正六棱柱的底面面积为S 底＝33a 22，又侧面对角线的长为2a ，所以侧棱长为3a ，则该正六棱柱的表面积为S 表＝2S 底＋S 侧＝2×33a 22＋6a ×3a ＝93a 2.]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．[解] 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13(cm)，∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2)．1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体表面积的关键．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而求得几何体的表面积．[跟进训练]1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πSA [设底面半径为r ，则S ＝πr 2，则r ＝Sπ，所以底面周长为2πr ＝2πSπ，又侧面展开图为一个正方形，故母线长为2πr ＝2Sπ·π， ∴S 侧＝2πr ·l ＝(2πr )2＝4π2·r 2＝4π2⎝⎛⎭⎫S π2＝4πS .]直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积【例2】 正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[思路探究] 在由高、斜高构成的直角三角形中应用勾股定理，求出底面边长和斜高，从而求其侧面积，然后求表面积．[解] 设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底，所以12×3a ×h ′＝34a 2×2，所以a ＝3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2，所以32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2，所以h ′＝23，所以a ＝3h ′＝6， 所以S 底＝34a 2＝34×62＝93， 所以S 侧＝2S 底＝183， 则S 表＝S 侧＋S 底＝27 3.1．正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清楚相对应的元素，求解就会很简单．2．多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解．[跟进训练]2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817D ．80C[由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为：S＝2×12×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817.]组合体的表面积【例3】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．[思路探究]该组合体为一个圆柱在中间挖去了一个等高的圆锥，分别计算各部分的表面积即可．[解]如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－a)tan 60°＝3a，DC＝2a－acos 60°＝2a.又DD′＝DC＝2a，∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a·3a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋43)πa2.求组合体的表面积的解题策略：(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响.(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.[跟进训练]3．如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．[解]过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BC AB ＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845π.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．S 圆柱表＝2πr (r ＋l )；S 圆锥表＝πr (r ＋l )；S 圆台表＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)． 1．思考辨析(1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．( ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形． (3)空间几何体的侧面积即是表面积． ( )(4)圆台的侧面展开图是一个扇环． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 D [正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.]3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3π B ．33π C ．6πD ．9πA [根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.]4．圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则圆锥的高是________． 32R [设底面半径是r ，则2πr ＝πR ， ∴r ＝R2，∴圆锥的高h ＝R 2－r 2＝32R .]。
《简单几何体的再认识(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
所以，过球外一点的所有切线的切线长都相等． 这些切点的集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面及所有切线围成了一个圆锥．
一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为的半球的体积有什么关系呢？
可以用两个圆锥的体积相减，得到圆台的体积．
由相似的性质，不难得出： ；； ．
，
∴=，
将柱体、台体、椎体的体积公式归纳起来思考，有什么发现？
前面我们学习了柱、锥、台体的表面积及体积的计算公式，那么球的表面积和体积该如何计算呢？
用一个平面去截半径为的球，所得的截线是什么形状？
若平面经过球心， 则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心的距离都为，这说明过球心的平面截球面所截线是以球心为圆心的圆．
用距圆柱下底面高为的平面分别截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为：，右边的半球体被平面所截的截面为圆，可得圆的半径为：，故截面的面积为：，由祖暅原理知，上述两个几何体的体积相等．即，．
如何在球的体积公式的基础上，推导球的表面积公式？
把球分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体被分割成个小锥体．
第六章 立体几何初步
简单几何体的再认识(2)
生活中常见的水桶多数是圆台，如果我们知道水桶上、下底面的半径分别是，，你能计算出这个水桶的容积吗？
如何计算台体的体积？
圆台的体积
水桶的容积
圆台可以看成是由圆锥被平行于底面的平面所截形成的，类比用两个圆锥的侧面积之差计算圆台的侧面积，如何计算圆台的体积呢？
当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径．底面积，，，…的和趋近于球面积，所有这些小椎体的体积的和趋近于球的体积，因此， ，
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的再认识 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积学
§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积知识点一侧面积[填一填]1．侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积(1)圆柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边长为母线长，另一边长为圆柱底面圆的周长．则圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，其中r为圆柱的底面半径，l为圆柱的母线长．(2)圆锥的侧面展开图是扇形，如上图②所示，此扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，则圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl，其中r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长．(3)圆台的侧面展开图是一个扇环，如上图③所示，则圆台的侧面积S圆台侧＝π(r1＋r2)l，其中r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为圆台的母线长．[答一答]1．求圆柱、圆锥、圆台的侧面积的关键是什么？提示：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积，关键是在它们的轴截面中求底面半径及母线长． 知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积[填一填](1)直棱柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边是直棱柱的侧棱(也是高)，另一边是直棱柱的底面周长，则直棱柱的侧面积S 直棱柱侧＝ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高．(2)正棱锥的侧面展开图是由全等的等腰三角形拼接成的，如上图②所示，则正棱锥的侧面积S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 为正棱锥的底面周长，h ′为斜高，即为侧面等腰三角形底边上的高．(3)正棱台的侧面展开图是由全等的等腰梯形拼接成的，如上图③所示，则正棱台的侧面积S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′，其中c ′，c 分别为正棱台的上、下底面周长，h ′为斜高，即侧面等腰梯形的高．[答一答]2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积有何关系？ 提示：这三种几何体侧面积之间的关系3．如何求简单多面体的侧面积？提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁．(2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系．1．在掌握柱体、锥体、台体侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积，能够将其分解成柱体、锥体、台体，再进一步转化为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．3．棱锥中平行于底面的截面的性质：在棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系： S 小锥底S 大锥底＝S 小锥全S 大锥全＝S 小锥侧S 大锥侧＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 思维拓展：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积时，会大大简化求解过程．在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．类型一柱体的侧面积与表面积【例1】用一张4 cm×8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的全面积．【思路探究】圆柱的侧面展开图为矩形，圆柱的母线及底面周长为侧面展开图的宽和长，利用这些关系，我们可以在圆柱的侧面积和基本量之间转化．【解】由于卷的方法不同，故有两种情况：(1)如右图(1)，以矩形中8 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，∴OA＝r1＝2π，此时两底面的面积之和为8π，S全＝⎝⎛⎭⎫32＋8π(cm2)．(2)如上图(2)，以矩形中4 cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，∴OB＝r2＝4π，此时两底面的面积之和为32π，S全＝⎝⎛⎭⎫32＋32π(cm2)．规律方法圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决圆柱和直棱柱的侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积的计算公式即可．对于计算表面积的问题，在侧面积的基础上加上两个底面积即可．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是4014.解析：依题意，知直棱柱底面的一条对角线长为152－52＝102，另一条对角线长为72－52＝24＝2 6.又菱形的对角线互相垂直平分，故底面边长为(52)2＋(6)2＝56＝214，故S侧＝4×214×5＝4014.类型二锥体的侧面积与表面积【例2】 正四棱锥底面边长为4 cm ，高和斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积．【解】 正棱锥的高PO 、斜高PE 、底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝OE sin30°＝4 cm.因此S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．规律方法 本题的关键是解正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的Rt △POE .已知正三棱锥的侧棱长等于10 cm ，侧面积等于144 cm 2，如图，求棱锥的底面边长和高．解：如图，设正三棱锥S -ABC 底面边长为2a ，SO 为棱锥高，斜高SD ，在Rt △SAD 中，SA ＝10，AD ＝a ， ∴SD ＝102－a 2，由S 正三棱锥侧＝3·12SD ·AB ，即144＝3a 100－a 2得a ＝6或a ＝8，∴AB ＝12或AB ＝16， 此时SO ＝SD 2－OD 2＝213或2333，∴正三棱锥的底面边长为12 cm ，高为213 cm或底面边长为16 cm ，高为2333 cm.类型三 台体的侧面积与表面积【例3】 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的全面积．【思路探究】 依据侧面积计算公式，需求出上、下底面的半径． 【解】如图所示的是圆台轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin60°＝43(cm)，AH ＝A 1A ·cos60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.①设A 1B 与AB 1的交点为M ，则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1.同理OM ＝OA ＝r 2. ∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1)．∴S 全＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π (cm 2)．规律方法 圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面中，为方便起见，旋转体的证明和计算有时不必画立体图形，画出它的轴截面即可．若圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的表面积为(C) A．81πB．100πC．168πD．169π解析：先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长l＝h2＋(r2－r1)2＝(4r1)2＋(3r1)2＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S侧＝π(r2＋r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S侧＋πr21＋πr22＝100π＋4π＋64π＝168π.类型四三视图与表面积【例4】如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A．23B．4 3C．4 D．8【思路探究】解题关键是通过三视图还原为几何体的直观图．【解析】由三视图和已知条件知8个侧面是全等的等腰三角形，且底边和斜高均为1.故表面积为12×1×1×8＝4.【答案】 C如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长C ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋(23)2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋Ch ＋12Cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.故选C.——多维探究系列—— 有关几何体的表面积中的最值问题【例5】 已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？【精解详析】 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S 圆柱侧＝2πr ·x ，∵r R ＝H －x H ，∴r ＝R －R H x . ∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H ·x 2.(2)因为S圆柱侧的表达式中x 2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值，此时圆柱的高是x ＝－2πR －2×2πR H ＝H 2>0，且x ＝H2<H ，所以当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．如图所示，三棱锥P －ABC 的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M 在棱PB 上移动，动点N 在棱PC 上移动，求AM ＋MN ＋NA 的最小值．解：三棱锥P －ABC 的展开图如图所示，则AM ＋MN ＋NA ＝AN ＋MN ＋A 1M ，又∵AN ＋MN ＋A 1M ≥AA 1，∴当A ，M ，N 三点共线时，取到最小值． 在图中，∵∠A 1PB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝40°，∴∠AP A 1＝120°.在△AP A 1中，AA 1＝3， ∴AM ＋MN ＋NA 的最小值为 3.一、选择题1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为( D ) A ．4 B.34C ．2 3D. 3解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为34，所以此三棱锥的表面积为4×34＝ 3. 2．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( C ) A.2倍 B ．3倍 C ．2倍D ．5倍解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.所以S 侧S 底＝2. 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：设底面圆半径为r ，母线即高为h ， ∴h ＝2πr ，∴S 全S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.二、填空题4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是92.解析：本题考查了三视图及正四棱柱的表面积．该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是：S＝2×12×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋42＋(5－2)2)×4＝92.5．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是2N2＋2Mh2.解析：设长方体的长和宽分别为a，b，则有a·b＝M，a2＋b2·h＝N，2(a＋b)h＝2(a＋b)2·h＝2N2h2＋2M·h＝2N2＋2Mh2.三、解答题6．如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．解：旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，因为△ABC为边长为8的正三角形，所以BD＝4，AD＝43，△EBH中，∠B＝60°，EB＝4，BH＝HD＝DG＝2，EH＝23，圆柱底面半径HD＝2，高EH＝23，圆锥底面半径BD＝4，高为AD＝4 3.S圆锥＝πr2＋πRl＝π·BD2＋π·BD·AB＝16π＋32π＝48π，S圆柱侧＝π·HG·EH＝83π，所以几何体的表面积为：S ＝48π＋83π.V 圆锥＝13π·42·43＝6433， V 圆柱＝π·22·23＝83π，所求几何体积为V ＝V 圆锥－V 圆柱＝6433π－83π＝4033π.。
《认识几何体》大班数学教案
《认识几何体》大班数学教案一、教学目标：1. 让学生通过观察、触摸、比较等方法，认识和感知不同几何体的特征。
2. 培养学生的空间观念，提高学生的观察力和思维能力。
3. 培养学生合作学习的精神，增强团队意识。
二、教学内容：1. 认识正方体、长方体、圆柱体、球体等基本几何体。
2. 了解几何体的特征，如：正方体的六个面都是正方形，长方体的六个面都是长方形等。
3. 学会用简单的语言描述几何体的特征。
三、教学重点与难点：重点：让学生认识和感知不同几何体的特征。
难点：用简单的语言描述几何体的特征。
四、教学准备：1. 准备各种几何体的模型或图片，如正方体、长方体、圆柱体、球体等。
2. 准备一个几何体分类盒，里面装有各种几何体模型。
3. 准备黑板、粉笔等教学用品。
五、教学过程：1. 导入：邀请学生分享他们已经知道的关于几何体的知识，教师简要介绍今天要学习的内容。
2. 认识几何体：教师展示各种几何体的模型或图片，引导学生观察和触摸，感受几何体的形状和特征。
3. 学习几何体的特征：教师引导学生通过观察、比较和触摸等方法，发现正方体、长方体、圆柱体、球体等几何体的特征，并用简单的语言进行描述。
4. 实践操作：学生分组进行实践活动，用几何体模型进行组合和创作，培养学生的空间观念和动手能力。
六、教学延伸：1. 家庭作业：让学生回家后，与家长一起找出生活中的几何体，并用照片或画图的方式记录下来，下周分享给同学们。
2. 课后反思：教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到教学目标，学生是否掌握了所学知识，并做好教学笔记。
七、教学评价：1. 评价学生的学习成果，看学生是否能正确识别各种几何体，并用简单的语言描述它们的特征。
2. 评价学生的参与程度，看学生是否能积极参与课堂讨论和实践活动。
3. 评价学生的团队协作能力，看学生在实践活动是否能与团队成员良好配合。
八、教学建议：1. 对于空间观念较弱的学生，可以多给他们一些实践操作的机会，让他们通过触摸和组合几何体，加深对几何体的认识。
2019-2020年高中数学北师大必修2教学案：第一章 7 简单几何体的再认识(含解析)
简单几何体的再认识2019-2020年高中数学北师大必修2教学案：第一章 7 简单几何体的再认识(含解析)预习课本P44～46，思考并完成以下问题(1)柱、锥、台的侧面展开图分别是什么？(2)柱、锥、台的侧面积公式是什么？[新知初探]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式正棱锥S正棱锥侧＝12ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)h′c′为上底面周长c为下底面周长h′为斜高，即侧面等腰梯形的高[点睛](1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．()(2)圆台的高就是相应母线的长．()(3)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长．()答案：(1)×(2)×(3)×2．棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54 D．36答案：C3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其侧面积等于()A．72 B．42πC．67π D．72π答案：B4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的侧面积为________．答案：4π题点一：圆柱的侧面积(表面积)问题1．圆柱的侧面展开图是两边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( ) A ．6π(4π＋3) B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析：选C 由题意，圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2. ①以边长为6π的边为母线时，4π为圆柱底面周长，则2πr ＝4π， 即r ＝2，所以S 底＝4π，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为母线时，6π为圆柱底面周长，则2πr ＝6π， 即r ＝3，所以S 底＝9π，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．2．(陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.题点二：圆锥的侧面积(表面积)问题3．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：选D 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr2＝lr ＝2，故选D.4．圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( ) A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4解析：选C 如图所示，PB 为圆锥的母线，O 1，O 2分别为截面与底面的圆心．因为O 1为PO 2的中点， 所以PO 1PO 2＝PA PB ＝O 1A O 2B ＝12，所以PA ＝AB ，O 2B ＝2O 1A . 又因为S 圆锥侧＝π·O 1A ·PA ， S 圆台侧＝π·(O 1A ＋O 2B )·AB ， 则S 圆锥侧S 圆台侧＝O 1A ·PA (O 1A ＋O 2B )·AB ＝13. 题点三：圆台的侧面积(表面积)问题5．若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是________．解析：因为S 侧＝π(r 1＋r 2)·l ＝2(πr 21＋πr 22)＝2×(π＋9π)＝20π，所以l ＝20π(r 1＋r 2)π＝20π4π＝5.答案：5旋转体的表面积的求法技巧圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．多面体的侧面积(表面积)及应用[典例] 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15[解析] 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．S 表＝2×12×(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选B.[答案] B1．由三视图求几何体的表面积的步骤(1)画：由三视图还原为直观图，即画出物体的直观图．(2)标：结合三视图的特征，标明直观图中的相关量及线线之间的位置关系，(如垂直、平行)． (3)算：根据直观图计算相应的量，(如表面积、侧面积)． 2．多面体的表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面边长．(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键．[活学活用]正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，它的高SO ＝3，求此正三棱锥的侧面积． 解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，连接SE ，则SE ⊥AB ，且SE ＝h ′.因为S 侧＝2S 底， 所以12×3a ×h ′＝34a 2×2.所以a ＝ 3h ′.因为SO ⊥OE ，所以SO 2＋OE 2＝SE 2. 所以32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2. 所以h ′＝2 3.所以a ＝ 3 h ′＝6. 所以S 底＝34a 2＝34×62＝9 3. 所以S 侧＝2S 底＝18 3.组合体的侧面积(表面积)及应用[典例] ＝60°，在平面ABCD 内，过C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求此旋转体的表面积．[解] 如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的．在直角梯形ABCD 中，AD ＝a ，BC ＝2a ，AB ＝(2a －a )tan 60°＝3a ， DC ＝2a －acos 60°＝2a ，又DD ′＝DC ＝2a ，则S 表＝S 圆柱表＋S 圆锥侧－S 圆锥底 ＝2π·2a ·3a ＋2π·(2a )2＋π·a ·2a －πa 2 ＝(9＋43)πa 2.1．求组合体的表面积的三个基本步骤(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么． (2)根据组合体的组成形式设计计算思路． (3)根据公式计算求值．2．求组合体的表面积的解题策略(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响．(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化．[活学活用]已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积．解：如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D . 由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 知AC 2＋BC 2＝AB 2， 则AC ⊥BC .所以BC ·AC ＝AB ·CD ， 所以CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4， 所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π.层级一 学业水平达标1．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选A S 表＝4S 正△＝4×34＝ 3. 2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，∴S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45°角，则这个圆台的侧面积是( )A ．27πB ．272πC ．9 2 πD ．362π解析：选B ∵由题意r ′＝3，r ＝6，l ＝32，∴S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π(3＋6)×32＝272π. 4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，所以S 表＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)，又S 侧＝h 2＝4π2r 2，所以S 表S 侧＝1＋2π2π.6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即直径为2.答案：27．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________． 解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为22－(3)2＝1，所以圆锥的侧面积为S 侧＝πrl ＝π×1×2＝2π.答案：2π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S 1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38；圆柱的侧面积S 2＝2π×1×1＝2π；圆柱的上下底面面积S 3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S ＝S 1＋S 2－S 3＝38.答案：389．已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm ，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm 2)．解：如图所示，正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2 cm ，∠OPE ＝30°， ∴PE ＝2OE ＝4(cm)，因此，S 棱锥侧＝12ch ′＝12×4×4×4＝32(cm 2)．S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．10．圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体对角线长是102cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的底面半径和高．解：设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm ，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：⎩⎪⎨⎪⎧ (2r )2＋h 2＝(102)2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.即圆柱的底面半径为5 cm ，高为10 cm.层级二 应试能力达标1．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．12πB ．18πC ．24πD ．36π解析：选C 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C.2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )A ．5 B. 3 C.3＋12D.3＋1解析：选B 设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ＝ 1－14＝32.∴S 侧＝12×4×32＝ 3. 3．三视图如图所示的几何体的表面积是( )A ．7＋ 2 B.112＋ 2 C ．7＋ 3D.32解析：选A 图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S 底＋S 侧面＝12×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋ 2.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1-AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( ) A ．1∶1 B ．1∶ 2 C ．1∶ 3D ．1∶2解析：选C 如图，三棱锥D 1-AB 1C 的各面均是正三角形．其边长为正方体侧面对角线．设正方体的棱长为a ，则面对角线长为2a ，S 锥＝4×12(2a )2×32＝23a 2，S 正方体＝6a 2，故S 锥∶S 正方体＝1∶ 3.5．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x 2－9x ＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．解析：方程x 2－9x ＋18＝0的两个根为x 1＝3，x 2＝6，设侧面梯形的高为h ，则由题意得12×(3＋6)·h ×4＝32＋62，解得h ＝52.答案：526．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．已知一正三棱台ABC -A 1B 1C 1的两底面边长分别为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高．解：如图，在正三棱台ABC -A 1B 1C 1中，O ，O 1为两底面中心，D ，D 1是BC ，B 1C 1的中点， 则DD 1为棱台的斜高．由A 1B 1＝20，AB ＝30， 得OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下得12×(60＋90)·DD 1＝34×(202＋302)． 所以DD 1＝133 3.在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－(OD －O 1D 1)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝4 3. 即棱台的高为4 3 cm.8．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短距离为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)此棱柱的表面积．解：(1)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点P 移动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线．设PC ＝x ，即P 1C ＝x ，在Rt △MAP 1中，由勾股定理得(3＋x )2＋22＝29， 求得x ＝2，∴PC ＝P 1C ＝2.∵NC MA ＝P 1C P 1A ＝25，∴NC ＝45.(3)棱柱的表面积：S ＝S 侧＋2S 底＝9×4＋2×12×32×32＝72＋932.7．2 柱、锥、台的体积预习课本P46～48，思考并完成以下问题 (1)柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？(2)由柱体的体积公式能得到锥体的体积公式吗？由锥体的体积公式能得到台体的体积公式吗？[新知初探]柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式 柱体圆柱、棱柱V 柱体＝ShS 为柱体底面积，h 为柱体的高锥体 圆锥、棱锥V 锥体＝13ShS 为锥体底面积，h 为锥体的高台体圆台、棱台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下为台体的上、下底面面积，h 为高[点睛] 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：(其中S ′，S 表示台体上、下底面面积)[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求．( )(2)锥体的体积是柱体体积的13.( )(3)圆台的体积可由两圆锥的体积差得出．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√2．圆柱的底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________． 答案：2S πS3．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________． 答案：28 34．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．答案：4多面体的体积[典例] (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.15(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm 2，2 3 cm 2，侧棱长为2 cm ，则其体积为________ cm 3.(3)一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，这个三棱锥的体积为________．[解析] (1)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1-AB 1D 1.设正方体的棱长为a ，则VA 1-AB 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体的体积为a 3－16a 3＝56a 3，所以比值为15，故选D.(2)如图所示，设底面菱形的对角线AC ，BD 长分别为x cm ，y cm ，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝2，2y ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，底面菱形的面积S ＝12xy ＝32(cm 2)，所以该棱柱的体积为V ＝Sh ＝32×2＝3(cm 3)．(3)如图所示，正三棱锥S -ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .因为△ABC是边长为6的正三角形，所以AE ＝32×6＝3 3. 则AH ＝23AE ＝2 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， 所以SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3. 所以V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.[答案] (1)D (2) 3 (3)9求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． [活学活用](山东高考)一个六棱锥的体积为2 3 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22×h ＝23，解得h ＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为(3)2＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.答案：12旋转体的体积[典例] (1)(山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )A ．54 cm 3B ．54π cm 3C ．58 cm 3D ．58π cm 3[解析] (1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×π×()22×2＝42π3.(2)由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm 3，故原来圆锥的体积为54 cm 3.[答案] (1)B (2)A有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．[活学活用]设圆台的高为3，在轴截面中母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：作圆台的轴截面A 1ABB 1，设上、下底面半径分别为r ，R ，作A 1D ⊥AB 于点D ，连接A 1B ，∵A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°，又∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°，∴AD ＝A 1D ·cot 60°＝3，∴R －r ＝ 3. BD ＝A 1D ·tan 60° ＝33， ∴R ＋r ＝3 3.∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π. ∴圆台的体积为21π.几何体体积的求法1.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A -DED 1的体积为________．解析：V 三棱锥A -DED 1＝V 三棱锥E -DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16. 答案：162.如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P -ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△PAC 作为底面求解．故V ＝13S △PAC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20. 题点三：补形法4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D -ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体， 同理，V C -ABF ＝V D -ACG ＝V D -BCH ＝16V 长方体，∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．层级一 学业水平达标1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 2．(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.3．如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．9 3C ．8 3D ．12解析：选B 由三视图可知直观图是四棱柱，故V ＝3×3×3＝9 3. 4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：选C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)． 5．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋4B ．2π＋8C ．4π＋4D ．4π＋8解析：选B 由三视图知该几何体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V ＝1×2×4＋12×π×12×4＝8＋2π.6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________. 解析：设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.答案： 37．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.答案：83π8．已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为________．解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3×12×π×12＝24－3π2.答案：24－3π29．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 解：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π， 得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．如图，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高．若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积．解：∵VM 是棱锥的高， ∴VM ⊥MC . 在Rt △VMC 中， MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)，∴AC ＝2MC ＝6(cm)． 在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm)．S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)，∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3)．∴棱锥的体积为3253cm 3.层级二 应试能力达标1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4πD ．8π解析：选B 设圆柱的底面半径为r ， 则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.2．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23D.34 解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 柱＝13， ∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 3．(浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何的体积V ＝V 四棱锥＋V 三棱柱＝4×6×3＋12×4×3×3＝90(cm 3)． 4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(2－1)3πD.8(2－1)3π解析：选A 由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为32－12＝22，设其内接正方体的棱长为x ，则2x 2＝22－x 22，∴x ＝223.∴V 新工件＝x 3＝16227. 又V 原工件＝13π×12×22＝22π3，∴V 新工件V 原工件＝1622722π3＝89π.故选A. 5．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14. 答案：146．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：由三视图易知几何体ABC -A 1B 1C 1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VP -A 1MN ＝VA 1-PMN ＝V A -PMN . 又S △PMN ＝12MN ·NP ＝12×12×1＝14，A 到平面PMN 的距离h ＝12，∴V A -PMN ＝13S △PMN ·h ＝13×14×12＝124. 答案：1247．如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1-ABC ，三棱锥B -A 1B 1C ，三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1-ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC -A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB -A 1B 1C ＝V 台－VA 1-ABC －VC -A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ，∴所求体积比为1∶2∶4.8．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，∴圆锥的侧面积S 1＝π×2×210＝410π(cm 2)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm ，由题意，知r 2＝6－x6，∴r ＝6－x3，∴圆柱的侧面积S 2＝2πrx ＝2π3(－x 2＋6x )＝－2π3[(x －3)2－9]， ∴当x ＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm 2.7．3 球预习课本P48～50，思考并完成以下问题 (1)什么叫作球的大圆？什么叫作球的小圆？(2)球的表面积公式和体积公式是什么？[新知初探]1．球的截面用一个平面α去截半径为R 的球O 的球面得到的是圆．有以下性质： (1)若平面α过球心O ，则截线是以O 为圆心的球的大圆．(2)若平面α不过球心O ，如图，设OO ′⊥α，垂足为O ′，记OO ′＝d ，对于平面α与球面的任意一个公共点P ，都满足OO ′⊥O ′P ，则有O ′P ＝R 2－d 2，即此时截线是以O ′为圆心，以r ＝R 2－d 2为半径的球的小圆．2．球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线．如图，l 为球O 的切线，M 为切点．(2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径； ②过球外一点的所有切线的长度都相等． 3．球的表面积与体积公式前提条件 球的半径为R 表面积公式 S ＝4πR 2 体积公式V ＝43πR 3[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)决定球的表面积与体积的关键量是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的表面积和体积与半径之间存在函数关系．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√2．过球面上两点可能作出的球的大圆有________个． 答案：一或无数3．两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为________． 答案：1∶44．半径为R 的球的表面积与体积的比是________． 答案：3R球的体积与表面积的计算[典例] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B. [答案] B求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．[活学活用]1．某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是( )A.4π3B.15π3C.4π3－15π3D.4π3＋15π3解析：选D 由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为15的圆锥，所以V ＝43π×13＋13π×12×15＝4π3＋15π3.2．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比． 解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3，r ＝2R ，∴13π(2R )2·h ＝43πR 3， ∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝ 5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π·2h ·5h ＝25πh 2， S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.球的截面问题[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3[解析] 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5. ∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．[答案] A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.[活学活用]一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3解析：选B 设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示． 在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ， OO 1＝2 cm ，。
简单几何体的再认识(1)课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
情境引入
新知探究
应用举例
课堂练习
梳理小结
布置作业
已知圆锥的底面半径为与母线长为，如何计算圆锥的侧面积和表面积？
➢ 把圆锥的侧面沿一条母线展开，得到的是什么图形？
➢ 扇形的半径和弧长分别是什么？
半径：圆锥的母线
扇形
弧长：底面圆的周长
1
侧面积 = ⋅ 2π ⋅ = π
2
2π
l
r
表面积 = 侧面积 + 底面积 = π + π 2
其中，c为底面周长，h′为斜高.
侧 = 4 ×
1
2
1 1
2 4 1
1
4
+ 2 ℎ′
= (1 + 2 )ℎ′
其中，c1 、c2 分别为上、下
底面周长， h′为斜高.
对于一般的棱柱、棱锥、棱台，如何计算它们的侧面积？
对于一般的棱柱、棱锥、棱台，其侧面就是一般的平行四边形、三角形、梯形，分别计算
积公式易得结果.
解：∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形
∴底面半径 = 1，母线长 = 2，
∴侧面积 = π = 2π.故答案为2π.
新知探究
情境引入
应用举例
课堂练习Biblioteka 梳理小结布置作业陀螺是中国民间的娱乐工具之一，其形状结构如图所示，由一个同底的圆柱
体和圆锥体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1、h2、
1
1
= 底 ⋅ = × 230.42 × 146.6 ≈ 2594046.0 （m3）
3
3
因此，金字塔的侧面积约为85914.9 m2，体积约为2594046.0 m3.
B
高中数学 第1章 立体几何初步 7 简单几何体的再认识 7.3 球数学教案
7．3 球球的半径为R ，那么它的体积V 球＝43πR 3.2．球的表面积球的半径为R ，那么它的表面积S 球＝4πR 2. 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．8∶27 B ．2∶3 C ．4∶9D ．2∶9C [⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝8∶27， ∴r ∶R ＝2∶3，∴S 1∶S 2＝4∶9.]2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是( )A ．3∶2B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶1 D [设球的半径为R ，则球的表面积S 表＝4πR 2，圆柱的侧面积S 侧＝2πR ×2R ＝4πR 2，所以S 表∶S 侧＝1∶1.]3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.23π C.32π D.π6A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所以V 球＝43π×13＝4π3.]4．用一个平面截半径为25 cm 的球，截面圆的面积是225π cm 2，则球心到截面的距离为________ cm.20 [由题意知，球的半径R ＝25(cm)，易知截面圆的半径r ＝15(cm)，则球心到截面的距离d ＝252－152＝20(cm)．]球的体积与表面积【例1】 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．(1)B (2)52 [(1)43πR 3＝323π，故R ＝2，球的表面积为4πR 2＝16π. (2)设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3，r ＝2R ，∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2， ∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.] 求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.[跟进训练]1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为108π3，求它的表面积．[解] (1)因为直径为2，所以半径R ＝1， 所以表面积S 球＝4πR 2＝4π×12＝4π， 体积V 球＝43πR 3＝43π×13＝43π.(2)因为V 球＝43πR 3＝1083π，所以R 3＝27，R ＝3，所以S 球＝4π×32＝36π.球的表面积及体积的应用入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？[思路探究] 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．[解] 设△P AB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，如图所示．∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为 V 圆锥＝13πAC 2·PC＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3. 球取出后水面下降到EF ，水的体积为V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r . 1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．[跟进训练]2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？[解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×43π×⎝⎛⎭⎫523＝125π3，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V ＝π×52×h ， 所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53cm.与球有关的切、接问题1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？提示：设正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为12a ，它的外接球的半径为32a ，故所求的比为1∶3 3.2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？提示：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.【例3】 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B ．210C ．13D ．310C [如图，由已知条件可知，当AB ⊥AC 时，BC 中点D 为△ABC 外接圆的圆心， 因为三棱柱是直三棱柱，所以DE 中点M 为球心，又DE ＝AA 1＝12，设△ABC 外接圆半径为r ，则r ＝AB 2＋AC 22＝52. 即EC 1＝52.球O 的半径R ＝|MC 1|＝EC 21＋⎝⎛⎭⎫DE 22＝132. 故球的直径为13.](1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R 为球的半径)．1．球的体积和表面积公式 设球的半径为R (1)体积公式：V ＝43πR 3.(2)表面积公式：S ＝4πR 2.2．用一个平面截球所得截面的特征 (1)用一个平面去截球，截面是圆面． (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 以及截面的半径r ，有下面的关系r ＝R 2－d 2. 3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．1．思考辨析(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( ) (2)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4. ( ) (3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于 ( ) A.12B ．1C ．2D ．3 D [由题设球半径为r ，则4πr 2＝43πr 3，可得r ＝3，故选D.]3．表面积为Q 的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )A.13Q B ．Q C.43Q D ．2Q C [4πR 2＝64π⇒R ＝4，∴V ＝13QR ＝43Q ，故选C.]4．某几何体的三视图如图所示(单位：m)： (1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．[解] 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S ＝2πR 2＋6×2×2－π×R 2＝π＋24(m 2)．(2)该几何体的体积为V ＝12×43πR 3＋23＝23π＋8(m 3)．。
《简单几何体的再认识》第1课时示范教学方案北师大新课标
第六章立体几何初步6.6空间几何体的再认识第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积1．通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式的由来．2．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．3．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．4．通过本节学习，提升直观想象、数学运算的素养．教学重点：柱、锥、台的侧面展开与面积的计算．教学难点：简单组合体侧面积和表面积的计算．PPT课件．一、导入新课本章我们已经认识了柱、锥、台、球这些几何体的本特征以及点、线、面的位置关系．下面我们一起探究这些简单几何体的展开与面积计算．设计意图：根据回顾前面学过的内容，引出本节课的研究主题---柱、锥、台的侧面展开与面积．（版书）二、新知探究1．圆柱、圆锥、圆台问题1：如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积？师生活动：学生动手实验、思考，举手回答．预设答案：圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长．设计意图：通过动手实践，探究圆柱表面积的计算．问题2：如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？师生活动：学生动手展开圆锥、思考，举手回答．预设答案：圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形面积为12×2πr l＝πrl，故S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长．设计意图：通过圆锥的侧面展开图，探究圆锥表面积求解．★资源名称：【例题讲解】圆台的表面积的计算．★使用说明：本资源为微课《圆台的表面积的计算》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．问题3：如何根据圆台的展开图，求圆台的侧面面积？师生活动：学生动手展开圆锥、思考，举手回答．预设答案：如图，根据圆台的侧面展开图类似图形，可得圆台的侧面面积为：S圆台侧＝π(r1＋r2)l．设计意图：通过圆台的侧面展开图，探究圆台侧面面积的求解．问题4：请填下表师生活动：学生填写公式，并识记．预设答案：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与面积：设计意图：培养学生归纳探究能力，帮助学生记忆公式．2．直棱柱、正棱锥、正棱台问题5：类比圆柱、圆锥、圆台，那么直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎样的？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？师生活动：学生展开、思考，小组讨论，代表举手回答．预设答案：如下图所示，首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积，然后求和即可．设计意图：培养动手能力以及归纳能力．问题6：填写下表：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图与侧面积师生活动：学生填写公式，并识记．预设答案：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图与侧面积S直棱柱侧＝ch，其中c为棱柱的底面周长，h为棱柱的高设计意图：培养学生归纳、探究能力．问题7：怎样计算柱、锥、台的表面积？师生活动：学生展开、思考，小组讨论，代表举手回答．预设答案：柱、锥、台的表面积S表，等于该几何体的侧面积S侧与底面积S底的和，即S表＝S侧＋S底．设计意图：归纳空间几何体表面积的求法．三、巩固练习例1已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，求该圆柱的体积和表面积．师生活动：学生思考，写解题过程．预设答案：如图所示，设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ， 则22l r π==，解得1r π=；故表面积为2211222222()4rl r πππππππ+=⋅⋅+⋅=+．设计意图：考查了圆柱的结构特征与应用问题．根据题意求出圆柱底面圆的半径r ，再计算圆柱的体积和表面积．例2一个圆台的上、下底面半径长分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180︒，求这个圆台的表面积．（结果中保留π）师生活动：师生分析思路，写出解题过程．预设答案：如图，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180︒，故210c SA ππ=⋅=⨯，所以20SA =， 同理可得40SB =，所以20AB SB SA =-=，所以S S S S =++下表面积侧上()221212r r AB r r πππ=+⋅++22(1020)201020πππ=+⨯+⨯+⨯1100π=故圆台的表面积为1100π．设计意图：考查了圆台的侧面积、表面积公式，熟练掌握圆台的侧面展开图，扇环的圆心角公式是解答本题的关键．解答本题可把空间问题转化为平面问题，即先在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．例3《九章算术•商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堵”．1AA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，15AA =，M 是11A C 的中点，过点B ，C ，M 的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，求该三棱台的表面积．师生活动：学生思考，写解题过程．预设答案：如图所示，记11A B 的中点为N ，连接MN ，则//MN BC ，所以过点B ，C ，M 的平面为平面BNMC ，三棱台为1A MN ACB -，其中12A N NM ==，BN ==115AC =，152A M =． 所以其表面积1111144225(42)5(42)22222S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+25=+设计意图：本题主要考查了三棱台的表面积计算，涉及平面的基本性质．取11A B 的中点N ，证明过B ，C ，M 的平面就是平面BCMN ，得到三棱台1A MN ACB -，进而计算相应的线段长度即可求出其表面积．课堂练习：教科书第240页练习1，2，3，4．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导． 【板书设计】四、归纳小结问题8：本节课我们学习了简单几何体柱、锥、台的展开与面积计算，请你通过下列问题，归纳所学知识．(1)求旋转体侧面积的关键是什么？ (2)如何计算多面体的表面积？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量及其关系是求解旋转体侧面积的关键；（2）面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和．对于正棱锥中的计算问题，往往要构造直角三角形来求解，而对正棱台，则需要构造直角梯形或等腰梯形来求解．布置作业：教科书第244页，A 组7，10，B 组2． 五、目标检测设计1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A ．3π B． C ．6π D ．9π 设计意图：考查圆锥的表面积计算．2．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为( )A ．5 BCD设计意图：考查棱锥的侧面积计算．3．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 ．设计意图：考查圆柱的侧面积计算．4．一圆台形花盆，盆口直径20cm ，盆底直径15cm ，底部渗水圆孔直径1.5cm ，盆壁长15cm ．为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，则涂100个这样的花盆要多少油漆？(结果精确到1毫升)设计意图：考查圆台的表面积计算． 参考答案： 1．答案：A ．解析：根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S ＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π．2．答案：B ．解析：作SE ⊥BC 于E ．设底面边长为a ，则由底面周长为4，得a ＝1，SE ，故1=2S 侧×3．答案：4πS ．解析：设底面半径为r ，故S ＝πr 2．由侧面展开图为正方形，则高h ＝2πr ，则圆柱的侧面积为2πrh ＝4π(πr 2)＝4πS ．4．解：每个花盆需要涂油漆的面积为S ＝π×2151520+15+15222⎡⎤⎛⎫⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－π×21.52⎛⎫ ⎪⎝⎭≈1000(cm 2)＝0.1(m 2)， 因此涂100个这样的花盆需油漆0.1×100×100＝1000(毫升)．。
初三数学教案几何基本图形再认识
初三数学教案几何基本图形再认识教学目标及教学重点、难点一、知识概要：几何基本图形包括点，线，角，三角形，四边形，多边形，圆等，也包括，自己提炼出的重要基本图形，如：三线合一，直角三角形斜边中线模型，A型图（包括三角形中位线模型），某型图，双垂直模型等。
这些基本图形的性质、研究方法对其他较复杂问题的探究和解决都具有重要的导航作用。
二、关键内容：基本图形再认识，我们从三方面来理解：1.从画图入手关注基本图形的生成过程；2.抓住图形特征分解转化基本图形模型；3.从得到的结论入手关注基本图形的推理过程。
教学过程（表格描述）教学环节主要教学设置意图引入一、知识概要几何基本图形包括点，线，角，三角形，四边形，多边形，圆等，也包括自己提炼出的重要基本图形，如：三线八角，双垂直模型，一线三等角，由基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
所推导提炼出的特殊图形A型图和某型图，等。
从宏观上认识几何的学习源于基本图形的认识，源于对图形的性质、图形的变化以及图形与坐标中所呈现和生成的基本图形的认识和理解。
回顾几何基本图形包括哪些内容，知道这些基本图形的性质、研究方法对其他较复杂问题的探究和解决都具有重要的导航作用。
新课二、关键内容从三个方面来理解：1.从画图入手关注基本图形的生成过程：以线段的垂直平分线为例，它的画法（1）经过线段中点作线段的垂线，就形成了线段的垂直平分线（2）也可以尺规作图利用全等三角形（SSS）知识构造作出线段的垂直平分线2.抓住复杂图形特征分解转化出基本图形：以角平分线，等腰△，平行线的组合为例：（1）角平分线+等腰△⇒平行（2）角平分线+平行⇒等腰△（3）等腰△+平行⇒角平分线3.从得到的结论入手关注基本图形的推理过程。
以双垂直模型为例：条件：两个垂直（∠ACB=∠CDB=90°）结论：互余的角，相等的角，相似的三角形，边之间的数量关系：六条线段中知道其中两条，可以求出其他四条线段的长，简称知二求四。
6简单几何体的再认识-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
6 简单几何体的再认识-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、前言本篇教案是针对北师大版高中数学必修第二册中第六章“立体几何”的教学内容，主要介绍几何体的概念以及简单的性质，帮助学生加深对这一知识点的理解。
二、教学目标1.了解几何体的概念及其分类；2.掌握正方体、长方体、棱锥、圆锥、棱台、圆台的简单性质；3.能够应用几何体的性质解决实际问题。
三、教学重点和难点1.教学重点：正方体、长方体、棱锥、圆锥、棱台、圆台的简单性质；2.教学难点：如何灵活运用所学知识解决实际问题。
四、教学内容与方法1.教学内容：（1）几何体的概念（2）几何体的分类（3）正方体、长方体的性质（4）棱锥、圆锥、棱台、圆台的性质（5）几何体的应用2.教学方法：（1）讲授法（2）演示法（3）实践法五、教学过程1. 几何体的概念几何体是由一些平面或弯曲面所包围，具有一定体积的三维图形。
几何体的特点是具有长、宽、高三个方向。
将几何体所包围的平面或曲面叫做它的平面面，几何体的边缘线叫做它的棱，两个相邻的平面面的交线叫做它的棱或边，三个相邻的平面面的交点叫做它的顶点。
2. 几何体的分类几何体可分为以下三类：（1）普通几何体：由平面面和曲面面所包围的几何体，如长方体、正方体、棱台、圆台、棱锥、圆锥。
（2）旋转几何体：由绕着一条直线旋转所得的几何体，如圆柱、圆锥。
（3）双曲面：由两个相交的平面旋转而成，如单叶双曲面、双叶双曲面。
3. 正方体、长方体的性质正方体是六个面都为正方形的立体图形，长方体是六个面都为长方形的立体图形。
正方体的性质：（1）六个面积相等。
（2）六个面都平行。
（3）对立面平行的面积相等。
（4）对面的棱长相等。
（5）每个面的对角线长度相等。
（6）相邻的面垂直。
长方体的性质：（1）六个面积不等。
（2）对面的面积相等。
（3）面对角线长度相等。
（4）每个面的对角线长度不等。
（5）相邻的面垂直。
4. 棱锥、圆锥、棱台、圆台的性质棱锥：顶点在底面内部，且到底面各顶点的距离不等。
《简单几何体的再认识》第3课时示范教学方案北师大新课标
第六章立体几何初步6.6简单几何体的再认识第3课时球的表面积和体积1．了解球的结构和性质．2．了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积．3．会解决与球有关的切、接问题．4．通过本节学习，提升直观想象、数学运算的素养．教学重点：球的表面积、体积计算．教学难点：球有关的切、接问题．PPT课件．一、导入新课从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．运用上述思想能否计算球的表面积和体积？师生活动：学生动手实验、思考，举手回答．预设答案：可以．设计意图：根据古人割圆术，引出本节课的研究主题–柱、锥、台的体积计算．（版书）．二、新知探究问题2：球也是旋转体，它是由什么平面图象旋转得到的？师生活动：学生动手实验、思考，举手回答．预设答案：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体．设计意图：通过回忆球的形成过程，探究球的体积、表面积．问题3：用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d．在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2．设计意图：培养学生归纳、探究能力．问题3：过球外一点作球的切线，有几条？这些切线是什么关系？师生活动：学生动手展开圆锥、思考，举手回答．预设答案：过球外一点，有无数条切线，所有切线的长度相等．设计意图：探究与球的切线问题．★资源名称：【知识点解析】球的表面积与体积．★使用说明：本资源为微课《球的表面积与体积》的知识讲解，帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．问题4：阅读教材，填写下面的空格．1．球的截面(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的．(2)被不经过球心的平面截得的圆叫作球的．(3)设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝．2．球的切线(1)当直线与球有唯一交点时，称直线与球，其中它们的交点称为直线与球的切点．(2)过球外一点，有无数条切线，所有切线的长度相等．这些切点的集合是以O′为圆心的圆，圆面O′及所有切线围成了．3．球的表面积和体积公式(1)设球的半径为R，球的表面积为S球面＝．(2)设球的半径为R，则球的体积V球＝．师生活动：学生思考、填空．预设答案：1．(1)大圆；(2)小圆；2．(1)相切；(2)圆锥．3．(1)4πR2；(2)43πR3．设计意图：识记球的相关概念．问题5：球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？师生活动：学生展开、思考，小组讨论，代表举手回答．预设答案：球的表面积等于它的大圆面积的4倍设计意图：培养学生探究及归纳能力．三、巩固练习例1如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了．会溢出来吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）师生活动：学生思考，写解题过程．预设答案：因为V半球=12×43πR3=12×43π×43=1283π，V圆锥=13sℎ=13πR2ℎ=13π×42×12=1283π=64π，由于V半球<V圆锥，所以冰淇凌融化了，不会溢出杯子．设计意图：应用圆锥、球的体积公式解决实际问题．例2一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm，求钢球的半径．师生活动：师生分析思路，写出解题过程．预设答案：设钢球半径为Rcm，根据题意得，π×32×8+43πR3=π×32×8.5，解得R=1.5，所以钢球得半径R为1.5cm．设计意图：应用圆柱、球的体积公式解决实际问题．例3如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积．师生活动：师生分析思路，教师板书解题过程．预设答案：作轴截面如图所示，CC ′＝6，AC ＝2·6＝23，设球的半径为R ，则R 2＝OC 2＋CC ′2＝(3)2＋(6)2＝9， ∴R ＝3，∴S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π．设计意图：巩固球的表面积、体积公式． 练习：教科书第244页练习1，2．师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导． 【板书设计】四、归纳小结，布置作业问题6：本节课我们学习了球的表面积、体积的计算公式，请你通过下列问题，归纳所学知识．(1)求球的体积与表面积的方法是什么？ (2)解决有关球的问题时，常用哪些性质？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设的答案：（1）求球的体积与表面积的方法：①要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．②半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．（2）解决有关球的问题时，常用以下性质：①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．②如果分别用R 和r表示球的半径和截面圆的半径，用d 表示球心到截面的距离，则R 2＝r 2＋d 2．球的有关计算问题，常归结为解直角三角形．布置作业：教科书第244页A 组第1，4题． 五、目标检测设计1．若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c ，则这个球的表面积为( ) A ．c 24π B ．c 22π C ．c 2π D ．2πc 2设计意图：考查球的表面积计算．2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B ．32π3 C ．8π D ．4π设计意图：考查球的切结问题．3．圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 cm ．设计意图：考查球的体积的计算． 4．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．设计意图：考查球体积、表面积的计算． 参考答案： 1．答案：C ．解析：设球的半径为R ，则2πR ＝c ，∴R ＝c 2π，∴球的表面积S 球＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫c 2π2＝c 2π．2．答案：A ．解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2．又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝3a （R 为正方体外接球的半径），所以R ＝3，故所求球的表面积S ＝4πR 2＝12π．3．答案：4解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4．4．解：在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE ，AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，所以球的直径2R ＝23，则R ＝3， 所以球的体积为V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π．。
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材料的形状是矩形制板 作，方案如. 图
求水箱的容积 .
解
V sh
底
1 01 05
500
7.3球
球面可以由半圆绕旋直 转径一周得. 到 或在空间中到一的个距定离点等于定长. 为球
一、球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆 叫作 球的大圆；
被不经过球心的平面截得的圆
R
叫作 球的小圆；
O' rP
球心到截面圆心的垂 线直 段于截面半径 即OO' O'P
23
134(cm3)
V圆锥
1 3
sh
1 r 2h
3
1 42 12
3
20(1cm3) V半球V圆锥
例 6 一个圆柱形的玻内 璃半 瓶径 的3为 cm,瓶里
所装的水8深 cm， 为将一个钢球完水全中浸 瓶中水高度8上 .5c升 m。到 求钢球的半径
解析：等体积代换
设钢球的半R， 径则 为由题意有
3284R3328.5
3
解得 R1.5(cm )
P50课后练习
1.某小区修建一个 的圆 花台 台形 ，它的两 径底
分别1为 m和2m,高为 1m,问需要多少立方能 米土 把花台填满？
解
V 台 体 1 3S 上 S 下 S 上 •S 下 h
1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3
1 5 5 5 5
边长2约 3.40m.
问：这座金字塔的 积侧 和面 体积各是多少
解 如图所示AC， 为高，
BC 为底面的边心距， 则 AC14.66m，
BC 11.25m，
146.6m
底面c周 42长 3.4m 0.
S侧面积
1c•AB 2
1 4 2.3 40 1.1 2 2 5 1.4 6 2 685.2 9 m 21 2
高是3cm.求正三棱台的侧.面积
2
解： 取 则O上O1、下 23 .地面的中O心 ，O1， 连A 接 1O 1并延B1C 长 1于交 D 点 1.
连A 接O 并延B 长 于 C交 D 点 . 过 D 1作 D 1EA于 DE.点
在RtD1ED中，则D1E
3 2
.
D D E O O D E D O 1 O 1 13
h'
S正
棱
锥
侧
1ch' . 2
S 正棱台侧
1（ c c'） h' .
2
例 1 一个圆柱形的 面锅 直d炉 径1m ， ,高底 h2.3m.
求锅炉的表面积（2个保有留效数字 . ）
解 SS侧面积2S底面积
dh2(d )2
2
12.321
4
8.8（cm2）.
答：
例 3 一个正三棱底 台面 的边 上长 、3c分 下 m 和6 别 cm ， 为
注意：台体体积式计中算h的 为 公两底面
中点的连线。
例 5 已知一正四棱台的面上边底长4为 cm，
下底面边 8cm 长 ,高为 为 3cm .求其体积。
解 V 台 体 1 3S 上 S 下 S 上 •S 下 h
142824282 3 3
11（ 2cm3）
P47课后练习
1.某自来水厂要制无作高一长个方体水箱，
§1.7 简单几何 体的再认识
学习目标
1.了解柱体、椎体与台体的侧面积的展开图
2.了解柱体、椎体与台体的侧面积的计算公 式。
3.求简单组合体的表面积。
7.1柱、锥、台的侧面展 与开 面积
一、圆柱、圆锥，圆台
S圆柱体 2rl
c
c
C2r
1 S圆 锥 体 2 Cl
1 2r • l
2
S圆锥体rl ？
rO'P R2d2
二、球的切线
l
.P
O
..
圆的切线
与圆类似，当直线有 与唯 球一交点时，
称直线与球相切；
它们的交点称为
称直线与球切点；
思考交流
过直线外P一 ，点 有无数条切线 所， 有那 切么 的长度相等吗？所点 有组 切成什么图形？
因为 PA与圆 O相切于 A， 点 所以 OAAP
即 AP PO 2R2
同理 B可 PP得 2 O R2AP 过球外一点的所有的 切长 线度都相等
所有切线围城一个圆锥 。
三、球的表面积和体积
S球面4R2
S球
Байду номын сангаас
4 3
R3
例 6 如图，一个圆锥形杯的子空上面放着一 半球形的冰激凌，冰如激果凌融化了，会溢
杯子吗？（假设冰融激化凌前后体积不变）
解 V半球1234R3
1 4 43
363
2
3. 2
D1D D1E2DE 2
32
2
232
3.
所S以 正三棱 1 2 台c侧 c' •D1D
13363 3
2
27 3 . 2
P46课后练习
1.已知正六棱 h， 柱底 的面 高a边 ， 为长 求为 表
7.2柱、锥、台的体积
一、棱柱和圆柱
V柱体sh.
二、棱柱和圆柱
1 V椎体 3 sh.
例 4 埃及胡夫金字塔于大公约元建 2前 58年 0 ， 其形状为.金 正字 四塔 棱 14高 锥 .66m， 约底面 边长2约 3.40m.
问：这座金字塔的 积侧 和面 体积各是多少
V1S•AC 123 .420 14 .66
3
3
146.6m
25940.04m63.
三、棱台和圆台
V 台 体 1 3S上 S下 S上 •S下 h
3
3
所c以 •SA .
又 因 c2 为 1 020 ， 所 以 SA20
同理 SB ， 4.0
所A 以 B S B S A 2， 0
S圆台 侧 （ r1r2） •A B （ 1 02） 020
600（cm2）
二、直棱柱、正棱锥，正棱台
S直 棱 柱侧ch.
注意：c为底面周长，
h' 为斜高，即等腰三角形 的高 .
例 4 埃及胡夫金字塔于大公约元建 2前 58年 0 ， 其形状为.金 正字 四塔 棱 14高 锥 .66m， 约底面 边长2约 3.40m.
问：这座金字塔的 积侧 和面 体积各是多
例 4 埃及胡夫金字塔于大公约元建 2前 58年 0 ， 其形状为.金 正字 四塔 棱 14高 锥 .66m， 约底面
rl
扇环
2r1
S圆台体 （2r122r2）l
r1 l
2（r1 r2）l
2r2
2
r2
（r1r2）l
S圆台体 （ r1r2） l
例 2 圆台的上、下底分面别半 1是0c径m和20cm，
它的侧面展开 的图 圆的 心1扇 角 8， 0环 是那么圆
的 侧 面 积 是 多 少 ？ 果（ 中 结 保留 ）
解 如图所示，设上底面周长为c. 因为扇环的圆心角1是80，